Theorem dia2dimlem4 37143

Description: Lemma for dia2dim 37153. Show that the composition (sum) of translations (vectors) 𝐺 and 𝐷 equals 𝐹. Part of proof of Lemma M in [Crawley] p. 121 line 5. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia2dimlem4.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dia2dimlem4.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dia2dimlem4.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia2dimlem4.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem4.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dia2dimlem4.p	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
dia2dimlem4.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑇)
dia2dimlem4.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑇)
dia2dimlem4.gv	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑃) = 𝑄)
dia2dimlem4.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑇)
dia2dimlem4.dv	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑄) = (𝐹‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
dia2dimlem4	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘ 𝐺) = 𝐹)

Proof of Theorem dia2dimlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dia2dimlem4.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dia2dimlem4.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑇)
3		dia2dimlem4.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑇)
4		dia2dimlem4.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		dia2dimlem4.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6	4, 5	ltrnco 36795	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝐷 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1496	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
8		dia2dimlem4.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑇)
9		dia2dimlem4.p	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
10	9	simpld 490	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
11		dia2dimlem4.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
12		dia2dimlem4.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
13	11, 12, 4, 5	ltrncoval 36221	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝐷 ∘ 𝐺)‘𝑃) = (𝐷‘(𝐺‘𝑃)))
14	1, 2, 3, 10, 13	syl121anc 1500	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∘ 𝐺)‘𝑃) = (𝐷‘(𝐺‘𝑃)))
15		dia2dimlem4.gv	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑃) = 𝑄)
16	15	fveq2d 6438	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐺‘𝑃)) = (𝐷‘𝑄))
17		dia2dimlem4.dv	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑄) = (𝐹‘𝑃))
18	14, 16, 17	3eqtrd 2866	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∘ 𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘𝑃))
19	11, 12, 4, 5	cdlemd 36283	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐷 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝐷 ∘ 𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘𝑃)) → (𝐷 ∘ 𝐺) = 𝐹)
20	1, 7, 8, 9, 18, 19	syl311anc 1509	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘ 𝐺) = 𝐹)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   class class class wbr 4874   ∘ ccom 5347  ‘cfv 6124  lecple 16313  Atomscatm 35339  HLchlt 35426  LHypclh 36060  LTrncltrn 36177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-riotaBAD 35029

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-iin 4744  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-id 5251  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-undef 7665  df-map 8125  df-proset 17282  df-poset 17300  df-plt 17312  df-lub 17328  df-glb 17329  df-join 17330  df-meet 17331  df-p0 17393  df-p1 17394  df-lat 17400  df-clat 17462  df-oposet 35252  df-ol 35254  df-oml 35255  df-covers 35342  df-ats 35343  df-atl 35374  df-cvlat 35398  df-hlat 35427  df-llines 35574  df-lplanes 35575  df-lvols 35576  df-lines 35577  df-psubsp 35579  df-pmap 35580  df-padd 35872  df-lhyp 36064  df-laut 36065  df-ldil 36180  df-ltrn 36181  df-trl 36235

This theorem is referenced by:  dia2dimlem5  37144