Theorem 420lcm8e840 42410

Description: The lcm of 420 and 8 is 840. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420lcm8e840	⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Proof of Theorem 420lcm8e840

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12434	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn 12232	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12641	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12645	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
5		8nn 12254	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ
6		4nn 12242	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ
7		8nn0 12438	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7, 6	decnncl 12641	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ
9	8	decnncl2 12645	. 2 ⊢ ;;840 ∈ ℕ
10		420gcd8e4 42405	. 2 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4
11		eqid 2737	. 2 ⊢ (4 · ;;840) = (4 · ;;840)
12	4, 5	mulcomnni 42386	. . . . 5 ⊢ (;;420 · 8) = (8 · ;;420)
13		4t2e8 12322	. . . . . 6 ⊢ (4 · 2) = 8
14	13	oveq1i 7380	. . . . 5 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (8 · ;;420)
15	12, 14	eqtr4i 2763	. . . 4 ⊢ (;;420 · 8) = ((4 · 2) · ;;420)
16	6, 2, 4	mulassnni 42385	. . . 4 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (4 · (2 · ;;420))
17	15, 16	eqtri 2760	. . 3 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · (2 · ;;420))
18	2	nnnn0i 12423	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	3	nnnn0i 12423	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
20		0nn0 12430	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ;;420 = ;;420
22		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ;42 = ;42
23		4cn 12244	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
24		2cn 12234	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
25	23, 24, 13	mulcomli 11155	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 4) = 8
26	25	oveq1i 7380	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 4) + 0) = (8 + 0)
27		8cn 12256	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
28	27	addridi 11334	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 0) = 8
29	26, 28	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) + 0) = 8
30		2t2e4 12318	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
31	1	dec0h 12643	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = ;04
32	31	eqcomi 2746	. . . . . . . 8 ⊢ ;04 = 4
33	30, 32	eqtr4i 2763	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = ;04
34	18, 1, 18, 22, 1, 20, 29, 33	decmul2c 12687	. . . . . 6 ⊢ (2 · ;42) = ;84
35	23	addridi 11334	. . . . . 6 ⊢ (4 + 0) = 4
36	7, 1, 20, 34, 35	decaddi 12681	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;42) + 0) = ;84
37		2t0e0 12323	. . . . . 6 ⊢ (2 · 0) = 0
38	20	dec0h 12643	. . . . . . 7 ⊢ 0 = ;00
39	38	eqcomi 2746	. . . . . 6 ⊢ ;00 = 0
40	37, 39	eqtr4i 2763	. . . . 5 ⊢ (2 · 0) = ;00
41	18, 19, 20, 21, 20, 20, 36, 40	decmul2c 12687	. . . 4 ⊢ (2 · ;;420) = ;;840
42	41	oveq2i 7381	. . 3 ⊢ (4 · (2 · ;;420)) = (4 · ;;840)
43	17, 42	eqtri 2760	. 2 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · ;;840)
44	4, 5, 6, 9, 10, 11, 43	lcmeprodgcdi 42406	1 ⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7370  0cc0 11040   + caddc 11043   · cmul 11045  2c2 12214  4c4 12216  8c8 12220  ;cdc 12621   lcm clcm 16529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-sup 9359  df-inf 9360  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-rp 12920  df-fl 13726  df-mod 13804  df-seq 13939  df-exp 13999  df-cj 15036  df-re 15037  df-im 15038  df-sqrt 15172  df-abs 15173  df-dvds 16194  df-gcd 16436  df-lcm 16531

This theorem is referenced by:  lcm8un  42419