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Theorem trlcolem 38952
Description: Lemma for trlco 38953. (Contributed by NM, 1-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlco.l = (le‘𝐾)
trlco.j = (join‘𝐾)
trlco.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlco.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlco.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
trlcolem.m = (meet‘𝐾)
trlcolem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
trlcolem (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))

Proof of Theorem trlcolem
StepHypRef Expression
1 simp1l 1196 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 37590 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simp3l 1200 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑃𝐴)
4 eqid 2737 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5 trlcolem.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
64, 5atbase 37515 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
73, 6syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
8 simp1 1135 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
9 simp2r 1199 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐺𝑇)
10 trlco.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
11 trlco.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
12 trlco.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
1310, 5, 11, 12ltrnat 38366 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝑃𝐴) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
148, 9, 3, 13syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
154, 5atbase 37515 . . . . . 6 ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 → (𝐺𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
1614, 15syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
17 trlco.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
184, 10, 17latlej1 18233 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐺𝑃) ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑃 (𝑃 (𝐺𝑃)))
192, 7, 16, 18syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑃 (𝑃 (𝐺𝑃)))
204, 17, 5hlatjcl 37593 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝐴) → (𝑃 (𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
211, 3, 14, 20syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 (𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
22 simp2l 1198 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹𝑇)
234, 11, 12ltrncl 38351 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝐺𝑃) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
248, 22, 16, 23syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
254, 10, 17latjlej1 18238 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 (𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑃 (𝑃 (𝐺𝑃)) → (𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) ((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃)))))
262, 7, 21, 24, 25syl13anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 (𝑃 (𝐺𝑃)) → (𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) ((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃)))))
2719, 26mpd 15 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) ((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))))
284, 17latjcl 18224 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
292, 7, 24, 28syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
304, 17latjcl 18224 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 (𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
312, 21, 24, 30syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
32 simp1r 1197 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊𝐻)
334, 11lhpbase 38224 . . . . 5 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
3432, 33syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
35 trlcolem.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
364, 10, 35latmlem1 18254 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) ((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) (((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊)))
372, 29, 31, 34, 36syl13anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) ((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) (((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊)))
3827, 37mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) (((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊))
3911, 12ltrnco 38945 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
408, 22, 9, 39syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
41 trlco.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
4210, 17, 35, 5, 11, 12, 41trlval2 38389 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝐺) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) = ((𝑃 ((𝐹𝐺)‘𝑃)) 𝑊))
4340, 42syld3an2 1410 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) = ((𝑃 ((𝐹𝐺)‘𝑃)) 𝑊))
4410, 5, 11, 12ltrncoval 38371 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → ((𝐹𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘(𝐺𝑃)))
45443adant3r 1180 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘(𝐺𝑃)))
4645oveq2d 7329 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 ((𝐹𝐺)‘𝑃)) = (𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))))
4746oveq1d 7328 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑃 ((𝐹𝐺)‘𝑃)) 𝑊) = ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊))
4843, 47eqtrd 2777 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) = ((𝑃 (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊))
4910, 5, 11, 12ltrnel 38365 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑃) 𝑊))
509, 49syld3an2 1410 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑃) 𝑊))
5110, 17, 35, 5, 11, 12, 41trlval2 38389 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑃) 𝑊)) → (𝑅𝐹) = (((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊))
528, 22, 50, 51syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅𝐹) = (((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊))
5310, 17, 35, 5, 11, 12, 41trlval2 38389 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅𝐺) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊))
549, 53syld3an2 1410 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅𝐺) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊))
5552, 54oveq12d 7331 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) = ((((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊)))
5610, 5, 11, 12ltrnat 38366 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ 𝐴)
578, 22, 14, 56syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ 𝐴)
584, 17, 5hlatjcl 37593 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ 𝐴) → ((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
591, 14, 57, 58syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
604, 35latmcl 18225 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
612, 59, 34, 60syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
624, 35latmcl 18225 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 (𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
632, 21, 34, 62syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
644, 17latjcom 18232 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → ((((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊)) = (((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) (((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊)))
652, 61, 63, 64syl3anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊) ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊)) = (((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) (((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊)))
664, 17latjcl 18224 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐺𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
672, 16, 24, 66syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
684, 10, 35latmle2 18250 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 (𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) 𝑊)
692, 21, 34, 68syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) 𝑊)
704, 10, 17, 35, 11lhpmod6i1 38265 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) 𝑊) → (((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) (((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊)) = ((((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) ((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃)))) 𝑊))
718, 63, 67, 69, 70syl121anc 1374 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) (((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊)) = ((((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) ((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃)))) 𝑊))
724, 17latjass 18268 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐺𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))) → ((((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))) = (((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) ((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃)))))
732, 63, 16, 24, 72syl13anc 1371 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))) = (((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) ((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃)))))
744, 10, 17latlej2 18234 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐺𝑃) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐺𝑃) (𝑃 (𝐺𝑃)))
752, 7, 16, 74syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺𝑃) (𝑃 (𝐺𝑃)))
764, 10, 17, 35, 11lhpmod2i2 38264 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃 (𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐺𝑃) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐺𝑃) (𝑃 (𝐺𝑃))) → (((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) (𝐺𝑃)) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝑊 (𝐺𝑃))))
778, 21, 16, 75, 76syl121anc 1374 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) (𝐺𝑃)) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝑊 (𝐺𝑃))))
78 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
7910, 17, 78, 5, 11lhpjat1 38246 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺𝑃) 𝑊)) → (𝑊 (𝐺𝑃)) = (1.‘𝐾))
808, 50, 79syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑊 (𝐺𝑃)) = (1.‘𝐾))
8180oveq2d 7329 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝑊 (𝐺𝑃))) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) (1.‘𝐾)))
82 hlol 37587 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
831, 82syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ OL)
844, 35, 78olm11 37453 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 (𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 (𝐺𝑃)) (1.‘𝐾)) = (𝑃 (𝐺𝑃)))
8583, 21, 84syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑃 (𝐺𝑃)) (1.‘𝐾)) = (𝑃 (𝐺𝑃)))
8677, 81, 853eqtrd 2781 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) (𝐺𝑃)) = (𝑃 (𝐺𝑃)))
8786oveq1d 7328 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))))
8873, 87eqtr3d 2779 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) ((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃)))) = ((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))))
8988oveq1d 7328 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) ((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃)))) 𝑊) = (((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊))
9071, 89eqtrd 2777 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝑃 (𝐺𝑃)) 𝑊) (((𝐺𝑃) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊)) = (((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊))
9155, 65, 903eqtrd 2781 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) = (((𝑃 (𝐺𝑃)) (𝐹‘(𝐺𝑃))) 𝑊))
9238, 48, 913brtr4d 5117 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105   class class class wbr 5085  ccom 5609  cfv 6463  (class class class)co 7313  Basecbs 16979  lecple 17036  joincjn 18096  meetcmee 18097  1.cp1 18209  Latclat 18216  OLcol 37400  Atomscatm 37489  HLchlt 37576  LHypclh 38210  LTrncltrn 38327  trLctrl 38384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-riotaBAD 37179
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-iun 4937  df-iin 4938  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-id 5505  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-undef 8134  df-map 8663  df-proset 18080  df-poset 18098  df-plt 18115  df-lub 18131  df-glb 18132  df-join 18133  df-meet 18134  df-p0 18210  df-p1 18211  df-lat 18217  df-clat 18284  df-oposet 37402  df-ol 37404  df-oml 37405  df-covers 37492  df-ats 37493  df-atl 37524  df-cvlat 37548  df-hlat 37577  df-llines 37724  df-lplanes 37725  df-lvols 37726  df-lines 37727  df-psubsp 37729  df-pmap 37730  df-padd 38022  df-lhyp 38214  df-laut 38215  df-ldil 38330  df-ltrn 38331  df-trl 38385
This theorem is referenced by:  trlco  38953
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