Theorem 420lcm8e840 39299

Description: The lcm of 420 and 8 is 840. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420lcm8e840	⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Proof of Theorem 420lcm8e840

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 11904	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn 11698	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12106	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12110	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
5		8nn 11720	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ
6		4nn 11708	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ
7		8nn0 11908	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7, 6	decnncl 12106	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ
9	8	decnncl2 12110	. 2 ⊢ ;;840 ∈ ℕ
10		420gcd8e4 39294	. 2 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4
11		eqid 2798	. 2 ⊢ (4 · ;;840) = (4 · ;;840)
12	4, 5	mulcomnni 39275	. . . . 5 ⊢ (;;420 · 8) = (8 · ;;420)
13		4t2e8 11793	. . . . . 6 ⊢ (4 · 2) = 8
14	13	oveq1i 7145	. . . . 5 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (8 · ;;420)
15	12, 14	eqtr4i 2824	. . . 4 ⊢ (;;420 · 8) = ((4 · 2) · ;;420)
16	6, 2, 4	mulassnni 39274	. . . 4 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (4 · (2 · ;;420))
17	15, 16	eqtri 2821	. . 3 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · (2 · ;;420))
18	2	nnnn0i 11893	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	3	nnnn0i 11893	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
20		0nn0 11900	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ ;;420 = ;;420
22		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ ;42 = ;42
23		4cn 11710	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
24		2cn 11700	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
25	23, 24, 13	mulcomli 10639	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 4) = 8
26	25	oveq1i 7145	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 4) + 0) = (8 + 0)
27		8cn 11722	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
28	27	addid1i 10816	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 0) = 8
29	26, 28	eqtri 2821	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) + 0) = 8
30		2t2e4 11789	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
31	1	dec0h 12108	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = ;04
32	31	eqcomi 2807	. . . . . . . 8 ⊢ ;04 = 4
33	30, 32	eqtr4i 2824	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = ;04
34	18, 1, 18, 22, 1, 20, 29, 33	decmul2c 12152	. . . . . 6 ⊢ (2 · ;42) = ;84
35	23	addid1i 10816	. . . . . 6 ⊢ (4 + 0) = 4
36	7, 1, 20, 34, 35	decaddi 12146	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;42) + 0) = ;84
37		2t0e0 11794	. . . . . 6 ⊢ (2 · 0) = 0
38	20	dec0h 12108	. . . . . . 7 ⊢ 0 = ;00
39	38	eqcomi 2807	. . . . . 6 ⊢ ;00 = 0
40	37, 39	eqtr4i 2824	. . . . 5 ⊢ (2 · 0) = ;00
41	18, 19, 20, 21, 20, 20, 36, 40	decmul2c 12152	. . . 4 ⊢ (2 · ;;420) = ;;840
42	41	oveq2i 7146	. . 3 ⊢ (4 · (2 · ;;420)) = (4 · ;;840)
43	17, 42	eqtri 2821	. 2 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · ;;840)
44	4, 5, 6, 9, 10, 11, 43	lcmeprodgcdi 39295	1 ⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Syntax hints:   = wceq 1538  (class class class)co 7135  0cc0 10526   + caddc 10529   · cmul 10531  2c2 11680  4c4 11682  8c8 11686  ;cdc 12086   lcm clcm 15922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-dvds 15600  df-gcd 15834  df-lcm 15924

This theorem is referenced by:  lcm8un  39308