Theorem 420lcm8e840 42300

Description: The lcm of 420 and 8 is 840. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420lcm8e840	⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Proof of Theorem 420lcm8e840

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12422	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn 12220	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12629	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12633	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
5		8nn 12242	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ
6		4nn 12230	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ
7		8nn0 12426	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7, 6	decnncl 12629	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ
9	8	decnncl2 12633	. 2 ⊢ ;;840 ∈ ℕ
10		420gcd8e4 42295	. 2 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4
11		eqid 2735	. 2 ⊢ (4 · ;;840) = (4 · ;;840)
12	4, 5	mulcomnni 42276	. . . . 5 ⊢ (;;420 · 8) = (8 · ;;420)
13		4t2e8 12310	. . . . . 6 ⊢ (4 · 2) = 8
14	13	oveq1i 7368	. . . . 5 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (8 · ;;420)
15	12, 14	eqtr4i 2761	. . . 4 ⊢ (;;420 · 8) = ((4 · 2) · ;;420)
16	6, 2, 4	mulassnni 42275	. . . 4 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (4 · (2 · ;;420))
17	15, 16	eqtri 2758	. . 3 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · (2 · ;;420))
18	2	nnnn0i 12411	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	3	nnnn0i 12411	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
20		0nn0 12418	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ;;420 = ;;420
22		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ ;42 = ;42
23		4cn 12232	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
24		2cn 12222	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
25	23, 24, 13	mulcomli 11143	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 4) = 8
26	25	oveq1i 7368	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 4) + 0) = (8 + 0)
27		8cn 12244	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
28	27	addridi 11322	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 0) = 8
29	26, 28	eqtri 2758	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) + 0) = 8
30		2t2e4 12306	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
31	1	dec0h 12631	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = ;04
32	31	eqcomi 2744	. . . . . . . 8 ⊢ ;04 = 4
33	30, 32	eqtr4i 2761	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = ;04
34	18, 1, 18, 22, 1, 20, 29, 33	decmul2c 12675	. . . . . 6 ⊢ (2 · ;42) = ;84
35	23	addridi 11322	. . . . . 6 ⊢ (4 + 0) = 4
36	7, 1, 20, 34, 35	decaddi 12669	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;42) + 0) = ;84
37		2t0e0 12311	. . . . . 6 ⊢ (2 · 0) = 0
38	20	dec0h 12631	. . . . . . 7 ⊢ 0 = ;00
39	38	eqcomi 2744	. . . . . 6 ⊢ ;00 = 0
40	37, 39	eqtr4i 2761	. . . . 5 ⊢ (2 · 0) = ;00
41	18, 19, 20, 21, 20, 20, 36, 40	decmul2c 12675	. . . 4 ⊢ (2 · ;;420) = ;;840
42	41	oveq2i 7369	. . 3 ⊢ (4 · (2 · ;;420)) = (4 · ;;840)
43	17, 42	eqtri 2758	. 2 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · ;;840)
44	4, 5, 6, 9, 10, 11, 43	lcmeprodgcdi 42296	1 ⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7358  0cc0 11028   + caddc 11031   · cmul 11033  2c2 12202  4c4 12204  8c8 12208  ;cdc 12609   lcm clcm 16517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-sup 9347  df-inf 9348  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-rp 12908  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-dvds 16182  df-gcd 16424  df-lcm 16519

This theorem is referenced by:  lcm8un  42309