Theorem 420lcm8e840 39947

Description: The lcm of 420 and 8 is 840. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420lcm8e840	⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Proof of Theorem 420lcm8e840

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12182	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn 11976	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12386	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12390	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
5		8nn 11998	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ
6		4nn 11986	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ
7		8nn0 12186	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7, 6	decnncl 12386	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ
9	8	decnncl2 12390	. 2 ⊢ ;;840 ∈ ℕ
10		420gcd8e4 39942	. 2 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4
11		eqid 2738	. 2 ⊢ (4 · ;;840) = (4 · ;;840)
12	4, 5	mulcomnni 39924	. . . . 5 ⊢ (;;420 · 8) = (8 · ;;420)
13		4t2e8 12071	. . . . . 6 ⊢ (4 · 2) = 8
14	13	oveq1i 7265	. . . . 5 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (8 · ;;420)
15	12, 14	eqtr4i 2769	. . . 4 ⊢ (;;420 · 8) = ((4 · 2) · ;;420)
16	6, 2, 4	mulassnni 39923	. . . 4 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (4 · (2 · ;;420))
17	15, 16	eqtri 2766	. . 3 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · (2 · ;;420))
18	2	nnnn0i 12171	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	3	nnnn0i 12171	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
20		0nn0 12178	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ;;420 = ;;420
22		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ ;42 = ;42
23		4cn 11988	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
24		2cn 11978	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
25	23, 24, 13	mulcomli 10915	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 4) = 8
26	25	oveq1i 7265	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 4) + 0) = (8 + 0)
27		8cn 12000	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
28	27	addid1i 11092	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 0) = 8
29	26, 28	eqtri 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) + 0) = 8
30		2t2e4 12067	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
31	1	dec0h 12388	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = ;04
32	31	eqcomi 2747	. . . . . . . 8 ⊢ ;04 = 4
33	30, 32	eqtr4i 2769	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = ;04
34	18, 1, 18, 22, 1, 20, 29, 33	decmul2c 12432	. . . . . 6 ⊢ (2 · ;42) = ;84
35	23	addid1i 11092	. . . . . 6 ⊢ (4 + 0) = 4
36	7, 1, 20, 34, 35	decaddi 12426	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;42) + 0) = ;84
37		2t0e0 12072	. . . . . 6 ⊢ (2 · 0) = 0
38	20	dec0h 12388	. . . . . . 7 ⊢ 0 = ;00
39	38	eqcomi 2747	. . . . . 6 ⊢ ;00 = 0
40	37, 39	eqtr4i 2769	. . . . 5 ⊢ (2 · 0) = ;00
41	18, 19, 20, 21, 20, 20, 36, 40	decmul2c 12432	. . . 4 ⊢ (2 · ;;420) = ;;840
42	41	oveq2i 7266	. . 3 ⊢ (4 · (2 · ;;420)) = (4 · ;;840)
43	17, 42	eqtri 2766	. 2 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · ;;840)
44	4, 5, 6, 9, 10, 11, 43	lcmeprodgcdi 39943	1 ⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Syntax hints:   = wceq 1539  (class class class)co 7255  0cc0 10802   + caddc 10805   · cmul 10807  2c2 11958  4c4 11960  8c8 11964  ;cdc 12366   lcm clcm 16221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892  df-gcd 16130  df-lcm 16223

This theorem is referenced by:  lcm8un  39956