MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metreg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metreg 24154
Description: A metric space is regular. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
metnrm.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
metreg (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Reg)

Proof of Theorem metreg
StepHypRef Expression
1 metnrm.j . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
21metnrm 24153 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Nrm)
31methaus 23804 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)
4 haust1 22631 . . 3 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Fre)
53, 4syl 17 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Fre)
6 nrmreg 23103 . 2 ((𝐽 ∈ Nrm ∧ 𝐽 ∈ Fre) → 𝐽 ∈ Reg)
72, 5, 6syl2anc 585 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Reg)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  cfv 6492  ∞Metcxmet 20710  MetOpencmopn 20715  Frect1 22586  Hauscha 22587  Regcreg 22588  Nrmcnrm 22589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8582  df-ec 8584  df-map 8701  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-sup 9312  df-inf 9313  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12698  df-q 12804  df-rp 12846  df-xneg 12963  df-xadd 12964  df-xmul 12965  df-icc 13201  df-topgen 17261  df-qtop 17325  df-psmet 20717  df-xmet 20718  df-met 20719  df-bl 20720  df-mopn 20721  df-top 22171  df-topon 22188  df-bases 22224  df-cld 22298  df-ntr 22299  df-cls 22300  df-cn 22506  df-t0 22592  df-t1 22593  df-haus 22594  df-reg 22595  df-nrm 22596  df-kq 22973  df-hmeo 23034  df-hmph 23035
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator