MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mettri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mettri 24378
Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space. Definition 14-1.1(d) of [Gleason] p. 223. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
mettri ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐴𝐷𝐶) + (𝐶𝐷𝐵)))

Proof of Theorem mettri
StepHypRef Expression
1 mettri2 24367 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐶𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) + (𝐶𝐷𝐵)))
21expcom 413 . . . 4 ((𝐶𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) + (𝐶𝐷𝐵))))
323coml 1126 . . 3 ((𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) + (𝐶𝐷𝐵))))
43impcom 407 . 2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) + (𝐶𝐷𝐵)))
5 metsym 24376 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐶𝑋) → (𝐴𝐷𝐶) = (𝐶𝐷𝐴))
653adant3r2 1182 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝐷𝐶) = (𝐶𝐷𝐴))
76oveq1d 7446 . 2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐶) + (𝐶𝐷𝐵)) = ((𝐶𝐷𝐴) + (𝐶𝐷𝐵)))
84, 7breqtrrd 5176 1 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐴𝐷𝐶) + (𝐶𝐷𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431   + caddc 11156  cle 11294  Metcmet 21368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-xadd 13153  df-xmet 21375  df-met 21376
This theorem is referenced by:  mettri3  24380  mstri  24495  smcnlem  30726  mettrifi  37744
  Copyright terms: Public domain W3C validator