Theorem 420lcm8e840 43252

Description: The lcm of 420 and 8 is 840. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420lcm8e840	⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Proof of Theorem 420lcm8e840

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12649	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn 12440	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12862	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12867	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
5		8nn 12462	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ
6		4nn 12450	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ
7		8nn0 12653	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7, 6	decnncl 12862	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ
9	8	decnncl2 12867	. 2 ⊢ ;;840 ∈ ℕ
10		420gcd8e4 43247	. 2 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4
11		eqid 2763	. 2 ⊢ (4 · ;;840) = (4 · ;;840)
12	4, 5	mulcomnni 43228	. . . . 5 ⊢ (;;420 · 8) = (8 · ;;420)
13		4t2e8 12535	. . . . . 6 ⊢ (4 · 2) = 8
14	13	oveq1i 7450	. . . . 5 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (8 · ;;420)
15	12, 14	eqtr4i 2789	. . . 4 ⊢ (;;420 · 8) = ((4 · 2) · ;;420)
16	6, 2, 4	mulassnni 43227	. . . 4 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (4 · (2 · ;;420))
17	15, 16	eqtri 2786	. . 3 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · (2 · ;;420))
18	2	nnnn0i 12638	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	3	nnnn0i 12638	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
20		0nn0 12645	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ;;420 = ;;420
22		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ;42 = ;42
23		2t4e8 12536	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 4) = 8
24	23	oveq1i 7450	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 4) + 0) = (8 + 0)
25		8cn 12464	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
26	25	addridi 11521	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 0) = 8
27	24, 26	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) + 0) = 8
28		2t2e4 12530	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
29	1	dec0h 12865	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = ;04
30	29	eqcomi 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ;04 = 4
31	28, 30	eqtr4i 2789	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = ;04
32	18, 1, 18, 22, 1, 20, 27, 31	decmul2c 12909	. . . . . 6 ⊢ (2 · ;42) = ;84
33		4cn 12452	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addridi 11521	. . . . . 6 ⊢ (4 + 0) = 4
35	7, 1, 20, 32, 34	decaddi 12903	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;42) + 0) = ;84
36		2t0e0 12537	. . . . . 6 ⊢ (2 · 0) = 0
37	20	dec0h 12865	. . . . . . 7 ⊢ 0 = ;00
38	37	eqcomi 2772	. . . . . 6 ⊢ ;00 = 0
39	36, 38	eqtr4i 2789	. . . . 5 ⊢ (2 · 0) = ;00
40	18, 19, 20, 21, 20, 20, 35, 39	decmul2c 12909	. . . 4 ⊢ (2 · ;;420) = ;;840
41	40	oveq2i 7451	. . 3 ⊢ (4 · (2 · ;;420)) = (4 · ;;840)
42	17, 41	eqtri 2786	. 2 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · ;;840)
43	4, 5, 6, 9, 10, 11, 42	lcmeprodgcdi 43248	1 ⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  (class class class)co 7440  0cc0 11224   + caddc 11227   · cmul 11229  2c2 12421  4c4 12423  8c8 12427  ;cdc 12838   lcm clcm 16789

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-sup 9458  df-inf 9459  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-rp 13145  df-fl 13956  df-mod 14034  df-seq 14169  df-exp 14229  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-dvds 16449  df-gcd 16691  df-lcm 16791

This theorem is used by:  lcm8un  43261