Theorem 420lcm8e840 42728

Description: The lcm of 420 and 8 is 840. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420lcm8e840	⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Proof of Theorem 420lcm8e840

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12526	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn 12317	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12738	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12743	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
5		8nn 12339	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ
6		4nn 12327	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ
7		8nn0 12530	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7, 6	decnncl 12738	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ
9	8	decnncl2 12743	. 2 ⊢ ;;840 ∈ ℕ
10		420gcd8e4 42723	. 2 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4
11		eqid 2770	. 2 ⊢ (4 · ;;840) = (4 · ;;840)
12	4, 5	mulcomnni 42704	. . . . 5 ⊢ (;;420 · 8) = (8 · ;;420)
13		4t2e8 12412	. . . . . 6 ⊢ (4 · 2) = 8
14	13	oveq1i 7424	. . . . 5 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (8 · ;;420)
15	12, 14	eqtr4i 2796	. . . 4 ⊢ (;;420 · 8) = ((4 · 2) · ;;420)
16	6, 2, 4	mulassnni 42703	. . . 4 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (4 · (2 · ;;420))
17	15, 16	eqtri 2793	. . 3 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · (2 · ;;420))
18	2	nnnn0i 12515	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	3	nnnn0i 12515	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
20		0nn0 12522	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21		eqid 2770	. . . . 5 ⊢ ;;420 = ;;420
22		eqid 2770	. . . . . . 7 ⊢ ;42 = ;42
23		4cn 12329	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
24		2cn 12319	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
25	23, 24, 13	mulcomli 11221	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 4) = 8
26	25	oveq1i 7424	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 4) + 0) = (8 + 0)
27		8cn 12341	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
28	27	addridi 11400	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 0) = 8
29	26, 28	eqtri 2793	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) + 0) = 8
30		2t2e4 12407	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
31	1	dec0h 12741	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = ;04
32	31	eqcomi 2779	. . . . . . . 8 ⊢ ;04 = 4
33	30, 32	eqtr4i 2796	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = ;04
34	18, 1, 18, 22, 1, 20, 29, 33	decmul2c 12785	. . . . . 6 ⊢ (2 · ;42) = ;84
35	23	addridi 11400	. . . . . 6 ⊢ (4 + 0) = 4
36	7, 1, 20, 34, 35	decaddi 12779	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;42) + 0) = ;84
37		2t0e0 12414	. . . . . 6 ⊢ (2 · 0) = 0
38	20	dec0h 12741	. . . . . . 7 ⊢ 0 = ;00
39	38	eqcomi 2779	. . . . . 6 ⊢ ;00 = 0
40	37, 39	eqtr4i 2796	. . . . 5 ⊢ (2 · 0) = ;00
41	18, 19, 20, 21, 20, 20, 36, 40	decmul2c 12785	. . . 4 ⊢ (2 · ;;420) = ;;840
42	41	oveq2i 7425	. . 3 ⊢ (4 · (2 · ;;420)) = (4 · ;;840)
43	17, 42	eqtri 2793	. 2 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · ;;840)
44	4, 5, 6, 9, 10, 11, 43	lcmeprodgcdi 42724	1 ⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Syntax hints:   = wceq 1568  (class class class)co 7414  0cc0 11103   + caddc 11106   · cmul 11108  2c2 12298  4c4 12300  8c8 12304  ;cdc 12714   lcm clcm 16649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180  ax-pre-sup 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11875  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12508  df-z 12595  df-dec 12715  df-uz 12866  df-rp 13020  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14041  df-exp 14101  df-cj 15153  df-re 15154  df-im 15155  df-sqrt 15289  df-abs 15290  df-dvds 16314  df-gcd 16556  df-lcm 16651

This theorem is referenced by:  lcm8un  42737