Theorem atmod1i1 41180

Description: Version of modular law pmod1i 41171 that holds in a Hilbert lattice, when one element is an atom. (Contributed by NM, 11-May-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
atmod.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atmod.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atmod.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
atmod.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
atmod.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atmod1i1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ 𝑌) → (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ 𝑌))

Proof of Theorem atmod1i1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpr2 1214	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simpr1 1213	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
4		atmod.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		atmod.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
6		atmod.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
8		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (+𝑃‘𝐾) = (+𝑃‘𝐾)
9	4, 5, 6, 7, 8	pmapjat2 41177	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(𝑃 ∨ 𝑋)) = (((pmap‘𝐾)‘𝑃)(+𝑃‘𝐾)((pmap‘𝐾)‘𝑋)))
10	1, 2, 3, 9	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((pmap‘𝐾)‘(𝑃 ∨ 𝑋)) = (((pmap‘𝐾)‘𝑃)(+𝑃‘𝐾)((pmap‘𝐾)‘𝑋)))
11	4, 6	atbase 40612	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
12		atmod.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
13		atmod.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
14	4, 12, 5, 13, 7, 8	hlmod1i 41179	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑃 ≤ 𝑌 ∧ ((pmap‘𝐾)‘(𝑃 ∨ 𝑋)) = (((pmap‘𝐾)‘𝑃)(+𝑃‘𝐾)((pmap‘𝐾)‘𝑋))) → ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ 𝑌) = (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌))))
15	11, 14	syl3anr1 1444	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑃 ≤ 𝑌 ∧ ((pmap‘𝐾)‘(𝑃 ∨ 𝑋)) = (((pmap‘𝐾)‘𝑃)(+𝑃‘𝐾)((pmap‘𝐾)‘𝑋))) → ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ 𝑌) = (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌))))
16	10, 15	mpan2d 707	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ≤ 𝑌 → ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ 𝑌) = (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌))))
17	16	3impia 1135	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ 𝑌) → ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ 𝑌) = (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)))
18	17	eqcomd 2769	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ 𝑌) → (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  lecple 17479  joincjn 18535  meetcmee 18536  Atomscatm 40586  HLchlt 40673  pmapcpmap 40820  +_𝑃cpadd 41118

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-proset 18518  df-poset 18537  df-plt 18552  df-lub 18568  df-glb 18569  df-join 18570  df-meet 18571  df-p0 18647  df-lat 18656  df-clat 18723  df-oposet 40499  df-ol 40501  df-oml 40502  df-covers 40589  df-ats 40590  df-atl 40621  df-cvlat 40645  df-hlat 40674  df-psubsp 40826  df-pmap 40827  df-padd 41119

This theorem is used by:  atmod1i1m  41181  atmod2i1  41184  atmod3i1  41187  atmod4i1  41189  dalawlem6  41199  dalawlem11  41204  dalawlem12  41205  cdleme11g  41588  cdlemednpq  41622  cdleme20c  41634  cdleme22e  41667  cdleme22eALTN  41668  cdleme35c  41774