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Theorem trlcolem 40239
Description: Lemma for trlco 40240. (Contributed by NM, 1-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlco.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
trlco.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
trlco.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
trlco.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
trlco.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
trlcolem.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
trlcolem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
trlcolem (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
Proof of Theorem trlcolem
StepHypRef Expression
1 simp1l 1194 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 38876 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simp3l 1198 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
4 eqid 2728 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
5 trlcolem.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
64, 5atbase 38801 . . . . . 6 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
73, 6syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
8 simp1 1133 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
9 simp2r 1197 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
10 trlco.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
11 trlco.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
12 trlco.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
1310, 5, 11, 12ltrnat 39653 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
148, 9, 3, 13syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
154, 5atbase 38801 . . . . . 6 ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1614, 15syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
17 trlco.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
184, 10, 17latlej1 18449 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
192, 7, 16, 18syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
204, 17, 5hlatjcl 38879 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
211, 3, 14, 20syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
22 simp2l 1196 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
234, 11, 12ltrncl 39638 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
248, 22, 16, 23syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
254, 10, 17latjlej1 18454 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (𝑃 ≀ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ≀ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))))
262, 7, 21, 24, 25syl13anc 1369 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ≀ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ≀ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))))
2719, 26mpd 15 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ≀ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))))
284, 17latjcl 18440 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
292, 7, 24, 28syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
304, 17latjcl 18440 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
312, 21, 24, 30syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
32 simp1r 1195 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
334, 11lhpbase 39511 . . . . 5 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3432, 33syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
35 trlcolem.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
364, 10, 35latmlem1 18470 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ≀ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) ≀ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š)))
372, 29, 31, 34, 36syl13anc 1369 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ≀ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) ≀ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š)))
3827, 37mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) ≀ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š))
3911, 12ltrnco 40232 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
408, 22, 9, 39syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
41 trlco.r . . . . 5 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4210, 17, 35, 5, 11, 12, 41trlval2 39676 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝑃 ∨ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
4340, 42syld3an2 1408 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝑃 ∨ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
4410, 5, 11, 12ltrncoval 39658 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))
45443adant3r 1178 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))
4645oveq2d 7442 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘ƒ)) = (𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))))
4746oveq1d 7441 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š))
4843, 47eqtrd 2768 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š))
4910, 5, 11, 12ltrnel 39652 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
509, 49syld3an2 1408 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
5110, 17, 35, 5, 11, 12, 41trlval2 39676 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š))
528, 22, 50, 51syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š))
5310, 17, 35, 5, 11, 12, 41trlval2 39676 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
549, 53syld3an2 1408 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
5552, 54oveq12d 7444 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) = ((((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) ∨ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š)))
5610, 5, 11, 12ltrnat 39653 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴)
578, 22, 14, 56syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴)
584, 17, 5hlatjcl 38879 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
591, 14, 57, 58syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
604, 35latmcl 18441 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
612, 59, 34, 60syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
624, 35latmcl 18441 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
632, 21, 34, 62syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
644, 17latjcom 18448 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) ∨ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š)) = (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š)))
652, 61, 63, 64syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) ∨ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š)) = (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š)))
664, 17latjcl 18440 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
672, 16, 24, 66syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
684, 10, 35latmle2 18466 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)
692, 21, 34, 68syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)
704, 10, 17, 35, 11lhpmod6i1 39552 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ≀ π‘Š) β†’ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š)) = ((((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))) ∧ π‘Š))
718, 63, 67, 69, 70syl121anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š)) = ((((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))) ∧ π‘Š))
724, 17latjass 18484 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) = (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))))
732, 63, 16, 24, 72syl13anc 1369 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) = (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))))
744, 10, 17latlej2 18450 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
752, 7, 16, 74syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
764, 10, 17, 35, 11lhpmod2i2 39551 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ))) β†’ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (π‘Š ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ))))
778, 21, 16, 75, 76syl121anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (π‘Š ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ))))
78 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (1.β€˜πΎ) = (1.β€˜πΎ)
7910, 17, 78, 5, 11lhpjat1 39533 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š)) β†’ (π‘Š ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) = (1.β€˜πΎ))
808, 50, 79syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘Š ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) = (1.β€˜πΎ))
8180oveq2d 7442 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (π‘Š ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ))) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (1.β€˜πΎ)))
82 hlol 38873 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
831, 82syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ OL)
844, 35, 78olm11 38739 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (1.β€˜πΎ)) = (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
8583, 21, 84syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (1.β€˜πΎ)) = (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
8677, 81, 853eqtrd 2772 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) = (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
8786oveq1d 7441 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))))
8873, 87eqtr3d 2770 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))))
8988oveq1d 7441 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))) ∧ π‘Š) = (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š))
9071, 89eqtrd 2768 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š)) = (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š))
9155, 65, 903eqtrd 2772 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) = (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š))
9238, 48, 913brtr4d 5184 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152   ∘ ccom 5686  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  lecple 17249  joincjn 18312  meetcmee 18313  1.cp1 18425  Latclat 18432  OLcol 38686  Atomscatm 38775  HLchlt 38862  LHypclh 39497  LTrncltrn 39614  trLctrl 39671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-riotaBAD 38465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-undef 8287  df-map 8855  df-proset 18296  df-poset 18314  df-plt 18331  df-lub 18347  df-glb 18348  df-join 18349  df-meet 18350  df-p0 18426  df-p1 18427  df-lat 18433  df-clat 18500  df-oposet 38688  df-ol 38690  df-oml 38691  df-covers 38778  df-ats 38779  df-atl 38810  df-cvlat 38834  df-hlat 38863  df-llines 39011  df-lplanes 39012  df-lvols 39013  df-lines 39014  df-psubsp 39016  df-pmap 39017  df-padd 39309  df-lhyp 39501  df-laut 39502  df-ldil 39617  df-ltrn 39618  df-trl 39672
This theorem is referenced by:  trlco  40240
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