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Theorem trlcoabs2N 39214
Description: Absorption of the trace of a composition. (Contributed by NM, 29-Jul-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
trlcoabs.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
trlcoabs.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
trlcoabs.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
trlcoabs.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
trlcoabs.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
trlcoabs.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
trlcoabs2N (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))

Proof of Theorem trlcoabs2N
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simp2r 1201 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
3 simp2l 1200 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
4 trlcoabs.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 trlcoabs.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
64, 5ltrncnv 38638 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
71, 3, 6syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ◑𝐹 ∈ 𝑇)
84, 5ltrnco 39211 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ◑𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (𝐺 ∘ ◑𝐹) ∈ 𝑇)
91, 2, 7, 8syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝐺 ∘ ◑𝐹) ∈ 𝑇)
10 trlcoabs.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
11 trlcoabs.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
1210, 11, 4, 5ltrnel 38631 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
13123adant2r 1180 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
14 trlcoabs.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
15 eqid 2737 . . . . 5 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
16 trlcoabs.r . . . . 5 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
1710, 14, 15, 11, 4, 5, 16trlval2 38655 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∘ ◑𝐹) ∈ 𝑇 ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) = (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝐺 ∘ ◑𝐹)β€˜(πΉβ€˜π‘ƒ)))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
181, 9, 13, 17syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)) = (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝐺 ∘ ◑𝐹)β€˜(πΉβ€˜π‘ƒ)))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
1918oveq2d 7378 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝐺 ∘ ◑𝐹)β€˜(πΉβ€˜π‘ƒ)))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))
20 simp1l 1198 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
21 simp3l 1202 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
2210, 11, 4, 5ltrnat 38632 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
231, 3, 21, 22syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
2410, 11, 4, 5ltrnat 38632 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∘ ◑𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) β†’ ((𝐺 ∘ ◑𝐹)β€˜(πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴)
251, 9, 23, 24syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝐺 ∘ ◑𝐹)β€˜(πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴)
26 eqid 2737 . . . . 5 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2726, 14, 11hlatjcl 37858 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ ((𝐺 ∘ ◑𝐹)β€˜(πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝐺 ∘ ◑𝐹)β€˜(πΉβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2820, 23, 25, 27syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝐺 ∘ ◑𝐹)β€˜(πΉβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
29 simp1r 1199 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
3026, 4lhpbase 38490 . . . 4 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3129, 30syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3210, 14, 11hlatlej1 37866 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ ((𝐺 ∘ ◑𝐹)β€˜(πΉβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝐺 ∘ ◑𝐹)β€˜(πΉβ€˜π‘ƒ))))
3320, 23, 25, 32syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝐺 ∘ ◑𝐹)β€˜(πΉβ€˜π‘ƒ))))
3426, 10, 14, 15, 11atmod3i1 38356 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝐺 ∘ ◑𝐹)β€˜(πΉβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝐺 ∘ ◑𝐹)β€˜(πΉβ€˜π‘ƒ)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝐺 ∘ ◑𝐹)β€˜(πΉβ€˜π‘ƒ)))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝐺 ∘ ◑𝐹)β€˜(πΉβ€˜π‘ƒ)))(meetβ€˜πΎ)((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ π‘Š)))
3520, 23, 28, 31, 33, 34syl131anc 1384 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝐺 ∘ ◑𝐹)β€˜(πΉβ€˜π‘ƒ)))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝐺 ∘ ◑𝐹)β€˜(πΉβ€˜π‘ƒ)))(meetβ€˜πΎ)((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ π‘Š)))
3610, 11, 4, 5ltrncoval 38637 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐺 ∘ ◑𝐹) ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (((𝐺 ∘ ◑𝐹) ∘ 𝐹)β€˜π‘ƒ) = ((𝐺 ∘ ◑𝐹)β€˜(πΉβ€˜π‘ƒ)))
371, 9, 3, 21, 36syl121anc 1376 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((𝐺 ∘ ◑𝐹) ∘ 𝐹)β€˜π‘ƒ) = ((𝐺 ∘ ◑𝐹)β€˜(πΉβ€˜π‘ƒ)))
38 coass 6222 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∘ ◑𝐹) ∘ 𝐹) = (𝐺 ∘ (◑𝐹 ∘ 𝐹))
3926, 4, 5ltrn1o 38616 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
401, 3, 39syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
41 f1ococnv1 6818 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ) β†’ (◑𝐹 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (◑𝐹 ∘ 𝐹) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))
4342coeq2d 5823 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝐺 ∘ (◑𝐹 ∘ 𝐹)) = (𝐺 ∘ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))))
4426, 4, 5ltrn1o 38616 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ 𝐺:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
451, 2, 44syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐺:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
46 f1of 6789 . . . . . . . . . 10 (𝐺:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ) β†’ 𝐺:(Baseβ€˜πΎ)⟢(Baseβ€˜πΎ))
47 fcoi1 6721 . . . . . . . . . 10 (𝐺:(Baseβ€˜πΎ)⟢(Baseβ€˜πΎ) β†’ (𝐺 ∘ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) = 𝐺)
4845, 46, 473syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝐺 ∘ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) = 𝐺)
4943, 48eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝐺 ∘ (◑𝐹 ∘ 𝐹)) = 𝐺)
5038, 49eqtrid 2789 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝐺 ∘ ◑𝐹) ∘ 𝐹) = 𝐺)
5150fveq1d 6849 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((𝐺 ∘ ◑𝐹) ∘ 𝐹)β€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ))
5237, 51eqtr3d 2779 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝐺 ∘ ◑𝐹)β€˜(πΉβ€˜π‘ƒ)) = (πΊβ€˜π‘ƒ))
5352oveq2d 7378 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝐺 ∘ ◑𝐹)β€˜(πΉβ€˜π‘ƒ))) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
54 eqid 2737 . . . . . 6 (1.β€˜πΎ) = (1.β€˜πΎ)
5510, 14, 54, 11, 4lhpjat2 38513 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΉβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ π‘Š) = (1.β€˜πΎ))
561, 13, 55syl2anc 585 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ π‘Š) = (1.β€˜πΎ))
5753, 56oveq12d 7380 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝐺 ∘ ◑𝐹)β€˜(πΉβ€˜π‘ƒ)))(meetβ€˜πΎ)((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ π‘Š)) = (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ))(meetβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)))
58 hlol 37852 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
5920, 58syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ OL)
6010, 11, 4, 5ltrnat 38632 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
611, 2, 21, 60syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
6226, 14, 11hlatjcl 37858 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6320, 23, 61, 62syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6426, 15, 54olm11 37718 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ))(meetβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
6559, 63, 64syl2anc 585 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ))(meetβ€˜πΎ)(1.β€˜πΎ)) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
6657, 65eqtrd 2777 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ ((𝐺 ∘ ◑𝐹)β€˜(πΉβ€˜π‘ƒ)))(meetβ€˜πΎ)((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ π‘Š)) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
6719, 35, 663eqtrd 2781 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))) = ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5110   I cid 5535  β—‘ccnv 5637   β†Ύ cres 5640   ∘ ccom 5642  βŸΆwf 6497  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6500  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  lecple 17147  joincjn 18207  meetcmee 18208  1.cp1 18320  OLcol 37665  Atomscatm 37754  HLchlt 37841  LHypclh 38476  LTrncltrn 38593  trLctrl 38650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-riotaBAD 37444
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-undef 8209  df-map 8774  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-p1 18322  df-lat 18328  df-clat 18395  df-oposet 37667  df-ol 37669  df-oml 37670  df-covers 37757  df-ats 37758  df-atl 37789  df-cvlat 37813  df-hlat 37842  df-llines 37990  df-lplanes 37991  df-lvols 37992  df-lines 37993  df-psubsp 37995  df-pmap 37996  df-padd 38288  df-lhyp 38480  df-laut 38481  df-ldil 38596  df-ltrn 38597  df-trl 38651
This theorem is referenced by:  cdlemkfid1N  39413
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