Theorem 420lcm8e840 42004

Description: The lcm of 420 and 8 is 840. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420lcm8e840	⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Proof of Theorem 420lcm8e840

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12403	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn 12201	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12611	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12615	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
5		8nn 12223	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ
6		4nn 12211	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ
7		8nn0 12407	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7, 6	decnncl 12611	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ
9	8	decnncl2 12615	. 2 ⊢ ;;840 ∈ ℕ
10		420gcd8e4 41999	. 2 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4
11		eqid 2729	. 2 ⊢ (4 · ;;840) = (4 · ;;840)
12	4, 5	mulcomnni 41980	. . . . 5 ⊢ (;;420 · 8) = (8 · ;;420)
13		4t2e8 12291	. . . . . 6 ⊢ (4 · 2) = 8
14	13	oveq1i 7359	. . . . 5 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (8 · ;;420)
15	12, 14	eqtr4i 2755	. . . 4 ⊢ (;;420 · 8) = ((4 · 2) · ;;420)
16	6, 2, 4	mulassnni 41979	. . . 4 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (4 · (2 · ;;420))
17	15, 16	eqtri 2752	. . 3 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · (2 · ;;420))
18	2	nnnn0i 12392	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	3	nnnn0i 12392	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
20		0nn0 12399	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ;;420 = ;;420
22		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ;42 = ;42
23		4cn 12213	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
24		2cn 12203	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
25	23, 24, 13	mulcomli 11124	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 4) = 8
26	25	oveq1i 7359	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 4) + 0) = (8 + 0)
27		8cn 12225	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
28	27	addridi 11303	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 0) = 8
29	26, 28	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) + 0) = 8
30		2t2e4 12287	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
31	1	dec0h 12613	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = ;04
32	31	eqcomi 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ;04 = 4
33	30, 32	eqtr4i 2755	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = ;04
34	18, 1, 18, 22, 1, 20, 29, 33	decmul2c 12657	. . . . . 6 ⊢ (2 · ;42) = ;84
35	23	addridi 11303	. . . . . 6 ⊢ (4 + 0) = 4
36	7, 1, 20, 34, 35	decaddi 12651	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;42) + 0) = ;84
37		2t0e0 12292	. . . . . 6 ⊢ (2 · 0) = 0
38	20	dec0h 12613	. . . . . . 7 ⊢ 0 = ;00
39	38	eqcomi 2738	. . . . . 6 ⊢ ;00 = 0
40	37, 39	eqtr4i 2755	. . . . 5 ⊢ (2 · 0) = ;00
41	18, 19, 20, 21, 20, 20, 36, 40	decmul2c 12657	. . . 4 ⊢ (2 · ;;420) = ;;840
42	41	oveq2i 7360	. . 3 ⊢ (4 · (2 · ;;420)) = (4 · ;;840)
43	17, 42	eqtri 2752	. 2 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · ;;840)
44	4, 5, 6, 9, 10, 11, 43	lcmeprodgcdi 42000	1 ⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7349  0cc0 11009   + caddc 11012   · cmul 11014  2c2 12183  4c4 12185  8c8 12189  ;cdc 12591   lcm clcm 16499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-dvds 16164  df-gcd 16406  df-lcm 16501

This theorem is referenced by:  lcm8un  42013