Theorem mulcomnni 42000

Description: Commutative law for multiplication. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulcomnni.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
mulcomnni.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
mulcomnni	⊢ (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴)

Proof of Theorem mulcomnni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcomnni.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
2	1	nncni 12250	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3		mulcomnni.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
4	3	nncni 12250	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
5	2, 4	mulcomi 11243	1 ⊢ (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴)

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7405   · cmul 11134  ℕcn 12240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-1cn 11187  ax-addcl 11189  ax-mulcom 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-nn 12241

This theorem is referenced by:  12gcd5e1  42016  60gcd6e6  42017  420gcd8e4  42019  lcmeprodgcdi  42020  60lcm6e60  42022  420lcm8e840  42024