Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlcoabs2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlcoabs2N 37963
Description: Absorption of the trace of a composition. (Contributed by NM, 29-Jul-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
trlcoabs.l = (le‘𝐾)
trlcoabs.j = (join‘𝐾)
trlcoabs.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trlcoabs.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlcoabs.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlcoabs.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlcoabs2N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = ((𝐹𝑃) (𝐺𝑃)))

Proof of Theorem trlcoabs2N
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp2r 1197 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐺𝑇)
3 simp2l 1196 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹𝑇)
4 trlcoabs.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 trlcoabs.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
64, 5ltrncnv 37387 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
71, 3, 6syl2anc 587 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹𝑇)
84, 5ltrnco 37960 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐹𝑇) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
91, 2, 7, 8syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
10 trlcoabs.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
11 trlcoabs.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
1210, 11, 4, 5ltrnel 37380 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
13123adant2r 1176 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
14 trlcoabs.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
15 eqid 2824 . . . . 5 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
16 trlcoabs.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
1710, 14, 15, 11, 4, 5, 16trlval2 37404 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝐹) ∈ 𝑇 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊)) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) = (((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))(meet‘𝐾)𝑊))
181, 9, 13, 17syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) = (((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))(meet‘𝐾)𝑊))
1918oveq2d 7165 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = ((𝐹𝑃) (((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))(meet‘𝐾)𝑊)))
20 simp1l 1194 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
21 simp3l 1198 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑃𝐴)
2210, 11, 4, 5ltrnat 37381 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐴) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
231, 3, 21, 22syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
2410, 11, 4, 5ltrnat 37381 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴) → ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)) ∈ 𝐴)
251, 9, 23, 24syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)) ∈ 𝐴)
26 eqid 2824 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2726, 14, 11hlatjcl 36608 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)) ∈ 𝐴) → ((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
2820, 23, 25, 27syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
29 simp1r 1195 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊𝐻)
3026, 4lhpbase 37239 . . . 4 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
3129, 30syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
3210, 14, 11hlatlej1 36616 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)) ∈ 𝐴) → (𝐹𝑃) ((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃))))
3320, 23, 25, 32syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝑃) ((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃))))
3426, 10, 14, 15, 11atmod3i1 37105 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐹𝑃) ((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))) → ((𝐹𝑃) (((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))(meet‘𝐾)𝑊)) = (((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))(meet‘𝐾)((𝐹𝑃) 𝑊)))
3520, 23, 28, 31, 33, 34syl131anc 1380 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) (((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))(meet‘𝐾)𝑊)) = (((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))(meet‘𝐾)((𝐹𝑃) 𝑊)))
3610, 11, 4, 5ltrncoval 37386 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐺𝐹) ∈ 𝑇𝐹𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (((𝐺𝐹) ∘ 𝐹)‘𝑃) = ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))
371, 9, 3, 21, 36syl121anc 1372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐺𝐹) ∘ 𝐹)‘𝑃) = ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))
38 coass 6105 . . . . . . . 8 ((𝐺𝐹) ∘ 𝐹) = (𝐺 ∘ (𝐹𝐹))
3926, 4, 5ltrn1o 37365 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
401, 3, 39syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
41 f1ococnv1 6634 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → (𝐹𝐹) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝐹) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
4342coeq2d 5720 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺 ∘ (𝐹𝐹)) = (𝐺 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
4426, 4, 5ltrn1o 37365 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
451, 2, 44syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
46 f1of 6606 . . . . . . . . . 10 (𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → 𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
47 fcoi1 6542 . . . . . . . . . 10 (𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) → (𝐺 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = 𝐺)
4845, 46, 473syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = 𝐺)
4943, 48eqtrd 2859 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺 ∘ (𝐹𝐹)) = 𝐺)
5038, 49syl5eq 2871 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝐹) ∘ 𝐹) = 𝐺)
5150fveq1d 6663 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐺𝐹) ∘ 𝐹)‘𝑃) = (𝐺𝑃))
5237, 51eqtr3d 2861 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)) = (𝐺𝑃))
5352oveq2d 7165 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃))) = ((𝐹𝑃) (𝐺𝑃)))
54 eqid 2824 . . . . . 6 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
5510, 14, 54, 11, 4lhpjat2 37262 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊)) → ((𝐹𝑃) 𝑊) = (1.‘𝐾))
561, 13, 55syl2anc 587 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) 𝑊) = (1.‘𝐾))
5753, 56oveq12d 7167 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))(meet‘𝐾)((𝐹𝑃) 𝑊)) = (((𝐹𝑃) (𝐺𝑃))(meet‘𝐾)(1.‘𝐾)))
58 hlol 36602 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
5920, 58syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ OL)
6010, 11, 4, 5ltrnat 37381 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝑃𝐴) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
611, 2, 21, 60syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
6226, 14, 11hlatjcl 36608 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝐴) → ((𝐹𝑃) (𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
6320, 23, 61, 62syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) (𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
6426, 15, 54olm11 36468 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝐹𝑃) (𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝐹𝑃) (𝐺𝑃))(meet‘𝐾)(1.‘𝐾)) = ((𝐹𝑃) (𝐺𝑃)))
6559, 63, 64syl2anc 587 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐹𝑃) (𝐺𝑃))(meet‘𝐾)(1.‘𝐾)) = ((𝐹𝑃) (𝐺𝑃)))
6657, 65eqtrd 2859 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))(meet‘𝐾)((𝐹𝑃) 𝑊)) = ((𝐹𝑃) (𝐺𝑃)))
6719, 35, 663eqtrd 2863 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = ((𝐹𝑃) (𝐺𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5052   I cid 5446  ccnv 5541  cres 5544  ccom 5546  wf 6339  1-1-ontowf1o 6342  cfv 6343  (class class class)co 7149  Basecbs 16483  lecple 16572  joincjn 17554  meetcmee 17555  1.cp1 17648  OLcol 36415  Atomscatm 36504  HLchlt 36591  LHypclh 37225  LTrncltrn 37342  trLctrl 37399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-riotaBAD 36194
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-undef 7935  df-map 8404  df-proset 17538  df-poset 17556  df-plt 17568  df-lub 17584  df-glb 17585  df-join 17586  df-meet 17587  df-p0 17649  df-p1 17650  df-lat 17656  df-clat 17718  df-oposet 36417  df-ol 36419  df-oml 36420  df-covers 36507  df-ats 36508  df-atl 36539  df-cvlat 36563  df-hlat 36592  df-llines 36739  df-lplanes 36740  df-lvols 36741  df-lines 36742  df-psubsp 36744  df-pmap 36745  df-padd 37037  df-lhyp 37229  df-laut 37230  df-ldil 37345  df-ltrn 37346  df-trl 37400
This theorem is referenced by:  cdlemkfid1N  38162
  Copyright terms: Public domain W3C validator