Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdlemg35.l |
. . 3
β’ β€ =
(leβπΎ) |
2 | | cdlemg35.j |
. . 3
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
3 | | cdlemg35.m |
. . 3
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
4 | | cdlemg35.a |
. . 3
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
5 | | cdlemg35.h |
. . 3
β’ π» = (LHypβπΎ) |
6 | | cdlemg35.t |
. . 3
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
7 | 1, 2, 3, 4, 5, 6 | cdlemg40 39588 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |
8 | | simp1 1137 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
9 | | simp3 1139 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β (πΉ β π β§ πΊ β π)) |
10 | | simp2ll 1241 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β π β π΄) |
11 | 1, 4, 5, 6 | ltrncoval 39016 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π΄) β ((πΉ β πΊ)βπ) = (πΉβ(πΊβπ))) |
12 | 8, 9, 10, 11 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β ((πΉ β πΊ)βπ) = (πΉβ(πΊβπ))) |
13 | 12 | oveq2d 7425 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β (π β¨ ((πΉ β πΊ)βπ)) = (π β¨ (πΉβ(πΊβπ)))) |
14 | 13 | oveq1d 7424 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β ((π β¨ ((πΉ β πΊ)βπ)) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |
15 | | simp2rl 1243 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β π β π΄) |
16 | 1, 4, 5, 6 | ltrncoval 39016 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ π β π΄) β ((πΉ β πΊ)βπ) = (πΉβ(πΊβπ))) |
17 | 8, 9, 15, 16 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β ((πΉ β πΊ)βπ) = (πΉβ(πΊβπ))) |
18 | 17 | oveq2d 7425 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β (π β¨ ((πΉ β πΊ)βπ)) = (π β¨ (πΉβ(πΊβπ)))) |
19 | 18 | oveq1d 7424 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β ((π β¨ ((πΉ β πΊ)βπ)) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |
20 | 7, 14, 19 | 3eqtr4d 2783 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β ((π β¨ ((πΉ β πΊ)βπ)) β§ π) = ((π β¨ ((πΉ β πΊ)βπ)) β§ π)) |