Theorem rexaddd 13177

Description: The extended real addition operation when both arguments are real. Deduction version of rexadd 13175. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rexaddd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rexaddd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rexaddd	⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem rexaddd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexaddd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rexaddd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		rexadd 13175	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 590	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7356  ℝcr 11028   + caddc 11032   +_𝑒 cxad 13052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-mulcl 11091  ax-i2m1 11097

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-xadd 13055

This theorem is referenced by:  xpncan  13194  xleadd1a  13196  xadddilem  13237  ismet2  24316  mettri2  24324  prdsxmetlem  24351  bl2in  24383  xblss2ps  24384  methaus  24503  metustexhalf  24539  metdcnlem  24820  metnrmlem3  24845  iscau3  25263  vtxdfiun  29569  vtxdginducedm1fi  29631  infleinflem1  45814  infleinflem2  45815  limsupgtlem  46220  ismbl3  46429  meadjunre  46919  hspmbllem1  47069  hspmbllem2  47070  hspmbllem3  47071  ovolval5lem1  47095