Theorem atmod1i1 39851

Description: Version of modular law pmod1i 39842 that holds in a Hilbert lattice, when one element is an atom. (Contributed by NM, 11-May-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
atmod.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atmod.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atmod.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
atmod.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
atmod.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atmod1i1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ 𝑌) → (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ 𝑌))

Proof of Theorem atmod1i1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpr2 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simpr1 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
4		atmod.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		atmod.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
6		atmod.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
8		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (+𝑃‘𝐾) = (+𝑃‘𝐾)
9	4, 5, 6, 7, 8	pmapjat2 39848	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(𝑃 ∨ 𝑋)) = (((pmap‘𝐾)‘𝑃)(+𝑃‘𝐾)((pmap‘𝐾)‘𝑋)))
10	1, 2, 3, 9	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((pmap‘𝐾)‘(𝑃 ∨ 𝑋)) = (((pmap‘𝐾)‘𝑃)(+𝑃‘𝐾)((pmap‘𝐾)‘𝑋)))
11	4, 6	atbase 39282	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
12		atmod.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
13		atmod.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
14	4, 12, 5, 13, 7, 8	hlmod1i 39850	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑃 ≤ 𝑌 ∧ ((pmap‘𝐾)‘(𝑃 ∨ 𝑋)) = (((pmap‘𝐾)‘𝑃)(+𝑃‘𝐾)((pmap‘𝐾)‘𝑋))) → ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ 𝑌) = (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌))))
15	11, 14	syl3anr1 1418	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑃 ≤ 𝑌 ∧ ((pmap‘𝐾)‘(𝑃 ∨ 𝑋)) = (((pmap‘𝐾)‘𝑃)(+𝑃‘𝐾)((pmap‘𝐾)‘𝑋))) → ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ 𝑌) = (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌))))
16	10, 15	mpan2d 694	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ≤ 𝑌 → ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ 𝑌) = (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌))))
17	16	3impia 1117	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ 𝑌) → ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ 𝑌) = (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)))
18	17	eqcomd 2735	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ 𝑌) → (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  lecple 17227  joincjn 18272  meetcmee 18273  Atomscatm 39256  HLchlt 39343  pmapcpmap 39491  +_𝑃cpadd 39789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-lat 18391  df-clat 18458  df-oposet 39169  df-ol 39171  df-oml 39172  df-covers 39259  df-ats 39260  df-atl 39291  df-cvlat 39315  df-hlat 39344  df-psubsp 39497  df-pmap 39498  df-padd 39790

This theorem is referenced by:  atmod1i1m  39852  atmod2i1  39855  atmod3i1  39858  atmod4i1  39860  dalawlem6  39870  dalawlem11  39875  dalawlem12  39876  cdleme11g  40259  cdlemednpq  40293  cdleme20c  40305  cdleme22e  40338  cdleme22eALTN  40339  cdleme35c  40445