Theorem cdlemk2 40850

Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 22-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemk.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemk.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdlemk2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))) = ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))))

Proof of Theorem cdlemk2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simp2r 1201	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
3		simp2l 1200	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
4		cdlemk.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		cdlemk.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6	4, 5	ltrncnv 40164	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ◡𝐹 ∈ 𝑇)
7	1, 3, 6	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ◡𝐹 ∈ 𝑇)
8	4, 5	ltrnco 40737	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ◡𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐺 ∘ ◡𝐹) ∈ 𝑇)
9	1, 2, 7, 8	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐺 ∘ ◡𝐹) ∈ 𝑇)
10		cdlemk.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
11		cdlemk.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
12	10, 11, 4, 5	ltrnel 40157	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹‘𝑃) ≤ 𝑊))
13	12	3adant2r 1180	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹‘𝑃) ≤ 𝑊))
14		cdlemk.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
15		cdlemk.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
16	10, 14, 11, 4, 5, 15	trljat3 40186	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∘ ◡𝐹) ∈ 𝑇 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹‘𝑃) ≤ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))) = (((𝐺 ∘ ◡𝐹)‘(𝐹‘𝑃)) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))))
17	1, 9, 13, 16	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))) = (((𝐺 ∘ ◡𝐹)‘(𝐹‘𝑃)) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))))
18		simp3l 1202	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
19	10, 11, 4, 5	ltrncoval 40163	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐺 ∘ ◡𝐹) ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (((𝐺 ∘ ◡𝐹) ∘ 𝐹)‘𝑃) = ((𝐺 ∘ ◡𝐹)‘(𝐹‘𝑃)))
20	1, 9, 3, 18, 19	syl121anc 1377	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝐺 ∘ ◡𝐹) ∘ 𝐹)‘𝑃) = ((𝐺 ∘ ◡𝐹)‘(𝐹‘𝑃)))
21		coass 6209	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∘ ◡𝐹) ∘ 𝐹) = (𝐺 ∘ (◡𝐹 ∘ 𝐹))
22		cdlemk.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
23	22, 4, 5	ltrn1o 40142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
24	1, 3, 23	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
25		f1ococnv1 6788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
27	26	coeq2d 5800	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐺 ∘ (◡𝐹 ∘ 𝐹)) = (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐵)))
28	22, 4, 5	ltrn1o 40142	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → 𝐺:𝐵–1-1-onto→𝐵)
29	1, 2, 28	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐺:𝐵–1-1-onto→𝐵)
30		f1of 6759	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺:𝐵–1-1-onto→𝐵 → 𝐺:𝐵⟶𝐵)
31		fcoi1 6693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺:𝐵⟶𝐵 → (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝐺)
32	29, 30, 31	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐺 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝐺)
33	27, 32	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐺 ∘ (◡𝐹 ∘ 𝐹)) = 𝐺)
34	21, 33	eqtrid 2777	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐺 ∘ ◡𝐹) ∘ 𝐹) = 𝐺)
35	34	fveq1d 6819	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝐺 ∘ ◡𝐹) ∘ 𝐹)‘𝑃) = (𝐺‘𝑃))
36	20, 35	eqtr3d 2767	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐺 ∘ ◡𝐹)‘(𝐹‘𝑃)) = (𝐺‘𝑃))
37	36	oveq1d 7356	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝐺 ∘ ◡𝐹)‘(𝐹‘𝑃)) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))) = ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))))
38	17, 37	eqtr2d 2766	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))) = ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5089   I cid 5508  ^◡ccnv 5613   ↾ cres 5616   ∘ ccom 5618  ⟶wf 6473  –1-1-onto→wf1o 6476  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  Basecbs 17112  lecple 17160  joincjn 18209  Atomscatm 39281  HLchlt 39368  LHypclh 40002  LTrncltrn 40119  trLctrl 40176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-riotaBAD 38971

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-undef 8198  df-map 8747  df-proset 18192  df-poset 18211  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-p1 18322  df-lat 18330  df-clat 18397  df-oposet 39194  df-ol 39196  df-oml 39197  df-covers 39284  df-ats 39285  df-atl 39316  df-cvlat 39340  df-hlat 39369  df-llines 39516  df-lplanes 39517  df-lvols 39518  df-lines 39519  df-psubsp 39521  df-pmap 39522  df-padd 39814  df-lhyp 40006  df-laut 40007  df-ldil 40122  df-ltrn 40123  df-trl 40177

This theorem is referenced by:  cdlemk5  40854  cdlemk5u  40879