Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atmod1i1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atmod1i1 39556
Description: Version of modular law pmod1i 39547 that holds in a Hilbert lattice, when one element is an atom. (Contributed by NM, 11-May-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
atmod.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atmod.l = (le‘𝐾)
atmod.j = (join‘𝐾)
atmod.m = (meet‘𝐾)
atmod.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atmod1i1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑌) → (𝑃 (𝑋 𝑌)) = ((𝑃 𝑋) 𝑌))

Proof of Theorem atmod1i1
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpr2 1192 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑋𝐵)
3 simpr1 1191 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑃𝐴)
4 atmod.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 atmod.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
6 atmod.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 eqid 2726 . . . . . 6 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
8 eqid 2726 . . . . . 6 (+𝑃𝐾) = (+𝑃𝐾)
94, 5, 6, 7, 8pmapjat2 39553 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(𝑃 𝑋)) = (((pmap‘𝐾)‘𝑃)(+𝑃𝐾)((pmap‘𝐾)‘𝑋)))
101, 2, 3, 9syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((pmap‘𝐾)‘(𝑃 𝑋)) = (((pmap‘𝐾)‘𝑃)(+𝑃𝐾)((pmap‘𝐾)‘𝑋)))
114, 6atbase 38987 . . . . 5 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
12 atmod.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
13 atmod.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
144, 12, 5, 13, 7, 8hlmod1i 39555 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑃 𝑌 ∧ ((pmap‘𝐾)‘(𝑃 𝑋)) = (((pmap‘𝐾)‘𝑃)(+𝑃𝐾)((pmap‘𝐾)‘𝑋))) → ((𝑃 𝑋) 𝑌) = (𝑃 (𝑋 𝑌))))
1511, 14syl3anr1 1413 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑃 𝑌 ∧ ((pmap‘𝐾)‘(𝑃 𝑋)) = (((pmap‘𝐾)‘𝑃)(+𝑃𝐾)((pmap‘𝐾)‘𝑋))) → ((𝑃 𝑋) 𝑌) = (𝑃 (𝑋 𝑌))))
1610, 15mpan2d 692 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑃 𝑌 → ((𝑃 𝑋) 𝑌) = (𝑃 (𝑋 𝑌))))
17163impia 1114 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑌) → ((𝑃 𝑋) 𝑌) = (𝑃 (𝑋 𝑌)))
1817eqcomd 2732 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑌) → (𝑃 (𝑋 𝑌)) = ((𝑃 𝑋) 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099   class class class wbr 5153  cfv 6554  (class class class)co 7424  Basecbs 17213  lecple 17273  joincjn 18336  meetcmee 18337  Atomscatm 38961  HLchlt 39048  pmapcpmap 39196  +𝑃cpadd 39494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-proset 18320  df-poset 18338  df-plt 18355  df-lub 18371  df-glb 18372  df-join 18373  df-meet 18374  df-p0 18450  df-lat 18457  df-clat 18524  df-oposet 38874  df-ol 38876  df-oml 38877  df-covers 38964  df-ats 38965  df-atl 38996  df-cvlat 39020  df-hlat 39049  df-psubsp 39202  df-pmap 39203  df-padd 39495
This theorem is referenced by:  atmod1i1m  39557  atmod2i1  39560  atmod3i1  39563  atmod4i1  39565  dalawlem6  39575  dalawlem11  39580  dalawlem12  39581  cdleme11g  39964  cdlemednpq  39998  cdleme20c  40010  cdleme22e  40043  cdleme22eALTN  40044  cdleme35c  40150
  Copyright terms: Public domain W3C validator