Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp1l 1198 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β πΎ β HL) |
2 | | simp1r 1199 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β π β π») |
3 | | simp21 1207 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β π β πΈ) |
4 | | simp1 1137 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
5 | | simp23 1209 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β πΊ β π) |
6 | | simp22 1208 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β πΉ β π) |
7 | | cdlemi.h |
. . . . . . . . 9
β’ π» = (LHypβπΎ) |
8 | | cdlemi.t |
. . . . . . . . 9
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
9 | 7, 8 | ltrncnv 38612 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β β‘πΉ β π) |
10 | 4, 6, 9 | syl2anc 585 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β β‘πΉ β π) |
11 | 7, 8 | ltrnco 39185 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π β§ β‘πΉ β π) β (πΊ β β‘πΉ) β π) |
12 | 4, 5, 10, 11 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (πΊ β β‘πΉ) β π) |
13 | | cdlemi.e |
. . . . . . 7
β’ πΈ = ((TEndoβπΎ)βπ) |
14 | 7, 8, 13 | tendovalco 39231 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ π β πΈ) β§ ((πΊ β β‘πΉ) β π β§ πΉ β π)) β (πβ((πΊ β β‘πΉ) β πΉ)) = ((πβ(πΊ β β‘πΉ)) β (πβπΉ))) |
15 | 1, 2, 3, 12, 6, 14 | syl32anc 1379 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (πβ((πΊ β β‘πΉ) β πΉ)) = ((πβ(πΊ β β‘πΉ)) β (πβπΉ))) |
16 | | coass 6218 |
. . . . . . 7
β’ ((πΊ β β‘πΉ) β πΉ) = (πΊ β (β‘πΉ β πΉ)) |
17 | | cdlemi.b |
. . . . . . . . . . . 12
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
18 | 17, 7, 8 | ltrn1o 38590 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β πΉ:π΅β1-1-ontoβπ΅) |
19 | 4, 6, 18 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β πΉ:π΅β1-1-ontoβπ΅) |
20 | | f1ococnv1 6814 |
. . . . . . . . . 10
β’ (πΉ:π΅β1-1-ontoβπ΅ β (β‘πΉ β πΉ) = ( I βΎ π΅)) |
21 | 19, 20 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (β‘πΉ β πΉ) = ( I βΎ π΅)) |
22 | 21 | coeq2d 5819 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (πΊ β (β‘πΉ β πΉ)) = (πΊ β ( I βΎ π΅))) |
23 | 17, 7, 8 | ltrn1o 38590 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π) β πΊ:π΅β1-1-ontoβπ΅) |
24 | 4, 5, 23 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β πΊ:π΅β1-1-ontoβπ΅) |
25 | | f1of 6785 |
. . . . . . . . 9
β’ (πΊ:π΅β1-1-ontoβπ΅ β πΊ:π΅βΆπ΅) |
26 | | fcoi1 6717 |
. . . . . . . . 9
β’ (πΊ:π΅βΆπ΅ β (πΊ β ( I βΎ π΅)) = πΊ) |
27 | 24, 25, 26 | 3syl 18 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (πΊ β ( I βΎ π΅)) = πΊ) |
28 | 22, 27 | eqtrd 2777 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (πΊ β (β‘πΉ β πΉ)) = πΊ) |
29 | 16, 28 | eqtrid 2789 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πΊ β β‘πΉ) β πΉ) = πΊ) |
30 | 29 | fveq2d 6847 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (πβ((πΊ β β‘πΉ) β πΉ)) = (πβπΊ)) |
31 | 15, 30 | eqtr3d 2779 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πβ(πΊ β β‘πΉ)) β (πβπΉ)) = (πβπΊ)) |
32 | 31 | fveq1d 6845 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (((πβ(πΊ β β‘πΉ)) β (πβπΉ))βπ) = ((πβπΊ)βπ)) |
33 | 7, 8, 13 | tendocl 39233 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β πΈ β§ (πΊ β β‘πΉ) β π) β (πβ(πΊ β β‘πΉ)) β π) |
34 | 4, 3, 12, 33 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (πβ(πΊ β β‘πΉ)) β π) |
35 | 7, 8, 13 | tendocl 39233 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β πΈ β§ πΉ β π) β (πβπΉ) β π) |
36 | 4, 3, 6, 35 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (πβπΉ) β π) |
37 | | simp3l 1202 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β π β π΄) |
38 | | cdlemi.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
39 | | cdlemi.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
40 | 38, 39, 7, 8 | ltrncoval 38611 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((πβ(πΊ β β‘πΉ)) β π β§ (πβπΉ) β π) β§ π β π΄) β (((πβ(πΊ β β‘πΉ)) β (πβπΉ))βπ) = ((πβ(πΊ β β‘πΉ))β((πβπΉ)βπ))) |
41 | 4, 34, 36, 37, 40 | syl121anc 1376 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (((πβ(πΊ β β‘πΉ)) β (πβπΉ))βπ) = ((πβ(πΊ β β‘πΉ))β((πβπΉ)βπ))) |
42 | 32, 41 | eqtr3d 2779 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πβπΊ)βπ) = ((πβ(πΊ β β‘πΉ))β((πβπΉ)βπ))) |
43 | 38, 39, 7, 8 | ltrnel 38605 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πβπΉ) β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (((πβπΉ)βπ) β π΄ β§ Β¬ ((πβπΉ)βπ) β€ π)) |
44 | 36, 43 | syld3an2 1412 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (((πβπΉ)βπ) β π΄ β§ Β¬ ((πβπΉ)βπ) β€ π)) |
45 | | cdlemi.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
46 | | cdlemi.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
47 | | cdlemi.r |
. . . 4
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
48 | 17, 38, 45, 46, 39, 7, 8, 47, 13 | cdlemi1 39284 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ (πΊ β β‘πΉ) β π) β§ (((πβπΉ)βπ) β π΄ β§ Β¬ ((πβπΉ)βπ) β€ π)) β ((πβ(πΊ β β‘πΉ))β((πβπΉ)βπ)) β€ (((πβπΉ)βπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) |
49 | 4, 3, 12, 44, 48 | syl121anc 1376 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πβ(πΊ β β‘πΉ))β((πβπΉ)βπ)) β€ (((πβπΉ)βπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) |
50 | 42, 49 | eqbrtrd 5128 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β πΈ β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πβπΊ)βπ) β€ (((πβπΉ)βπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) |