Theorem mulassnni 41987

Description: Associative law for multiplication. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulassnni.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
mulassnni.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ
mulassnni.3	⊢ 𝐶 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
mulassnni	⊢ ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶))

Proof of Theorem mulassnni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulassnni.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
2	1	nncni 12276	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3		mulassnni.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
4	3	nncni 12276	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
5		mulassnni.3	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ
6	5	nncni 12276	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
7	2, 4, 6	mulassi 11272	1 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶))

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431   · cmul 11160  ℕcn 12266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-1cn 11213  ax-addcl 11215  ax-mulass 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-nn 12267

This theorem is referenced by:  420lcm8e840  42012