Theorem 420lcm8e840 42006

Description: The lcm of 420 and 8 is 840. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420lcm8e840	⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Proof of Theorem 420lcm8e840

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12468	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn 12266	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12676	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12680	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
5		8nn 12288	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ
6		4nn 12276	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ
7		8nn0 12472	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7, 6	decnncl 12676	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ
9	8	decnncl2 12680	. 2 ⊢ ;;840 ∈ ℕ
10		420gcd8e4 42001	. 2 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4
11		eqid 2730	. 2 ⊢ (4 · ;;840) = (4 · ;;840)
12	4, 5	mulcomnni 41982	. . . . 5 ⊢ (;;420 · 8) = (8 · ;;420)
13		4t2e8 12356	. . . . . 6 ⊢ (4 · 2) = 8
14	13	oveq1i 7400	. . . . 5 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (8 · ;;420)
15	12, 14	eqtr4i 2756	. . . 4 ⊢ (;;420 · 8) = ((4 · 2) · ;;420)
16	6, 2, 4	mulassnni 41981	. . . 4 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (4 · (2 · ;;420))
17	15, 16	eqtri 2753	. . 3 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · (2 · ;;420))
18	2	nnnn0i 12457	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	3	nnnn0i 12457	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
20		0nn0 12464	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ ;;420 = ;;420
22		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ ;42 = ;42
23		4cn 12278	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
24		2cn 12268	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
25	23, 24, 13	mulcomli 11190	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 4) = 8
26	25	oveq1i 7400	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 4) + 0) = (8 + 0)
27		8cn 12290	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
28	27	addridi 11368	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 0) = 8
29	26, 28	eqtri 2753	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) + 0) = 8
30		2t2e4 12352	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
31	1	dec0h 12678	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = ;04
32	31	eqcomi 2739	. . . . . . . 8 ⊢ ;04 = 4
33	30, 32	eqtr4i 2756	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = ;04
34	18, 1, 18, 22, 1, 20, 29, 33	decmul2c 12722	. . . . . 6 ⊢ (2 · ;42) = ;84
35	23	addridi 11368	. . . . . 6 ⊢ (4 + 0) = 4
36	7, 1, 20, 34, 35	decaddi 12716	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;42) + 0) = ;84
37		2t0e0 12357	. . . . . 6 ⊢ (2 · 0) = 0
38	20	dec0h 12678	. . . . . . 7 ⊢ 0 = ;00
39	38	eqcomi 2739	. . . . . 6 ⊢ ;00 = 0
40	37, 39	eqtr4i 2756	. . . . 5 ⊢ (2 · 0) = ;00
41	18, 19, 20, 21, 20, 20, 36, 40	decmul2c 12722	. . . 4 ⊢ (2 · ;;420) = ;;840
42	41	oveq2i 7401	. . 3 ⊢ (4 · (2 · ;;420)) = (4 · ;;840)
43	17, 42	eqtri 2753	. 2 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · ;;840)
44	4, 5, 6, 9, 10, 11, 43	lcmeprodgcdi 42002	1 ⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7390  0cc0 11075   + caddc 11078   · cmul 11080  2c2 12248  4c4 12250  8c8 12254  ;cdc 12656   lcm clcm 16565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16230  df-gcd 16472  df-lcm 16567

This theorem is referenced by:  lcm8un  42015