Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atmod1i1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atmod1i1 36873
Description: Version of modular law pmod1i 36864 that holds in a Hilbert lattice, when one element is an atom. (Contributed by NM, 11-May-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
atmod.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atmod.l = (le‘𝐾)
atmod.j = (join‘𝐾)
atmod.m = (meet‘𝐾)
atmod.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atmod1i1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑌) → (𝑃 (𝑋 𝑌)) = ((𝑃 𝑋) 𝑌))

Proof of Theorem atmod1i1
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpr2 1187 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑋𝐵)
3 simpr1 1186 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑃𝐴)
4 atmod.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 atmod.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
6 atmod.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 eqid 2818 . . . . . 6 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
8 eqid 2818 . . . . . 6 (+𝑃𝐾) = (+𝑃𝐾)
94, 5, 6, 7, 8pmapjat2 36870 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(𝑃 𝑋)) = (((pmap‘𝐾)‘𝑃)(+𝑃𝐾)((pmap‘𝐾)‘𝑋)))
101, 2, 3, 9syl3anc 1363 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((pmap‘𝐾)‘(𝑃 𝑋)) = (((pmap‘𝐾)‘𝑃)(+𝑃𝐾)((pmap‘𝐾)‘𝑋)))
114, 6atbase 36305 . . . . 5 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
12 atmod.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
13 atmod.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
144, 12, 5, 13, 7, 8hlmod1i 36872 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑃 𝑌 ∧ ((pmap‘𝐾)‘(𝑃 𝑋)) = (((pmap‘𝐾)‘𝑃)(+𝑃𝐾)((pmap‘𝐾)‘𝑋))) → ((𝑃 𝑋) 𝑌) = (𝑃 (𝑋 𝑌))))
1511, 14syl3anr1 1408 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑃 𝑌 ∧ ((pmap‘𝐾)‘(𝑃 𝑋)) = (((pmap‘𝐾)‘𝑃)(+𝑃𝐾)((pmap‘𝐾)‘𝑋))) → ((𝑃 𝑋) 𝑌) = (𝑃 (𝑋 𝑌))))
1610, 15mpan2d 690 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑃 𝑌 → ((𝑃 𝑋) 𝑌) = (𝑃 (𝑋 𝑌))))
17163impia 1109 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑌) → ((𝑃 𝑋) 𝑌) = (𝑃 (𝑋 𝑌)))
1817eqcomd 2824 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑌) → (𝑃 (𝑋 𝑌)) = ((𝑃 𝑋) 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  lecple 16560  joincjn 17542  meetcmee 17543  Atomscatm 36279  HLchlt 36366  pmapcpmap 36513  +𝑃cpadd 36811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-lat 17644  df-clat 17706  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-psubsp 36519  df-pmap 36520  df-padd 36812
This theorem is referenced by:  atmod1i1m  36874  atmod2i1  36877  atmod3i1  36880  atmod4i1  36882  dalawlem6  36892  dalawlem11  36897  dalawlem12  36898  cdleme11g  37281  cdlemednpq  37315  cdleme20c  37327  cdleme22e  37360  cdleme22eALTN  37361  cdleme35c  37467
  Copyright terms: Public domain W3C validator