MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mstri2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mstri2 24386
Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mscl.x 𝑋 = (Baseβ€˜π‘€)
mscl.d 𝐷 = (distβ€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
mstri2 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ≀ ((𝐢𝐷𝐴) + (𝐢𝐷𝐡)))

Proof of Theorem mstri2
StepHypRef Expression
1 mscl.x . . . 4 𝑋 = (Baseβ€˜π‘€)
2 mscl.d . . . 4 𝐷 = (distβ€˜π‘€)
31, 2msmet2 24379 . . 3 (𝑀 ∈ MetSp β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ∈ (Metβ€˜π‘‹))
4 mettri2 24260 . . 3 (((𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴(𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))𝐡) ≀ ((𝐢(𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))𝐴) + (𝐢(𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))𝐡)))
53, 4sylan 579 . 2 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴(𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))𝐡) ≀ ((𝐢(𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))𝐴) + (𝐢(𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))𝐡)))
6 simpr2 1193 . . 3 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
7 simpr3 1194 . . 3 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
86, 7ovresd 7588 . 2 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴(𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))𝐡) = (𝐴𝐷𝐡))
9 simpr1 1192 . . . 4 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
109, 6ovresd 7588 . . 3 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐢(𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))𝐴) = (𝐢𝐷𝐴))
119, 7ovresd 7588 . . 3 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐢(𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))𝐡) = (𝐢𝐷𝐡))
1210, 11oveq12d 7438 . 2 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐢(𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))𝐴) + (𝐢(𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))𝐡)) = ((𝐢𝐷𝐴) + (𝐢𝐷𝐡)))
135, 8, 123brtr3d 5179 1 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ≀ ((𝐢𝐷𝐴) + (𝐢𝐷𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5676   β†Ύ cres 5680  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   + caddc 11142   ≀ cle 11280  Basecbs 17180  distcds 17242  Metcmet 21265  MetSpcms 24237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-topgen 17425  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-xms 24239  df-ms 24240
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator