Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrncoat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrncoat 40146
Description: Composition of lattice translations of an atom. TODO: See if this can shorten some ltrnel 40141, ltrnat 40142 uses. (Contributed by NM, 1-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnel.l = (le‘𝐾)
ltrnel.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnel.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnel.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrncoat (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem ltrncoat
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp2l 1200 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → 𝐹𝑇)
3 ltrnel.l . . . 4 = (le‘𝐾)
4 ltrnel.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 ltrnel.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 ltrnel.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
73, 4, 5, 6ltrnat 40142 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝑃𝐴) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
873adant2l 1179 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
93, 4, 5, 6ltrnat 40142 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ 𝐴)
101, 2, 8, 9syl3anc 1373 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cfv 6561  lecple 17304  Atomscatm 39264  HLchlt 39351  LHypclh 39986  LTrncltrn 40103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8868  df-plt 18375  df-glb 18392  df-p0 18470  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-hlat 39352  df-lhyp 39990  df-laut 39991  df-ldil 40106  df-ltrn 40107
This theorem is referenced by:  cdlemg9a  40634  cdlemg9  40636  cdlemg11aq  40640  cdlemg12a  40645  cdlemg12c  40647  cdlemg12f  40650  cdlemg12g  40651  cdlemg12  40652  cdlemg13a  40653  cdlemg13  40654  cdlemg17f  40668  cdlemg17g  40669  cdlemg17  40679  cdlemg19a  40685  cdlemg19  40686
  Copyright terms: Public domain W3C validator