Theorem trlcoabs 40704

Description: Absorption into a composition by joining with trace. (Contributed by NM, 22-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlcoabs.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
trlcoabs.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
trlcoabs.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trlcoabs.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlcoabs.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlcoabs.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
trlcoabs	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑃) ∨ (𝑅‘𝐹)) = ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘𝐹)))

Proof of Theorem trlcoabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlcoabs.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		trlcoabs.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		trlcoabs.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		trlcoabs.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	ltrncoval 40128	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))
6	5	3adant3r 1180	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))
7	6	oveq1d 7446	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑃) ∨ (𝑅‘𝐹)) = ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝑅‘𝐹)))
8		simp1 1135	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		simp2l 1198	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
10	1, 2, 3, 4	ltrnel 40122	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺‘𝑃) ≤ 𝑊))
11	10	3adant2l 1177	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺‘𝑃) ≤ 𝑊))
12		trlcoabs.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
13		trlcoabs.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
14	1, 12, 2, 3, 4, 13	trljat3 40151	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺‘𝑃) ≤ 𝑊)) → ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘𝐹)) = ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝑅‘𝐹)))
15	8, 9, 11, 14	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘𝐹)) = ((𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∨ (𝑅‘𝐹)))
16	7, 15	eqtr4d 2778	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑃) ∨ (𝑅‘𝐹)) = ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑅‘𝐹)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148   ∘ ccom 5693  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  lecple 17305  joincjn 18369  Atomscatm 39245  HLchlt 39332  LHypclh 39967  LTrncltrn 40084  trLctrl 40141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-map 8867  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142

This theorem is referenced by:  cdlemk48  40933