Theorem 420lcm8e840 41993

Description: The lcm of 420 and 8 is 840. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420lcm8e840	⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Proof of Theorem 420lcm8e840

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12543	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn 12337	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12751	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12755	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
5		8nn 12359	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ
6		4nn 12347	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ
7		8nn0 12547	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7, 6	decnncl 12751	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ
9	8	decnncl2 12755	. 2 ⊢ ;;840 ∈ ℕ
10		420gcd8e4 41988	. 2 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4
11		eqid 2735	. 2 ⊢ (4 · ;;840) = (4 · ;;840)
12	4, 5	mulcomnni 41969	. . . . 5 ⊢ (;;420 · 8) = (8 · ;;420)
13		4t2e8 12432	. . . . . 6 ⊢ (4 · 2) = 8
14	13	oveq1i 7441	. . . . 5 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (8 · ;;420)
15	12, 14	eqtr4i 2766	. . . 4 ⊢ (;;420 · 8) = ((4 · 2) · ;;420)
16	6, 2, 4	mulassnni 41968	. . . 4 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (4 · (2 · ;;420))
17	15, 16	eqtri 2763	. . 3 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · (2 · ;;420))
18	2	nnnn0i 12532	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	3	nnnn0i 12532	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
20		0nn0 12539	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ;;420 = ;;420
22		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ ;42 = ;42
23		4cn 12349	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
24		2cn 12339	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
25	23, 24, 13	mulcomli 11268	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 4) = 8
26	25	oveq1i 7441	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 4) + 0) = (8 + 0)
27		8cn 12361	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
28	27	addridi 11446	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 0) = 8
29	26, 28	eqtri 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) + 0) = 8
30		2t2e4 12428	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
31	1	dec0h 12753	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = ;04
32	31	eqcomi 2744	. . . . . . . 8 ⊢ ;04 = 4
33	30, 32	eqtr4i 2766	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = ;04
34	18, 1, 18, 22, 1, 20, 29, 33	decmul2c 12797	. . . . . 6 ⊢ (2 · ;42) = ;84
35	23	addridi 11446	. . . . . 6 ⊢ (4 + 0) = 4
36	7, 1, 20, 34, 35	decaddi 12791	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;42) + 0) = ;84
37		2t0e0 12433	. . . . . 6 ⊢ (2 · 0) = 0
38	20	dec0h 12753	. . . . . . 7 ⊢ 0 = ;00
39	38	eqcomi 2744	. . . . . 6 ⊢ ;00 = 0
40	37, 39	eqtr4i 2766	. . . . 5 ⊢ (2 · 0) = ;00
41	18, 19, 20, 21, 20, 20, 36, 40	decmul2c 12797	. . . 4 ⊢ (2 · ;;420) = ;;840
42	41	oveq2i 7442	. . 3 ⊢ (4 · (2 · ;;420)) = (4 · ;;840)
43	17, 42	eqtri 2763	. 2 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · ;;840)
44	4, 5, 6, 9, 10, 11, 43	lcmeprodgcdi 41989	1 ⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Syntax hints:   = wceq 1537  (class class class)co 7431  0cc0 11153   + caddc 11156   · cmul 11158  2c2 12319  4c4 12321  8c8 12325  ;cdc 12731   lcm clcm 16622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-lcm 16624

This theorem is referenced by:  lcm8un  42002