MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metreg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metreg 23464
Description: A metric space is regular. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
metnrm.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
metreg (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Reg)

Proof of Theorem metreg
StepHypRef Expression
1 metnrm.j . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
21metnrm 23463 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Nrm)
31methaus 23123 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)
4 haust1 21953 . . 3 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Fre)
53, 4syl 17 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Fre)
6 nrmreg 22425 . 2 ((𝐽 ∈ Nrm ∧ 𝐽 ∈ Fre) → 𝐽 ∈ Reg)
72, 5, 6syl2anc 587 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Reg)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  cfv 6343  ∞Metcxmet 20523  MetOpencmopn 20528  Frect1 21908  Hauscha 21909  Regcreg 21910  Nrmcnrm 21911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-er 8279  df-ec 8281  df-map 8398  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-sup 8897  df-inf 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11693  df-n0 11891  df-z 11975  df-uz 12237  df-q 12342  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-icc 12738  df-topgen 16713  df-qtop 16776  df-psmet 20530  df-xmet 20531  df-met 20532  df-bl 20533  df-mopn 20534  df-top 21495  df-topon 21512  df-bases 21547  df-cld 21620  df-ntr 21621  df-cls 21622  df-cn 21828  df-t0 21914  df-t1 21915  df-haus 21916  df-reg 21917  df-nrm 21918  df-kq 22295  df-hmeo 22356  df-hmph 22357
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator