Theorem 420lcm8e840 42864

Description: The lcm of 420 and 8 is 840. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420lcm8e840	⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Proof of Theorem 420lcm8e840

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12550	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn 12341	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12763	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12768	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
5		8nn 12363	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ
6		4nn 12351	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ
7		8nn0 12554	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7, 6	decnncl 12763	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ
9	8	decnncl2 12768	. 2 ⊢ ;;840 ∈ ℕ
10		420gcd8e4 42859	. 2 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4
11		eqid 2762	. 2 ⊢ (4 · ;;840) = (4 · ;;840)
12	4, 5	mulcomnni 42840	. . . . 5 ⊢ (;;420 · 8) = (8 · ;;420)
13		4t2e8 12436	. . . . . 6 ⊢ (4 · 2) = 8
14	13	oveq1i 7426	. . . . 5 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (8 · ;;420)
15	12, 14	eqtr4i 2788	. . . 4 ⊢ (;;420 · 8) = ((4 · 2) · ;;420)
16	6, 2, 4	mulassnni 42839	. . . 4 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (4 · (2 · ;;420))
17	15, 16	eqtri 2785	. . 3 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · (2 · ;;420))
18	2	nnnn0i 12539	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	3	nnnn0i 12539	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
20		0nn0 12546	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ;;420 = ;;420
22		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ ;42 = ;42
23		2t4e8 12437	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 4) = 8
24	23	oveq1i 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 4) + 0) = (8 + 0)
25		8cn 12365	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
26	25	addridi 11424	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 0) = 8
27	24, 26	eqtri 2785	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) + 0) = 8
28		2t2e4 12431	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
29	1	dec0h 12766	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = ;04
30	29	eqcomi 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ;04 = 4
31	28, 30	eqtr4i 2788	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = ;04
32	18, 1, 18, 22, 1, 20, 27, 31	decmul2c 12810	. . . . . 6 ⊢ (2 · ;42) = ;84
33		4cn 12353	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
34	33	addridi 11424	. . . . . 6 ⊢ (4 + 0) = 4
35	7, 1, 20, 32, 34	decaddi 12804	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;42) + 0) = ;84
36		2t0e0 12438	. . . . . 6 ⊢ (2 · 0) = 0
37	20	dec0h 12766	. . . . . . 7 ⊢ 0 = ;00
38	37	eqcomi 2771	. . . . . 6 ⊢ ;00 = 0
39	36, 38	eqtr4i 2788	. . . . 5 ⊢ (2 · 0) = ;00
40	18, 19, 20, 21, 20, 20, 35, 39	decmul2c 12810	. . . 4 ⊢ (2 · ;;420) = ;;840
41	40	oveq2i 7427	. . 3 ⊢ (4 · (2 · ;;420)) = (4 · ;;840)
42	17, 41	eqtri 2785	. 2 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · ;;840)
43	4, 5, 6, 9, 10, 11, 42	lcmeprodgcdi 42860	1 ⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  (class class class)co 7416  0cc0 11127   + caddc 11130   · cmul 11132  2c2 12322  4c4 12324  8c8 12328  ;cdc 12739   lcm clcm 16682

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-rp 13045  df-fl 13855  df-mod 13933  df-seq 14068  df-exp 14128  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-dvds 16347  df-gcd 16589  df-lcm 16684

This theorem is used by:  lcm8un  42873