Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemi2 38570
Description: Part of proof of Lemma I of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 18-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemi.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemi.l = (le‘𝐾)
cdlemi.j = (join‘𝐾)
cdlemi.m = (meet‘𝐾)
cdlemi.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemi.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemi.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemi.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemi.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemi2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))

Proof of Theorem cdlemi2
StepHypRef Expression
1 simp1l 1199 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp1r 1200 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊𝐻)
3 simp21 1208 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑈𝐸)
4 simp1 1138 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
5 simp23 1210 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐺𝑇)
6 simp22 1209 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹𝑇)
7 cdlemi.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8 cdlemi.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
97, 8ltrncnv 37897 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
104, 6, 9syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹𝑇)
117, 8ltrnco 38470 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐹𝑇) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
124, 5, 10, 11syl3anc 1373 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
13 cdlemi.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
147, 8, 13tendovalco 38516 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑈𝐸) ∧ ((𝐺𝐹) ∈ 𝑇𝐹𝑇)) → (𝑈‘((𝐺𝐹) ∘ 𝐹)) = ((𝑈‘(𝐺𝐹)) ∘ (𝑈𝐹)))
151, 2, 3, 12, 6, 14syl32anc 1380 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑈‘((𝐺𝐹) ∘ 𝐹)) = ((𝑈‘(𝐺𝐹)) ∘ (𝑈𝐹)))
16 coass 6129 . . . . . . 7 ((𝐺𝐹) ∘ 𝐹) = (𝐺 ∘ (𝐹𝐹))
17 cdlemi.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝐾)
1817, 7, 8ltrn1o 37875 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
194, 6, 18syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
20 f1ococnv1 6689 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
2221coeq2d 5731 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺 ∘ (𝐹𝐹)) = (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐵)))
2317, 7, 8ltrn1o 37875 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → 𝐺:𝐵1-1-onto𝐵)
244, 5, 23syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐺:𝐵1-1-onto𝐵)
25 f1of 6661 . . . . . . . . 9 (𝐺:𝐵1-1-onto𝐵𝐺:𝐵𝐵)
26 fcoi1 6593 . . . . . . . . 9 (𝐺:𝐵𝐵 → (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝐺)
2724, 25, 263syl 18 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝐺)
2822, 27eqtrd 2777 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺 ∘ (𝐹𝐹)) = 𝐺)
2916, 28syl5eq 2790 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝐹) ∘ 𝐹) = 𝐺)
3029fveq2d 6721 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑈‘((𝐺𝐹) ∘ 𝐹)) = (𝑈𝐺))
3115, 30eqtr3d 2779 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑈‘(𝐺𝐹)) ∘ (𝑈𝐹)) = (𝑈𝐺))
3231fveq1d 6719 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝑈‘(𝐺𝐹)) ∘ (𝑈𝐹))‘𝑃) = ((𝑈𝐺)‘𝑃))
337, 8, 13tendocl 38518 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸 ∧ (𝐺𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑈‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝑇)
344, 3, 12, 33syl3anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑈‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝑇)
357, 8, 13tendocl 38518 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝐹𝑇) → (𝑈𝐹) ∈ 𝑇)
364, 3, 6, 35syl3anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑈𝐹) ∈ 𝑇)
37 simp3l 1203 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑃𝐴)
38 cdlemi.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
39 cdlemi.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4038, 39, 7, 8ltrncoval 37896 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑈‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝑇 ∧ (𝑈𝐹) ∈ 𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (((𝑈‘(𝐺𝐹)) ∘ (𝑈𝐹))‘𝑃) = ((𝑈‘(𝐺𝐹))‘((𝑈𝐹)‘𝑃)))
414, 34, 36, 37, 40syl121anc 1377 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝑈‘(𝐺𝐹)) ∘ (𝑈𝐹))‘𝑃) = ((𝑈‘(𝐺𝐹))‘((𝑈𝐹)‘𝑃)))
4232, 41eqtr3d 2779 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) = ((𝑈‘(𝐺𝐹))‘((𝑈𝐹)‘𝑃)))
4338, 39, 7, 8ltrnel 37890 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝑈𝐹)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑈𝐹)‘𝑃) 𝑊))
4436, 43syld3an2 1413 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝑈𝐹)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑈𝐹)‘𝑃) 𝑊))
45 cdlemi.j . . . 4 = (join‘𝐾)
46 cdlemi.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
47 cdlemi.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
4817, 38, 45, 46, 39, 7, 8, 47, 13cdlemi1 38569 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸 ∧ (𝐺𝐹) ∈ 𝑇) ∧ (((𝑈𝐹)‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑈𝐹)‘𝑃) 𝑊)) → ((𝑈‘(𝐺𝐹))‘((𝑈𝐹)‘𝑃)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
494, 3, 12, 44, 48syl121anc 1377 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑈‘(𝐺𝐹))‘((𝑈𝐹)‘𝑃)) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
5042, 49eqbrtrd 5075 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) (((𝑈𝐹)‘𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110   class class class wbr 5053   I cid 5454  ccnv 5550  cres 5553  ccom 5555  wf 6376  1-1-ontowf1o 6379  cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  lecple 16809  joincjn 17818  meetcmee 17819  Atomscatm 37014  HLchlt 37101  LHypclh 37735  LTrncltrn 37852  trLctrl 37909  TEndoctendo 38503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-riotaBAD 36704
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-undef 8015  df-map 8510  df-proset 17802  df-poset 17820  df-plt 17836  df-lub 17852  df-glb 17853  df-join 17854  df-meet 17855  df-p0 17931  df-p1 17932  df-lat 17938  df-clat 18005  df-oposet 36927  df-ol 36929  df-oml 36930  df-covers 37017  df-ats 37018  df-atl 37049  df-cvlat 37073  df-hlat 37102  df-llines 37249  df-lplanes 37250  df-lvols 37251  df-lines 37252  df-psubsp 37254  df-pmap 37255  df-padd 37547  df-lhyp 37739  df-laut 37740  df-ldil 37855  df-ltrn 37856  df-trl 37910  df-tendo 38506
This theorem is referenced by:  cdlemi  38571
  Copyright terms: Public domain W3C validator