Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrncoval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrncoval 38714
Description: Two ways to express value of translation composition. (Contributed by NM, 31-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnel.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
ltrnel.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
ltrnel.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
ltrnel.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
ltrncoval (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))

Proof of Theorem ltrncoval
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simp2r 1200 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
3 eqid 2731 . . . . 5 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
4 ltrnel.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 ltrnel.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
63, 4, 5ltrn1o 38693 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ 𝐺:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
71, 2, 6syl2anc 584 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝐺:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
8 f1of 6804 . . 3 (𝐺:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ) β†’ 𝐺:(Baseβ€˜πΎ)⟢(Baseβ€˜πΎ))
97, 8syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝐺:(Baseβ€˜πΎ)⟢(Baseβ€˜πΎ))
10 ltrnel.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
113, 10atbase 37857 . . 3 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
12113ad2ant3 1135 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
13 fvco3 6960 . 2 ((𝐺:(Baseβ€˜πΎ)⟢(Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))
149, 12, 13syl2anc 584 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∘ ccom 5657  βŸΆwf 6512  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6515  β€˜cfv 6516  Basecbs 17109  lecple 17169  Atomscatm 37831  HLchlt 37918  LHypclh 38553  LTrncltrn 38670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-id 5551  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-map 8789  df-ats 37835  df-laut 38558  df-ldil 38673  df-ltrn 38674
This theorem is referenced by:  cdlemg41  39287  trlcoabs  39290  trlcoabs2N  39291  trlcolem  39295  cdlemg44  39302  cdlemi2  39388  cdlemk2  39401  cdlemk4  39403  cdlemk8  39407  dia2dimlem4  39636  dihjatcclem3  39989
  Copyright terms: Public domain W3C validator