Theorem 420lcm8e840 41406

Description: The lcm of 420 and 8 is 840. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
420lcm8e840	⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Proof of Theorem 420lcm8e840

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12507	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn 12301	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12713	. . 3 ⊢ ;42 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12717	. 2 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
5		8nn 12323	. 2 ⊢ 8 ∈ ℕ
6		4nn 12311	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ
7		8nn0 12511	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
8	7, 6	decnncl 12713	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ
9	8	decnncl2 12717	. 2 ⊢ ;;840 ∈ ℕ
10		420gcd8e4 41401	. 2 ⊢ (;;420 gcd 8) = 4
11		eqid 2727	. 2 ⊢ (4 · ;;840) = (4 · ;;840)
12	4, 5	mulcomnni 41382	. . . . 5 ⊢ (;;420 · 8) = (8 · ;;420)
13		4t2e8 12396	. . . . . 6 ⊢ (4 · 2) = 8
14	13	oveq1i 7424	. . . . 5 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (8 · ;;420)
15	12, 14	eqtr4i 2758	. . . 4 ⊢ (;;420 · 8) = ((4 · 2) · ;;420)
16	6, 2, 4	mulassnni 41381	. . . 4 ⊢ ((4 · 2) · ;;420) = (4 · (2 · ;;420))
17	15, 16	eqtri 2755	. . 3 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · (2 · ;;420))
18	2	nnnn0i 12496	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	3	nnnn0i 12496	. . . . 5 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
20		0nn0 12503	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ ;;420 = ;;420
22		eqid 2727	. . . . . . 7 ⊢ ;42 = ;42
23		4cn 12313	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
24		2cn 12303	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
25	23, 24, 13	mulcomli 11239	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 4) = 8
26	25	oveq1i 7424	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 4) + 0) = (8 + 0)
27		8cn 12325	. . . . . . . . 9 ⊢ 8 ∈ ℂ
28	27	addridi 11417	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 0) = 8
29	26, 28	eqtri 2755	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 4) + 0) = 8
30		2t2e4 12392	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
31	1	dec0h 12715	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = ;04
32	31	eqcomi 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ;04 = 4
33	30, 32	eqtr4i 2758	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 2) = ;04
34	18, 1, 18, 22, 1, 20, 29, 33	decmul2c 12759	. . . . . 6 ⊢ (2 · ;42) = ;84
35	23	addridi 11417	. . . . . 6 ⊢ (4 + 0) = 4
36	7, 1, 20, 34, 35	decaddi 12753	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;42) + 0) = ;84
37		2t0e0 12397	. . . . . 6 ⊢ (2 · 0) = 0
38	20	dec0h 12715	. . . . . . 7 ⊢ 0 = ;00
39	38	eqcomi 2736	. . . . . 6 ⊢ ;00 = 0
40	37, 39	eqtr4i 2758	. . . . 5 ⊢ (2 · 0) = ;00
41	18, 19, 20, 21, 20, 20, 36, 40	decmul2c 12759	. . . 4 ⊢ (2 · ;;420) = ;;840
42	41	oveq2i 7425	. . 3 ⊢ (4 · (2 · ;;420)) = (4 · ;;840)
43	17, 42	eqtri 2755	. 2 ⊢ (;;420 · 8) = (4 · ;;840)
44	4, 5, 6, 9, 10, 11, 43	lcmeprodgcdi 41402	1 ⊢ (;;420 lcm 8) = ;;840

Syntax hints:   = wceq 1534  (class class class)co 7414  0cc0 11124   + caddc 11127   · cmul 11129  2c2 12283  4c4 12285  8c8 12289  ;cdc 12693   lcm clcm 16544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9451  df-inf 9452  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-rp 12993  df-fl 13775  df-mod 13853  df-seq 13985  df-exp 14045  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-dvds 16217  df-gcd 16455  df-lcm 16546

This theorem is referenced by:  lcm8un  41415