Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia2dimlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dia2dimlem4 40464
Description: Lemma for dia2dim 40474. Show that the composition (sum) of translations (vectors) 𝐺 and 𝐷 equals 𝐹. Part of proof of Lemma M in [Crawley] p. 121 line 5. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dia2dimlem4.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dia2dimlem4.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dia2dimlem4.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dia2dimlem4.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dia2dimlem4.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
dia2dimlem4.p (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
dia2dimlem4.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
dia2dimlem4.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
dia2dimlem4.gv (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) = 𝑄)
dia2dimlem4.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑇)
dia2dimlem4.dv (πœ‘ β†’ (π·β€˜π‘„) = (πΉβ€˜π‘ƒ))
Assertion
Ref Expression
dia2dimlem4 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∘ 𝐺) = 𝐹)

Proof of Theorem dia2dimlem4
StepHypRef Expression
1 dia2dimlem4.k . 2 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 dia2dimlem4.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑇)
3 dia2dimlem4.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
4 dia2dimlem4.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 dia2dimlem4.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
64, 5ltrnco 40116 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (𝐷 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
71, 2, 3, 6syl3anc 1369 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
8 dia2dimlem4.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
9 dia2dimlem4.p . 2 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
109simpld 494 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
11 dia2dimlem4.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
12 dia2dimlem4.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
1311, 12, 4, 5ltrncoval 39542 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ ((𝐷 ∘ 𝐺)β€˜π‘ƒ) = (π·β€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))
141, 2, 3, 10, 13syl121anc 1373 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐷 ∘ 𝐺)β€˜π‘ƒ) = (π·β€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))
15 dia2dimlem4.gv . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) = 𝑄)
1615fveq2d 6895 . . 3 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = (π·β€˜π‘„))
17 dia2dimlem4.dv . . 3 (πœ‘ β†’ (π·β€˜π‘„) = (πΉβ€˜π‘ƒ))
1814, 16, 173eqtrd 2771 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐷 ∘ 𝐺)β€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘ƒ))
1911, 12, 4, 5cdlemd 39604 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐷 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((𝐷 ∘ 𝐺)β€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜π‘ƒ)) β†’ (𝐷 ∘ 𝐺) = 𝐹)
201, 7, 8, 9, 18, 19syl311anc 1382 1 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∘ 𝐺) = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142   ∘ ccom 5676  β€˜cfv 6542  lecple 17225  Atomscatm 38659  HLchlt 38746  LHypclh 39381  LTrncltrn 39498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-riotaBAD 38349
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-undef 8270  df-map 8836  df-proset 18272  df-poset 18290  df-plt 18307  df-lub 18323  df-glb 18324  df-join 18325  df-meet 18326  df-p0 18402  df-p1 18403  df-lat 18409  df-clat 18476  df-oposet 38572  df-ol 38574  df-oml 38575  df-covers 38662  df-ats 38663  df-atl 38694  df-cvlat 38718  df-hlat 38747  df-llines 38895  df-lplanes 38896  df-lvols 38897  df-lines 38898  df-psubsp 38900  df-pmap 38901  df-padd 39193  df-lhyp 39385  df-laut 39386  df-ldil 39501  df-ltrn 39502  df-trl 39556
This theorem is referenced by:  dia2dimlem5  40465
  Copyright terms: Public domain W3C validator