Theorem 420lcm8e840 42029

Description: The lcm of 420 and 8 is 840. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420lcm8e840	⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Proof of Theorem 420lcm8e840

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12525	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn 12318	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12733	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12737	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
5		8nn 12340	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ
6		4nn 12328	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ
7		8nn0 12529	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7, 6	decnncl 12733	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ
9	8	decnncl2 12737	. 2 ⊢ ;;840 ∈ ℕ
10		420gcd8e4 42024	. 2 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4
11		eqid 2736	. 2 ⊢ (4 · ;;840) = (4 · ;;840)
12	4, 5	mulcomnni 42005	. . . . 5 ⊢ (;;420 · 8) = (8 · ;;420)
13		4t2e8 12413	. . . . . 6 ⊢ (4 · 2) = 8
14	13	oveq1i 7420	. . . . 5 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (8 · ;;420)
15	12, 14	eqtr4i 2762	. . . 4 ⊢ (;;420 · 8) = ((4 · 2) · ;;420)
16	6, 2, 4	mulassnni 42004	. . . 4 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (4 · (2 · ;;420))
17	15, 16	eqtri 2759	. . 3 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · (2 · ;;420))
18	2	nnnn0i 12514	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	3	nnnn0i 12514	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
20		0nn0 12521	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ;;420 = ;;420
22		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ ;42 = ;42
23		4cn 12330	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
24		2cn 12320	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
25	23, 24, 13	mulcomli 11249	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 4) = 8
26	25	oveq1i 7420	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 4) + 0) = (8 + 0)
27		8cn 12342	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
28	27	addridi 11427	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 0) = 8
29	26, 28	eqtri 2759	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) + 0) = 8
30		2t2e4 12409	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
31	1	dec0h 12735	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = ;04
32	31	eqcomi 2745	. . . . . . . 8 ⊢ ;04 = 4
33	30, 32	eqtr4i 2762	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = ;04
34	18, 1, 18, 22, 1, 20, 29, 33	decmul2c 12779	. . . . . 6 ⊢ (2 · ;42) = ;84
35	23	addridi 11427	. . . . . 6 ⊢ (4 + 0) = 4
36	7, 1, 20, 34, 35	decaddi 12773	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;42) + 0) = ;84
37		2t0e0 12414	. . . . . 6 ⊢ (2 · 0) = 0
38	20	dec0h 12735	. . . . . . 7 ⊢ 0 = ;00
39	38	eqcomi 2745	. . . . . 6 ⊢ ;00 = 0
40	37, 39	eqtr4i 2762	. . . . 5 ⊢ (2 · 0) = ;00
41	18, 19, 20, 21, 20, 20, 36, 40	decmul2c 12779	. . . 4 ⊢ (2 · ;;420) = ;;840
42	41	oveq2i 7421	. . 3 ⊢ (4 · (2 · ;;420)) = (4 · ;;840)
43	17, 42	eqtri 2759	. 2 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · ;;840)
44	4, 5, 6, 9, 10, 11, 43	lcmeprodgcdi 42025	1 ⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7410  0cc0 11134   + caddc 11137   · cmul 11139  2c2 12300  4c4 12302  8c8 12306  ;cdc 12713   lcm clcm 16612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-dvds 16278  df-gcd 16519  df-lcm 16614

This theorem is referenced by:  lcm8un  42038