Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrncoval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrncoval 38599
Description: Two ways to express value of translation composition. (Contributed by NM, 31-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnel.l = (le‘𝐾)
ltrnel.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnel.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnel.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrncoval (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → ((𝐹𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘(𝐺𝑃)))

Proof of Theorem ltrncoval
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp2r 1200 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → 𝐺𝑇)
3 eqid 2736 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4 ltrnel.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 ltrnel.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
63, 4, 5ltrn1o 38578 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
71, 2, 6syl2anc 584 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
8 f1of 6784 . . 3 (𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → 𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
97, 8syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → 𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
10 ltrnel.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
113, 10atbase 37742 . . 3 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
12113ad2ant3 1135 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
13 fvco3 6940 . 2 ((𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐹𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘(𝐺𝑃)))
149, 12, 13syl2anc 584 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → ((𝐹𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘(𝐺𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  ccom 5637  wf 6492  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496  Basecbs 17082  lecple 17139  Atomscatm 37716  HLchlt 37803  LHypclh 38438  LTrncltrn 38555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-map 8766  df-ats 37720  df-laut 38443  df-ldil 38558  df-ltrn 38559
This theorem is referenced by:  cdlemg41  39172  trlcoabs  39175  trlcoabs2N  39176  trlcolem  39180  cdlemg44  39187  cdlemi2  39273  cdlemk2  39286  cdlemk4  39288  cdlemk8  39292  dia2dimlem4  39521  dihjatcclem3  39874
  Copyright terms: Public domain W3C validator