Theorem rexaddd 13364

Description: The extended real addition operation when both arguments are real. Deduction version of rexadd 13362. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rexaddd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rexaddd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rexaddd	⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem rexaddd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexaddd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rexaddd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		rexadd 13362	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7420  ℝcr 11199   + caddc 11203   +_𝑒 cxad 13239

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-mulcl 11262  ax-i2m1 11268

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-xadd 13242

This theorem is used by:  xpncan  13381  xleadd1a  13383  xadddilem  13424  ismet2  24652  mettri2  24660  prdsxmetlem  24687  bl2in  24719  xblss2ps  24720  methaus  24839  metustexhalf  24875  metdcnlem  25156  metnrmlem3  25181  iscau3  25599  vtxdfiun  30063  vtxdginducedm1fi  30125  infleinflem1  46380  infleinflem2  46381  limsupgtlem  46786  ismbl3  46995  meadjunre  47485  hspmbllem1  47635  hspmbllem2  47636  hspmbllem3  47637  ovolval5lem1  47661