Theorem trlcolem 40425

Description: Lemma for trlco 40426. (Contributed by NM, 1-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlco.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
trlco.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
trlco.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlco.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlco.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
trlcolem.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
trlcolem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
trlcolem	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ≤ ((𝑅‘𝐹) ∨ (𝑅‘𝐺)))

Proof of Theorem trlcolem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
2	1	hllatd 39062	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
3		simp3l 1198	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
4		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5		trlcolem.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6	4, 5	atbase 38987	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
7	3, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
8		simp1 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		simp2r 1197	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐺 ∈ 𝑇)
10		trlco.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
11		trlco.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
12		trlco.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
13	10, 5, 11, 12	ltrnat 39839	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴)
14	8, 9, 3, 13	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴)
15	4, 5	atbase 38987	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 → (𝐺‘𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐺‘𝑃) ∈ (Base‘𝐾))
17		trlco.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
18	4, 10, 17	latlej1 18473	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)))
19	2, 7, 16, 18	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)))
20	4, 17, 5	hlatjcl 39065	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
21	1, 3, 14, 20	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
22		simp2l 1196	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
23	4, 11, 12	ltrncl 39824	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
24	8, 22, 16, 23	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
25	4, 10, 17	latjlej1 18478	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑃 ≤ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) → (𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ≤ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))))
26	2, 7, 21, 24, 25	syl13anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ≤ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) → (𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ≤ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))))
27	19, 26	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ≤ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))))
28	4, 17	latjcl 18464	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
29	2, 7, 24, 28	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
30	4, 17	latjcl 18464	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
31	2, 21, 24, 30	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
32		simp1r 1195	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ 𝐻)
33	4, 11	lhpbase 39697	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
34	32, 33	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
35		trlcolem.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
36	4, 10, 35	latmlem1 18494	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ≤ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) ≤ (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊)))
37	2, 29, 31, 34, 36	syl13anc 1369	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ≤ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) ≤ (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊)))
38	27, 37	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) ≤ (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊))
39	11, 12	ltrnco 40418	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
40	8, 22, 9, 39	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
41		trlco.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
42	10, 17, 35, 5, 11, 12, 41	trlval2 39862	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝑃 ∨ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑃)) ∧ 𝑊))
43	40, 42	syld3an2 1408	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝑃 ∨ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑃)) ∧ 𝑊))
44	10, 5, 11, 12	ltrncoval 39844	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))
45	44	3adant3r 1178	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑃) = (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))
46	45	oveq2d 7440	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∨ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑃)) = (𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))))
47	46	oveq1d 7439	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑃)) ∧ 𝑊) = ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊))
48	43, 47	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝑃 ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊))
49	10, 5, 11, 12	ltrnel 39838	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺‘𝑃) ≤ 𝑊))
50	9, 49	syld3an2 1408	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺‘𝑃) ≤ 𝑊))
51	10, 17, 35, 5, 11, 12, 41	trlval2 39862	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺‘𝑃) ≤ 𝑊)) → (𝑅‘𝐹) = (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊))
52	8, 22, 50, 51	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘𝐹) = (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊))
53	10, 17, 35, 5, 11, 12, 41	trlval2 39862	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘𝐺) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊))
54	9, 53	syld3an2 1408	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘𝐺) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊))
55	52, 54	oveq12d 7442	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑅‘𝐹) ∨ (𝑅‘𝐺)) = ((((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) ∨ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊)))
56	10, 5, 11, 12	ltrnat 39839	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ 𝐴)
57	8, 22, 14, 56	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ 𝐴)
58	4, 17, 5	hlatjcl 39065	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
59	1, 14, 57, 58	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
60	4, 35	latmcl 18465	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
61	2, 59, 34, 60	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
62	4, 35	latmcl 18465	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
63	2, 21, 34, 62	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
64	4, 17	latjcom 18472	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → ((((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) ∨ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊)) = (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊)))
65	2, 61, 63, 64	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊) ∨ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊)) = (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊)))
66	4, 17	latjcl 18464	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
67	2, 16, 24, 66	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
68	4, 10, 35	latmle2 18490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ≤ 𝑊)
69	2, 21, 34, 68	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ≤ 𝑊)
70	4, 10, 17, 35, 11	lhpmod6i1 39738	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ≤ 𝑊) → (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊)) = ((((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))) ∧ 𝑊))
71	8, 63, 67, 69, 70	syl121anc 1372	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊)) = ((((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))) ∧ 𝑊))
72	4, 17	latjass 18508	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))) → ((((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) = (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))))
73	2, 63, 16, 24, 72	syl13anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) = (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))))
74	4, 10, 17	latlej2 18474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐺‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)))
75	2, 7, 16, 74	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐺‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)))
76	4, 10, 17, 35, 11	lhpmod2i2 39737	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐺‘𝑃) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐺‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃))) → (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ (𝐺‘𝑃)) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ (𝑊 ∨ (𝐺‘𝑃))))
77	8, 21, 16, 75, 76	syl121anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ (𝐺‘𝑃)) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ (𝑊 ∨ (𝐺‘𝑃))))
78		eqid 2726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
79	10, 17, 78, 5, 11	lhpjat1 39719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝐺‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺‘𝑃) ≤ 𝑊)) → (𝑊 ∨ (𝐺‘𝑃)) = (1.‘𝐾))
80	8, 50, 79	syl2anc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑊 ∨ (𝐺‘𝑃)) = (1.‘𝐾))
81	80	oveq2d 7440	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ (𝑊 ∨ (𝐺‘𝑃))) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ (1.‘𝐾)))
82		hlol 39059	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
83	1, 82	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ OL)
84	4, 35, 78	olm11 38925	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ (1.‘𝐾)) = (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)))
85	83, 21, 84	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ (1.‘𝐾)) = (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)))
86	77, 81, 85	3eqtrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ (𝐺‘𝑃)) = (𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)))
87	86	oveq1d 7439	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))))
88	73, 87	eqtr3d 2768	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))) = ((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))))
89	88	oveq1d 7439	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃)))) ∧ 𝑊) = (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊))
90	71, 89	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑊) ∨ (((𝐺‘𝑃) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊)) = (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊))
91	55, 65, 90	3eqtrd 2770	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑅‘𝐹) ∨ (𝑅‘𝐺)) = (((𝑃 ∨ (𝐺‘𝑃)) ∨ (𝐹‘(𝐺‘𝑃))) ∧ 𝑊))
92	38, 48, 91	3brtr4d 5185	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑅‘(𝐹 ∘ 𝐺)) ≤ ((𝑅‘𝐹) ∨ (𝑅‘𝐺)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5153   ∘ ccom 5686  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  Basecbs 17213  lecple 17273  joincjn 18336  meetcmee 18337  1.cp1 18449  Latclat 18456  OLcol 38872  Atomscatm 38961  HLchlt 39048  LHypclh 39683  LTrncltrn 39800  trLctrl 39857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-riotaBAD 38651

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-undef 8288  df-map 8857  df-proset 18320  df-poset 18338  df-plt 18355  df-lub 18371  df-glb 18372  df-join 18373  df-meet 18374  df-p0 18450  df-p1 18451  df-lat 18457  df-clat 18524  df-oposet 38874  df-ol 38876  df-oml 38877  df-covers 38964  df-ats 38965  df-atl 38996  df-cvlat 39020  df-hlat 39049  df-llines 39197  df-lplanes 39198  df-lvols 39199  df-lines 39200  df-psubsp 39202  df-pmap 39203  df-padd 39495  df-lhyp 39687  df-laut 39688  df-ldil 39803  df-ltrn 39804  df-trl 39858

This theorem is referenced by:  trlco  40426