Theorem dia2dimlem4 42124

Description: Lemma for dia2dim 42134. Show that the composition (sum) of translations (vectors) 𝐺 and 𝐷 equals 𝐹. Part of proof of Lemma M in [Crawley] p. 121 line 5. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia2dimlem4.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dia2dimlem4.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dia2dimlem4.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia2dimlem4.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem4.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dia2dimlem4.p	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
dia2dimlem4.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑇)
dia2dimlem4.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑇)
dia2dimlem4.gv	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑃) = 𝑄)
dia2dimlem4.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑇)
dia2dimlem4.dv	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑄) = (𝐹‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
dia2dimlem4	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘ 𝐺) = 𝐹)

Proof of Theorem dia2dimlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dia2dimlem4.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dia2dimlem4.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑇)
3		dia2dimlem4.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑇)
4		dia2dimlem4.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		dia2dimlem4.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6	4, 5	ltrnco 41776	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝐷 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
8		dia2dimlem4.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑇)
9		dia2dimlem4.p	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
10	9	simpld 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
11		dia2dimlem4.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
12		dia2dimlem4.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
13	11, 12, 4, 5	ltrncoval 41202	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝐷 ∘ 𝐺)‘𝑃) = (𝐷‘(𝐺‘𝑃)))
14	1, 2, 3, 10, 13	syl121anc 1402	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∘ 𝐺)‘𝑃) = (𝐷‘(𝐺‘𝑃)))
15		dia2dimlem4.gv	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑃) = 𝑄)
16	15	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐺‘𝑃)) = (𝐷‘𝑄))
17		dia2dimlem4.dv	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑄) = (𝐹‘𝑃))
18	14, 16, 17	3eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∘ 𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘𝑃))
19	11, 12, 4, 5	cdlemd 41264	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐷 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝐷 ∘ 𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘𝑃)) → (𝐷 ∘ 𝐺) = 𝐹)
20	1, 7, 8, 9, 18, 19	syl311anc 1411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘ 𝐺) = 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103   ∘ ccom 5655  ‘cfv 6538  lecple 17435  Atomscatm 40320  HLchlt 40407  LHypclh 41041  LTrncltrn 41158

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-riotaBAD 40010

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-undef 8290  df-map 8849  df-proset 18468  df-poset 18487  df-plt 18502  df-lub 18518  df-glb 18519  df-join 18520  df-meet 18521  df-p0 18597  df-p1 18598  df-lat 18606  df-clat 18673  df-oposet 40233  df-ol 40235  df-oml 40236  df-covers 40323  df-ats 40324  df-atl 40355  df-cvlat 40379  df-hlat 40408  df-llines 40555  df-lplanes 40556  df-lvols 40557  df-lines 40558  df-psubsp 40560  df-pmap 40561  df-padd 40853  df-lhyp 41045  df-laut 41046  df-ldil 41161  df-ltrn 41162  df-trl 41216

This theorem is used by:  dia2dimlem5  42125