Theorem metreg 24378

Description: A metric space is regular. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
metnrm.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
metreg	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Reg)

Proof of Theorem metreg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metnrm.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2	1	metnrm 24377	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Nrm)
3	1	methaus 24028	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)
4		haust1 22855	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Fre)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Fre)
6		nrmreg 23327	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Nrm ∧ 𝐽 ∈ Fre) → 𝐽 ∈ Reg)
7	2, 5, 6	syl2anc 584	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Reg)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6543  ∞Metcxmet 20928  MetOpencmopn 20933  Frect1 22810  Hauscha 22811  Regcreg 22812  Nrmcnrm 22813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-ec 8704  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-icc 13330  df-topgen 17388  df-qtop 17452  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-cn 22730  df-t0 22816  df-t1 22817  df-haus 22818  df-reg 22819  df-nrm 22820  df-kq 23197  df-hmeo 23258  df-hmph 23259

This theorem is referenced by: (None)