Theorem rexaddd 13161

Description: The extended real addition operation when both arguments are real. Deduction version of rexadd 13159. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rexaddd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rexaddd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rexaddd	⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem rexaddd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexaddd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rexaddd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		rexadd 13159	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℝcr 11037   + caddc 11041   +_𝑒 cxad 13036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-mulcl 11100  ax-i2m1 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-xadd 13039

This theorem is referenced by:  xpncan  13178  xleadd1a  13180  xadddilem  13221  ismet2  24289  mettri2  24297  prdsxmetlem  24324  bl2in  24356  xblss2ps  24357  methaus  24476  metustexhalf  24512  metdcnlem  24793  metnrmlem3  24818  iscau3  25246  vtxdfiun  29568  vtxdginducedm1fi  29630  infleinflem1  45728  infleinflem2  45729  limsupgtlem  46135  ismbl3  46344  meadjunre  46834  hspmbllem1  46984  hspmbllem2  46985  hspmbllem3  46986  ovolval5lem1  47010