Theorem mulassnni 39975

Description: Associative law for multiplication. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulassnni.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
mulassnni.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ
mulassnni.3	⊢ 𝐶 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
mulassnni	⊢ ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶))

Proof of Theorem mulassnni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulassnni.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
2	1	nncni 11966	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3		mulassnni.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
4	3	nncni 11966	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
5		mulassnni.3	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ
6	5	nncni 11966	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
7	2, 4, 6	mulassi 10970	1 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶))

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7268   · cmul 10860  ℕcn 11956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-1cn 10913  ax-addcl 10915  ax-mulass 10921

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-ov 7271  df-om 7701  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-nn 11957

This theorem is referenced by:  420lcm8e840  39999