Theorem 420lcm8e840 40027

Description: The lcm of 420 and 8 is 840. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420lcm8e840	⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Proof of Theorem 420lcm8e840

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12262	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn 12056	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12467	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12471	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
5		8nn 12078	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ
6		4nn 12066	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ
7		8nn0 12266	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7, 6	decnncl 12467	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ
9	8	decnncl2 12471	. 2 ⊢ ;;840 ∈ ℕ
10		420gcd8e4 40022	. 2 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4
11		eqid 2738	. 2 ⊢ (4 · ;;840) = (4 · ;;840)
12	4, 5	mulcomnni 40004	. . . . 5 ⊢ (;;420 · 8) = (8 · ;;420)
13		4t2e8 12151	. . . . . 6 ⊢ (4 · 2) = 8
14	13	oveq1i 7277	. . . . 5 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (8 · ;;420)
15	12, 14	eqtr4i 2769	. . . 4 ⊢ (;;420 · 8) = ((4 · 2) · ;;420)
16	6, 2, 4	mulassnni 40003	. . . 4 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (4 · (2 · ;;420))
17	15, 16	eqtri 2766	. . 3 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · (2 · ;;420))
18	2	nnnn0i 12251	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	3	nnnn0i 12251	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
20		0nn0 12258	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ;;420 = ;;420
22		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ ;42 = ;42
23		4cn 12068	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
24		2cn 12058	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
25	23, 24, 13	mulcomli 10994	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 4) = 8
26	25	oveq1i 7277	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 4) + 0) = (8 + 0)
27		8cn 12080	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
28	27	addid1i 11172	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 0) = 8
29	26, 28	eqtri 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) + 0) = 8
30		2t2e4 12147	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
31	1	dec0h 12469	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = ;04
32	31	eqcomi 2747	. . . . . . . 8 ⊢ ;04 = 4
33	30, 32	eqtr4i 2769	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = ;04
34	18, 1, 18, 22, 1, 20, 29, 33	decmul2c 12513	. . . . . 6 ⊢ (2 · ;42) = ;84
35	23	addid1i 11172	. . . . . 6 ⊢ (4 + 0) = 4
36	7, 1, 20, 34, 35	decaddi 12507	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;42) + 0) = ;84
37		2t0e0 12152	. . . . . 6 ⊢ (2 · 0) = 0
38	20	dec0h 12469	. . . . . . 7 ⊢ 0 = ;00
39	38	eqcomi 2747	. . . . . 6 ⊢ ;00 = 0
40	37, 39	eqtr4i 2769	. . . . 5 ⊢ (2 · 0) = ;00
41	18, 19, 20, 21, 20, 20, 36, 40	decmul2c 12513	. . . 4 ⊢ (2 · ;;420) = ;;840
42	41	oveq2i 7278	. . 3 ⊢ (4 · (2 · ;;420)) = (4 · ;;840)
43	17, 42	eqtri 2766	. 2 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · ;;840)
44	4, 5, 6, 9, 10, 11, 43	lcmeprodgcdi 40023	1 ⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Syntax hints:   = wceq 1539  (class class class)co 7267  0cc0 10881   + caddc 10884   · cmul 10886  2c2 12038  4c4 12040  8c8 12044  ;cdc 12447   lcm clcm 16303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958  ax-pre-sup 10959

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-er 8485  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-sup 9188  df-inf 9189  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-div 11643  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-5 12049  df-6 12050  df-7 12051  df-8 12052  df-9 12053  df-n0 12244  df-z 12330  df-dec 12448  df-uz 12593  df-rp 12741  df-fl 13522  df-mod 13600  df-seq 13732  df-exp 13793  df-cj 14820  df-re 14821  df-im 14822  df-sqrt 14956  df-abs 14957  df-dvds 15974  df-gcd 16212  df-lcm 16305

This theorem is referenced by:  lcm8un  40036