Theorem 420lcm8e840 42450

Description: The lcm of 420 and 8 is 840. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420lcm8e840	⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Proof of Theorem 420lcm8e840

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12456	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn 12254	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12664	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12668	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
5		8nn 12276	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ
6		4nn 12264	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ
7		8nn0 12460	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7, 6	decnncl 12664	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ
9	8	decnncl2 12668	. 2 ⊢ ;;840 ∈ ℕ
10		420gcd8e4 42445	. 2 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4
11		eqid 2736	. 2 ⊢ (4 · ;;840) = (4 · ;;840)
12	4, 5	mulcomnni 42426	. . . . 5 ⊢ (;;420 · 8) = (8 · ;;420)
13		4t2e8 12344	. . . . . 6 ⊢ (4 · 2) = 8
14	13	oveq1i 7377	. . . . 5 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (8 · ;;420)
15	12, 14	eqtr4i 2762	. . . 4 ⊢ (;;420 · 8) = ((4 · 2) · ;;420)
16	6, 2, 4	mulassnni 42425	. . . 4 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (4 · (2 · ;;420))
17	15, 16	eqtri 2759	. . 3 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · (2 · ;;420))
18	2	nnnn0i 12445	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	3	nnnn0i 12445	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
20		0nn0 12452	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ;;420 = ;;420
22		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ ;42 = ;42
23		4cn 12266	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
24		2cn 12256	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
25	23, 24, 13	mulcomli 11154	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 4) = 8
26	25	oveq1i 7377	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 4) + 0) = (8 + 0)
27		8cn 12278	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
28	27	addridi 11333	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 0) = 8
29	26, 28	eqtri 2759	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) + 0) = 8
30		2t2e4 12340	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
31	1	dec0h 12666	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = ;04
32	31	eqcomi 2745	. . . . . . . 8 ⊢ ;04 = 4
33	30, 32	eqtr4i 2762	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = ;04
34	18, 1, 18, 22, 1, 20, 29, 33	decmul2c 12710	. . . . . 6 ⊢ (2 · ;42) = ;84
35	23	addridi 11333	. . . . . 6 ⊢ (4 + 0) = 4
36	7, 1, 20, 34, 35	decaddi 12704	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;42) + 0) = ;84
37		2t0e0 12345	. . . . . 6 ⊢ (2 · 0) = 0
38	20	dec0h 12666	. . . . . . 7 ⊢ 0 = ;00
39	38	eqcomi 2745	. . . . . 6 ⊢ ;00 = 0
40	37, 39	eqtr4i 2762	. . . . 5 ⊢ (2 · 0) = ;00
41	18, 19, 20, 21, 20, 20, 36, 40	decmul2c 12710	. . . 4 ⊢ (2 · ;;420) = ;;840
42	41	oveq2i 7378	. . 3 ⊢ (4 · (2 · ;;420)) = (4 · ;;840)
43	17, 42	eqtri 2759	. 2 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · ;;840)
44	4, 5, 6, 9, 10, 11, 43	lcmeprodgcdi 42446	1 ⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7367  0cc0 11038   + caddc 11041   · cmul 11043  2c2 12236  4c4 12238  8c8 12242  ;cdc 12644   lcm clcm 16557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-dvds 16222  df-gcd 16464  df-lcm 16559

This theorem is referenced by:  lcm8un  42459