Theorem 420lcm8e840 41537

Description: The lcm of 420 and 8 is 840. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420lcm8e840	⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Proof of Theorem 420lcm8e840

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12519	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn 12313	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12725	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12729	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
5		8nn 12335	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ
6		4nn 12323	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ
7		8nn0 12523	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7, 6	decnncl 12725	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ
9	8	decnncl2 12729	. 2 ⊢ ;;840 ∈ ℕ
10		420gcd8e4 41532	. 2 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4
11		eqid 2725	. 2 ⊢ (4 · ;;840) = (4 · ;;840)
12	4, 5	mulcomnni 41513	. . . . 5 ⊢ (;;420 · 8) = (8 · ;;420)
13		4t2e8 12408	. . . . . 6 ⊢ (4 · 2) = 8
14	13	oveq1i 7425	. . . . 5 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (8 · ;;420)
15	12, 14	eqtr4i 2756	. . . 4 ⊢ (;;420 · 8) = ((4 · 2) · ;;420)
16	6, 2, 4	mulassnni 41512	. . . 4 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (4 · (2 · ;;420))
17	15, 16	eqtri 2753	. . 3 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · (2 · ;;420))
18	2	nnnn0i 12508	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	3	nnnn0i 12508	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
20		0nn0 12515	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ ;;420 = ;;420
22		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ ;42 = ;42
23		4cn 12325	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
24		2cn 12315	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
25	23, 24, 13	mulcomli 11251	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 4) = 8
26	25	oveq1i 7425	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 4) + 0) = (8 + 0)
27		8cn 12337	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
28	27	addridi 11429	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 0) = 8
29	26, 28	eqtri 2753	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) + 0) = 8
30		2t2e4 12404	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
31	1	dec0h 12727	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = ;04
32	31	eqcomi 2734	. . . . . . . 8 ⊢ ;04 = 4
33	30, 32	eqtr4i 2756	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = ;04
34	18, 1, 18, 22, 1, 20, 29, 33	decmul2c 12771	. . . . . 6 ⊢ (2 · ;42) = ;84
35	23	addridi 11429	. . . . . 6 ⊢ (4 + 0) = 4
36	7, 1, 20, 34, 35	decaddi 12765	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;42) + 0) = ;84
37		2t0e0 12409	. . . . . 6 ⊢ (2 · 0) = 0
38	20	dec0h 12727	. . . . . . 7 ⊢ 0 = ;00
39	38	eqcomi 2734	. . . . . 6 ⊢ ;00 = 0
40	37, 39	eqtr4i 2756	. . . . 5 ⊢ (2 · 0) = ;00
41	18, 19, 20, 21, 20, 20, 36, 40	decmul2c 12771	. . . 4 ⊢ (2 · ;;420) = ;;840
42	41	oveq2i 7426	. . 3 ⊢ (4 · (2 · ;;420)) = (4 · ;;840)
43	17, 42	eqtri 2753	. 2 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · ;;840)
44	4, 5, 6, 9, 10, 11, 43	lcmeprodgcdi 41533	1 ⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Syntax hints:   = wceq 1533  (class class class)co 7415  0cc0 11136   + caddc 11139   · cmul 11141  2c2 12295  4c4 12297  8c8 12301  ;cdc 12705   lcm clcm 16556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-sup 9463  df-inf 9464  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fl 13787  df-mod 13865  df-seq 13997  df-exp 14057  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-dvds 16229  df-gcd 16467  df-lcm 16558

This theorem is referenced by:  lcm8un  41546