Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atmod1i1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atmod1i1 37029
 Description: Version of modular law pmod1i 37020 that holds in a Hilbert lattice, when one element is an atom. (Contributed by NM, 11-May-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
atmod.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atmod.l = (le‘𝐾)
atmod.j = (join‘𝐾)
atmod.m = (meet‘𝐾)
atmod.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atmod1i1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑌) → (𝑃 (𝑋 𝑌)) = ((𝑃 𝑋) 𝑌))

Proof of Theorem atmod1i1
StepHypRef Expression
1 simpl 485 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpr2 1191 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑋𝐵)
3 simpr1 1190 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑃𝐴)
4 atmod.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 atmod.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
6 atmod.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 eqid 2820 . . . . . 6 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
8 eqid 2820 . . . . . 6 (+𝑃𝐾) = (+𝑃𝐾)
94, 5, 6, 7, 8pmapjat2 37026 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(𝑃 𝑋)) = (((pmap‘𝐾)‘𝑃)(+𝑃𝐾)((pmap‘𝐾)‘𝑋)))
101, 2, 3, 9syl3anc 1367 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((pmap‘𝐾)‘(𝑃 𝑋)) = (((pmap‘𝐾)‘𝑃)(+𝑃𝐾)((pmap‘𝐾)‘𝑋)))
114, 6atbase 36461 . . . . 5 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
12 atmod.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
13 atmod.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
144, 12, 5, 13, 7, 8hlmod1i 37028 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑃 𝑌 ∧ ((pmap‘𝐾)‘(𝑃 𝑋)) = (((pmap‘𝐾)‘𝑃)(+𝑃𝐾)((pmap‘𝐾)‘𝑋))) → ((𝑃 𝑋) 𝑌) = (𝑃 (𝑋 𝑌))))
1511, 14syl3anr1 1412 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑃 𝑌 ∧ ((pmap‘𝐾)‘(𝑃 𝑋)) = (((pmap‘𝐾)‘𝑃)(+𝑃𝐾)((pmap‘𝐾)‘𝑋))) → ((𝑃 𝑋) 𝑌) = (𝑃 (𝑋 𝑌))))
1610, 15mpan2d 692 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑃 𝑌 → ((𝑃 𝑋) 𝑌) = (𝑃 (𝑋 𝑌))))
17163impia 1113 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑌) → ((𝑃 𝑋) 𝑌) = (𝑃 (𝑋 𝑌)))
1817eqcomd 2826 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑌) → (𝑃 (𝑋 𝑌)) = ((𝑃 𝑋) 𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5042  ‘cfv 6331  (class class class)co 7133  Basecbs 16462  lecple 16551  joincjn 17533  meetcmee 17534  Atomscatm 36435  HLchlt 36522  pmapcpmap 36669  +𝑃cpadd 36967 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-iin 4898  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5436  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-proset 17517  df-poset 17535  df-plt 17547  df-lub 17563  df-glb 17564  df-join 17565  df-meet 17566  df-p0 17628  df-lat 17635  df-clat 17697  df-oposet 36348  df-ol 36350  df-oml 36351  df-covers 36438  df-ats 36439  df-atl 36470  df-cvlat 36494  df-hlat 36523  df-psubsp 36675  df-pmap 36676  df-padd 36968 This theorem is referenced by:  atmod1i1m  37030  atmod2i1  37033  atmod3i1  37036  atmod4i1  37038  dalawlem6  37048  dalawlem11  37053  dalawlem12  37054  cdleme11g  37437  cdlemednpq  37471  cdleme20c  37483  cdleme22e  37516  cdleme22eALTN  37517  cdleme35c  37623
 Copyright terms: Public domain W3C validator