Theorem 420lcm8e840 41992

Description: The lcm of 420 and 8 is 840. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420lcm8e840	⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Proof of Theorem 420lcm8e840

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12437	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn 12235	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12645	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12649	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
5		8nn 12257	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ
6		4nn 12245	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ
7		8nn0 12441	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7, 6	decnncl 12645	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ
9	8	decnncl2 12649	. 2 ⊢ ;;840 ∈ ℕ
10		420gcd8e4 41987	. 2 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4
11		eqid 2729	. 2 ⊢ (4 · ;;840) = (4 · ;;840)
12	4, 5	mulcomnni 41968	. . . . 5 ⊢ (;;420 · 8) = (8 · ;;420)
13		4t2e8 12325	. . . . . 6 ⊢ (4 · 2) = 8
14	13	oveq1i 7379	. . . . 5 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (8 · ;;420)
15	12, 14	eqtr4i 2755	. . . 4 ⊢ (;;420 · 8) = ((4 · 2) · ;;420)
16	6, 2, 4	mulassnni 41967	. . . 4 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (4 · (2 · ;;420))
17	15, 16	eqtri 2752	. . 3 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · (2 · ;;420))
18	2	nnnn0i 12426	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	3	nnnn0i 12426	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
20		0nn0 12433	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ;;420 = ;;420
22		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ;42 = ;42
23		4cn 12247	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
24		2cn 12237	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
25	23, 24, 13	mulcomli 11159	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 4) = 8
26	25	oveq1i 7379	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 4) + 0) = (8 + 0)
27		8cn 12259	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
28	27	addridi 11337	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 0) = 8
29	26, 28	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) + 0) = 8
30		2t2e4 12321	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
31	1	dec0h 12647	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = ;04
32	31	eqcomi 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ;04 = 4
33	30, 32	eqtr4i 2755	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = ;04
34	18, 1, 18, 22, 1, 20, 29, 33	decmul2c 12691	. . . . . 6 ⊢ (2 · ;42) = ;84
35	23	addridi 11337	. . . . . 6 ⊢ (4 + 0) = 4
36	7, 1, 20, 34, 35	decaddi 12685	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;42) + 0) = ;84
37		2t0e0 12326	. . . . . 6 ⊢ (2 · 0) = 0
38	20	dec0h 12647	. . . . . . 7 ⊢ 0 = ;00
39	38	eqcomi 2738	. . . . . 6 ⊢ ;00 = 0
40	37, 39	eqtr4i 2755	. . . . 5 ⊢ (2 · 0) = ;00
41	18, 19, 20, 21, 20, 20, 36, 40	decmul2c 12691	. . . 4 ⊢ (2 · ;;420) = ;;840
42	41	oveq2i 7380	. . 3 ⊢ (4 · (2 · ;;420)) = (4 · ;;840)
43	17, 42	eqtri 2752	. 2 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · ;;840)
44	4, 5, 6, 9, 10, 11, 43	lcmeprodgcdi 41988	1 ⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7369  0cc0 11044   + caddc 11047   · cmul 11049  2c2 12217  4c4 12219  8c8 12223  ;cdc 12625   lcm clcm 16534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-dvds 16199  df-gcd 16441  df-lcm 16536

This theorem is referenced by:  lcm8un  42001