Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrncoval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrncoval 37148
Description: Two ways to express value of translation composition. (Contributed by NM, 31-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnel.l = (le‘𝐾)
ltrnel.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnel.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnel.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrncoval (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → ((𝐹𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘(𝐺𝑃)))

Proof of Theorem ltrncoval
StepHypRef Expression
1 simp1 1130 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp2r 1194 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → 𝐺𝑇)
3 eqid 2826 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4 ltrnel.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 ltrnel.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
63, 4, 5ltrn1o 37127 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
71, 2, 6syl2anc 584 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
8 f1of 6612 . . 3 (𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → 𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
97, 8syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → 𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
10 ltrnel.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
113, 10atbase 36292 . . 3 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
12113ad2ant3 1129 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
13 fvco3 6757 . 2 ((𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐹𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘(𝐺𝑃)))
149, 12, 13syl2anc 584 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → ((𝐹𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘(𝐺𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  ccom 5558  wf 6348  1-1-ontowf1o 6351  cfv 6352  Basecbs 16473  lecple 16562  Atomscatm 36266  HLchlt 36353  LHypclh 36987  LTrncltrn 37104
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-map 8398  df-ats 36270  df-laut 36992  df-ldil 37107  df-ltrn 37108
This theorem is referenced by:  cdlemg41  37721  trlcoabs  37724  trlcoabs2N  37725  trlcolem  37729  cdlemg44  37736  cdlemi2  37822  cdlemk2  37835  cdlemk4  37837  cdlemk8  37841  dia2dimlem4  38070  dihjatcclem3  38423
  Copyright terms: Public domain W3C validator