Theorem dia2dimlem4 41349

Description: Lemma for dia2dim 41359. Show that the composition (sum) of translations (vectors) 𝐺 and 𝐷 equals 𝐹. Part of proof of Lemma M in [Crawley] p. 121 line 5. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia2dimlem4.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dia2dimlem4.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dia2dimlem4.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia2dimlem4.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem4.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dia2dimlem4.p	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
dia2dimlem4.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑇)
dia2dimlem4.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑇)
dia2dimlem4.gv	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑃) = 𝑄)
dia2dimlem4.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑇)
dia2dimlem4.dv	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑄) = (𝐹‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
dia2dimlem4	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘ 𝐺) = 𝐹)

Proof of Theorem dia2dimlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dia2dimlem4.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dia2dimlem4.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑇)
3		dia2dimlem4.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑇)
4		dia2dimlem4.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		dia2dimlem4.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6	4, 5	ltrnco 41001	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝐷 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
8		dia2dimlem4.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑇)
9		dia2dimlem4.p	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
10	9	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
11		dia2dimlem4.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
12		dia2dimlem4.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
13	11, 12, 4, 5	ltrncoval 40427	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝐷 ∘ 𝐺)‘𝑃) = (𝐷‘(𝐺‘𝑃)))
14	1, 2, 3, 10, 13	syl121anc 1377	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∘ 𝐺)‘𝑃) = (𝐷‘(𝐺‘𝑃)))
15		dia2dimlem4.gv	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑃) = 𝑄)
16	15	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐺‘𝑃)) = (𝐷‘𝑄))
17		dia2dimlem4.dv	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑄) = (𝐹‘𝑃))
18	14, 16, 17	3eqtrd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 ∘ 𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘𝑃))
19	11, 12, 4, 5	cdlemd 40489	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐷 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝐷 ∘ 𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘𝑃)) → (𝐷 ∘ 𝐺) = 𝐹)
20	1, 7, 8, 9, 18, 19	syl311anc 1386	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘ 𝐺) = 𝐹)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098   ∘ ccom 5628  ‘cfv 6492  lecple 17186  Atomscatm 39545  HLchlt 39632  LHypclh 40266  LTrncltrn 40383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-riotaBAD 39235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-undef 8215  df-map 8767  df-proset 18219  df-poset 18238  df-plt 18253  df-lub 18269  df-glb 18270  df-join 18271  df-meet 18272  df-p0 18348  df-p1 18349  df-lat 18357  df-clat 18424  df-oposet 39458  df-ol 39460  df-oml 39461  df-covers 39548  df-ats 39549  df-atl 39580  df-cvlat 39604  df-hlat 39633  df-llines 39780  df-lplanes 39781  df-lvols 39782  df-lines 39783  df-psubsp 39785  df-pmap 39786  df-padd 40078  df-lhyp 40270  df-laut 40271  df-ldil 40386  df-ltrn 40387  df-trl 40441

This theorem is referenced by:  dia2dimlem5  41350