Theorem trlcolem 41311

Description: Lemma for trlco 41312. (Contributed by NM, 1-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlco.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
trlco.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
trlco.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlco.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlco.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
trlcolem.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
trlcolem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
trlcolem	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ≤ ((𝑅‘𝐹) ∨ (𝑅‘𝐺)))

Proof of Theorem trlcolem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
2	1	hllatd 39949	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
3		simp3l 1214	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
4		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5		trlcolem.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6	4, 5	atbase 39874	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
7	3, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
8		simp1 1148	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		simp2r 1213	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
10		trlco.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
11		trlco.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
12		trlco.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
13	10, 5, 11, 12	ltrnat 40725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴)
14	8, 9, 3, 13	syl3anc 1389	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴)
15	4, 5	atbase 39874	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 → (𝐺‘𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐺‘𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
17		trlco.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
18	4, 10, 17	latlej1 18471	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)))
19	2, 7, 16, 18	syl3anc 1389	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)))
20	4, 17, 5	hlatjcl 39952	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
21	1, 3, 14, 20	syl3anc 1389	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
22		simp2l 1212	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
23	4, 11, 12	ltrncl 40710	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
24	8, 22, 16, 23	syl3anc 1389	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
25	4, 10, 17	latjlej1 18476	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑃 ≤ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) → (𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ≤ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))))
26	2, 7, 21, 24, 25	syl13anc 1390	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ≤ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) → (𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ≤ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))))
27	19, 26	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ≤ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))))
28	4, 17	latjcl 18462	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
29	2, 7, 24, 28	syl3anc 1389	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
30	4, 17	latjcl 18462	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
31	2, 21, 24, 30	syl3anc 1389	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
32		simp1r 1211	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ 𝐻)
33	4, 11	lhpbase 40583	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
34	32, 33	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
35		trlcolem.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
36	4, 10, 35	latmlem1 18492	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ≤ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) ≤ (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊)))
37	2, 29, 31, 34, 36	syl13anc 1390	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ≤ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) ≤ (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊)))
38	27, 37	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) ≤ (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊))
39	11, 12	ltrnco 41304	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
40	8, 22, 9, 39	syl3anc 1389	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
41		trlco.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
42	10, 17, 35, 5, 11, 12, 41	trlval2 40748	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝑃 ∨ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑃)) ∧ 𝑊))
43	40, 42	syld3an2 1429	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝑃 ∨ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑃)) ∧ 𝑊))
44	10, 5, 11, 12	ltrncoval 40730	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))
45	44	3adant3r 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))
46	45	oveq2d 7407	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∨ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑃)) = (𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))))
47	46	oveq1d 7406	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑃)) ∧ 𝑊) = ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊))
48	43, 47	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊))
49	10, 5, 11, 12	ltrnel 40724	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺‘𝑃) ≤ 𝑊))
50	9, 49	syld3an2 1429	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺‘𝑃) ≤ 𝑊))
51	10, 17, 35, 5, 11, 12, 41	trlval2 40748	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺‘𝑃) ≤ 𝑊)) → (𝑅‘𝐹) = (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊))
52	8, 22, 50, 51	syl3anc 1389	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘𝐹) = (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊))
53	10, 17, 35, 5, 11, 12, 41	trlval2 40748	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘𝐺) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊))
54	9, 53	syld3an2 1429	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘𝐺) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊))
55	52, 54	oveq12d 7409	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑅‘𝐹) ∨ (𝑅‘𝐺)) = ((((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) ∨ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊)))
56	10, 5, 11, 12	ltrnat 40725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ 𝐴)
57	8, 22, 14, 56	syl3anc 1389	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ 𝐴)
58	4, 17, 5	hlatjcl 39952	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
59	1, 14, 57, 58	syl3anc 1389	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
60	4, 35	latmcl 18463	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
61	2, 59, 34, 60	syl3anc 1389	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
62	4, 35	latmcl 18463	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
63	2, 21, 34, 62	syl3anc 1389	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
64	4, 17	latjcom 18470	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → ((((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) ∨ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊)) = (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊)))
65	2, 61, 63, 64	syl3anc 1389	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) ∨ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊)) = (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊)))
66	4, 17	latjcl 18462	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
67	2, 16, 24, 66	syl3anc 1389	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
68	4, 10, 35	latmle2 18488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ≤ 𝑊)
69	2, 21, 34, 68	syl3anc 1389	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ≤ 𝑊)
70	4, 10, 17, 35, 11	lhpmod6i1 40624	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ≤ 𝑊) → (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊)) = ((((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))) ∧ 𝑊))
71	8, 63, 67, 69, 70	syl121anc 1393	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊)) = ((((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))) ∧ 𝑊))
72	4, 17	latjass 18506	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))) → ((((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) = (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))))
73	2, 63, 16, 24, 72	syl13anc 1390	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) = (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))))
74	4, 10, 17	latlej2 18472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐺‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)))
75	2, 7, 16, 74	syl3anc 1389	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐺‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)))
76	4, 10, 17, 35, 11	lhpmod2i2 40623	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐺‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃))) → (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ (𝐺‘𝑃)) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ (𝑊 ∨ (𝐺‘𝑃))))
77	8, 21, 16, 75, 76	syl121anc 1393	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ (𝐺‘𝑃)) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ (𝑊 ∨ (𝐺‘𝑃))))
78		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
79	10, 17, 78, 5, 11	lhpjat1 40605	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺‘𝑃) ≤ 𝑊)) → (𝑊 ∨ (𝐺‘𝑃)) = (1.‘𝐾))
80	8, 50, 79	syl2anc 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑊 ∨ (𝐺‘𝑃)) = (1.‘𝐾))
81	80	oveq2d 7407	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ (𝑊 ∨ (𝐺‘𝑃))) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ (1.‘𝐾)))
82		hlol 39946	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
83	1, 82	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ OL)
84	4, 35, 78	olm11 39812	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ (1.‘𝐾)) = (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)))
85	83, 21, 84	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ (1.‘𝐾)) = (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)))
86	77, 81, 85	3eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ (𝐺‘𝑃)) = (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)))
87	86	oveq1d 7406	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))))
88	73, 87	eqtr3d 2798	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))))
89	88	oveq1d 7406	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))) ∧ 𝑊) = (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊))
90	71, 89	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊)) = (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊))
91	55, 65, 90	3eqtrd 2800	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑅‘𝐹) ∨ (𝑅‘𝐺)) = (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊))
92	38, 48, 91	3brtr4d 5129	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ≤ ((𝑅‘𝐹) ∨ (𝑅‘𝐺)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097   ∘ ccom 5647  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  Basecbs 17236  lecple 17284  joincjn 18334  meetcmee 18335  1.cp1 18445  Latclat 18454  OLcol 39759  Atomscatm 39848  HLchlt 39935  LHypclh 40569  LTrncltrn 40686  trLctrl 40743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-riotaBAD 39538

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-undef 8247  df-map 8804  df-proset 18317  df-poset 18336  df-plt 18351  df-lub 18367  df-glb 18368  df-join 18369  df-meet 18370  df-p0 18446  df-p1 18447  df-lat 18455  df-clat 18522  df-oposet 39761  df-ol 39763  df-oml 39764  df-covers 39851  df-ats 39852  df-atl 39883  df-cvlat 39907  df-hlat 39936  df-llines 40083  df-lplanes 40084  df-lvols 40085  df-lines 40086  df-psubsp 40088  df-pmap 40089  df-padd 40381  df-lhyp 40573  df-laut 40574  df-ldil 40689  df-ltrn 40690  df-trl 40744

This theorem is referenced by:  trlco  41312