Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlcoabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlcoabs 37979
Description: Absorption into a composition by joining with trace. (Contributed by NM, 22-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlcoabs.l = (le‘𝐾)
trlcoabs.j = (join‘𝐾)
trlcoabs.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trlcoabs.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlcoabs.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlcoabs.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlcoabs (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐹𝐺)‘𝑃) (𝑅𝐹)) = ((𝐺𝑃) (𝑅𝐹)))

Proof of Theorem trlcoabs
StepHypRef Expression
1 trlcoabs.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
2 trlcoabs.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 trlcoabs.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 trlcoabs.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
51, 2, 3, 4ltrncoval 37403 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → ((𝐹𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘(𝐺𝑃)))
653adant3r 1178 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘(𝐺𝑃)))
76oveq1d 7155 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐹𝐺)‘𝑃) (𝑅𝐹)) = ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝑅𝐹)))
8 simp1 1133 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
9 simp2l 1196 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹𝑇)
101, 2, 3, 4ltrnel 37397 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑃) 𝑊))
11103adant2l 1175 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑃) 𝑊))
12 trlcoabs.j . . . 4 = (join‘𝐾)
13 trlcoabs.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
141, 12, 2, 3, 4, 13trljat3 37426 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑃) 𝑊)) → ((𝐺𝑃) (𝑅𝐹)) = ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝑅𝐹)))
158, 9, 11, 14syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝑃) (𝑅𝐹)) = ((𝐹‘(𝐺𝑃)) (𝑅𝐹)))
167, 15eqtr4d 2860 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐹𝐺)‘𝑃) (𝑅𝐹)) = ((𝐺𝑃) (𝑅𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114   class class class wbr 5042  ccom 5536  cfv 6334  (class class class)co 7140  lecple 16563  joincjn 17545  Atomscatm 36521  HLchlt 36608  LHypclh 37242  LTrncltrn 37359  trLctrl 37416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-map 8395  df-proset 17529  df-poset 17547  df-plt 17559  df-lub 17575  df-glb 17576  df-join 17577  df-meet 17578  df-p0 17640  df-p1 17641  df-lat 17647  df-clat 17709  df-oposet 36434  df-ol 36436  df-oml 36437  df-covers 36524  df-ats 36525  df-atl 36556  df-cvlat 36580  df-hlat 36609  df-psubsp 36761  df-pmap 36762  df-padd 37054  df-lhyp 37246  df-laut 37247  df-ldil 37362  df-ltrn 37363  df-trl 37417
This theorem is referenced by:  cdlemk48  38208
  Copyright terms: Public domain W3C validator