Theorem ltrncoval 40591

Description: Two ways to express value of translation composition. (Contributed by NM, 31-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrnel.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ltrnel.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrnel.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnel.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrncoval	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))

Proof of Theorem ltrncoval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simp2r 1202	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ 𝑇)
3		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		ltrnel.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		ltrnel.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6	3, 4, 5	ltrn1o 40570	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
7	1, 2, 6	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
8		f1of 6780	. . 3 ⊢ (𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → 𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
10		ltrnel.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11	3, 10	atbase 39735	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
12	11	3ad2ant3 1136	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
13		fvco3 6939	. 2 ⊢ ((𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))
14	9, 12, 13	syl2anc 585	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∘ ccom 5635  ⟶wf 6494  –1-1-onto→wf1o 6497  ‘cfv 6498  Basecbs 17179  lecple 17227  Atomscatm 39709  HLchlt 39796  LHypclh 40430  LTrncltrn 40547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-map 8775  df-ats 39713  df-laut 40435  df-ldil 40550  df-ltrn 40551

This theorem is referenced by:  cdlemg41  41164  trlcoabs  41167  trlcoabs2N  41168  trlcolem  41172  cdlemg44  41179  cdlemi2  41265  cdlemk2  41278  cdlemk4  41280  cdlemk8  41284  dia2dimlem4  41513  dihjatcclem3  41866