Theorem 420lcm8e840 42511

Description: The lcm of 420 and 8 is 840. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420lcm8e840	⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Proof of Theorem 420lcm8e840

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12451	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn 12249	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12659	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12663	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
5		8nn 12271	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ
6		4nn 12259	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ
7		8nn0 12455	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7, 6	decnncl 12659	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ
9	8	decnncl2 12663	. 2 ⊢ ;;840 ∈ ℕ
10		420gcd8e4 42506	. 2 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4
11		eqid 2741	. 2 ⊢ (4 · ;;840) = (4 · ;;840)
12	4, 5	mulcomnni 42487	. . . . 5 ⊢ (;;420 · 8) = (8 · ;;420)
13		4t2e8 12339	. . . . . 6 ⊢ (4 · 2) = 8
14	13	oveq1i 7370	. . . . 5 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (8 · ;;420)
15	12, 14	eqtr4i 2767	. . . 4 ⊢ (;;420 · 8) = ((4 · 2) · ;;420)
16	6, 2, 4	mulassnni 42486	. . . 4 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (4 · (2 · ;;420))
17	15, 16	eqtri 2764	. . 3 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · (2 · ;;420))
18	2	nnnn0i 12440	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	3	nnnn0i 12440	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
20		0nn0 12447	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ ;;420 = ;;420
22		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ ;42 = ;42
23		4cn 12261	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
24		2cn 12251	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
25	23, 24, 13	mulcomli 11149	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 4) = 8
26	25	oveq1i 7370	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 4) + 0) = (8 + 0)
27		8cn 12273	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
28	27	addridi 11328	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 0) = 8
29	26, 28	eqtri 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) + 0) = 8
30		2t2e4 12335	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
31	1	dec0h 12661	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = ;04
32	31	eqcomi 2750	. . . . . . . 8 ⊢ ;04 = 4
33	30, 32	eqtr4i 2767	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = ;04
34	18, 1, 18, 22, 1, 20, 29, 33	decmul2c 12705	. . . . . 6 ⊢ (2 · ;42) = ;84
35	23	addridi 11328	. . . . . 6 ⊢ (4 + 0) = 4
36	7, 1, 20, 34, 35	decaddi 12699	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;42) + 0) = ;84
37		2t0e0 12340	. . . . . 6 ⊢ (2 · 0) = 0
38	20	dec0h 12661	. . . . . . 7 ⊢ 0 = ;00
39	38	eqcomi 2750	. . . . . 6 ⊢ ;00 = 0
40	37, 39	eqtr4i 2767	. . . . 5 ⊢ (2 · 0) = ;00
41	18, 19, 20, 21, 20, 20, 36, 40	decmul2c 12705	. . . 4 ⊢ (2 · ;;420) = ;;840
42	41	oveq2i 7371	. . 3 ⊢ (4 · (2 · ;;420)) = (4 · ;;840)
43	17, 42	eqtri 2764	. 2 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · ;;840)
44	4, 5, 6, 9, 10, 11, 43	lcmeprodgcdi 42507	1 ⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Syntax hints:   = wceq 1548  (class class class)co 7360  0cc0 11033   + caddc 11036   · cmul 11038  2c2 12231  4c4 12233  8c8 12237  ;cdc 12639   lcm clcm 16552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fl 13746  df-mod 13824  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-dvds 16217  df-gcd 16459  df-lcm 16554

This theorem is referenced by:  lcm8un  42520