Theorem mulassnni 39686

Description: Associative law for multiplication. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulassnni.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
mulassnni.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ
mulassnni.3	⊢ 𝐶 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
mulassnni	⊢ ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶))

Proof of Theorem mulassnni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulassnni.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
2	1	nncni 11823	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3		mulassnni.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
4	3	nncni 11823	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
5		mulassnni.3	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ
6	5	nncni 11823	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
7	2, 4, 6	mulassi 10827	1 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶))

Syntax hints:   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7202   · cmul 10717  ℕcn 11813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-1cn 10770  ax-addcl 10772  ax-mulass 10778

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-ov 7205  df-om 7634  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-nn 11814

This theorem is referenced by:  420lcm8e840  39710