Theorem atmod1i1 40631

Description: Version of modular law pmod1i 40622 that holds in a Hilbert lattice, when one element is an atom. (Contributed by NM, 11-May-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
atmod.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atmod.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atmod.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
atmod.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
atmod.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atmod1i1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ 𝑌) → (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ 𝑌))

Proof of Theorem atmod1i1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpr2 1214	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simpr1 1213	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
4		atmod.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		atmod.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
6		atmod.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
8		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (+𝑃‘𝐾) = (+𝑃‘𝐾)
9	4, 5, 6, 7, 8	pmapjat2 40628	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(𝑃 ∨ 𝑋)) = (((pmap‘𝐾)‘𝑃)(+𝑃‘𝐾)((pmap‘𝐾)‘𝑋)))
10	1, 2, 3, 9	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((pmap‘𝐾)‘(𝑃 ∨ 𝑋)) = (((pmap‘𝐾)‘𝑃)(+𝑃‘𝐾)((pmap‘𝐾)‘𝑋)))
11	4, 6	atbase 40063	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
12		atmod.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
13		atmod.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
14	4, 12, 5, 13, 7, 8	hlmod1i 40630	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑃 ≤ 𝑌 ∧ ((pmap‘𝐾)‘(𝑃 ∨ 𝑋)) = (((pmap‘𝐾)‘𝑃)(+𝑃‘𝐾)((pmap‘𝐾)‘𝑋))) → ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ 𝑌) = (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌))))
15	11, 14	syl3anr1 1443	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑃 ≤ 𝑌 ∧ ((pmap‘𝐾)‘(𝑃 ∨ 𝑋)) = (((pmap‘𝐾)‘𝑃)(+𝑃‘𝐾)((pmap‘𝐾)‘𝑋))) → ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ 𝑌) = (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌))))
16	10, 15	mpan2d 706	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ≤ 𝑌 → ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ 𝑌) = (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌))))
17	16	3impia 1135	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ 𝑌) → ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ 𝑌) = (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)))
18	17	eqcomd 2769	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ 𝑌) → (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  lecple 17312  joincjn 18362  meetcmee 18363  Atomscatm 40037  HLchlt 40124  pmapcpmap 40271  +_𝑃cpadd 40569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-proset 18345  df-poset 18364  df-plt 18379  df-lub 18395  df-glb 18396  df-join 18397  df-meet 18398  df-p0 18474  df-lat 18483  df-clat 18550  df-oposet 39950  df-ol 39952  df-oml 39953  df-covers 40040  df-ats 40041  df-atl 40072  df-cvlat 40096  df-hlat 40125  df-psubsp 40277  df-pmap 40278  df-padd 40570

This theorem is referenced by:  atmod1i1m  40632  atmod2i1  40635  atmod3i1  40638  atmod4i1  40640  dalawlem6  40650  dalawlem11  40655  dalawlem12  40656  cdleme11g  41039  cdlemednpq  41073  cdleme20c  41085  cdleme22e  41118  cdleme22eALTN  41119  cdleme35c  41225