Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemk4 37522
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118, last line. We use 𝑋 for their h, since 𝐻 is already used. (Contributed by NM, 24-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk.l = (le‘𝐾)
cdlemk.j = (join‘𝐾)
cdlemk.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdlemk4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝑃) ((𝑋𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐹))))

Proof of Theorem cdlemk4
StepHypRef Expression
1 simp1l 1190 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp1 1129 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3 simp2l 1192 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹𝑇)
4 simp3l 1194 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑃𝐴)
5 cdlemk.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
6 cdlemk.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 cdlemk.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8 cdlemk.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
95, 6, 7, 8ltrnat 36828 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐴) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
102, 3, 4, 9syl3anc 1364 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
11 simp2r 1193 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑋𝑇)
125, 6, 7, 8ltrnat 36828 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑇𝑃𝐴) → (𝑋𝑃) ∈ 𝐴)
132, 11, 4, 12syl3anc 1364 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑋𝑃) ∈ 𝐴)
14 cdlemk.j . . . 4 = (join‘𝐾)
155, 14, 6hlatlej1 36063 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝑃) ∈ 𝐴) → (𝐹𝑃) ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)))
161, 10, 13, 15syl3anc 1364 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝑃) ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)))
171hllatd 36052 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
18 cdlemk.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
1918, 6atbase 35977 . . . . . 6 ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 → (𝐹𝑃) ∈ 𝐵)
2010, 19syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐵)
2118, 6atbase 35977 . . . . . 6 ((𝑋𝑃) ∈ 𝐴 → (𝑋𝑃) ∈ 𝐵)
2213, 21syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑋𝑃) ∈ 𝐵)
2318, 14latjcl 17494 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋𝑃) ∈ 𝐵) → ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) ∈ 𝐵)
2417, 20, 22, 23syl3anc 1364 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) ∈ 𝐵)
25 simp1r 1191 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊𝐻)
2618, 7lhpbase 36686 . . . . 5 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
2725, 26syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊𝐵)
285, 14, 6hlatlej2 36064 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝑃) ∈ 𝐴) → (𝑋𝑃) ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)))
291, 10, 13, 28syl3anc 1364 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑋𝑃) ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)))
30 cdlemk.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
3118, 5, 14, 30, 6atmod3i1 36552 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑋𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) ∈ 𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝑋𝑃) ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃))) → ((𝑋𝑃) (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) 𝑊)) = (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑋𝑃) 𝑊)))
321, 13, 24, 27, 29, 31syl131anc 1376 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑋𝑃) (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) 𝑊)) = (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑋𝑃) 𝑊)))
337, 8ltrncnv 36834 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
342, 3, 33syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹𝑇)
357, 8ltrnco 37407 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑇𝐹𝑇) → (𝑋𝐹) ∈ 𝑇)
362, 11, 34, 35syl3anc 1364 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑋𝐹) ∈ 𝑇)
375, 6, 7, 8ltrnel 36827 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
383, 37syld3an2 1404 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
39 cdlemk.r . . . . . . 7 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
405, 14, 30, 6, 7, 8, 39trlval2 36851 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐹) ∈ 𝑇 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊)) → (𝑅‘(𝑋𝐹)) = (((𝐹𝑃) ((𝑋𝐹)‘(𝐹𝑃))) 𝑊))
412, 36, 38, 40syl3anc 1364 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝑋𝐹)) = (((𝐹𝑃) ((𝑋𝐹)‘(𝐹𝑃))) 𝑊))
4218, 7, 8ltrn1o 36812 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
432, 3, 42syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
44 f1ococnv1 6518 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
4645coeq2d 5626 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑋 ∘ (𝐹𝐹)) = (𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵)))
4718, 7, 8ltrn1o 36812 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑇) → 𝑋:𝐵1-1-onto𝐵)
482, 11, 47syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑋:𝐵1-1-onto𝐵)
49 f1of 6490 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋:𝐵1-1-onto𝐵𝑋:𝐵𝐵)
50 fcoi1 6427 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋:𝐵𝐵 → (𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝑋)
5148, 49, 503syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝑋)
5246, 51eqtr2d 2834 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑋 = (𝑋 ∘ (𝐹𝐹)))
53 coass 6000 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐹) ∘ 𝐹) = (𝑋 ∘ (𝐹𝐹))
5452, 53syl6eqr 2851 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑋 = ((𝑋𝐹) ∘ 𝐹))
5554fveq1d 6547 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑋𝑃) = (((𝑋𝐹) ∘ 𝐹)‘𝑃))
565, 6, 7, 8ltrncoval 36833 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋𝐹) ∈ 𝑇𝐹𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (((𝑋𝐹) ∘ 𝐹)‘𝑃) = ((𝑋𝐹)‘(𝐹𝑃)))
572, 36, 3, 4, 56syl121anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝑋𝐹) ∘ 𝐹)‘𝑃) = ((𝑋𝐹)‘(𝐹𝑃)))
5855, 57eqtrd 2833 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑋𝑃) = ((𝑋𝐹)‘(𝐹𝑃)))
5958oveq2d 7039 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) = ((𝐹𝑃) ((𝑋𝐹)‘(𝐹𝑃))))
6059eqcomd 2803 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ((𝑋𝐹)‘(𝐹𝑃))) = ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)))
6160oveq1d 7038 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐹𝑃) ((𝑋𝐹)‘(𝐹𝑃))) 𝑊) = (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) 𝑊))
6241, 61eqtrd 2833 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝑋𝐹)) = (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) 𝑊))
6362oveq2d 7039 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑋𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐹))) = ((𝑋𝑃) (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) 𝑊)))
645, 6, 7, 8ltrnel 36827 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑋𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑋𝑃) 𝑊))
6511, 64syld3an2 1404 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑋𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑋𝑃) 𝑊))
66 eqid 2797 . . . . . . 7 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
675, 14, 66, 6, 7lhpjat2 36709 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑋𝑃) 𝑊)) → ((𝑋𝑃) 𝑊) = (1.‘𝐾))
682, 65, 67syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑋𝑃) 𝑊) = (1.‘𝐾))
6968oveq2d 7039 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑋𝑃) 𝑊)) = (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) (1.‘𝐾)))
70 hlol 36049 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
711, 70syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ OL)
7218, 30, 66olm11 35915 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) ∈ 𝐵) → (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) (1.‘𝐾)) = ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)))
7371, 24, 72syl2anc 584 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) (1.‘𝐾)) = ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)))
7469, 73eqtr2d 2834 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) = (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑋𝑃) 𝑊)))
7532, 63, 743eqtr4rd 2844 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) = ((𝑋𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐹))))
7616, 75breqtrd 4994 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝑃) ((𝑋𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1080   = wceq 1525  wcel 2083   class class class wbr 4968   I cid 5354  ccnv 5449  cres 5452  ccom 5454  wf 6228  1-1-ontowf1o 6231  cfv 6232  (class class class)co 7023  Basecbs 16316  lecple 16405  joincjn 17387  meetcmee 17388  1.cp1 17481  Latclat 17488  OLcol 35862  Atomscatm 35951  HLchlt 36038  LHypclh 36672  LTrncltrn 36789  trLctrl 36846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-riotaBAD 35641
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-iin 4834  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-id 5355  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-undef 7797  df-map 8265  df-proset 17371  df-poset 17389  df-plt 17401  df-lub 17417  df-glb 17418  df-join 17419  df-meet 17420  df-p0 17482  df-p1 17483  df-lat 17489  df-clat 17551  df-oposet 35864  df-ol 35866  df-oml 35867  df-covers 35954  df-ats 35955  df-atl 35986  df-cvlat 36010  df-hlat 36039  df-llines 36186  df-lplanes 36187  df-lvols 36188  df-lines 36189  df-psubsp 36191  df-pmap 36192  df-padd 36484  df-lhyp 36676  df-laut 36677  df-ldil 36792  df-ltrn 36793  df-trl 36847
This theorem is referenced by:  cdlemk5a  37523
  Copyright terms: Public domain W3C validator