Theorem 420lcm8e840 41634

Description: The lcm of 420 and 8 is 840. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420lcm8e840	⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Proof of Theorem 420lcm8e840

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12529	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn 12323	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12735	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12739	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
5		8nn 12345	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ
6		4nn 12333	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ
7		8nn0 12533	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7, 6	decnncl 12735	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ
9	8	decnncl2 12739	. 2 ⊢ ;;840 ∈ ℕ
10		420gcd8e4 41629	. 2 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4
11		eqid 2725	. 2 ⊢ (4 · ;;840) = (4 · ;;840)
12	4, 5	mulcomnni 41610	. . . . 5 ⊢ (;;420 · 8) = (8 · ;;420)
13		4t2e8 12418	. . . . . 6 ⊢ (4 · 2) = 8
14	13	oveq1i 7429	. . . . 5 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (8 · ;;420)
15	12, 14	eqtr4i 2756	. . . 4 ⊢ (;;420 · 8) = ((4 · 2) · ;;420)
16	6, 2, 4	mulassnni 41609	. . . 4 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (4 · (2 · ;;420))
17	15, 16	eqtri 2753	. . 3 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · (2 · ;;420))
18	2	nnnn0i 12518	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	3	nnnn0i 12518	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
20		0nn0 12525	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ ;;420 = ;;420
22		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ ;42 = ;42
23		4cn 12335	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
24		2cn 12325	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
25	23, 24, 13	mulcomli 11260	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 4) = 8
26	25	oveq1i 7429	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 4) + 0) = (8 + 0)
27		8cn 12347	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
28	27	addridi 11438	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 0) = 8
29	26, 28	eqtri 2753	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) + 0) = 8
30		2t2e4 12414	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
31	1	dec0h 12737	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = ;04
32	31	eqcomi 2734	. . . . . . . 8 ⊢ ;04 = 4
33	30, 32	eqtr4i 2756	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = ;04
34	18, 1, 18, 22, 1, 20, 29, 33	decmul2c 12781	. . . . . 6 ⊢ (2 · ;42) = ;84
35	23	addridi 11438	. . . . . 6 ⊢ (4 + 0) = 4
36	7, 1, 20, 34, 35	decaddi 12775	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;42) + 0) = ;84
37		2t0e0 12419	. . . . . 6 ⊢ (2 · 0) = 0
38	20	dec0h 12737	. . . . . . 7 ⊢ 0 = ;00
39	38	eqcomi 2734	. . . . . 6 ⊢ ;00 = 0
40	37, 39	eqtr4i 2756	. . . . 5 ⊢ (2 · 0) = ;00
41	18, 19, 20, 21, 20, 20, 36, 40	decmul2c 12781	. . . 4 ⊢ (2 · ;;420) = ;;840
42	41	oveq2i 7430	. . 3 ⊢ (4 · (2 · ;;420)) = (4 · ;;840)
43	17, 42	eqtri 2753	. 2 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · ;;840)
44	4, 5, 6, 9, 10, 11, 43	lcmeprodgcdi 41630	1 ⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Syntax hints:   = wceq 1533  (class class class)co 7419  0cc0 11145   + caddc 11148   · cmul 11150  2c2 12305  4c4 12307  8c8 12311  ;cdc 12715   lcm clcm 16575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-pre-sup 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9472  df-inf 9473  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fl 13798  df-mod 13876  df-seq 14008  df-exp 14068  df-cj 15090  df-re 15091  df-im 15092  df-sqrt 15226  df-abs 15227  df-dvds 16243  df-gcd 16481  df-lcm 16577

This theorem is referenced by:  lcm8un  41643