Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrncoat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrncoat 38713
Description: Composition of lattice translations of an atom. TODO: See if this can shorten some ltrnel 38708, ltrnat 38709 uses. (Contributed by NM, 1-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnel.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
ltrnel.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
ltrnel.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
ltrnel.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
ltrncoat (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem ltrncoat
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simp2l 1199 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
3 ltrnel.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
4 ltrnel.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
5 ltrnel.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
6 ltrnel.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
73, 4, 5, 6ltrnat 38709 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
873adant2l 1178 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
93, 4, 5, 6ltrnat 38709 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴)
101, 2, 8, 9syl3anc 1371 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6516  lecple 17169  Atomscatm 37831  HLchlt 37918  LHypclh 38553  LTrncltrn 38670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-id 5551  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-map 8789  df-plt 18248  df-glb 18265  df-p0 18343  df-oposet 37744  df-ol 37746  df-oml 37747  df-covers 37834  df-ats 37835  df-hlat 37919  df-lhyp 38557  df-laut 38558  df-ldil 38673  df-ltrn 38674
This theorem is referenced by:  cdlemg9a  39201  cdlemg9  39203  cdlemg11aq  39207  cdlemg12a  39212  cdlemg12c  39214  cdlemg12f  39217  cdlemg12g  39218  cdlemg12  39219  cdlemg13a  39220  cdlemg13  39221  cdlemg17f  39235  cdlemg17g  39236  cdlemg17  39246  cdlemg19a  39252  cdlemg19  39253
  Copyright terms: Public domain W3C validator