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Theorem trlcolem 39218
Description: Lemma for trlco 39219. (Contributed by NM, 1-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlco.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
trlco.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
trlco.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
trlco.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
trlco.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
trlcolem.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
trlcolem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
trlcolem (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))

Proof of Theorem trlcolem
StepHypRef Expression
1 simp1l 1198 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 37855 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simp3l 1202 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
4 eqid 2737 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
5 trlcolem.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
64, 5atbase 37780 . . . . . 6 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
73, 6syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
8 simp1 1137 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
9 simp2r 1201 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
10 trlco.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
11 trlco.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
12 trlco.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
1310, 5, 11, 12ltrnat 38632 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
148, 9, 3, 13syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
154, 5atbase 37780 . . . . . 6 ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1614, 15syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
17 trlco.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
184, 10, 17latlej1 18344 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
192, 7, 16, 18syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
204, 17, 5hlatjcl 37858 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
211, 3, 14, 20syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
22 simp2l 1200 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
234, 11, 12ltrncl 38617 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
248, 22, 16, 23syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
254, 10, 17latjlej1 18349 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (𝑃 ≀ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ≀ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))))
262, 7, 21, 24, 25syl13anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ≀ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ≀ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))))
2719, 26mpd 15 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ≀ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))))
284, 17latjcl 18335 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
292, 7, 24, 28syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
304, 17latjcl 18335 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
312, 21, 24, 30syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
32 simp1r 1199 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
334, 11lhpbase 38490 . . . . 5 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3432, 33syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
35 trlcolem.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
364, 10, 35latmlem1 18365 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ≀ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) ≀ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š)))
372, 29, 31, 34, 36syl13anc 1373 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ≀ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) ≀ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š)))
3827, 37mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) ≀ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š))
3911, 12ltrnco 39211 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
408, 22, 9, 39syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
41 trlco.r . . . . 5 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4210, 17, 35, 5, 11, 12, 41trlval2 38655 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝑃 ∨ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
4340, 42syld3an2 1412 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝑃 ∨ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
4410, 5, 11, 12ltrncoval 38637 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))
45443adant3r 1182 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘ƒ) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))
4645oveq2d 7378 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘ƒ)) = (𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))))
4746oveq1d 7377 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ ((𝐹 ∘ 𝐺)β€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š))
4843, 47eqtrd 2777 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š))
4910, 5, 11, 12ltrnel 38631 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
509, 49syld3an2 1412 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
5110, 17, 35, 5, 11, 12, 41trlval2 38655 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š))
528, 22, 50, 51syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š))
5310, 17, 35, 5, 11, 12, 41trlval2 38655 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
549, 53syld3an2 1412 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š))
5552, 54oveq12d 7380 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) = ((((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) ∨ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š)))
5610, 5, 11, 12ltrnat 38632 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴)
578, 22, 14, 56syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴)
584, 17, 5hlatjcl 37858 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
591, 14, 57, 58syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
604, 35latmcl 18336 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
612, 59, 34, 60syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
624, 35latmcl 18336 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
632, 21, 34, 62syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
644, 17latjcom 18343 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) ∨ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š)) = (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š)))
652, 61, 63, 64syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š) ∨ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š)) = (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š)))
664, 17latjcl 18335 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
672, 16, 24, 66syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
684, 10, 35latmle2 18361 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)
692, 21, 34, 68syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)
704, 10, 17, 35, 11lhpmod6i1 38531 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ≀ π‘Š) β†’ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š)) = ((((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))) ∧ π‘Š))
718, 63, 67, 69, 70syl121anc 1376 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š)) = ((((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))) ∧ π‘Š))
724, 17latjass 18379 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) = (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))))
732, 63, 16, 24, 72syl13anc 1373 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) = (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))))
744, 10, 17latlej2 18345 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
752, 7, 16, 74syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
764, 10, 17, 35, 11lhpmod2i2 38530 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ))) β†’ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (π‘Š ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ))))
778, 21, 16, 75, 76syl121anc 1376 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (π‘Š ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ))))
78 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (1.β€˜πΎ) = (1.β€˜πΎ)
7910, 17, 78, 5, 11lhpjat1 38512 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š)) β†’ (π‘Š ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) = (1.β€˜πΎ))
808, 50, 79syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘Š ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) = (1.β€˜πΎ))
8180oveq2d 7378 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (π‘Š ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ))) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (1.β€˜πΎ)))
82 hlol 37852 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
831, 82syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ OL)
844, 35, 78olm11 37718 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (1.β€˜πΎ)) = (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
8583, 21, 84syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ (1.β€˜πΎ)) = (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
8677, 81, 853eqtrd 2781 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) = (𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)))
8786oveq1d 7377 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))))
8873, 87eqtr3d 2779 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))) = ((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))))
8988oveq1d 7377 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)))) ∧ π‘Š) = (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š))
9071, 89eqtrd 2777 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘Š) ∨ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š)) = (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š))
9155, 65, 903eqtrd 2781 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) = (((𝑃 ∨ (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ))) ∧ π‘Š))
9238, 48, 913brtr4d 5142 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ≀ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5110   ∘ ccom 5642  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  lecple 17147  joincjn 18207  meetcmee 18208  1.cp1 18320  Latclat 18327  OLcol 37665  Atomscatm 37754  HLchlt 37841  LHypclh 38476  LTrncltrn 38593  trLctrl 38650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-riotaBAD 37444
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-undef 8209  df-map 8774  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-p1 18322  df-lat 18328  df-clat 18395  df-oposet 37667  df-ol 37669  df-oml 37670  df-covers 37757  df-ats 37758  df-atl 37789  df-cvlat 37813  df-hlat 37842  df-llines 37990  df-lplanes 37991  df-lvols 37992  df-lines 37993  df-psubsp 37995  df-pmap 37996  df-padd 38288  df-lhyp 38480  df-laut 38481  df-ldil 38596  df-ltrn 38597  df-trl 38651
This theorem is referenced by:  trlco  39219
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