Theorem 420lcm8e840 42806

Description: The lcm of 420 and 8 is 840. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420lcm8e840	⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Proof of Theorem 420lcm8e840

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12529	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn 12320	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12741	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12746	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
5		8nn 12342	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ
6		4nn 12330	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ
7		8nn0 12533	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7, 6	decnncl 12741	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ
9	8	decnncl2 12746	. 2 ⊢ ;;840 ∈ ℕ
10		420gcd8e4 42801	. 2 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4
11		eqid 2762	. 2 ⊢ (4 · ;;840) = (4 · ;;840)
12	4, 5	mulcomnni 42782	. . . . 5 ⊢ (;;420 · 8) = (8 · ;;420)
13		4t2e8 12415	. . . . . 6 ⊢ (4 · 2) = 8
14	13	oveq1i 7422	. . . . 5 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (8 · ;;420)
15	12, 14	eqtr4i 2788	. . . 4 ⊢ (;;420 · 8) = ((4 · 2) · ;;420)
16	6, 2, 4	mulassnni 42781	. . . 4 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (4 · (2 · ;;420))
17	15, 16	eqtri 2785	. . 3 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · (2 · ;;420))
18	2	nnnn0i 12518	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	3	nnnn0i 12518	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
20		0nn0 12525	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ;;420 = ;;420
22		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ ;42 = ;42
23		2t4e8 12416	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 4) = 8
24	23	oveq1i 7422	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 4) + 0) = (8 + 0)
25		8cn 12344	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
26	25	addridi 11403	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 0) = 8
27	24, 26	eqtri 2785	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) + 0) = 8
28		2t2e4 12410	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
29	1	dec0h 12744	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = ;04
30	29	eqcomi 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ;04 = 4
31	28, 30	eqtr4i 2788	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = ;04
32	18, 1, 18, 22, 1, 20, 27, 31	decmul2c 12788	. . . . . 6 ⊢ (2 · ;42) = ;84
33		4cn 12332	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addridi 11403	. . . . . 6 ⊢ (4 + 0) = 4
35	7, 1, 20, 32, 34	decaddi 12782	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;42) + 0) = ;84
36		2t0e0 12417	. . . . . 6 ⊢ (2 · 0) = 0
37	20	dec0h 12744	. . . . . . 7 ⊢ 0 = ;00
38	37	eqcomi 2771	. . . . . 6 ⊢ ;00 = 0
39	36, 38	eqtr4i 2788	. . . . 5 ⊢ (2 · 0) = ;00
40	18, 19, 20, 21, 20, 20, 35, 39	decmul2c 12788	. . . 4 ⊢ (2 · ;;420) = ;;840
41	40	oveq2i 7423	. . 3 ⊢ (4 · (2 · ;;420)) = (4 · ;;840)
42	17, 41	eqtri 2785	. 2 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · ;;840)
43	4, 5, 6, 9, 10, 11, 42	lcmeprodgcdi 42802	1 ⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569  (class class class)co 7412  0cc0 11106   + caddc 11109   · cmul 11111  2c2 12301  4c4 12303  8c8 12307  ;cdc 12717   lcm clcm 16652

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14045  df-exp 14105  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-dvds 16317  df-gcd 16559  df-lcm 16654

This theorem is used by:  lcm8un  42815