Theorem 420lcm8e840 42103

Description: The lcm of 420 and 8 is 840. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420lcm8e840	⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Proof of Theorem 420lcm8e840

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12400	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn 12198	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12608	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12612	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
5		8nn 12220	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ
6		4nn 12208	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ
7		8nn0 12404	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7, 6	decnncl 12608	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ
9	8	decnncl2 12612	. 2 ⊢ ;;840 ∈ ℕ
10		420gcd8e4 42098	. 2 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4
11		eqid 2731	. 2 ⊢ (4 · ;;840) = (4 · ;;840)
12	4, 5	mulcomnni 42079	. . . . 5 ⊢ (;;420 · 8) = (8 · ;;420)
13		4t2e8 12288	. . . . . 6 ⊢ (4 · 2) = 8
14	13	oveq1i 7356	. . . . 5 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (8 · ;;420)
15	12, 14	eqtr4i 2757	. . . 4 ⊢ (;;420 · 8) = ((4 · 2) · ;;420)
16	6, 2, 4	mulassnni 42078	. . . 4 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (4 · (2 · ;;420))
17	15, 16	eqtri 2754	. . 3 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · (2 · ;;420))
18	2	nnnn0i 12389	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	3	nnnn0i 12389	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
20		0nn0 12396	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ ;;420 = ;;420
22		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ ;42 = ;42
23		4cn 12210	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
24		2cn 12200	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
25	23, 24, 13	mulcomli 11121	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 4) = 8
26	25	oveq1i 7356	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 4) + 0) = (8 + 0)
27		8cn 12222	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
28	27	addridi 11300	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 0) = 8
29	26, 28	eqtri 2754	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) + 0) = 8
30		2t2e4 12284	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
31	1	dec0h 12610	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = ;04
32	31	eqcomi 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ;04 = 4
33	30, 32	eqtr4i 2757	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = ;04
34	18, 1, 18, 22, 1, 20, 29, 33	decmul2c 12654	. . . . . 6 ⊢ (2 · ;42) = ;84
35	23	addridi 11300	. . . . . 6 ⊢ (4 + 0) = 4
36	7, 1, 20, 34, 35	decaddi 12648	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;42) + 0) = ;84
37		2t0e0 12289	. . . . . 6 ⊢ (2 · 0) = 0
38	20	dec0h 12610	. . . . . . 7 ⊢ 0 = ;00
39	38	eqcomi 2740	. . . . . 6 ⊢ ;00 = 0
40	37, 39	eqtr4i 2757	. . . . 5 ⊢ (2 · 0) = ;00
41	18, 19, 20, 21, 20, 20, 36, 40	decmul2c 12654	. . . 4 ⊢ (2 · ;;420) = ;;840
42	41	oveq2i 7357	. . 3 ⊢ (4 · (2 · ;;420)) = (4 · ;;840)
43	17, 42	eqtri 2754	. 2 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · ;;840)
44	4, 5, 6, 9, 10, 11, 43	lcmeprodgcdi 42099	1 ⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Syntax hints:   = wceq 1541  (class class class)co 7346  0cc0 11006   + caddc 11009   · cmul 11011  2c2 12180  4c4 12182  8c8 12186  ;cdc 12588   lcm clcm 16499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-dvds 16164  df-gcd 16406  df-lcm 16501

This theorem is referenced by:  lcm8un  42112