Theorem 420lcm8e840 43062

Description: The lcm of 420 and 8 is 840. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420lcm8e840	⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Proof of Theorem 420lcm8e840

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12625	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn 12416	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12838	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12843	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
5		8nn 12438	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ
6		4nn 12426	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ
7		8nn0 12629	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7, 6	decnncl 12838	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ
9	8	decnncl2 12843	. 2 ⊢ ;;840 ∈ ℕ
10		420gcd8e4 43057	. 2 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4
11		eqid 2760	. 2 ⊢ (4 · ;;840) = (4 · ;;840)
12	4, 5	mulcomnni 43038	. . . . 5 ⊢ (;;420 · 8) = (8 · ;;420)
13		4t2e8 12511	. . . . . 6 ⊢ (4 · 2) = 8
14	13	oveq1i 7430	. . . . 5 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (8 · ;;420)
15	12, 14	eqtr4i 2786	. . . 4 ⊢ (;;420 · 8) = ((4 · 2) · ;;420)
16	6, 2, 4	mulassnni 43037	. . . 4 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (4 · (2 · ;;420))
17	15, 16	eqtri 2783	. . 3 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · (2 · ;;420))
18	2	nnnn0i 12614	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	3	nnnn0i 12614	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
20		0nn0 12621	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ;;420 = ;;420
22		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ;42 = ;42
23		2t4e8 12512	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 4) = 8
24	23	oveq1i 7430	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 4) + 0) = (8 + 0)
25		8cn 12440	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
26	25	addridi 11497	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 0) = 8
27	24, 26	eqtri 2783	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) + 0) = 8
28		2t2e4 12506	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
29	1	dec0h 12841	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = ;04
30	29	eqcomi 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ;04 = 4
31	28, 30	eqtr4i 2786	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = ;04
32	18, 1, 18, 22, 1, 20, 27, 31	decmul2c 12885	. . . . . 6 ⊢ (2 · ;42) = ;84
33		4cn 12428	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addridi 11497	. . . . . 6 ⊢ (4 + 0) = 4
35	7, 1, 20, 32, 34	decaddi 12879	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;42) + 0) = ;84
36		2t0e0 12513	. . . . . 6 ⊢ (2 · 0) = 0
37	20	dec0h 12841	. . . . . . 7 ⊢ 0 = ;00
38	37	eqcomi 2769	. . . . . 6 ⊢ ;00 = 0
39	36, 38	eqtr4i 2786	. . . . 5 ⊢ (2 · 0) = ;00
40	18, 19, 20, 21, 20, 20, 35, 39	decmul2c 12885	. . . 4 ⊢ (2 · ;;420) = ;;840
41	40	oveq2i 7431	. . 3 ⊢ (4 · (2 · ;;420)) = (4 · ;;840)
42	17, 41	eqtri 2783	. 2 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · ;;840)
43	4, 5, 6, 9, 10, 11, 42	lcmeprodgcdi 43058	1 ⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569  (class class class)co 7420  0cc0 11200   + caddc 11203   · cmul 11205  2c2 12397  4c4 12399  8c8 12403  ;cdc 12814   lcm clcm 16763

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-dvds 16423  df-gcd 16665  df-lcm 16765

This theorem is used by:  lcm8un  43071