Theorem cdlemi2 38570

Description: Part of proof of Lemma I of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 18-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemi.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemi.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemi.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemi.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemi.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemi.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemi.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemi.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdlemi2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑈‘𝐺)‘𝑃) ≤ (((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))))

Proof of Theorem cdlemi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1199	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp1r 1200	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ 𝐻)
3		simp21 1208	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑈 ∈ 𝐸)
4		simp1 1138	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
5		simp23 1210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
6		simp22 1209	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
7		cdlemi.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		cdlemi.t	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9	7, 8	ltrncnv 37897	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ◡𝐹 ∈ 𝑇)
10	4, 6, 9	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ◡𝐹 ∈ 𝑇)
11	7, 8	ltrnco 38470	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ◡𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐺 ∘ ◡𝐹) ∈ 𝑇)
12	4, 5, 10, 11	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐺 ∘ ◡𝐹) ∈ 𝑇)
13		cdlemi.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
14	7, 8, 13	tendovalco 38516	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸) ∧ ((𝐺 ∘ ◡𝐹) ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇)) → (𝑈‘((𝐺 ∘ ◡𝐹) ∘ 𝐹)) = ((𝑈‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ∘ (𝑈‘𝐹)))
15	1, 2, 3, 12, 6, 14	syl32anc 1380	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑈‘((𝐺 ∘ ◡𝐹) ∘ 𝐹)) = ((𝑈‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ∘ (𝑈‘𝐹)))
16		coass 6129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∘ ◡𝐹) ∘ 𝐹) = (𝐺 ∘ (◡𝐹 ∘ 𝐹))
17		cdlemi.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
18	17, 7, 8	ltrn1o 37875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
19	4, 6, 18	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
20		f1ococnv1 6689	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
22	21	coeq2d 5731	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐺 ∘ (◡𝐹 ∘ 𝐹)) = (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐵)))
23	17, 7, 8	ltrn1o 37875	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → 𝐺:𝐵–1-1-onto→𝐵)
24	4, 5, 23	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐺:𝐵–1-1-onto→𝐵)
25		f1of 6661	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺:𝐵–1-1-onto→𝐵 → 𝐺:𝐵⟶𝐵)
26		fcoi1 6593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺:𝐵⟶𝐵 → (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝐺)
27	24, 25, 26	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝐺)
28	22, 27	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐺 ∘ (◡𝐹 ∘ 𝐹)) = 𝐺)
29	16, 28	syl5eq 2790	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐺 ∘ ◡𝐹) ∘ 𝐹) = 𝐺)
30	29	fveq2d 6721	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑈‘((𝐺 ∘ ◡𝐹) ∘ 𝐹)) = (𝑈‘𝐺))
31	15, 30	eqtr3d 2779	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑈‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ∘ (𝑈‘𝐹)) = (𝑈‘𝐺))
32	31	fveq1d 6719	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝑈‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ∘ (𝑈‘𝐹))‘𝑃) = ((𝑈‘𝐺)‘𝑃))
33	7, 8, 13	tendocl 38518	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝐺 ∘ ◡𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑈‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ∈ 𝑇)
34	4, 3, 12, 33	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑈‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ∈ 𝑇)
35	7, 8, 13	tendocl 38518	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇)
36	4, 3, 6, 35	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇)
37		simp3l 1203	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
38		cdlemi.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
39		cdlemi.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
40	38, 39, 7, 8	ltrncoval 37896	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑈‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ∈ 𝑇 ∧ (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (((𝑈‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ∘ (𝑈‘𝐹))‘𝑃) = ((𝑈‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))‘((𝑈‘𝐹)‘𝑃)))
41	4, 34, 36, 37, 40	syl121anc 1377	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝑈‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)) ∘ (𝑈‘𝐹))‘𝑃) = ((𝑈‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))‘((𝑈‘𝐹)‘𝑃)))
42	32, 41	eqtr3d 2779	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑈‘𝐺)‘𝑃) = ((𝑈‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))‘((𝑈‘𝐹)‘𝑃)))
43	38, 39, 7, 8	ltrnel 37890	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈‘𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ≤ 𝑊))
44	36, 43	syld3an2 1413	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ≤ 𝑊))
45		cdlemi.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
46		cdlemi.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
47		cdlemi.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
48	17, 38, 45, 46, 39, 7, 8, 47, 13	cdlemi1 38569	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ (𝐺 ∘ ◡𝐹) ∈ 𝑇) ∧ (((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ≤ 𝑊)) → ((𝑈‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))‘((𝑈‘𝐹)‘𝑃)) ≤ (((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))))
49	4, 3, 12, 44, 48	syl121anc 1377	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑈‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))‘((𝑈‘𝐹)‘𝑃)) ≤ (((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))))
50	42, 49	eqbrtrd 5075	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑈‘𝐺)‘𝑃) ≤ (((𝑈‘𝐹)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5053   I cid 5454  ^◡ccnv 5550   ↾ cres 5553   ∘ ccom 5555  ⟶wf 6376  –1-1-onto→wf1o 6379  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  lecple 16809  joincjn 17818  meetcmee 17819  Atomscatm 37014  HLchlt 37101  LHypclh 37735  LTrncltrn 37852  trLctrl 37909  TEndoctendo 38503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-riotaBAD 36704

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-undef 8015  df-map 8510  df-proset 17802  df-poset 17820  df-plt 17836  df-lub 17852  df-glb 17853  df-join 17854  df-meet 17855  df-p0 17931  df-p1 17932  df-lat 17938  df-clat 18005  df-oposet 36927  df-ol 36929  df-oml 36930  df-covers 37017  df-ats 37018  df-atl 37049  df-cvlat 37073  df-hlat 37102  df-llines 37249  df-lplanes 37250  df-lvols 37251  df-lines 37252  df-psubsp 37254  df-pmap 37255  df-padd 37547  df-lhyp 37739  df-laut 37740  df-ldil 37855  df-ltrn 37856  df-trl 37910  df-tendo 38506

This theorem is referenced by:  cdlemi  38571