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Theorem trlcolem 39585
Description: Lemma for trlco 39586. (Contributed by NM, 1-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlco.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
trlco.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
trlco.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
trlco.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
trlco.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
trlcolem.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
trlcolem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
trlcolem (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
Proof of Theorem trlcolem
StepHypRef Expression
1 simp1l 1197 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 38222 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simp3l 1201 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
4 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
5 trlcolem.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
64, 5atbase 38147 . . . . . 6 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
73, 6syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
8 simp1 1136 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
9 simp2r 1200 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
10 trlco.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
11 trlco.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
12 trlco.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
1310, 5, 11, 12ltrnat 38999 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
148, 9, 3, 13syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
154, 5atbase 38147 . . . . . 6 ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1614, 15syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
17 trlco.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
184, 10, 17latlej1 18397 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
192, 7, 16, 18syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
204, 17, 5hlatjcl 38225 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
211, 3, 14, 20syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
22 simp2l 1199 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
234, 11, 12ltrncl 38984 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
248, 22, 16, 23syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
254, 10, 17latjlej1 18402 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (𝑃 ≀ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ≀ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))))
262, 7, 21, 24, 25syl13anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ≀ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ≀ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))))
2719, 26mpd 15 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ≀ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))))
284, 17latjcl 18388 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
292, 7, 24, 28syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
304, 17latjcl 18388 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
312, 21, 24, 30syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
32 simp1r 1198 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
334, 11lhpbase 38857 . . . . 5 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3432, 33syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
35 trlcolem.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
364, 10, 35latmlem1 18418 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ≀ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) ≀ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š)))
372, 29, 31, 34, 36syl13anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ≀ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) ≀ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š)))
3827, 37mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) ≀ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š))
3911, 12ltrnco 39578 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
408, 22, 9, 39syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
41 trlco.r . . . . 5 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4210, 17, 35, 5, 11, 12, 41trlval2 39022 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝑃 ∨ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
4340, 42syld3an2 1411 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝑃 ∨ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
4410, 5, 11, 12ltrncoval 39004 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))
45443adant3r 1181 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))
4645oveq2d 7421 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘ƒ)) = (𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))))
4746oveq1d 7420 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š))
4843, 47eqtrd 2772 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š))
4910, 5, 11, 12ltrnel 38998 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
509, 49syld3an2 1411 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
5110, 17, 35, 5, 11, 12, 41trlval2 39022 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š))
528, 22, 50, 51syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š))
5310, 17, 35, 5, 11, 12, 41trlval2 39022 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
549, 53syld3an2 1411 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
5552, 54oveq12d 7423 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) = ((((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) ∨ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š)))
5610, 5, 11, 12ltrnat 38999 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴)
578, 22, 14, 56syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴)
584, 17, 5hlatjcl 38225 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
591, 14, 57, 58syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
604, 35latmcl 18389 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
612, 59, 34, 60syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
624, 35latmcl 18389 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
632, 21, 34, 62syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
644, 17latjcom 18396 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) ∨ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š)) = (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š)))
652, 61, 63, 64syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) ∨ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š)) = (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š)))
664, 17latjcl 18388 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
672, 16, 24, 66syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
684, 10, 35latmle2 18414 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)
692, 21, 34, 68syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)
704, 10, 17, 35, 11lhpmod6i1 38898 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ≀ π‘Š) β†’ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š)) = ((((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))) ∧ π‘Š))
718, 63, 67, 69, 70syl121anc 1375 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š)) = ((((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))) ∧ π‘Š))
724, 17latjass 18432 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) = (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))))
732, 63, 16, 24, 72syl13anc 1372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) = (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))))
744, 10, 17latlej2 18398 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
752, 7, 16, 74syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
764, 10, 17, 35, 11lhpmod2i2 38897 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ))) β†’ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (π‘Š ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ))))
778, 21, 16, 75, 76syl121anc 1375 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (π‘Š ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ))))
78 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (1.β€˜πΎ) = (1.β€˜πΎ)
7910, 17, 78, 5, 11lhpjat1 38879 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š)) β†’ (π‘Š ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) = (1.β€˜πΎ))
808, 50, 79syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘Š ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) = (1.β€˜πΎ))
8180oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (π‘Š ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ))) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (1.β€˜πΎ)))
82 hlol 38219 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
831, 82syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ OL)
844, 35, 78olm11 38085 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (1.β€˜πΎ)) = (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
8583, 21, 84syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (1.β€˜πΎ)) = (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
8677, 81, 853eqtrd 2776 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) = (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
8786oveq1d 7420 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))))
8873, 87eqtr3d 2774 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))))
8988oveq1d 7420 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))) ∧ π‘Š) = (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š))
9071, 89eqtrd 2772 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š)) = (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š))
9155, 65, 903eqtrd 2776 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) = (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š))
9238, 48, 913brtr4d 5179 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147   ∘ ccom 5679  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  meetcmee 18261  1.cp1 18373  Latclat 18380  OLcol 38032  Atomscatm 38121  HLchlt 38208  LHypclh 38843  LTrncltrn 38960  trLctrl 39017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-riotaBAD 37811
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-undef 8254  df-map 8818  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-llines 38357  df-lplanes 38358  df-lvols 38359  df-lines 38360  df-psubsp 38362  df-pmap 38363  df-padd 38655  df-lhyp 38847  df-laut 38848  df-ldil 38963  df-ltrn 38964  df-trl 39018
This theorem is referenced by:  trlco  39586
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