Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemk4 36793
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118, last line. We use 𝑋 for their h, since 𝐻 is already used. (Contributed by NM, 24-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk.l = (le‘𝐾)
cdlemk.j = (join‘𝐾)
cdlemk.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdlemk4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝑃) ((𝑋𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐹))))

Proof of Theorem cdlemk4
StepHypRef Expression
1 simp1l 1254 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp1 1166 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3 simp2l 1256 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹𝑇)
4 simp3l 1258 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑃𝐴)
5 cdlemk.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
6 cdlemk.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 cdlemk.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8 cdlemk.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
95, 6, 7, 8ltrnat 36099 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐴) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
102, 3, 4, 9syl3anc 1490 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
11 simp2r 1257 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑋𝑇)
125, 6, 7, 8ltrnat 36099 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑇𝑃𝐴) → (𝑋𝑃) ∈ 𝐴)
132, 11, 4, 12syl3anc 1490 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑋𝑃) ∈ 𝐴)
14 cdlemk.j . . . 4 = (join‘𝐾)
155, 14, 6hlatlej1 35334 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝑃) ∈ 𝐴) → (𝐹𝑃) ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)))
161, 10, 13, 15syl3anc 1490 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝑃) ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)))
171hllatd 35323 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
18 cdlemk.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
1918, 6atbase 35248 . . . . . 6 ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 → (𝐹𝑃) ∈ 𝐵)
2010, 19syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐵)
2118, 6atbase 35248 . . . . . 6 ((𝑋𝑃) ∈ 𝐴 → (𝑋𝑃) ∈ 𝐵)
2213, 21syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑋𝑃) ∈ 𝐵)
2318, 14latjcl 17320 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋𝑃) ∈ 𝐵) → ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) ∈ 𝐵)
2417, 20, 22, 23syl3anc 1490 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) ∈ 𝐵)
25 simp1r 1255 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊𝐻)
2618, 7lhpbase 35957 . . . . 5 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
2725, 26syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊𝐵)
285, 14, 6hlatlej2 35335 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝑃) ∈ 𝐴) → (𝑋𝑃) ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)))
291, 10, 13, 28syl3anc 1490 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑋𝑃) ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)))
30 cdlemk.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
3118, 5, 14, 30, 6atmod3i1 35823 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑋𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) ∈ 𝐵𝑊𝐵) ∧ (𝑋𝑃) ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃))) → ((𝑋𝑃) (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) 𝑊)) = (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑋𝑃) 𝑊)))
321, 13, 24, 27, 29, 31syl131anc 1502 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑋𝑃) (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) 𝑊)) = (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑋𝑃) 𝑊)))
337, 8ltrncnv 36105 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
342, 3, 33syl2anc 579 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹𝑇)
357, 8ltrnco 36678 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑇𝐹𝑇) → (𝑋𝐹) ∈ 𝑇)
362, 11, 34, 35syl3anc 1490 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑋𝐹) ∈ 𝑇)
375, 6, 7, 8ltrnel 36098 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
383, 37syld3an2 1531 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
39 cdlemk.r . . . . . . 7 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
405, 14, 30, 6, 7, 8, 39trlval2 36122 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐹) ∈ 𝑇 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊)) → (𝑅‘(𝑋𝐹)) = (((𝐹𝑃) ((𝑋𝐹)‘(𝐹𝑃))) 𝑊))
412, 36, 38, 40syl3anc 1490 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝑋𝐹)) = (((𝐹𝑃) ((𝑋𝐹)‘(𝐹𝑃))) 𝑊))
4218, 7, 8ltrn1o 36083 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
432, 3, 42syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
44 f1ococnv1 6350 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
4645coeq2d 5455 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑋 ∘ (𝐹𝐹)) = (𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵)))
4718, 7, 8ltrn1o 36083 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑇) → 𝑋:𝐵1-1-onto𝐵)
482, 11, 47syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑋:𝐵1-1-onto𝐵)
49 f1of 6322 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋:𝐵1-1-onto𝐵𝑋:𝐵𝐵)
50 fcoi1 6262 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋:𝐵𝐵 → (𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝑋)
5148, 49, 503syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑋 ∘ ( I ↾ 𝐵)) = 𝑋)
5246, 51eqtr2d 2800 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑋 = (𝑋 ∘ (𝐹𝐹)))
53 coass 5842 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐹) ∘ 𝐹) = (𝑋 ∘ (𝐹𝐹))
5452, 53syl6eqr 2817 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑋 = ((𝑋𝐹) ∘ 𝐹))
5554fveq1d 6379 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑋𝑃) = (((𝑋𝐹) ∘ 𝐹)‘𝑃))
565, 6, 7, 8ltrncoval 36104 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋𝐹) ∈ 𝑇𝐹𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (((𝑋𝐹) ∘ 𝐹)‘𝑃) = ((𝑋𝐹)‘(𝐹𝑃)))
572, 36, 3, 4, 56syl121anc 1494 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝑋𝐹) ∘ 𝐹)‘𝑃) = ((𝑋𝐹)‘(𝐹𝑃)))
5855, 57eqtrd 2799 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑋𝑃) = ((𝑋𝐹)‘(𝐹𝑃)))
5958oveq2d 6860 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) = ((𝐹𝑃) ((𝑋𝐹)‘(𝐹𝑃))))
6059eqcomd 2771 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ((𝑋𝐹)‘(𝐹𝑃))) = ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)))
6160oveq1d 6859 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐹𝑃) ((𝑋𝐹)‘(𝐹𝑃))) 𝑊) = (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) 𝑊))
6241, 61eqtrd 2799 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝑋𝐹)) = (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) 𝑊))
6362oveq2d 6860 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑋𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐹))) = ((𝑋𝑃) (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) 𝑊)))
645, 6, 7, 8ltrnel 36098 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑋𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑋𝑃) 𝑊))
6511, 64syld3an2 1531 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑋𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑋𝑃) 𝑊))
66 eqid 2765 . . . . . . 7 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
675, 14, 66, 6, 7lhpjat2 35980 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑋𝑃) 𝑊)) → ((𝑋𝑃) 𝑊) = (1.‘𝐾))
682, 65, 67syl2anc 579 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑋𝑃) 𝑊) = (1.‘𝐾))
6968oveq2d 6860 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑋𝑃) 𝑊)) = (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) (1.‘𝐾)))
70 hlol 35320 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
711, 70syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ OL)
7218, 30, 66olm11 35186 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) ∈ 𝐵) → (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) (1.‘𝐾)) = ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)))
7371, 24, 72syl2anc 579 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) (1.‘𝐾)) = ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)))
7469, 73eqtr2d 2800 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) = (((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑋𝑃) 𝑊)))
7532, 63, 743eqtr4rd 2810 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) (𝑋𝑃)) = ((𝑋𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐹))))
7616, 75breqtrd 4837 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝑃) ((𝑋𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155   class class class wbr 4811   I cid 5186  ccnv 5278  cres 5281  ccom 5283  wf 6066  1-1-ontowf1o 6069  cfv 6070  (class class class)co 6844  Basecbs 16133  lecple 16224  joincjn 17213  meetcmee 17214  1.cp1 17307  Latclat 17314  OLcol 35133  Atomscatm 35222  HLchlt 35309  LHypclh 35943  LTrncltrn 36060  trLctrl 36117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-riotaBAD 34912
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-id 5187  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-undef 7604  df-map 8064  df-proset 17197  df-poset 17215  df-plt 17227  df-lub 17243  df-glb 17244  df-join 17245  df-meet 17246  df-p0 17308  df-p1 17309  df-lat 17315  df-clat 17377  df-oposet 35135  df-ol 35137  df-oml 35138  df-covers 35225  df-ats 35226  df-atl 35257  df-cvlat 35281  df-hlat 35310  df-llines 35457  df-lplanes 35458  df-lvols 35459  df-lines 35460  df-psubsp 35462  df-pmap 35463  df-padd 35755  df-lhyp 35947  df-laut 35948  df-ldil 36063  df-ltrn 36064  df-trl 36118
This theorem is referenced by:  cdlemk5a  36794
  Copyright terms: Public domain W3C validator