Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mulcomnni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulcomnni 39236
Description: Commutative law for multiplication. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mulcomnni.1 𝐴 ∈ ℕ
mulcomnni.2 𝐵 ∈ ℕ
Assertion
Ref Expression
mulcomnni (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴)

Proof of Theorem mulcomnni
StepHypRef Expression
1 mulcomnni.1 . . 3 𝐴 ∈ ℕ
21nncni 11635 . 2 𝐴 ∈ ℂ
3 mulcomnni.2 . . 3 𝐵 ∈ ℕ
43nncni 11635 . 2 𝐵 ∈ ℂ
52, 4mulcomi 10638 1 (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wcel 2114  (class class class)co 7140   · cmul 10531  cn 11625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-1cn 10584  ax-addcl 10586  ax-mulcom 10590
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-ov 7143  df-om 7566  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-nn 11626
This theorem is referenced by:  12gcd5e1  39252  60gcd6e6  39253  420gcd8e4  39255  lcmeprodgcdi  39256  60lcm6e60  39258  420lcm8e840  39260
  Copyright terms: Public domain W3C validator