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Theorem trlcolem 39189
Description: Lemma for trlco 39190. (Contributed by NM, 1-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlco.l = (le‘𝐾)
trlco.j = (join‘𝐾)
trlco.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlco.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlco.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
trlcolem.m = (meet‘𝐾)
trlcolem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
trlcolem (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))

Proof of Theorem trlcolem
StepHypRef Expression
1 simp1l 1197 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 37826 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simp3l 1201 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑃𝐴)
4 eqid 2736 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5 trlcolem.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
64, 5atbase 37751 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
73, 6syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
8 simp1 1136 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
9 simp2r 1200 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐺𝑇)
10 trlco.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
11 trlco.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
12 trlco.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
1310, 5, 11, 12ltrnat 38603 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝑃𝐴) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
148, 9, 3, 13syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
154, 5atbase 37751 . . . . . 6 ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 → (𝐺𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
1614, 15syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
17 trlco.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
184, 10, 17latlej1 18337 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐺𝑃) ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑃 (𝑃 (𝐺𝑃)))
192, 7, 16, 18syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑃 (𝑃 (𝐺𝑃)))
204, 17, 5hlatjcl 37829 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝐴) → (𝑃 (𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
211, 3, 14, 20syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 (𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
22 simp2l 1199 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹𝑇)
234, 11, 12ltrncl 38588 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝐺𝑃) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
248, 22, 16, 23syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
254, 10, 17latjlej1 18342 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 (𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑃 (𝑃 (𝐺𝑃)) → (𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) ((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃)))))
262, 7, 21, 24, 25syl13anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 (𝑃 (𝐺𝑃)) → (𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) ((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃)))))
2719, 26mpd 15 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) ((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))))
284, 17latjcl 18328 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
292, 7, 24, 28syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
304, 17latjcl 18328 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 (𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
312, 21, 24, 30syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
32 simp1r 1198 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊𝐻)
334, 11lhpbase 38461 . . . . 5 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
3432, 33syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
35 trlcolem.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
364, 10, 35latmlem1 18358 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) ((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) (((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊)))
372, 29, 31, 34, 36syl13anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) ((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) (((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊)))
3827, 37mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) (((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊))
3911, 12ltrnco 39182 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
408, 22, 9, 39syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
41 trlco.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
4210, 17, 35, 5, 11, 12, 41trlval2 38626 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝐺) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) = ((𝑃 ((𝐹𝐺)‘𝑃)) 𝑊))
4340, 42syld3an2 1411 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) = ((𝑃 ((𝐹𝐺)‘𝑃)) 𝑊))
4410, 5, 11, 12ltrncoval 38608 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → ((𝐹𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘(𝐺𝑃)))
45443adant3r 1181 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘(𝐺𝑃)))
4645oveq2d 7373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 ((𝐹𝐺)‘𝑃)) = (𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))))
4746oveq1d 7372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑃 ((𝐹𝐺)‘𝑃)) 𝑊) = ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊))
4843, 47eqtrd 2776 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) = ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊))
4910, 5, 11, 12ltrnel 38602 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑃) 𝑊))
509, 49syld3an2 1411 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑃) 𝑊))
5110, 17, 35, 5, 11, 12, 41trlval2 38626 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑃) 𝑊)) → (𝑅𝐹) = (((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊))
528, 22, 50, 51syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅𝐹) = (((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊))
5310, 17, 35, 5, 11, 12, 41trlval2 38626 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅𝐺) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊))
549, 53syld3an2 1411 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅𝐺) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊))
5552, 54oveq12d 7375 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) = ((((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊)))
5610, 5, 11, 12ltrnat 38603 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ 𝐴)
578, 22, 14, 56syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ 𝐴)
584, 17, 5hlatjcl 37829 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ 𝐴) → ((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
591, 14, 57, 58syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
604, 35latmcl 18329 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
612, 59, 34, 60syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
624, 35latmcl 18329 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 (𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
632, 21, 34, 62syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
644, 17latjcom 18336 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → ((((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊)) = (((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) (((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊)))
652, 61, 63, 64syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊)) = (((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) (((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊)))
664, 17latjcl 18328 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐺𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
672, 16, 24, 66syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
684, 10, 35latmle2 18354 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 (𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) 𝑊)
692, 21, 34, 68syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) 𝑊)
704, 10, 17, 35, 11lhpmod6i1 38502 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) 𝑊) → (((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) (((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊)) = ((((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) ((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃)))) 𝑊))
718, 63, 67, 69, 70syl121anc 1375 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) (((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊)) = ((((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) ((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃)))) 𝑊))
724, 17latjass 18372 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐺𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))) → ((((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))) = (((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) ((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃)))))
732, 63, 16, 24, 72syl13anc 1372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))) = (((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) ((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃)))))
744, 10, 17latlej2 18338 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐺𝑃) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐺𝑃) (𝑃 (𝐺𝑃)))
752, 7, 16, 74syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺𝑃) (𝑃 (𝐺𝑃)))
764, 10, 17, 35, 11lhpmod2i2 38501 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃 (𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐺𝑃) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐺𝑃) (𝑃 (𝐺𝑃))) → (((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) (𝐺𝑃)) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝑊 (𝐺𝑃))))
778, 21, 16, 75, 76syl121anc 1375 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) (𝐺𝑃)) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝑊 (𝐺𝑃))))
78 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
7910, 17, 78, 5, 11lhpjat1 38483 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑃) 𝑊)) → (𝑊 (𝐺𝑃)) = (1.‘𝐾))
808, 50, 79syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑊 (𝐺𝑃)) = (1.‘𝐾))
8180oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝑊 (𝐺𝑃))) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) (1.‘𝐾)))
82 hlol 37823 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
831, 82syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ OL)
844, 35, 78olm11 37689 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 (𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 (𝐺𝑃)) (1.‘𝐾)) = (𝑃 (𝐺𝑃)))
8583, 21, 84syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑃 (𝐺𝑃)) (1.‘𝐾)) = (𝑃 (𝐺𝑃)))
8677, 81, 853eqtrd 2780 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) (𝐺𝑃)) = (𝑃 (𝐺𝑃)))
8786oveq1d 7372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))))
8873, 87eqtr3d 2778 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) ((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃)))) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))))
8988oveq1d 7372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) ((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃)))) 𝑊) = (((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊))
9071, 89eqtrd 2776 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) (((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊)) = (((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊))
9155, 65, 903eqtrd 2780 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) = (((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊))
9238, 48, 913brtr4d 5137 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105  ccom 5637  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  lecple 17140  joincjn 18200  meetcmee 18201  1.cp1 18313  Latclat 18320  OLcol 37636  Atomscatm 37725  HLchlt 37812  LHypclh 38447  LTrncltrn 38564  trLctrl 38621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-riotaBAD 37415
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-undef 8204  df-map 8767  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-p1 18315  df-lat 18321  df-clat 18388  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-llines 37961  df-lplanes 37962  df-lvols 37963  df-lines 37964  df-psubsp 37966  df-pmap 37967  df-padd 38259  df-lhyp 38451  df-laut 38452  df-ldil 38567  df-ltrn 38568  df-trl 38622
This theorem is referenced by:  trlco  39190
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