Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemi2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemi2 40157
Description: Part of proof of Lemma I of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 18-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemi.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemi.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemi.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemi.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemi.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemi.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemi.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemi.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemi.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemi2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) ≀ (((π‘ˆβ€˜πΉ)β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))))
Proof of Theorem cdlemi2
StepHypRef Expression
1 simp1l 1196 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp1r 1197 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
3 simp21 1205 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐸)
4 simp1 1135 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
5 simp23 1207 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
6 simp22 1206 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
7 cdlemi.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
8 cdlemi.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
97, 8ltrncnv 39484 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
104, 6, 9syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
117, 8ltrnco 40057 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ◑𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (𝐺 ∘ ◑𝐹) ∈ 𝑇)
124, 5, 10, 11syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝐺 ∘ ◑𝐹) ∈ 𝑇)
13 cdlemi.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
147, 8, 13tendovalco 40103 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸) ∧ ((𝐺 ∘ ◑𝐹) ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) β†’ (π‘ˆβ€˜((𝐺 ∘ ◑𝐹) ∘ 𝐹)) = ((π‘ˆβ€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∘ (π‘ˆβ€˜πΉ)))
151, 2, 3, 12, 6, 14syl32anc 1377 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘ˆβ€˜((𝐺 ∘ ◑𝐹) ∘ 𝐹)) = ((π‘ˆβ€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∘ (π‘ˆβ€˜πΉ)))
16 coass 6264 . . . . . . 7 ((𝐺 ∘ ◑𝐹) ∘ 𝐹) = (𝐺 ∘ (◑𝐹 ∘ 𝐹))
17 cdlemi.b . . . . . . . . . . . 12 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
1817, 7, 8ltrn1o 39462 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
194, 6, 18syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
20 f1ococnv1 6862 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ (◑𝐹 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐡))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (◑𝐹 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐡))
2221coeq2d 5862 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝐺 ∘ (◑𝐹 ∘ 𝐹)) = (𝐺 ∘ ( I β†Ύ 𝐡)))
2317, 7, 8ltrn1o 39462 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ 𝐺:𝐡–1-1-onto→𝐡)
244, 5, 23syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐺:𝐡–1-1-onto→𝐡)
25 f1of 6833 . . . . . . . . 9 (𝐺:𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ 𝐺:𝐡⟢𝐡)
26 fcoi1 6765 . . . . . . . . 9 (𝐺:𝐡⟢𝐡 β†’ (𝐺 ∘ ( I β†Ύ 𝐡)) = 𝐺)
2724, 25, 263syl 18 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝐺 ∘ ( I β†Ύ 𝐡)) = 𝐺)
2822, 27eqtrd 2771 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝐺 ∘ (◑𝐹 ∘ 𝐹)) = 𝐺)
2916, 28eqtrid 2783 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝐺 ∘ ◑𝐹) ∘ 𝐹) = 𝐺)
3029fveq2d 6895 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘ˆβ€˜((𝐺 ∘ ◑𝐹) ∘ 𝐹)) = (π‘ˆβ€˜πΊ))
3115, 30eqtr3d 2773 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((π‘ˆβ€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∘ (π‘ˆβ€˜πΉ)) = (π‘ˆβ€˜πΊ))
3231fveq1d 6893 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((π‘ˆβ€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∘ (π‘ˆβ€˜πΉ))β€˜π‘ƒ) = ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ))
337, 8, 13tendocl 40105 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (𝐺 ∘ ◑𝐹) ∈ 𝑇) β†’ (π‘ˆβ€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝑇)
344, 3, 12, 33syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘ˆβ€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝑇)
357, 8, 13tendocl 40105 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ˆβ€˜πΉ) ∈ 𝑇)
364, 3, 6, 35syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘ˆβ€˜πΉ) ∈ 𝑇)
37 simp3l 1200 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
38 cdlemi.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
39 cdlemi.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
4038, 39, 7, 8ltrncoval 39483 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((π‘ˆβ€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∈ 𝑇 ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (((π‘ˆβ€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∘ (π‘ˆβ€˜πΉ))β€˜π‘ƒ) = ((π‘ˆβ€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))β€˜((π‘ˆβ€˜πΉ)β€˜π‘ƒ)))
414, 34, 36, 37, 40syl121anc 1374 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((π‘ˆβ€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) ∘ (π‘ˆβ€˜πΉ))β€˜π‘ƒ) = ((π‘ˆβ€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))β€˜((π‘ˆβ€˜πΉ)β€˜π‘ƒ)))
4232, 41eqtr3d 2773 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) = ((π‘ˆβ€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))β€˜((π‘ˆβ€˜πΉ)β€˜π‘ƒ)))
4338, 39, 7, 8ltrnel 39477 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆβ€˜πΉ) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((π‘ˆβ€˜πΉ)β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ ((π‘ˆβ€˜πΉ)β€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
4436, 43syld3an2 1410 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((π‘ˆβ€˜πΉ)β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ ((π‘ˆβ€˜πΉ)β€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
45 cdlemi.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
46 cdlemi.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
47 cdlemi.r . . . 4 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4817, 38, 45, 46, 39, 7, 8, 47, 13cdlemi1 40156 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ (𝐺 ∘ ◑𝐹) ∈ 𝑇) ∧ (((π‘ˆβ€˜πΉ)β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ ((π‘ˆβ€˜πΉ)β€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š)) β†’ ((π‘ˆβ€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))β€˜((π‘ˆβ€˜πΉ)β€˜π‘ƒ)) ≀ (((π‘ˆβ€˜πΉ)β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))))
494, 3, 12, 44, 48syl121anc 1374 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((π‘ˆβ€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))β€˜((π‘ˆβ€˜πΉ)β€˜π‘ƒ)) ≀ (((π‘ˆβ€˜πΉ)β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))))
5042, 49eqbrtrd 5170 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((π‘ˆβ€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) ≀ (((π‘ˆβ€˜πΉ)β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148   I cid 5573  β—‘ccnv 5675   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  lecple 17211  joincjn 18274  meetcmee 18275  Atomscatm 38600  HLchlt 38687  LHypclh 39322  LTrncltrn 39439  trLctrl 39496  TEndoctendo 40090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-riotaBAD 38290
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-undef 8264  df-map 8828  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-oposet 38513  df-ol 38515  df-oml 38516  df-covers 38603  df-ats 38604  df-atl 38635  df-cvlat 38659  df-hlat 38688  df-llines 38836  df-lplanes 38837  df-lvols 38838  df-lines 38839  df-psubsp 38841  df-pmap 38842  df-padd 39134  df-lhyp 39326  df-laut 39327  df-ldil 39442  df-ltrn 39443  df-trl 39497  df-tendo 40093
This theorem is referenced by:  cdlemi  40158
  Copyright terms: Public domain W3C validator