Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrncoval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrncoval 40147
Description: Two ways to express value of translation composition. (Contributed by NM, 31-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnel.l = (le‘𝐾)
ltrnel.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnel.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnel.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrncoval (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → ((𝐹𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘(𝐺𝑃)))

Proof of Theorem ltrncoval
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp2r 1201 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → 𝐺𝑇)
3 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4 ltrnel.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 ltrnel.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
63, 4, 5ltrn1o 40126 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
71, 2, 6syl2anc 584 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
8 f1of 6848 . . 3 (𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → 𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
97, 8syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → 𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
10 ltrnel.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
113, 10atbase 39290 . . 3 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
12113ad2ant3 1136 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
13 fvco3 7008 . 2 ((𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐹𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘(𝐺𝑃)))
149, 12, 13syl2anc 584 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → ((𝐹𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘(𝐺𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  ccom 5689  wf 6557  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  Basecbs 17247  lecple 17304  Atomscatm 39264  HLchlt 39351  LHypclh 39986  LTrncltrn 40103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8868  df-ats 39268  df-laut 39991  df-ldil 40106  df-ltrn 40107
This theorem is referenced by:  cdlemg41  40720  trlcoabs  40723  trlcoabs2N  40724  trlcolem  40728  cdlemg44  40735  cdlemi2  40821  cdlemk2  40834  cdlemk4  40836  cdlemk8  40840  dia2dimlem4  41069  dihjatcclem3  41422
  Copyright terms: Public domain W3C validator