Theorem 420lcm8e840 40876

Description: The lcm of 420 and 8 is 840. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420lcm8e840	⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Proof of Theorem 420lcm8e840

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12491	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn 12285	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12697	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12701	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
5		8nn 12307	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ
6		4nn 12295	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ
7		8nn0 12495	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7, 6	decnncl 12697	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ
9	8	decnncl2 12701	. 2 ⊢ ;;840 ∈ ℕ
10		420gcd8e4 40871	. 2 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4
11		eqid 2733	. 2 ⊢ (4 · ;;840) = (4 · ;;840)
12	4, 5	mulcomnni 40853	. . . . 5 ⊢ (;;420 · 8) = (8 · ;;420)
13		4t2e8 12380	. . . . . 6 ⊢ (4 · 2) = 8
14	13	oveq1i 7419	. . . . 5 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (8 · ;;420)
15	12, 14	eqtr4i 2764	. . . 4 ⊢ (;;420 · 8) = ((4 · 2) · ;;420)
16	6, 2, 4	mulassnni 40852	. . . 4 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (4 · (2 · ;;420))
17	15, 16	eqtri 2761	. . 3 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · (2 · ;;420))
18	2	nnnn0i 12480	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	3	nnnn0i 12480	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
20		0nn0 12487	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ;;420 = ;;420
22		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ ;42 = ;42
23		4cn 12297	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
24		2cn 12287	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
25	23, 24, 13	mulcomli 11223	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 4) = 8
26	25	oveq1i 7419	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 4) + 0) = (8 + 0)
27		8cn 12309	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
28	27	addridi 11401	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 0) = 8
29	26, 28	eqtri 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) + 0) = 8
30		2t2e4 12376	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
31	1	dec0h 12699	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = ;04
32	31	eqcomi 2742	. . . . . . . 8 ⊢ ;04 = 4
33	30, 32	eqtr4i 2764	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = ;04
34	18, 1, 18, 22, 1, 20, 29, 33	decmul2c 12743	. . . . . 6 ⊢ (2 · ;42) = ;84
35	23	addridi 11401	. . . . . 6 ⊢ (4 + 0) = 4
36	7, 1, 20, 34, 35	decaddi 12737	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;42) + 0) = ;84
37		2t0e0 12381	. . . . . 6 ⊢ (2 · 0) = 0
38	20	dec0h 12699	. . . . . . 7 ⊢ 0 = ;00
39	38	eqcomi 2742	. . . . . 6 ⊢ ;00 = 0
40	37, 39	eqtr4i 2764	. . . . 5 ⊢ (2 · 0) = ;00
41	18, 19, 20, 21, 20, 20, 36, 40	decmul2c 12743	. . . 4 ⊢ (2 · ;;420) = ;;840
42	41	oveq2i 7420	. . 3 ⊢ (4 · (2 · ;;420)) = (4 · ;;840)
43	17, 42	eqtri 2761	. 2 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · ;;840)
44	4, 5, 6, 9, 10, 11, 43	lcmeprodgcdi 40872	1 ⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7409  0cc0 11110   + caddc 11113   · cmul 11115  2c2 12267  4c4 12269  8c8 12273  ;cdc 12677   lcm clcm 16525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-lcm 16527

This theorem is referenced by:  lcm8un  40885