Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrncoat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrncoat 37900
Description: Composition of lattice translations of an atom. TODO: See if this can shorten some ltrnel 37895, ltrnat 37896 uses. (Contributed by NM, 1-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnel.l = (le‘𝐾)
ltrnel.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnel.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnel.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrncoat (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem ltrncoat
StepHypRef Expression
1 simp1 1138 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp2l 1201 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → 𝐹𝑇)
3 ltrnel.l . . . 4 = (le‘𝐾)
4 ltrnel.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 ltrnel.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 ltrnel.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
73, 4, 5, 6ltrnat 37896 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝑃𝐴) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
873adant2l 1180 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
93, 4, 5, 6ltrnat 37896 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ 𝐴)
101, 2, 8, 9syl3anc 1373 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  cfv 6385  lecple 16814  Atomscatm 37019  HLchlt 37106  LHypclh 37740  LTrncltrn 37857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5184  ax-sep 5197  ax-nul 5204  ax-pow 5263  ax-pr 5327  ax-un 7528
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3415  df-sbc 3700  df-csb 3817  df-dif 3874  df-un 3876  df-in 3878  df-ss 3888  df-nul 4243  df-if 4445  df-pw 4520  df-sn 4547  df-pr 4549  df-op 4553  df-uni 4825  df-iun 4911  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5141  df-id 5460  df-xp 5562  df-rel 5563  df-cnv 5564  df-co 5565  df-dm 5566  df-rn 5567  df-res 5568  df-ima 5569  df-iota 6343  df-fun 6387  df-fn 6388  df-f 6389  df-f1 6390  df-fo 6391  df-f1o 6392  df-fv 6393  df-riota 7175  df-ov 7221  df-oprab 7222  df-mpo 7223  df-map 8515  df-plt 17841  df-glb 17858  df-p0 17936  df-oposet 36932  df-ol 36934  df-oml 36935  df-covers 37022  df-ats 37023  df-hlat 37107  df-lhyp 37744  df-laut 37745  df-ldil 37860  df-ltrn 37861
This theorem is referenced by:  cdlemg9a  38388  cdlemg9  38390  cdlemg11aq  38394  cdlemg12a  38399  cdlemg12c  38401  cdlemg12f  38404  cdlemg12g  38405  cdlemg12  38406  cdlemg13a  38407  cdlemg13  38408  cdlemg17f  38422  cdlemg17g  38423  cdlemg17  38433  cdlemg19a  38439  cdlemg19  38440
  Copyright terms: Public domain W3C validator