Theorem 420lcm8e840 42724

Description: The lcm of 420 and 8 is 840. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420lcm8e840	⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Proof of Theorem 420lcm8e840

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12522	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn 12313	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12734	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12739	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
5		8nn 12335	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ
6		4nn 12323	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ
7		8nn0 12526	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7, 6	decnncl 12734	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ
9	8	decnncl2 12739	. 2 ⊢ ;;840 ∈ ℕ
10		420gcd8e4 42719	. 2 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4
11		eqid 2761	. 2 ⊢ (4 · ;;840) = (4 · ;;840)
12	4, 5	mulcomnni 42700	. . . . 5 ⊢ (;;420 · 8) = (8 · ;;420)
13		4t2e8 12408	. . . . . 6 ⊢ (4 · 2) = 8
14	13	oveq1i 7420	. . . . 5 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (8 · ;;420)
15	12, 14	eqtr4i 2787	. . . 4 ⊢ (;;420 · 8) = ((4 · 2) · ;;420)
16	6, 2, 4	mulassnni 42699	. . . 4 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (4 · (2 · ;;420))
17	15, 16	eqtri 2784	. . 3 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · (2 · ;;420))
18	2	nnnn0i 12511	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	3	nnnn0i 12511	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
20		0nn0 12518	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ;;420 = ;;420
22		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ ;42 = ;42
23		4cn 12325	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
24		2cn 12315	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
25	23, 24, 13	mulcomli 11217	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 4) = 8
26	25	oveq1i 7420	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 4) + 0) = (8 + 0)
27		8cn 12337	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
28	27	addridi 11396	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 0) = 8
29	26, 28	eqtri 2784	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) + 0) = 8
30		2t2e4 12403	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
31	1	dec0h 12737	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = ;04
32	31	eqcomi 2770	. . . . . . . 8 ⊢ ;04 = 4
33	30, 32	eqtr4i 2787	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = ;04
34	18, 1, 18, 22, 1, 20, 29, 33	decmul2c 12781	. . . . . 6 ⊢ (2 · ;42) = ;84
35	23	addridi 11396	. . . . . 6 ⊢ (4 + 0) = 4
36	7, 1, 20, 34, 35	decaddi 12775	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;42) + 0) = ;84
37		2t0e0 12410	. . . . . 6 ⊢ (2 · 0) = 0
38	20	dec0h 12737	. . . . . . 7 ⊢ 0 = ;00
39	38	eqcomi 2770	. . . . . 6 ⊢ ;00 = 0
40	37, 39	eqtr4i 2787	. . . . 5 ⊢ (2 · 0) = ;00
41	18, 19, 20, 21, 20, 20, 36, 40	decmul2c 12781	. . . 4 ⊢ (2 · ;;420) = ;;840
42	41	oveq2i 7421	. . 3 ⊢ (4 · (2 · ;;420)) = (4 · ;;840)
43	17, 42	eqtri 2784	. 2 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · ;;840)
44	4, 5, 6, 9, 10, 11, 43	lcmeprodgcdi 42720	1 ⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Syntax hints:   = wceq 1568  (class class class)co 7410  0cc0 11099   + caddc 11102   · cmul 11104  2c2 12294  4c4 12296  8c8 12300  ;cdc 12710   lcm clcm 16645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-rp 13016  df-fl 13824  df-mod 13902  df-seq 14037  df-exp 14097  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-dvds 16310  df-gcd 16552  df-lcm 16647

This theorem is referenced by:  lcm8un  42733