Theorem 420lcm8e840 40019

Description: The lcm of 420 and 8 is 840. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420lcm8e840	⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Proof of Theorem 420lcm8e840

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12252	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn 12046	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12457	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12461	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
5		8nn 12068	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ
6		4nn 12056	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ
7		8nn0 12256	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7, 6	decnncl 12457	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ
9	8	decnncl2 12461	. 2 ⊢ ;;840 ∈ ℕ
10		420gcd8e4 40014	. 2 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4
11		eqid 2738	. 2 ⊢ (4 · ;;840) = (4 · ;;840)
12	4, 5	mulcomnni 39996	. . . . 5 ⊢ (;;420 · 8) = (8 · ;;420)
13		4t2e8 12141	. . . . . 6 ⊢ (4 · 2) = 8
14	13	oveq1i 7285	. . . . 5 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (8 · ;;420)
15	12, 14	eqtr4i 2769	. . . 4 ⊢ (;;420 · 8) = ((4 · 2) · ;;420)
16	6, 2, 4	mulassnni 39995	. . . 4 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (4 · (2 · ;;420))
17	15, 16	eqtri 2766	. . 3 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · (2 · ;;420))
18	2	nnnn0i 12241	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	3	nnnn0i 12241	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
20		0nn0 12248	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ;;420 = ;;420
22		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ ;42 = ;42
23		4cn 12058	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
24		2cn 12048	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
25	23, 24, 13	mulcomli 10984	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 4) = 8
26	25	oveq1i 7285	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 4) + 0) = (8 + 0)
27		8cn 12070	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
28	27	addid1i 11162	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 0) = 8
29	26, 28	eqtri 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) + 0) = 8
30		2t2e4 12137	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
31	1	dec0h 12459	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = ;04
32	31	eqcomi 2747	. . . . . . . 8 ⊢ ;04 = 4
33	30, 32	eqtr4i 2769	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = ;04
34	18, 1, 18, 22, 1, 20, 29, 33	decmul2c 12503	. . . . . 6 ⊢ (2 · ;42) = ;84
35	23	addid1i 11162	. . . . . 6 ⊢ (4 + 0) = 4
36	7, 1, 20, 34, 35	decaddi 12497	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;42) + 0) = ;84
37		2t0e0 12142	. . . . . 6 ⊢ (2 · 0) = 0
38	20	dec0h 12459	. . . . . . 7 ⊢ 0 = ;00
39	38	eqcomi 2747	. . . . . 6 ⊢ ;00 = 0
40	37, 39	eqtr4i 2769	. . . . 5 ⊢ (2 · 0) = ;00
41	18, 19, 20, 21, 20, 20, 36, 40	decmul2c 12503	. . . 4 ⊢ (2 · ;;420) = ;;840
42	41	oveq2i 7286	. . 3 ⊢ (4 · (2 · ;;420)) = (4 · ;;840)
43	17, 42	eqtri 2766	. 2 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · ;;840)
44	4, 5, 6, 9, 10, 11, 43	lcmeprodgcdi 40015	1 ⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Syntax hints:   = wceq 1539  (class class class)co 7275  0cc0 10871   + caddc 10874   · cmul 10876  2c2 12028  4c4 12030  8c8 12034  ;cdc 12437   lcm clcm 16293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-lcm 16295

This theorem is referenced by:  lcm8un  40028