Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlcoabs2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlcoabs2N 36881
Description: Absorption of the trace of a composition. (Contributed by NM, 29-Jul-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
trlcoabs.l = (le‘𝐾)
trlcoabs.j = (join‘𝐾)
trlcoabs.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trlcoabs.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlcoabs.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlcoabs.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlcoabs2N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = ((𝐹𝑃) (𝐺𝑃)))

Proof of Theorem trlcoabs2N
StepHypRef Expression
1 simp1 1127 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp2r 1214 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐺𝑇)
3 simp2l 1213 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹𝑇)
4 trlcoabs.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 trlcoabs.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
64, 5ltrncnv 36305 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
71, 3, 6syl2anc 579 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹𝑇)
84, 5ltrnco 36878 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐹𝑇) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
91, 2, 7, 8syl3anc 1439 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
10 trlcoabs.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
11 trlcoabs.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
1210, 11, 4, 5ltrnel 36298 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
13123adant2r 1184 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
14 trlcoabs.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
15 eqid 2778 . . . . 5 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
16 trlcoabs.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
1710, 14, 15, 11, 4, 5, 16trlval2 36322 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝐹) ∈ 𝑇 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊)) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) = (((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))(meet‘𝐾)𝑊))
181, 9, 13, 17syl3anc 1439 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) = (((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))(meet‘𝐾)𝑊))
1918oveq2d 6940 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = ((𝐹𝑃) (((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))(meet‘𝐾)𝑊)))
20 simp1l 1211 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
21 simp3l 1215 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑃𝐴)
2210, 11, 4, 5ltrnat 36299 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐴) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
231, 3, 21, 22syl3anc 1439 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
2410, 11, 4, 5ltrnat 36299 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴) → ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)) ∈ 𝐴)
251, 9, 23, 24syl3anc 1439 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)) ∈ 𝐴)
26 eqid 2778 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2726, 14, 11hlatjcl 35526 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)) ∈ 𝐴) → ((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
2820, 23, 25, 27syl3anc 1439 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
29 simp1r 1212 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊𝐻)
3026, 4lhpbase 36157 . . . 4 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
3129, 30syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
3210, 14, 11hlatlej1 35534 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)) ∈ 𝐴) → (𝐹𝑃) ((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃))))
3320, 23, 25, 32syl3anc 1439 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝑃) ((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃))))
3426, 10, 14, 15, 11atmod3i1 36023 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐹𝑃) ((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))) → ((𝐹𝑃) (((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))(meet‘𝐾)𝑊)) = (((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))(meet‘𝐾)((𝐹𝑃) 𝑊)))
3520, 23, 28, 31, 33, 34syl131anc 1451 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) (((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))(meet‘𝐾)𝑊)) = (((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))(meet‘𝐾)((𝐹𝑃) 𝑊)))
3610, 11, 4, 5ltrncoval 36304 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐺𝐹) ∈ 𝑇𝐹𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (((𝐺𝐹) ∘ 𝐹)‘𝑃) = ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))
371, 9, 3, 21, 36syl121anc 1443 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐺𝐹) ∘ 𝐹)‘𝑃) = ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))
38 coass 5910 . . . . . . . 8 ((𝐺𝐹) ∘ 𝐹) = (𝐺 ∘ (𝐹𝐹))
3926, 4, 5ltrn1o 36283 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
401, 3, 39syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
41 f1ococnv1 6421 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → (𝐹𝐹) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝐹) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
4342coeq2d 5532 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺 ∘ (𝐹𝐹)) = (𝐺 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
4426, 4, 5ltrn1o 36283 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
451, 2, 44syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
46 f1of 6393 . . . . . . . . . 10 (𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → 𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
47 fcoi1 6330 . . . . . . . . . 10 (𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) → (𝐺 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = 𝐺)
4845, 46, 473syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = 𝐺)
4943, 48eqtrd 2814 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺 ∘ (𝐹𝐹)) = 𝐺)
5038, 49syl5eq 2826 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝐹) ∘ 𝐹) = 𝐺)
5150fveq1d 6450 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐺𝐹) ∘ 𝐹)‘𝑃) = (𝐺𝑃))
5237, 51eqtr3d 2816 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)) = (𝐺𝑃))
5352oveq2d 6940 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃))) = ((𝐹𝑃) (𝐺𝑃)))
54 eqid 2778 . . . . . 6 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
5510, 14, 54, 11, 4lhpjat2 36180 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊)) → ((𝐹𝑃) 𝑊) = (1.‘𝐾))
561, 13, 55syl2anc 579 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) 𝑊) = (1.‘𝐾))
5753, 56oveq12d 6942 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))(meet‘𝐾)((𝐹𝑃) 𝑊)) = (((𝐹𝑃) (𝐺𝑃))(meet‘𝐾)(1.‘𝐾)))
58 hlol 35520 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
5920, 58syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ OL)
6010, 11, 4, 5ltrnat 36299 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝑃𝐴) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
611, 2, 21, 60syl3anc 1439 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
6226, 14, 11hlatjcl 35526 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝐴) → ((𝐹𝑃) (𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
6320, 23, 61, 62syl3anc 1439 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) (𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
6426, 15, 54olm11 35386 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝐹𝑃) (𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝐹𝑃) (𝐺𝑃))(meet‘𝐾)(1.‘𝐾)) = ((𝐹𝑃) (𝐺𝑃)))
6559, 63, 64syl2anc 579 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐹𝑃) (𝐺𝑃))(meet‘𝐾)(1.‘𝐾)) = ((𝐹𝑃) (𝐺𝑃)))
6657, 65eqtrd 2814 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))(meet‘𝐾)((𝐹𝑃) 𝑊)) = ((𝐹𝑃) (𝐺𝑃)))
6719, 35, 663eqtrd 2818 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = ((𝐹𝑃) (𝐺𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107   class class class wbr 4888   I cid 5262  ccnv 5356  cres 5359  ccom 5361  wf 6133  1-1-ontowf1o 6136  cfv 6137  (class class class)co 6924  Basecbs 16259  lecple 16349  joincjn 17334  meetcmee 17335  1.cp1 17428  OLcol 35333  Atomscatm 35422  HLchlt 35509  LHypclh 36143  LTrncltrn 36260  trLctrl 36317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-riotaBAD 35112
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-undef 7683  df-map 8144  df-proset 17318  df-poset 17336  df-plt 17348  df-lub 17364  df-glb 17365  df-join 17366  df-meet 17367  df-p0 17429  df-p1 17430  df-lat 17436  df-clat 17498  df-oposet 35335  df-ol 35337  df-oml 35338  df-covers 35425  df-ats 35426  df-atl 35457  df-cvlat 35481  df-hlat 35510  df-llines 35657  df-lplanes 35658  df-lvols 35659  df-lines 35660  df-psubsp 35662  df-pmap 35663  df-padd 35955  df-lhyp 36147  df-laut 36148  df-ldil 36263  df-ltrn 36264  df-trl 36318
This theorem is referenced by:  cdlemkfid1N  37080
  Copyright terms: Public domain W3C validator