Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  420lcm8e840 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 420lcm8e840 39248
Description: The lcm of 420 and 8 is 840. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)
Assertion
Ref Expression
420lcm8e840 (420 lcm 8) = 840

Proof of Theorem 420lcm8e840
StepHypRef Expression
1 4nn0 11916 . . . 4 4 ∈ ℕ0
2 2nn 11710 . . . 4 2 ∈ ℕ
31, 2decnncl 12118 . . 3 42 ∈ ℕ
43decnncl2 12122 . 2 420 ∈ ℕ
5 8nn 11732 . 2 8 ∈ ℕ
6 4nn 11720 . 2 4 ∈ ℕ
7 8nn0 11920 . . . 4 8 ∈ ℕ0
87, 6decnncl 12118 . . 3 84 ∈ ℕ
98decnncl2 12122 . 2 840 ∈ ℕ
10 420gcd8e4 39243 . 2 (420 gcd 8) = 4
11 eqid 2824 . 2 (4 · 840) = (4 · 840)
124, 5mulcomnni 39224 . . . . 5 (420 · 8) = (8 · 420)
13 4t2e8 11805 . . . . . 6 (4 · 2) = 8
1413oveq1i 7160 . . . . 5 ((4 · 2) · 420) = (8 · 420)
1512, 14eqtr4i 2850 . . . 4 (420 · 8) = ((4 · 2) · 420)
166, 2, 4mulassnni 39223 . . . 4 ((4 · 2) · 420) = (4 · (2 · 420))
1715, 16eqtri 2847 . . 3 (420 · 8) = (4 · (2 · 420))
182nnnn0i 11905 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
193nnnn0i 11905 . . . . 5 42 ∈ ℕ0
20 0nn0 11912 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
21 eqid 2824 . . . . 5 420 = 420
22 eqid 2824 . . . . . . 7 42 = 42
23 4cn 11722 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
24 2cn 11712 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
2523, 24, 13mulcomli 10649 . . . . . . . . 9 (2 · 4) = 8
2625oveq1i 7160 . . . . . . . 8 ((2 · 4) + 0) = (8 + 0)
27 8cn 11734 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
2827addid1i 10826 . . . . . . . 8 (8 + 0) = 8
2926, 28eqtri 2847 . . . . . . 7 ((2 · 4) + 0) = 8
30 2t2e4 11801 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
311dec0h 12120 . . . . . . . . 9 4 = 04
3231eqcomi 2833 . . . . . . . 8 04 = 4
3330, 32eqtr4i 2850 . . . . . . 7 (2 · 2) = 04
3418, 1, 18, 22, 1, 20, 29, 33decmul2c 12164 . . . . . 6 (2 · 42) = 84
3523addid1i 10826 . . . . . 6 (4 + 0) = 4
367, 1, 20, 34, 35decaddi 12158 . . . . 5 ((2 · 42) + 0) = 84
37 2t0e0 11806 . . . . . 6 (2 · 0) = 0
3820dec0h 12120 . . . . . . 7 0 = 00
3938eqcomi 2833 . . . . . 6 00 = 0
4037, 39eqtr4i 2850 . . . . 5 (2 · 0) = 00
4118, 19, 20, 21, 20, 20, 36, 40decmul2c 12164 . . . 4 (2 · 420) = 840
4241oveq2i 7161 . . 3 (4 · (2 · 420)) = (4 · 840)
4317, 42eqtri 2847 . 2 (420 · 8) = (4 · 840)
444, 5, 6, 9, 10, 11, 43lcmeprodgcdi 39244 1 (420 lcm 8) = 840
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  (class class class)co 7150  0cc0 10536   + caddc 10539   · cmul 10541  2c2 11692  4c4 11694  8c8 11698  cdc 12098   lcm clcm 15933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7576  df-2nd 7686  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-sup 8904  df-inf 8905  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-4 11702  df-5 11703  df-6 11704  df-7 11705  df-8 11706  df-9 11707  df-n0 11898  df-z 11982  df-dec 12099  df-uz 12244  df-rp 12390  df-fl 13169  df-mod 13245  df-seq 13377  df-exp 13438  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-dvds 15611  df-gcd 15845  df-lcm 15935
This theorem is referenced by:  lcm8un  39257
  Copyright terms: Public domain W3C validator