Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp1l 1198 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β πΎ β HL) |
2 | | simp1 1137 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
3 | | simp2l 1200 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β πΉ β π) |
4 | | simp3l 1202 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β π β π΄) |
5 | | cdlemk.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
6 | | cdlemk.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
7 | | cdlemk.h |
. . . . 5
β’ π» = (LHypβπΎ) |
8 | | cdlemk.t |
. . . . 5
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
9 | 5, 6, 7, 8 | ltrnat 38606 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π΄) β (πΉβπ) β π΄) |
10 | 2, 3, 4, 9 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (πΉβπ) β π΄) |
11 | | simp2r 1201 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β π β π) |
12 | 5, 6, 7, 8 | ltrnat 38606 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π β§ π β π΄) β (πβπ) β π΄) |
13 | 2, 11, 4, 12 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (πβπ) β π΄) |
14 | | cdlemk.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
15 | 5, 14, 6 | hlatlej1 37840 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (πΉβπ) β π΄ β§ (πβπ) β π΄) β (πΉβπ) β€ ((πΉβπ) β¨ (πβπ))) |
16 | 1, 10, 13, 15 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (πΉβπ) β€ ((πΉβπ) β¨ (πβπ))) |
17 | 1 | hllatd 37829 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β πΎ β Lat) |
18 | | cdlemk.b |
. . . . . . 7
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
19 | 18, 6 | atbase 37754 |
. . . . . 6
β’ ((πΉβπ) β π΄ β (πΉβπ) β π΅) |
20 | 10, 19 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (πΉβπ) β π΅) |
21 | 18, 6 | atbase 37754 |
. . . . . 6
β’ ((πβπ) β π΄ β (πβπ) β π΅) |
22 | 13, 21 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (πβπ) β π΅) |
23 | 18, 14 | latjcl 18329 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (πΉβπ) β π΅ β§ (πβπ) β π΅) β ((πΉβπ) β¨ (πβπ)) β π΅) |
24 | 17, 20, 22, 23 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πΉβπ) β¨ (πβπ)) β π΅) |
25 | | simp1r 1199 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β π β π») |
26 | 18, 7 | lhpbase 38464 |
. . . . 5
β’ (π β π» β π β π΅) |
27 | 25, 26 | syl 17 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β π β π΅) |
28 | 5, 14, 6 | hlatlej2 37841 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (πΉβπ) β π΄ β§ (πβπ) β π΄) β (πβπ) β€ ((πΉβπ) β¨ (πβπ))) |
29 | 1, 10, 13, 28 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (πβπ) β€ ((πΉβπ) β¨ (πβπ))) |
30 | | cdlemk.m |
. . . . 5
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
31 | 18, 5, 14, 30, 6 | atmod3i1 38330 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ ((πβπ) β π΄ β§ ((πΉβπ) β¨ (πβπ)) β π΅ β§ π β π΅) β§ (πβπ) β€ ((πΉβπ) β¨ (πβπ))) β ((πβπ) β¨ (((πΉβπ) β¨ (πβπ)) β§ π)) = (((πΉβπ) β¨ (πβπ)) β§ ((πβπ) β¨ π))) |
32 | 1, 13, 24, 27, 29, 31 | syl131anc 1384 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πβπ) β¨ (((πΉβπ) β¨ (πβπ)) β§ π)) = (((πΉβπ) β¨ (πβπ)) β§ ((πβπ) β¨ π))) |
33 | 7, 8 | ltrncnv 38612 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β β‘πΉ β π) |
34 | 2, 3, 33 | syl2anc 585 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β β‘πΉ β π) |
35 | 7, 8 | ltrnco 39185 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π β§ β‘πΉ β π) β (π β β‘πΉ) β π) |
36 | 2, 11, 34, 35 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β β‘πΉ) β π) |
37 | 5, 6, 7, 8 | ltrnel 38605 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πΉβπ) β π΄ β§ Β¬ (πΉβπ) β€ π)) |
38 | 3, 37 | syld3an2 1412 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πΉβπ) β π΄ β§ Β¬ (πΉβπ) β€ π)) |
39 | | cdlemk.r |
. . . . . . 7
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
40 | 5, 14, 30, 6, 7, 8,
39 | trlval2 38629 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β β‘πΉ) β π β§ ((πΉβπ) β π΄ β§ Β¬ (πΉβπ) β€ π)) β (π
β(π β β‘πΉ)) = (((πΉβπ) β¨ ((π β β‘πΉ)β(πΉβπ))) β§ π)) |
41 | 2, 36, 38, 40 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π
β(π β β‘πΉ)) = (((πΉβπ) β¨ ((π β β‘πΉ)β(πΉβπ))) β§ π)) |
42 | 18, 7, 8 | ltrn1o 38590 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β πΉ:π΅β1-1-ontoβπ΅) |
43 | 2, 3, 42 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β πΉ:π΅β1-1-ontoβπ΅) |
44 | | f1ococnv1 6814 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (πΉ:π΅β1-1-ontoβπ΅ β (β‘πΉ β πΉ) = ( I βΎ π΅)) |
45 | 43, 44 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (β‘πΉ β πΉ) = ( I βΎ π΅)) |
46 | 45 | coeq2d 5819 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β (β‘πΉ β πΉ)) = (π β ( I βΎ π΅))) |
47 | 18, 7, 8 | ltrn1o 38590 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π) β π:π΅β1-1-ontoβπ΅) |
48 | 2, 11, 47 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β π:π΅β1-1-ontoβπ΅) |
49 | | f1of 6785 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π:π΅β1-1-ontoβπ΅ β π:π΅βΆπ΅) |
50 | | fcoi1 6717 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π:π΅βΆπ΅ β (π β ( I βΎ π΅)) = π) |
51 | 48, 49, 50 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β ( I βΎ π΅)) = π) |
52 | 46, 51 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β π = (π β (β‘πΉ β πΉ))) |
53 | | coass 6218 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β β‘πΉ) β πΉ) = (π β (β‘πΉ β πΉ)) |
54 | 52, 53 | eqtr4di 2795 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β π = ((π β β‘πΉ) β πΉ)) |
55 | 54 | fveq1d 6845 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (πβπ) = (((π β β‘πΉ) β πΉ)βπ)) |
56 | 5, 6, 7, 8 | ltrncoval 38611 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β β‘πΉ) β π β§ πΉ β π) β§ π β π΄) β (((π β β‘πΉ) β πΉ)βπ) = ((π β β‘πΉ)β(πΉβπ))) |
57 | 2, 36, 3, 4, 56 | syl121anc 1376 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (((π β β‘πΉ) β πΉ)βπ) = ((π β β‘πΉ)β(πΉβπ))) |
58 | 55, 57 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (πβπ) = ((π β β‘πΉ)β(πΉβπ))) |
59 | 58 | oveq2d 7374 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πΉβπ) β¨ (πβπ)) = ((πΉβπ) β¨ ((π β β‘πΉ)β(πΉβπ)))) |
60 | 59 | eqcomd 2743 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πΉβπ) β¨ ((π β β‘πΉ)β(πΉβπ))) = ((πΉβπ) β¨ (πβπ))) |
61 | 60 | oveq1d 7373 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (((πΉβπ) β¨ ((π β β‘πΉ)β(πΉβπ))) β§ π) = (((πΉβπ) β¨ (πβπ)) β§ π)) |
62 | 41, 61 | eqtrd 2777 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π
β(π β β‘πΉ)) = (((πΉβπ) β¨ (πβπ)) β§ π)) |
63 | 62 | oveq2d 7374 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ))) = ((πβπ) β¨ (((πΉβπ) β¨ (πβπ)) β§ π))) |
64 | 5, 6, 7, 8 | ltrnel 38605 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πβπ) β π΄ β§ Β¬ (πβπ) β€ π)) |
65 | 11, 64 | syld3an2 1412 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πβπ) β π΄ β§ Β¬ (πβπ) β€ π)) |
66 | | eqid 2737 |
. . . . . . 7
β’
(1.βπΎ) =
(1.βπΎ) |
67 | 5, 14, 66, 6, 7 | lhpjat2 38487 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((πβπ) β π΄ β§ Β¬ (πβπ) β€ π)) β ((πβπ) β¨ π) = (1.βπΎ)) |
68 | 2, 65, 67 | syl2anc 585 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πβπ) β¨ π) = (1.βπΎ)) |
69 | 68 | oveq2d 7374 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (((πΉβπ) β¨ (πβπ)) β§ ((πβπ) β¨ π)) = (((πΉβπ) β¨ (πβπ)) β§ (1.βπΎ))) |
70 | | hlol 37826 |
. . . . . 6
β’ (πΎ β HL β πΎ β OL) |
71 | 1, 70 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β πΎ β OL) |
72 | 18, 30, 66 | olm11 37692 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β OL β§ ((πΉβπ) β¨ (πβπ)) β π΅) β (((πΉβπ) β¨ (πβπ)) β§ (1.βπΎ)) = ((πΉβπ) β¨ (πβπ))) |
73 | 71, 24, 72 | syl2anc 585 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (((πΉβπ) β¨ (πβπ)) β§ (1.βπΎ)) = ((πΉβπ) β¨ (πβπ))) |
74 | 69, 73 | eqtr2d 2778 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πΉβπ) β¨ (πβπ)) = (((πΉβπ) β¨ (πβπ)) β§ ((πβπ) β¨ π))) |
75 | 32, 63, 74 | 3eqtr4rd 2788 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πΉβπ) β¨ (πβπ)) = ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))) |
76 | 16, 75 | breqtrd 5132 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (πΉβπ) β€ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))) |