Proof of Theorem cdlemk2
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | simp1 1137 | . . 3
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻)) | 
| 2 |  | simp2r 1201 | . . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐺 ∈ 𝑇) | 
| 3 |  | simp2l 1200 | . . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐹 ∈ 𝑇) | 
| 4 |  | cdlemk.h | . . . . . 6
⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾) | 
| 5 |  | cdlemk.t | . . . . . 6
⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) | 
| 6 | 4, 5 | ltrncnv 40148 | . . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ◡𝐹 ∈ 𝑇) | 
| 7 | 1, 3, 6 | syl2anc 584 | . . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ◡𝐹 ∈ 𝑇) | 
| 8 | 4, 5 | ltrnco 40721 | . . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ◡𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐺 ∘ ◡𝐹) ∈ 𝑇) | 
| 9 | 1, 2, 7, 8 | syl3anc 1373 | . . 3
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐺 ∘ ◡𝐹) ∈ 𝑇) | 
| 10 |  | cdlemk.l | . . . . 5
⊢  ≤ =
(le‘𝐾) | 
| 11 |  | cdlemk.a | . . . . 5
⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾) | 
| 12 | 10, 11, 4, 5 | ltrnel 40141 | . . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹‘𝑃) ≤ 𝑊)) | 
| 13 | 12 | 3adant2r 1180 | . . 3
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹‘𝑃) ≤ 𝑊)) | 
| 14 |  | cdlemk.j | . . . 4
⊢  ∨ =
(join‘𝐾) | 
| 15 |  | cdlemk.r | . . . 4
⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊) | 
| 16 | 10, 14, 11, 4, 5, 15 | trljat3 40170 | . . 3
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∘ ◡𝐹) ∈ 𝑇 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹‘𝑃) ≤ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))) = (((𝐺 ∘ ◡𝐹)‘(𝐹‘𝑃)) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))) | 
| 17 | 1, 9, 13, 16 | syl3anc 1373 | . 2
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))) = (((𝐺 ∘ ◡𝐹)‘(𝐹‘𝑃)) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))) | 
| 18 |  | simp3l 1202 | . . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ∈ 𝐴) | 
| 19 | 10, 11, 4, 5 | ltrncoval 40147 | . . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐺 ∘ ◡𝐹) ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (((𝐺 ∘ ◡𝐹) ∘ 𝐹)‘𝑃) = ((𝐺 ∘ ◡𝐹)‘(𝐹‘𝑃))) | 
| 20 | 1, 9, 3, 18, 19 | syl121anc 1377 | . . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝐺 ∘ ◡𝐹) ∘ 𝐹)‘𝑃) = ((𝐺 ∘ ◡𝐹)‘(𝐹‘𝑃))) | 
| 21 |  | coass 6285 | . . . . . 6
⊢ ((𝐺 ∘ ◡𝐹) ∘ 𝐹) = (𝐺 ∘ (◡𝐹 ∘ 𝐹)) | 
| 22 |  | cdlemk.b | . . . . . . . . . . 11
⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾) | 
| 23 | 22, 4, 5 | ltrn1o 40126 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵) | 
| 24 | 1, 3, 23 | syl2anc 584 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵) | 
| 25 |  | f1ococnv1 6877 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝐵)) | 
| 26 | 24, 25 | syl 17 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝐵)) | 
| 27 | 26 | coeq2d 5873 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐺 ∘ (◡𝐹 ∘ 𝐹)) = (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐵))) | 
| 28 | 22, 4, 5 | ltrn1o 40126 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → 𝐺:𝐵–1-1-onto→𝐵) | 
| 29 | 1, 2, 28 | syl2anc 584 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐺:𝐵–1-1-onto→𝐵) | 
| 30 |  | f1of 6848 | . . . . . . . 8
⊢ (𝐺:𝐵–1-1-onto→𝐵 → 𝐺:𝐵⟶𝐵) | 
| 31 |  | fcoi1 6782 | . . . . . . . 8
⊢ (𝐺:𝐵⟶𝐵 → (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝐺) | 
| 32 | 29, 30, 31 | 3syl 18 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝐺) | 
| 33 | 27, 32 | eqtrd 2777 | . . . . . 6
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐺 ∘ (◡𝐹 ∘ 𝐹)) = 𝐺) | 
| 34 | 21, 33 | eqtrid 2789 | . . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐺 ∘ ◡𝐹) ∘ 𝐹) = 𝐺) | 
| 35 | 34 | fveq1d 6908 | . . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝐺 ∘ ◡𝐹) ∘ 𝐹)‘𝑃) = (𝐺‘𝑃)) | 
| 36 | 20, 35 | eqtr3d 2779 | . . 3
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐺 ∘ ◡𝐹)‘(𝐹‘𝑃)) = (𝐺‘𝑃)) | 
| 37 | 36 | oveq1d 7446 | . 2
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝐺 ∘ ◡𝐹)‘(𝐹‘𝑃)) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))) = ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))) | 
| 38 | 17, 37 | eqtr2d 2778 | 1
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))) = ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))) |