MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexaddd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexaddd 12622
Description: The extended real addition operation when both arguments are real. Deduction version of rexadd 12620. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rexaddd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
rexaddd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
rexaddd (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem rexaddd
StepHypRef Expression
1 rexaddd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 rexaddd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 rexadd 12620 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
41, 2, 3syl2anc 584 1 (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  (class class class)co 7150  cr 10530   + caddc 10534   +𝑒 cxad 12500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-mulcl 10593  ax-i2m1 10599
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-xadd 12503
This theorem is referenced by:  xpncan  12639  xleadd1a  12641  xadddilem  12682  ismet2  22877  mettri2  22885  prdsxmetlem  22912  bl2in  22944  xblss2ps  22945  methaus  23064  metustexhalf  23100  metdcnlem  23378  metnrmlem3  23403  iscau3  23815  vtxdfiun  27197  vtxdginducedm1fi  27259  infleinflem1  41522  infleinflem2  41523  limsupgtlem  41942  ismbl3  42156  meadjunre  42643  hspmbllem1  42793  hspmbllem2  42794  hspmbllem3  42795  ovolval5lem1  42819
  Copyright terms: Public domain W3C validator