Theorem 420lcm8e840 42012

Description: The lcm of 420 and 8 is 840. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420lcm8e840	⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Proof of Theorem 420lcm8e840

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12545	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn 12339	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12753	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12757	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
5		8nn 12361	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ
6		4nn 12349	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ
7		8nn0 12549	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7, 6	decnncl 12753	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ
9	8	decnncl2 12757	. 2 ⊢ ;;840 ∈ ℕ
10		420gcd8e4 42007	. 2 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4
11		eqid 2737	. 2 ⊢ (4 · ;;840) = (4 · ;;840)
12	4, 5	mulcomnni 41988	. . . . 5 ⊢ (;;420 · 8) = (8 · ;;420)
13		4t2e8 12434	. . . . . 6 ⊢ (4 · 2) = 8
14	13	oveq1i 7441	. . . . 5 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (8 · ;;420)
15	12, 14	eqtr4i 2768	. . . 4 ⊢ (;;420 · 8) = ((4 · 2) · ;;420)
16	6, 2, 4	mulassnni 41987	. . . 4 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (4 · (2 · ;;420))
17	15, 16	eqtri 2765	. . 3 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · (2 · ;;420))
18	2	nnnn0i 12534	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	3	nnnn0i 12534	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
20		0nn0 12541	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ;;420 = ;;420
22		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ;42 = ;42
23		4cn 12351	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
24		2cn 12341	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
25	23, 24, 13	mulcomli 11270	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 4) = 8
26	25	oveq1i 7441	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 4) + 0) = (8 + 0)
27		8cn 12363	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
28	27	addridi 11448	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 0) = 8
29	26, 28	eqtri 2765	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) + 0) = 8
30		2t2e4 12430	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
31	1	dec0h 12755	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = ;04
32	31	eqcomi 2746	. . . . . . . 8 ⊢ ;04 = 4
33	30, 32	eqtr4i 2768	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = ;04
34	18, 1, 18, 22, 1, 20, 29, 33	decmul2c 12799	. . . . . 6 ⊢ (2 · ;42) = ;84
35	23	addridi 11448	. . . . . 6 ⊢ (4 + 0) = 4
36	7, 1, 20, 34, 35	decaddi 12793	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;42) + 0) = ;84
37		2t0e0 12435	. . . . . 6 ⊢ (2 · 0) = 0
38	20	dec0h 12755	. . . . . . 7 ⊢ 0 = ;00
39	38	eqcomi 2746	. . . . . 6 ⊢ ;00 = 0
40	37, 39	eqtr4i 2768	. . . . 5 ⊢ (2 · 0) = ;00
41	18, 19, 20, 21, 20, 20, 36, 40	decmul2c 12799	. . . 4 ⊢ (2 · ;;420) = ;;840
42	41	oveq2i 7442	. . 3 ⊢ (4 · (2 · ;;420)) = (4 · ;;840)
43	17, 42	eqtri 2765	. 2 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · ;;840)
44	4, 5, 6, 9, 10, 11, 43	lcmeprodgcdi 42008	1 ⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7431  0cc0 11155   + caddc 11158   · cmul 11160  2c2 12321  4c4 12323  8c8 12327  ;cdc 12733   lcm clcm 16625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-lcm 16627

This theorem is referenced by:  lcm8un  42021