Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemk4 39300
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118, last line. We use 𝑋 for their h, since 𝐻 is already used. (Contributed by NM, 24-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemk.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemk.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemk.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemk.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemk.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cdlemk4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ ((π‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹))))

Proof of Theorem cdlemk4
StepHypRef Expression
1 simp1l 1198 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp1 1137 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3 simp2l 1200 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
4 simp3l 1202 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
5 cdlemk.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
6 cdlemk.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
7 cdlemk.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
8 cdlemk.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
95, 6, 7, 8ltrnat 38606 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
102, 3, 4, 9syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
11 simp2r 1201 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑇)
125, 6, 7, 8ltrnat 38606 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (π‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
132, 11, 4, 12syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
14 cdlemk.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
155, 14, 6hlatlej1 37840 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ (π‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)))
161, 10, 13, 15syl3anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)))
171hllatd 37829 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
18 cdlemk.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
1918, 6atbase 37754 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
2010, 19syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
2118, 6atbase 37754 . . . . . 6 ((π‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 β†’ (π‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
2213, 21syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
2318, 14latjcl 18329 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡 ∧ (π‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐡)
2417, 20, 22, 23syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐡)
25 simp1r 1199 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
2618, 7lhpbase 38464 . . . . 5 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
2725, 26syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
285, 14, 6hlatlej2 37841 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ (π‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) β†’ (π‘‹β€˜π‘ƒ) ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)))
291, 10, 13, 28syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘‹β€˜π‘ƒ) ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)))
30 cdlemk.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
3118, 5, 14, 30, 6atmod3i1 38330 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((π‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) ∧ (π‘‹β€˜π‘ƒ) ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ))) β†’ ((π‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š)) = (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∧ ((π‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ π‘Š)))
321, 13, 24, 27, 29, 31syl131anc 1384 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š)) = (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∧ ((π‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ π‘Š)))
337, 8ltrncnv 38612 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
342, 3, 33syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
357, 8ltrnco 39185 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ∧ ◑𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (𝑋 ∘ ◑𝐹) ∈ 𝑇)
362, 11, 34, 35syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ∘ ◑𝐹) ∈ 𝑇)
375, 6, 7, 8ltrnel 38605 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
383, 37syld3an2 1412 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
39 cdlemk.r . . . . . . 7 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
405, 14, 30, 6, 7, 8, 39trlval2 38629 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∘ ◑𝐹) ∈ 𝑇 ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹)) = (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑋 ∘ ◑𝐹)β€˜(πΉβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š))
412, 36, 38, 40syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹)) = (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑋 ∘ ◑𝐹)β€˜(πΉβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š))
4218, 7, 8ltrn1o 38590 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
432, 3, 42syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
44 f1ococnv1 6814 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ (◑𝐹 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐡))
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (◑𝐹 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ 𝐡))
4645coeq2d 5819 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ∘ (◑𝐹 ∘ 𝐹)) = (𝑋 ∘ ( I β†Ύ 𝐡)))
4718, 7, 8ltrn1o 38590 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) β†’ 𝑋:𝐡–1-1-onto→𝐡)
482, 11, 47syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋:𝐡–1-1-onto→𝐡)
49 f1of 6785 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋:𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ 𝑋:𝐡⟢𝐡)
50 fcoi1 6717 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋:𝐡⟢𝐡 β†’ (𝑋 ∘ ( I β†Ύ 𝐡)) = 𝑋)
5148, 49, 503syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑋 ∘ ( I β†Ύ 𝐡)) = 𝑋)
5246, 51eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋 = (𝑋 ∘ (◑𝐹 ∘ 𝐹)))
53 coass 6218 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∘ ◑𝐹) ∘ 𝐹) = (𝑋 ∘ (◑𝐹 ∘ 𝐹))
5452, 53eqtr4di 2795 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑋 = ((𝑋 ∘ ◑𝐹) ∘ 𝐹))
5554fveq1d 6845 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘‹β€˜π‘ƒ) = (((𝑋 ∘ ◑𝐹) ∘ 𝐹)β€˜π‘ƒ))
565, 6, 7, 8ltrncoval 38611 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑋 ∘ ◑𝐹) ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (((𝑋 ∘ ◑𝐹) ∘ 𝐹)β€˜π‘ƒ) = ((𝑋 ∘ ◑𝐹)β€˜(πΉβ€˜π‘ƒ)))
572, 36, 3, 4, 56syl121anc 1376 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((𝑋 ∘ ◑𝐹) ∘ 𝐹)β€˜π‘ƒ) = ((𝑋 ∘ ◑𝐹)β€˜(πΉβ€˜π‘ƒ)))
5855, 57eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘‹β€˜π‘ƒ) = ((𝑋 ∘ ◑𝐹)β€˜(πΉβ€˜π‘ƒ)))
5958oveq2d 7374 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑋 ∘ ◑𝐹)β€˜(πΉβ€˜π‘ƒ))))
6059eqcomd 2743 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑋 ∘ ◑𝐹)β€˜(πΉβ€˜π‘ƒ))) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)))
6160oveq1d 7373 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝑋 ∘ ◑𝐹)β€˜(πΉβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) = (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
6241, 61eqtrd 2777 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹)) = (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
6362oveq2d 7374 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹))) = ((π‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š)))
645, 6, 7, 8ltrnel 38605 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (π‘‹β€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
6511, 64syld3an2 1412 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (π‘‹β€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
66 eqid 2737 . . . . . . 7 (1.β€˜πΎ) = (1.β€˜πΎ)
675, 14, 66, 6, 7lhpjat2 38487 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((π‘‹β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (π‘‹β€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ π‘Š) = (1.β€˜πΎ))
682, 65, 67syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((π‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ π‘Š) = (1.β€˜πΎ))
6968oveq2d 7374 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∧ ((π‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ π‘Š)) = (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∧ (1.β€˜πΎ)))
70 hlol 37826 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
711, 70syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ OL)
7218, 30, 66olm11 37692 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐡) β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∧ (1.β€˜πΎ)) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)))
7371, 24, 72syl2anc 585 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∧ (1.β€˜πΎ)) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)))
7469, 73eqtr2d 2778 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) = (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) ∧ ((π‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ π‘Š)))
7532, 63, 743eqtr4rd 2788 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘‹β€˜π‘ƒ)) = ((π‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹))))
7616, 75breqtrd 5132 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ ((π‘‹β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑋 ∘ ◑𝐹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5106   I cid 5531  β—‘ccnv 5633   β†Ύ cres 5636   ∘ ccom 5638  βŸΆwf 6493  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  lecple 17141  joincjn 18201  meetcmee 18202  1.cp1 18314  Latclat 18321  OLcol 37639  Atomscatm 37728  HLchlt 37815  LHypclh 38450  LTrncltrn 38567  trLctrl 38624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-riotaBAD 37418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-undef 8205  df-map 8768  df-proset 18185  df-poset 18203  df-plt 18220  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-p0 18315  df-p1 18316  df-lat 18322  df-clat 18389  df-oposet 37641  df-ol 37643  df-oml 37644  df-covers 37731  df-ats 37732  df-atl 37763  df-cvlat 37787  df-hlat 37816  df-llines 37964  df-lplanes 37965  df-lvols 37966  df-lines 37967  df-psubsp 37969  df-pmap 37970  df-padd 38262  df-lhyp 38454  df-laut 38455  df-ldil 38570  df-ltrn 38571  df-trl 38625
This theorem is referenced by:  cdlemk5a  39301
  Copyright terms: Public domain W3C validator