Theorem trlcolem 36535

Description: Lemma for trlco 36536. (Contributed by NM, 1-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlco.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
trlco.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
trlco.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlco.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlco.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
trlcolem.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
trlcolem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
trlcolem	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ≤ ((𝑅‘𝐹) ∨ (𝑅‘𝐺)))

Proof of Theorem trlcolem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1239	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
2		hllat 35172	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
4		simp3l 1243	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
5		eqid 2771	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6		trlcolem.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	5, 6	atbase 35098	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
8	4, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
9		simp1 1130	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		simp2r 1242	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
11		trlco.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
12		trlco.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
13		trlco.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14	11, 6, 12, 13	ltrnat 35948	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴)
15	9, 10, 4, 14	syl3anc 1476	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴)
16	5, 6	atbase 35098	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 → (𝐺‘𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐺‘𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
18		trlco.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
19	5, 11, 18	latlej1 17268	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)))
20	3, 8, 17, 19	syl3anc 1476	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)))
21	5, 18, 6	hlatjcl 35175	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
22	1, 4, 15, 21	syl3anc 1476	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
23		simp2l 1241	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
24	5, 12, 13	ltrncl 35933	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
25	9, 23, 17, 24	syl3anc 1476	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
26	5, 11, 18	latjlej1 17273	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑃 ≤ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) → (𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ≤ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))))
27	3, 8, 22, 25, 26	syl13anc 1478	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ≤ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) → (𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ≤ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))))
28	20, 27	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ≤ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))))
29	5, 18	latjcl 17259	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
30	3, 8, 25, 29	syl3anc 1476	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
31	5, 18	latjcl 17259	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
32	3, 22, 25, 31	syl3anc 1476	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
33		simp1r 1240	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ 𝐻)
34	5, 12	lhpbase 35806	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
35	33, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
36		trlcolem.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
37	5, 11, 36	latmlem1 17289	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ≤ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) ≤ (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊)))
38	3, 30, 32, 35, 37	syl13anc 1478	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ≤ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) ≤ (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊)))
39	28, 38	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) ≤ (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊))
40	12, 13	ltrnco 36528	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
41	9, 23, 10, 40	syl3anc 1476	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
42		trlco.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
43	11, 18, 36, 6, 12, 13, 42	trlval2 35972	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝑃 ∨ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑃)) ∧ 𝑊))
44	41, 43	syld3an2 1518	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝑃 ∨ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑃)) ∧ 𝑊))
45	11, 6, 12, 13	ltrncoval 35953	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))
46	45	3adant3r 1195	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))
47	46	oveq2d 6809	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∨ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑃)) = (𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))))
48	47	oveq1d 6808	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑃)) ∧ 𝑊) = ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊))
49	44, 48	eqtrd 2805	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊))
50	11, 6, 12, 13	ltrnel 35947	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺‘𝑃) ≤ 𝑊))
51	10, 50	syld3an2 1518	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺‘𝑃) ≤ 𝑊))
52	11, 18, 36, 6, 12, 13, 42	trlval2 35972	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺‘𝑃) ≤ 𝑊)) → (𝑅‘𝐹) = (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊))
53	9, 23, 51, 52	syl3anc 1476	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘𝐹) = (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊))
54	11, 18, 36, 6, 12, 13, 42	trlval2 35972	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘𝐺) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊))
55	10, 54	syld3an2 1518	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘𝐺) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊))
56	53, 55	oveq12d 6811	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑅‘𝐹) ∨ (𝑅‘𝐺)) = ((((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) ∨ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊)))
57	11, 6, 12, 13	ltrnat 35948	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ 𝐴)
58	9, 23, 15, 57	syl3anc 1476	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ 𝐴)
59	5, 18, 6	hlatjcl 35175	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
60	1, 15, 58, 59	syl3anc 1476	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
61	5, 36	latmcl 17260	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
62	3, 60, 35, 61	syl3anc 1476	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
63	5, 36	latmcl 17260	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
64	3, 22, 35, 63	syl3anc 1476	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
65	5, 18	latjcom 17267	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → ((((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) ∨ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊)) = (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊)))
66	3, 62, 64, 65	syl3anc 1476	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) ∨ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊)) = (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊)))
67	5, 18	latjcl 17259	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
68	3, 17, 25, 67	syl3anc 1476	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
69	5, 11, 36	latmle2 17285	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ≤ 𝑊)
70	3, 22, 35, 69	syl3anc 1476	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ≤ 𝑊)
71	5, 11, 18, 36, 12	lhpmod6i1 35847	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ≤ 𝑊) → (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊)) = ((((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))) ∧ 𝑊))
72	9, 64, 68, 70, 71	syl121anc 1481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊)) = ((((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))) ∧ 𝑊))
73	5, 18	latjass 17303	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))) → ((((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) = (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))))
74	3, 64, 17, 25, 73	syl13anc 1478	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) = (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))))
75	5, 11, 18	latlej2 17269	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐺‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)))
76	3, 8, 17, 75	syl3anc 1476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐺‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)))
77	5, 11, 18, 36, 12	lhpmod2i2 35846	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐺‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃))) → (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ (𝐺‘𝑃)) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ (𝑊 ∨ (𝐺‘𝑃))))
78	9, 22, 17, 76, 77	syl121anc 1481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ (𝐺‘𝑃)) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ (𝑊 ∨ (𝐺‘𝑃))))
79		eqid 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
80	11, 18, 79, 6, 12	lhpjat1 35828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺‘𝑃) ≤ 𝑊)) → (𝑊 ∨ (𝐺‘𝑃)) = (1.‘𝐾))
81	9, 51, 80	syl2anc 573	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑊 ∨ (𝐺‘𝑃)) = (1.‘𝐾))
82	81	oveq2d 6809	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ (𝑊 ∨ (𝐺‘𝑃))) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ (1.‘𝐾)))
83		hlol 35170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
84	1, 83	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ OL)
85	5, 36, 79	olm11 35036	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ (1.‘𝐾)) = (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)))
86	84, 22, 85	syl2anc 573	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ (1.‘𝐾)) = (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)))
87	78, 82, 86	3eqtrd 2809	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ (𝐺‘𝑃)) = (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)))
88	87	oveq1d 6808	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))))
89	74, 88	eqtr3d 2807	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))))
90	89	oveq1d 6808	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))) ∧ 𝑊) = (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊))
91	72, 90	eqtrd 2805	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊)) = (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊))
92	56, 66, 91	3eqtrd 2809	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑅‘𝐹) ∨ (𝑅‘𝐺)) = (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊))
93	39, 49, 92	3brtr4d 4818	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ≤ ((𝑅‘𝐹) ∨ (𝑅‘𝐺)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   class class class wbr 4786   ∘ ccom 5253  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  lecple 16156  joincjn 17152  meetcmee 17153  1.cp1 17246  Latclat 17253  OLcol 34983  Atomscatm 35072  HLchlt 35159  LHypclh 35792  LTrncltrn 35909  trLctrl 35967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-riotaBAD 34761

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-undef 7551  df-map 8011  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-llines 35306  df-lplanes 35307  df-lvols 35308  df-lines 35309  df-psubsp 35311  df-pmap 35312  df-padd 35604  df-lhyp 35796  df-laut 35797  df-ldil 35912  df-ltrn 35913  df-trl 35968

This theorem is referenced by:  trlco  36536