Theorem 420lcm8e840 42633

Description: The lcm of 420 and 8 is 840. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420lcm8e840	⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Proof of Theorem 420lcm8e840

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12502	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn 12293	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12714	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12719	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
5		8nn 12315	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ
6		4nn 12303	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ
7		8nn0 12506	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7, 6	decnncl 12714	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ
9	8	decnncl2 12719	. 2 ⊢ ;;840 ∈ ℕ
10		420gcd8e4 42628	. 2 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4
11		eqid 2764	. 2 ⊢ (4 · ;;840) = (4 · ;;840)
12	4, 5	mulcomnni 42609	. . . . 5 ⊢ (;;420 · 8) = (8 · ;;420)
13		4t2e8 12388	. . . . . 6 ⊢ (4 · 2) = 8
14	13	oveq1i 7408	. . . . 5 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (8 · ;;420)
15	12, 14	eqtr4i 2790	. . . 4 ⊢ (;;420 · 8) = ((4 · 2) · ;;420)
16	6, 2, 4	mulassnni 42608	. . . 4 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (4 · (2 · ;;420))
17	15, 16	eqtri 2787	. . 3 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · (2 · ;;420))
18	2	nnnn0i 12491	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	3	nnnn0i 12491	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
20		0nn0 12498	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21		eqid 2764	. . . . 5 ⊢ ;;420 = ;;420
22		eqid 2764	. . . . . . 7 ⊢ ;42 = ;42
23		4cn 12305	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
24		2cn 12295	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
25	23, 24, 13	mulcomli 11193	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 4) = 8
26	25	oveq1i 7408	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 4) + 0) = (8 + 0)
27		8cn 12317	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
28	27	addridi 11372	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 0) = 8
29	26, 28	eqtri 2787	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) + 0) = 8
30		2t2e4 12383	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
31	1	dec0h 12717	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = ;04
32	31	eqcomi 2773	. . . . . . . 8 ⊢ ;04 = 4
33	30, 32	eqtr4i 2790	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = ;04
34	18, 1, 18, 22, 1, 20, 29, 33	decmul2c 12761	. . . . . 6 ⊢ (2 · ;42) = ;84
35	23	addridi 11372	. . . . . 6 ⊢ (4 + 0) = 4
36	7, 1, 20, 34, 35	decaddi 12755	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;42) + 0) = ;84
37		2t0e0 12390	. . . . . 6 ⊢ (2 · 0) = 0
38	20	dec0h 12717	. . . . . . 7 ⊢ 0 = ;00
39	38	eqcomi 2773	. . . . . 6 ⊢ ;00 = 0
40	37, 39	eqtr4i 2790	. . . . 5 ⊢ (2 · 0) = ;00
41	18, 19, 20, 21, 20, 20, 36, 40	decmul2c 12761	. . . 4 ⊢ (2 · ;;420) = ;;840
42	41	oveq2i 7409	. . 3 ⊢ (4 · (2 · ;;420)) = (4 · ;;840)
43	17, 42	eqtri 2787	. 2 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · ;;840)
44	4, 5, 6, 9, 10, 11, 43	lcmeprodgcdi 42629	1 ⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Syntax hints:   = wceq 1562  (class class class)co 7398  0cc0 11075   + caddc 11078   · cmul 11080  2c2 12274  4c4 12276  8c8 12280  ;cdc 12690   lcm clcm 16624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-rp 12996  df-fl 13804  df-mod 13882  df-seq 14017  df-exp 14077  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-dvds 16289  df-gcd 16531  df-lcm 16626

This theorem is referenced by:  lcm8un  42642