Theorem cdlemg41 37299

Description: Convert cdlemg40 37298 to function composition. TODO: Fix comment. (Contributed by NM, 31-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemg35.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemg35.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemg35.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemg35.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg35.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg35.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdlemg41	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑃 ∨ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑃)) ∧ 𝑊) = ((𝑄 ∨ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑄)) ∧ 𝑊))

Proof of Theorem cdlemg41

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemg35.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		cdlemg35.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		cdlemg35.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4		cdlemg35.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		cdlemg35.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		cdlemg35.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	cdlemg40 37298	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) = ((𝑄 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ∧ 𝑊))
8		simp1 1116	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		simp3 1118	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇))
10		simp2ll 1220	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
11	1, 4, 5, 6	ltrncoval 36726	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))
12	8, 9, 10, 11	syl3anc 1351	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))
13	12	oveq2d 6994	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → (𝑃 ∨ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑃)) = (𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))))
14	13	oveq1d 6993	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑃 ∨ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑃)) ∧ 𝑊) = ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊))
15		simp2rl 1222	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
16	1, 4, 5, 6	ltrncoval 36726	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑄) = (𝐹‘(𝐺‘𝑄)))
17	8, 9, 15, 16	syl3anc 1351	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑄) = (𝐹‘(𝐺‘𝑄)))
18	17	oveq2d 6994	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → (𝑄 ∨ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑄)) = (𝑄 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))))
19	18	oveq1d 6993	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑄 ∨ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑄)) ∧ 𝑊) = ((𝑄 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑄))) ∧ 𝑊))
20	7, 14, 19	3eqtr4d 2824	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → ((𝑃 ∨ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑃)) ∧ 𝑊) = ((𝑄 ∨ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑄)) ∧ 𝑊))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   class class class wbr 4930   ∘ ccom 5412  ‘cfv 6190  (class class class)co 6978  lecple 16431  joincjn 17415  meetcmee 17416  Atomscatm 35844  HLchlt 35931  LHypclh 36565  LTrncltrn 36682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-riotaBAD 35534

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-iin 4796  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-id 5313  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-undef 7744  df-map 8210  df-proset 17399  df-poset 17417  df-plt 17429  df-lub 17445  df-glb 17446  df-join 17447  df-meet 17448  df-p0 17510  df-p1 17511  df-lat 17517  df-clat 17579  df-oposet 35757  df-ol 35759  df-oml 35760  df-covers 35847  df-ats 35848  df-atl 35879  df-cvlat 35903  df-hlat 35932  df-llines 36079  df-lplanes 36080  df-lvols 36081  df-lines 36082  df-psubsp 36084  df-pmap 36085  df-padd 36377  df-lhyp 36569  df-laut 36570  df-ldil 36685  df-ltrn 36686  df-trl 36740

This theorem is referenced by:  ltrnco  37300