Theorem 420lcm8e840 42981

Description: The lcm of 420 and 8 is 840. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420lcm8e840	⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Proof of Theorem 420lcm8e840

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12594	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn 12385	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12807	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12812	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
5		8nn 12407	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ
6		4nn 12395	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ
7		8nn0 12598	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7, 6	decnncl 12807	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ
9	8	decnncl2 12812	. 2 ⊢ ;;840 ∈ ℕ
10		420gcd8e4 42976	. 2 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4
11		eqid 2760	. 2 ⊢ (4 · ;;840) = (4 · ;;840)
12	4, 5	mulcomnni 42957	. . . . 5 ⊢ (;;420 · 8) = (8 · ;;420)
13		4t2e8 12480	. . . . . 6 ⊢ (4 · 2) = 8
14	13	oveq1i 7418	. . . . 5 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (8 · ;;420)
15	12, 14	eqtr4i 2786	. . . 4 ⊢ (;;420 · 8) = ((4 · 2) · ;;420)
16	6, 2, 4	mulassnni 42956	. . . 4 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (4 · (2 · ;;420))
17	15, 16	eqtri 2783	. . 3 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · (2 · ;;420))
18	2	nnnn0i 12583	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	3	nnnn0i 12583	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
20		0nn0 12590	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ;;420 = ;;420
22		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ;42 = ;42
23		2t4e8 12481	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 4) = 8
24	23	oveq1i 7418	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 4) + 0) = (8 + 0)
25		8cn 12409	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
26	25	addridi 11468	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 0) = 8
27	24, 26	eqtri 2783	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) + 0) = 8
28		2t2e4 12475	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
29	1	dec0h 12810	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = ;04
30	29	eqcomi 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ;04 = 4
31	28, 30	eqtr4i 2786	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = ;04
32	18, 1, 18, 22, 1, 20, 27, 31	decmul2c 12854	. . . . . 6 ⊢ (2 · ;42) = ;84
33		4cn 12397	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addridi 11468	. . . . . 6 ⊢ (4 + 0) = 4
35	7, 1, 20, 32, 34	decaddi 12848	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;42) + 0) = ;84
36		2t0e0 12482	. . . . . 6 ⊢ (2 · 0) = 0
37	20	dec0h 12810	. . . . . . 7 ⊢ 0 = ;00
38	37	eqcomi 2769	. . . . . 6 ⊢ ;00 = 0
39	36, 38	eqtr4i 2786	. . . . 5 ⊢ (2 · 0) = ;00
40	18, 19, 20, 21, 20, 20, 35, 39	decmul2c 12854	. . . 4 ⊢ (2 · ;;420) = ;;840
41	40	oveq2i 7419	. . 3 ⊢ (4 · (2 · ;;420)) = (4 · ;;840)
42	17, 41	eqtri 2783	. 2 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · ;;840)
43	4, 5, 6, 9, 10, 11, 42	lcmeprodgcdi 42977	1 ⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  (class class class)co 7408  0cc0 11171   + caddc 11174   · cmul 11176  2c2 12366  4c4 12368  8c8 12372  ;cdc 12783   lcm clcm 16725

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-rp 13090  df-fl 13900  df-mod 13978  df-seq 14113  df-exp 14173  df-cj 15233  df-re 15234  df-im 15235  df-sqrt 15369  df-abs 15370  df-dvds 16390  df-gcd 16632  df-lcm 16727

This theorem is used by:  lcm8un  42990