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Theorem trlcolem 40110
Description: Lemma for trlco 40111. (Contributed by NM, 1-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlco.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
trlco.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
trlco.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
trlco.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
trlco.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
trlcolem.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
trlcolem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
trlcolem (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
Proof of Theorem trlcolem
StepHypRef Expression
1 simp1l 1194 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 38747 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simp3l 1198 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
4 eqid 2726 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
5 trlcolem.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
64, 5atbase 38672 . . . . . 6 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
73, 6syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
8 simp1 1133 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
9 simp2r 1197 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
10 trlco.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
11 trlco.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
12 trlco.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
1310, 5, 11, 12ltrnat 39524 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
148, 9, 3, 13syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
154, 5atbase 38672 . . . . . 6 ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1614, 15syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
17 trlco.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
184, 10, 17latlej1 18413 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
192, 7, 16, 18syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
204, 17, 5hlatjcl 38750 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
211, 3, 14, 20syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
22 simp2l 1196 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
234, 11, 12ltrncl 39509 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
248, 22, 16, 23syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
254, 10, 17latjlej1 18418 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (𝑃 ≀ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ≀ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))))
262, 7, 21, 24, 25syl13anc 1369 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ≀ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ≀ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))))
2719, 26mpd 15 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ≀ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))))
284, 17latjcl 18404 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
292, 7, 24, 28syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
304, 17latjcl 18404 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
312, 21, 24, 30syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
32 simp1r 1195 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
334, 11lhpbase 39382 . . . . 5 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3432, 33syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
35 trlcolem.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
364, 10, 35latmlem1 18434 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ≀ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) ≀ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š)))
372, 29, 31, 34, 36syl13anc 1369 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ≀ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) ≀ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š)))
3827, 37mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) ≀ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š))
3911, 12ltrnco 40103 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
408, 22, 9, 39syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
41 trlco.r . . . . 5 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4210, 17, 35, 5, 11, 12, 41trlval2 39547 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝑃 ∨ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
4340, 42syld3an2 1408 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝑃 ∨ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
4410, 5, 11, 12ltrncoval 39529 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))
45443adant3r 1178 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))
4645oveq2d 7421 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘ƒ)) = (𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))))
4746oveq1d 7420 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š))
4843, 47eqtrd 2766 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š))
4910, 5, 11, 12ltrnel 39523 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
509, 49syld3an2 1408 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
5110, 17, 35, 5, 11, 12, 41trlval2 39547 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š))
528, 22, 50, 51syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š))
5310, 17, 35, 5, 11, 12, 41trlval2 39547 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
549, 53syld3an2 1408 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
5552, 54oveq12d 7423 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) = ((((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) ∨ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š)))
5610, 5, 11, 12ltrnat 39524 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴)
578, 22, 14, 56syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴)
584, 17, 5hlatjcl 38750 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
591, 14, 57, 58syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
604, 35latmcl 18405 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
612, 59, 34, 60syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
624, 35latmcl 18405 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
632, 21, 34, 62syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
644, 17latjcom 18412 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) ∨ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š)) = (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š)))
652, 61, 63, 64syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) ∨ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š)) = (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š)))
664, 17latjcl 18404 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
672, 16, 24, 66syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
684, 10, 35latmle2 18430 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)
692, 21, 34, 68syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)
704, 10, 17, 35, 11lhpmod6i1 39423 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ≀ π‘Š) β†’ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š)) = ((((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))) ∧ π‘Š))
718, 63, 67, 69, 70syl121anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š)) = ((((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))) ∧ π‘Š))
724, 17latjass 18448 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) = (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))))
732, 63, 16, 24, 72syl13anc 1369 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) = (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))))
744, 10, 17latlej2 18414 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
752, 7, 16, 74syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
764, 10, 17, 35, 11lhpmod2i2 39422 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ))) β†’ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (π‘Š ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ))))
778, 21, 16, 75, 76syl121anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (π‘Š ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ))))
78 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (1.β€˜πΎ) = (1.β€˜πΎ)
7910, 17, 78, 5, 11lhpjat1 39404 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š)) β†’ (π‘Š ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) = (1.β€˜πΎ))
808, 50, 79syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘Š ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) = (1.β€˜πΎ))
8180oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (π‘Š ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ))) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (1.β€˜πΎ)))
82 hlol 38744 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
831, 82syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ OL)
844, 35, 78olm11 38610 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (1.β€˜πΎ)) = (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
8583, 21, 84syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (1.β€˜πΎ)) = (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
8677, 81, 853eqtrd 2770 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) = (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
8786oveq1d 7420 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))))
8873, 87eqtr3d 2768 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))))
8988oveq1d 7420 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))) ∧ π‘Š) = (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š))
9071, 89eqtrd 2766 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š)) = (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š))
9155, 65, 903eqtrd 2770 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) = (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š))
9238, 48, 913brtr4d 5173 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141   ∘ ccom 5673  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  joincjn 18276  meetcmee 18277  1.cp1 18389  Latclat 18396  OLcol 38557  Atomscatm 38646  HLchlt 38733  LHypclh 39368  LTrncltrn 39485  trLctrl 39542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-riotaBAD 38336
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-undef 8259  df-map 8824  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884  df-lines 38885  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489  df-trl 39543
This theorem is referenced by:  trlco  40111
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