Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia2dimlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dia2dimlem4 41069
Description: Lemma for dia2dim 41079. Show that the composition (sum) of translations (vectors) 𝐺 and 𝐷 equals 𝐹. Part of proof of Lemma M in [Crawley] p. 121 line 5. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dia2dimlem4.l = (le‘𝐾)
dia2dimlem4.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dia2dimlem4.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia2dimlem4.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem4.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dia2dimlem4.p (𝜑 → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
dia2dimlem4.f (𝜑𝐹𝑇)
dia2dimlem4.g (𝜑𝐺𝑇)
dia2dimlem4.gv (𝜑 → (𝐺𝑃) = 𝑄)
dia2dimlem4.d (𝜑𝐷𝑇)
dia2dimlem4.dv (𝜑 → (𝐷𝑄) = (𝐹𝑃))
Assertion
Ref Expression
dia2dimlem4 (𝜑 → (𝐷𝐺) = 𝐹)

Proof of Theorem dia2dimlem4
StepHypRef Expression
1 dia2dimlem4.k . 2 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 dia2dimlem4.d . . 3 (𝜑𝐷𝑇)
3 dia2dimlem4.g . . 3 (𝜑𝐺𝑇)
4 dia2dimlem4.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 dia2dimlem4.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
64, 5ltrnco 40721 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐷𝑇𝐺𝑇) → (𝐷𝐺) ∈ 𝑇)
71, 2, 3, 6syl3anc 1373 . 2 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ 𝑇)
8 dia2dimlem4.f . 2 (𝜑𝐹𝑇)
9 dia2dimlem4.p . 2 (𝜑 → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
109simpld 494 . . . 4 (𝜑𝑃𝐴)
11 dia2dimlem4.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
12 dia2dimlem4.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
1311, 12, 4, 5ltrncoval 40147 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐷𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → ((𝐷𝐺)‘𝑃) = (𝐷‘(𝐺𝑃)))
141, 2, 3, 10, 13syl121anc 1377 . . 3 (𝜑 → ((𝐷𝐺)‘𝑃) = (𝐷‘(𝐺𝑃)))
15 dia2dimlem4.gv . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑃) = 𝑄)
1615fveq2d 6910 . . 3 (𝜑 → (𝐷‘(𝐺𝑃)) = (𝐷𝑄))
17 dia2dimlem4.dv . . 3 (𝜑 → (𝐷𝑄) = (𝐹𝑃))
1814, 16, 173eqtrd 2781 . 2 (𝜑 → ((𝐷𝐺)‘𝑃) = (𝐹𝑃))
1911, 12, 4, 5cdlemd 40209 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐷𝐺) ∈ 𝑇𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝐷𝐺)‘𝑃) = (𝐹𝑃)) → (𝐷𝐺) = 𝐹)
201, 7, 8, 9, 18, 19syl311anc 1386 1 (𝜑 → (𝐷𝐺) = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  ccom 5689  cfv 6561  lecple 17304  Atomscatm 39264  HLchlt 39351  LHypclh 39986  LTrncltrn 40103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-riotaBAD 38954
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-undef 8298  df-map 8868  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-llines 39500  df-lplanes 39501  df-lvols 39502  df-lines 39503  df-psubsp 39505  df-pmap 39506  df-padd 39798  df-lhyp 39990  df-laut 39991  df-ldil 40106  df-ltrn 40107  df-trl 40161
This theorem is referenced by:  dia2dimlem5  41070
  Copyright terms: Public domain W3C validator