Theorem nadd2rabon 44581

Description: The set of ordinals which have a natural sum less than some ordinal is an ordinal number. (Contributed by RP, 20-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nadd2rabon	⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} ∈ On)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem nadd2rabon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nadd2rabord 44579	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → Ord {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶})
2		nadd2rabex 44580	. 2 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} ∈ V)
3		elon2 6391	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} ∈ On ↔ (Ord {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} ∧ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} ∈ V))
4	1, 2, 3	sylanbrc 595	1 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 +no 𝑥) ∈ 𝐶} ∈ On)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147  {crab 3416  Vcvv 3454  Ord word 6379  Oncon0 6380  (class class class)co 7443   +no cnadd 8702

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-nadd 8703

This theorem is used by: (None)