Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  420lcm8e840 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 420lcm8e840 41993
Description: The lcm of 420 and 8 is 840. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)
Assertion
Ref Expression
420lcm8e840 (420 lcm 8) = 840

Proof of Theorem 420lcm8e840
StepHypRef Expression
1 4nn0 12543 . . . 4 4 ∈ ℕ0
2 2nn 12337 . . . 4 2 ∈ ℕ
31, 2decnncl 12751 . . 3 42 ∈ ℕ
43decnncl2 12755 . 2 420 ∈ ℕ
5 8nn 12359 . 2 8 ∈ ℕ
6 4nn 12347 . 2 4 ∈ ℕ
7 8nn0 12547 . . . 4 8 ∈ ℕ0
87, 6decnncl 12751 . . 3 84 ∈ ℕ
98decnncl2 12755 . 2 840 ∈ ℕ
10 420gcd8e4 41988 . 2 (420 gcd 8) = 4
11 eqid 2735 . 2 (4 · 840) = (4 · 840)
124, 5mulcomnni 41969 . . . . 5 (420 · 8) = (8 · 420)
13 4t2e8 12432 . . . . . 6 (4 · 2) = 8
1413oveq1i 7441 . . . . 5 ((4 · 2) · 420) = (8 · 420)
1512, 14eqtr4i 2766 . . . 4 (420 · 8) = ((4 · 2) · 420)
166, 2, 4mulassnni 41968 . . . 4 ((4 · 2) · 420) = (4 · (2 · 420))
1715, 16eqtri 2763 . . 3 (420 · 8) = (4 · (2 · 420))
182nnnn0i 12532 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
193nnnn0i 12532 . . . . 5 42 ∈ ℕ0
20 0nn0 12539 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
21 eqid 2735 . . . . 5 420 = 420
22 eqid 2735 . . . . . . 7 42 = 42
23 4cn 12349 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
24 2cn 12339 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
2523, 24, 13mulcomli 11268 . . . . . . . . 9 (2 · 4) = 8
2625oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((2 · 4) + 0) = (8 + 0)
27 8cn 12361 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℂ
2827addridi 11446 . . . . . . . 8 (8 + 0) = 8
2926, 28eqtri 2763 . . . . . . 7 ((2 · 4) + 0) = 8
30 2t2e4 12428 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
311dec0h 12753 . . . . . . . . 9 4 = 04
3231eqcomi 2744 . . . . . . . 8 04 = 4
3330, 32eqtr4i 2766 . . . . . . 7 (2 · 2) = 04
3418, 1, 18, 22, 1, 20, 29, 33decmul2c 12797 . . . . . 6 (2 · 42) = 84
3523addridi 11446 . . . . . 6 (4 + 0) = 4
367, 1, 20, 34, 35decaddi 12791 . . . . 5 ((2 · 42) + 0) = 84
37 2t0e0 12433 . . . . . 6 (2 · 0) = 0
3820dec0h 12753 . . . . . . 7 0 = 00
3938eqcomi 2744 . . . . . 6 00 = 0
4037, 39eqtr4i 2766 . . . . 5 (2 · 0) = 00
4118, 19, 20, 21, 20, 20, 36, 40decmul2c 12797 . . . 4 (2 · 420) = 840
4241oveq2i 7442 . . 3 (4 · (2 · 420)) = (4 · 840)
4317, 42eqtri 2763 . 2 (420 · 8) = (4 · 840)
444, 5, 6, 9, 10, 11, 43lcmeprodgcdi 41989 1 (420 lcm 8) = 840
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  (class class class)co 7431  0cc0 11153   + caddc 11156   · cmul 11158  2c2 12319  4c4 12321  8c8 12325  cdc 12731   lcm clcm 16622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-lcm 16624
This theorem is referenced by:  lcm8un  42002
  Copyright terms: Public domain W3C validator