Theorem 420lcm8e840 42114

Description: The lcm of 420 and 8 is 840. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420lcm8e840	⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Proof of Theorem 420lcm8e840

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12410	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn 12208	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12618	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12622	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
5		8nn 12230	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ
6		4nn 12218	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ
7		8nn0 12414	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7, 6	decnncl 12618	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ
9	8	decnncl2 12622	. 2 ⊢ ;;840 ∈ ℕ
10		420gcd8e4 42109	. 2 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4
11		eqid 2733	. 2 ⊢ (4 · ;;840) = (4 · ;;840)
12	4, 5	mulcomnni 42090	. . . . 5 ⊢ (;;420 · 8) = (8 · ;;420)
13		4t2e8 12298	. . . . . 6 ⊢ (4 · 2) = 8
14	13	oveq1i 7365	. . . . 5 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (8 · ;;420)
15	12, 14	eqtr4i 2759	. . . 4 ⊢ (;;420 · 8) = ((4 · 2) · ;;420)
16	6, 2, 4	mulassnni 42089	. . . 4 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (4 · (2 · ;;420))
17	15, 16	eqtri 2756	. . 3 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · (2 · ;;420))
18	2	nnnn0i 12399	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	3	nnnn0i 12399	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
20		0nn0 12406	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ;;420 = ;;420
22		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ ;42 = ;42
23		4cn 12220	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
24		2cn 12210	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
25	23, 24, 13	mulcomli 11131	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 4) = 8
26	25	oveq1i 7365	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 4) + 0) = (8 + 0)
27		8cn 12232	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
28	27	addridi 11310	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 0) = 8
29	26, 28	eqtri 2756	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) + 0) = 8
30		2t2e4 12294	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
31	1	dec0h 12620	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = ;04
32	31	eqcomi 2742	. . . . . . . 8 ⊢ ;04 = 4
33	30, 32	eqtr4i 2759	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = ;04
34	18, 1, 18, 22, 1, 20, 29, 33	decmul2c 12664	. . . . . 6 ⊢ (2 · ;42) = ;84
35	23	addridi 11310	. . . . . 6 ⊢ (4 + 0) = 4
36	7, 1, 20, 34, 35	decaddi 12658	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;42) + 0) = ;84
37		2t0e0 12299	. . . . . 6 ⊢ (2 · 0) = 0
38	20	dec0h 12620	. . . . . . 7 ⊢ 0 = ;00
39	38	eqcomi 2742	. . . . . 6 ⊢ ;00 = 0
40	37, 39	eqtr4i 2759	. . . . 5 ⊢ (2 · 0) = ;00
41	18, 19, 20, 21, 20, 20, 36, 40	decmul2c 12664	. . . 4 ⊢ (2 · ;;420) = ;;840
42	41	oveq2i 7366	. . 3 ⊢ (4 · (2 · ;;420)) = (4 · ;;840)
43	17, 42	eqtri 2756	. 2 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · ;;840)
44	4, 5, 6, 9, 10, 11, 43	lcmeprodgcdi 42110	1 ⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Syntax hints:   = wceq 1541  (class class class)co 7355  0cc0 11016   + caddc 11019   · cmul 11021  2c2 12190  4c4 12192  8c8 12196  ;cdc 12598   lcm clcm 16509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-pre-sup 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-sup 9336  df-inf 9337  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-4 12200  df-5 12201  df-6 12202  df-7 12203  df-8 12204  df-9 12205  df-n0 12392  df-z 12479  df-dec 12599  df-uz 12743  df-rp 12901  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13919  df-exp 13979  df-cj 15016  df-re 15017  df-im 15018  df-sqrt 15152  df-abs 15153  df-dvds 16174  df-gcd 16416  df-lcm 16511

This theorem is referenced by:  lcm8un  42123