Theorem 420lcm8e840 42470

Description: The lcm of 420 and 8 is 840. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420lcm8e840	⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Proof of Theorem 420lcm8e840

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12451	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn 12249	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12659	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12663	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
5		8nn 12271	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ
6		4nn 12259	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ
7		8nn0 12455	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7, 6	decnncl 12659	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ
9	8	decnncl2 12663	. 2 ⊢ ;;840 ∈ ℕ
10		420gcd8e4 42465	. 2 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4
11		eqid 2737	. 2 ⊢ (4 · ;;840) = (4 · ;;840)
12	4, 5	mulcomnni 42446	. . . . 5 ⊢ (;;420 · 8) = (8 · ;;420)
13		4t2e8 12339	. . . . . 6 ⊢ (4 · 2) = 8
14	13	oveq1i 7372	. . . . 5 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (8 · ;;420)
15	12, 14	eqtr4i 2763	. . . 4 ⊢ (;;420 · 8) = ((4 · 2) · ;;420)
16	6, 2, 4	mulassnni 42445	. . . 4 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (4 · (2 · ;;420))
17	15, 16	eqtri 2760	. . 3 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · (2 · ;;420))
18	2	nnnn0i 12440	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	3	nnnn0i 12440	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
20		0nn0 12447	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ;;420 = ;;420
22		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ;42 = ;42
23		4cn 12261	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
24		2cn 12251	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
25	23, 24, 13	mulcomli 11149	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 4) = 8
26	25	oveq1i 7372	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 4) + 0) = (8 + 0)
27		8cn 12273	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
28	27	addridi 11328	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 0) = 8
29	26, 28	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) + 0) = 8
30		2t2e4 12335	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
31	1	dec0h 12661	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = ;04
32	31	eqcomi 2746	. . . . . . . 8 ⊢ ;04 = 4
33	30, 32	eqtr4i 2763	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = ;04
34	18, 1, 18, 22, 1, 20, 29, 33	decmul2c 12705	. . . . . 6 ⊢ (2 · ;42) = ;84
35	23	addridi 11328	. . . . . 6 ⊢ (4 + 0) = 4
36	7, 1, 20, 34, 35	decaddi 12699	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;42) + 0) = ;84
37		2t0e0 12340	. . . . . 6 ⊢ (2 · 0) = 0
38	20	dec0h 12661	. . . . . . 7 ⊢ 0 = ;00
39	38	eqcomi 2746	. . . . . 6 ⊢ ;00 = 0
40	37, 39	eqtr4i 2763	. . . . 5 ⊢ (2 · 0) = ;00
41	18, 19, 20, 21, 20, 20, 36, 40	decmul2c 12705	. . . 4 ⊢ (2 · ;;420) = ;;840
42	41	oveq2i 7373	. . 3 ⊢ (4 · (2 · ;;420)) = (4 · ;;840)
43	17, 42	eqtri 2760	. 2 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · ;;840)
44	4, 5, 6, 9, 10, 11, 43	lcmeprodgcdi 42466	1 ⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7362  0cc0 11033   + caddc 11036   · cmul 11038  2c2 12231  4c4 12233  8c8 12237  ;cdc 12639   lcm clcm 16552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-sup 9350  df-inf 9351  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fl 13746  df-mod 13824  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-dvds 16217  df-gcd 16459  df-lcm 16554

This theorem is referenced by:  lcm8un  42479