Theorem dia2dimlem4 40813

Description: Lemma for dia2dim 40823. Show that the composition (sum) of translations (vectors) 𝐺 and 𝐷 equals 𝐹. Part of proof of Lemma M in [Crawley] p. 121 line 5. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia2dimlem4.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dia2dimlem4.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dia2dimlem4.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia2dimlem4.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem4.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dia2dimlem4.p	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
dia2dimlem4.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑇)
dia2dimlem4.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑇)
dia2dimlem4.gv	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑃) = 𝑄)
dia2dimlem4.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑇)
dia2dimlem4.dv	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑄) = (𝐹‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
dia2dimlem4	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘ 𝐺) = 𝐹)

Proof of Theorem dia2dimlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dia2dimlem4.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dia2dimlem4.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑇)
3		dia2dimlem4.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑇)
4		dia2dimlem4.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		dia2dimlem4.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6	4, 5	ltrnco 40465	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝐷 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
8		dia2dimlem4.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑇)
9		dia2dimlem4.p	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
10	9	simpld 493	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
11		dia2dimlem4.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
12		dia2dimlem4.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
13	11, 12, 4, 5	ltrncoval 39891	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝐷 ∘ 𝐺)‘𝑃) = (𝐷‘(𝐺‘𝑃)))
14	1, 2, 3, 10, 13	syl121anc 1372	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∘ 𝐺)‘𝑃) = (𝐷‘(𝐺‘𝑃)))
15		dia2dimlem4.gv	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑃) = 𝑄)
16	15	fveq2d 6909	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐺‘𝑃)) = (𝐷‘𝑄))
17		dia2dimlem4.dv	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑄) = (𝐹‘𝑃))
18	14, 16, 17	3eqtrd 2773	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∘ 𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘𝑃))
19	11, 12, 4, 5	cdlemd 39953	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐷 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝐷 ∘ 𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘𝑃)) → (𝐷 ∘ 𝐺) = 𝐹)
20	1, 7, 8, 9, 18, 19	syl311anc 1381	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘ 𝐺) = 𝐹)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2100   class class class wbr 5156   ∘ ccom 5690  ‘cfv 6558  lecple 17294  Atomscatm 39008  HLchlt 39095  LHypclh 39730  LTrncltrn 39847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-rep 5293  ax-sep 5307  ax-nul 5314  ax-pow 5373  ax-pr 5437  ax-un 7751  ax-riotaBAD 38698

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3429  df-v 3474  df-sbc 3789  df-csb 3905  df-dif 3962  df-un 3964  df-in 3966  df-ss 3976  df-nul 4336  df-if 4537  df-pw 4612  df-sn 4637  df-pr 4639  df-op 4643  df-uni 4919  df-iun 5008  df-iin 5009  df-br 5157  df-opab 5219  df-mpt 5240  df-id 5584  df-xp 5692  df-rel 5693  df-cnv 5694  df-co 5695  df-dm 5696  df-rn 5697  df-res 5698  df-ima 5699  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7386  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-undef 8296  df-map 8865  df-proset 18341  df-poset 18359  df-plt 18376  df-lub 18392  df-glb 18393  df-join 18394  df-meet 18395  df-p0 18471  df-p1 18472  df-lat 18478  df-clat 18545  df-oposet 38921  df-ol 38923  df-oml 38924  df-covers 39011  df-ats 39012  df-atl 39043  df-cvlat 39067  df-hlat 39096  df-llines 39244  df-lplanes 39245  df-lvols 39246  df-lines 39247  df-psubsp 39249  df-pmap 39250  df-padd 39542  df-lhyp 39734  df-laut 39735  df-ldil 39850  df-ltrn 39851  df-trl 39905

This theorem is referenced by:  dia2dimlem5  40814