Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia2dimlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dia2dimlem4 39533
Description: Lemma for dia2dim 39543. Show that the composition (sum) of translations (vectors) 𝐺 and 𝐷 equals 𝐹. Part of proof of Lemma M in [Crawley] p. 121 line 5. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dia2dimlem4.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dia2dimlem4.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dia2dimlem4.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dia2dimlem4.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dia2dimlem4.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
dia2dimlem4.p (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
dia2dimlem4.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
dia2dimlem4.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
dia2dimlem4.gv (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) = 𝑄)
dia2dimlem4.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑇)
dia2dimlem4.dv (πœ‘ β†’ (π·β€˜π‘„) = (πΉβ€˜π‘ƒ))
Assertion
Ref Expression
dia2dimlem4 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∘ 𝐺) = 𝐹)

Proof of Theorem dia2dimlem4
StepHypRef Expression
1 dia2dimlem4.k . 2 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 dia2dimlem4.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑇)
3 dia2dimlem4.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
4 dia2dimlem4.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 dia2dimlem4.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
64, 5ltrnco 39185 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (𝐷 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
71, 2, 3, 6syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
8 dia2dimlem4.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
9 dia2dimlem4.p . 2 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
109simpld 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
11 dia2dimlem4.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
12 dia2dimlem4.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
1311, 12, 4, 5ltrncoval 38611 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ ((𝐷 ∘ 𝐺)β€˜π‘ƒ) = (π·β€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))
141, 2, 3, 10, 13syl121anc 1376 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐷 ∘ 𝐺)β€˜π‘ƒ) = (π·β€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))
15 dia2dimlem4.gv . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) = 𝑄)
1615fveq2d 6847 . . 3 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = (π·β€˜π‘„))
17 dia2dimlem4.dv . . 3 (πœ‘ β†’ (π·β€˜π‘„) = (πΉβ€˜π‘ƒ))
1814, 16, 173eqtrd 2781 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐷 ∘ 𝐺)β€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘ƒ))
1911, 12, 4, 5cdlemd 38673 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐷 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((𝐷 ∘ 𝐺)β€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘ƒ)) β†’ (𝐷 ∘ 𝐺) = 𝐹)
201, 7, 8, 9, 18, 19syl311anc 1385 1 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∘ 𝐺) = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5106   ∘ ccom 5638  β€˜cfv 6497  lecple 17141  Atomscatm 37728  HLchlt 37815  LHypclh 38450  LTrncltrn 38567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-riotaBAD 37418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-undef 8205  df-map 8768  df-proset 18185  df-poset 18203  df-plt 18220  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-p0 18315  df-p1 18316  df-lat 18322  df-clat 18389  df-oposet 37641  df-ol 37643  df-oml 37644  df-covers 37731  df-ats 37732  df-atl 37763  df-cvlat 37787  df-hlat 37816  df-llines 37964  df-lplanes 37965  df-lvols 37966  df-lines 37967  df-psubsp 37969  df-pmap 37970  df-padd 38262  df-lhyp 38454  df-laut 38455  df-ldil 38570  df-ltrn 38571  df-trl 38625
This theorem is referenced by:  dia2dimlem5  39534
  Copyright terms: Public domain W3C validator