Theorem metreg 23074

Description: A metric space is regular. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
metnrm.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
metreg	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Reg)

Proof of Theorem metreg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metnrm.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2	1	metnrm 23073	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Nrm)
3	1	methaus 22733	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)
4		haust1 21564	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Fre)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Fre)
6		nrmreg 22036	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Nrm ∧ 𝐽 ∈ Fre) → 𝐽 ∈ Reg)
7	2, 5, 6	syl2anc 579	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Reg)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6135  ∞Metcxmet 20127  MetOpencmopn 20132  Frect1 21519  Hauscha 21520  Regcreg 21521  Nrmcnrm 21522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-er 8026  df-ec 8028  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-icc 12494  df-topgen 16490  df-qtop 16553  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-top 21106  df-topon 21123  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-cn 21439  df-t0 21525  df-t1 21526  df-haus 21527  df-reg 21528  df-nrm 21529  df-kq 21906  df-hmeo 21967  df-hmph 21968

This theorem is referenced by: (None)