Theorem rexaddd 13272

Description: The extended real addition operation when both arguments are real. Deduction version of rexadd 13270. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rexaddd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rexaddd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rexaddd	⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem rexaddd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexaddd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rexaddd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		rexadd 13270	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +𝑒 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  ℝcr 11151   + caddc 11155   +_𝑒 cxad 13149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-mulcl 11214  ax-i2m1 11220

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-xadd 13152

This theorem is referenced by:  xpncan  13289  xleadd1a  13291  xadddilem  13332  ismet2  24358  mettri2  24366  prdsxmetlem  24393  bl2in  24425  xblss2ps  24426  methaus  24548  metustexhalf  24584  metdcnlem  24871  metnrmlem3  24896  iscau3  25325  vtxdfiun  29514  vtxdginducedm1fi  29576  infleinflem1  45319  infleinflem2  45320  limsupgtlem  45732  ismbl3  45941  meadjunre  46431  hspmbllem1  46581  hspmbllem2  46582  hspmbllem3  46583  ovolval5lem1  46607