Theorem metreg 24772

Description: A metric space is regular. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
metnrm.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
metreg	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Reg)

Proof of Theorem metreg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metnrm.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2	1	metnrm 24771	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Nrm)
3	1	methaus 24422	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)
4		haust1 23249	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Fre)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Fre)
6		nrmreg 23721	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Nrm ∧ 𝐽 ∈ Fre) → 𝐽 ∈ Reg)
7	2, 5, 6	syl2anc 583	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Reg)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6542  ∞Metcxmet 21257  MetOpencmopn 21262  Frect1 23204  Hauscha 23205  Regcreg 23206  Nrmcnrm 23207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-ec 8720  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13118  df-xadd 13119  df-xmul 13120  df-icc 13357  df-topgen 17418  df-qtop 17482  df-psmet 21264  df-xmet 21265  df-met 21266  df-bl 21267  df-mopn 21268  df-top 22789  df-topon 22806  df-bases 22842  df-cld 22916  df-ntr 22917  df-cls 22918  df-cn 23124  df-t0 23210  df-t1 23211  df-haus 23212  df-reg 23213  df-nrm 23214  df-kq 23591  df-hmeo 23652  df-hmph 23653

This theorem is referenced by: (None)