MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ntrivcvgn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrivcvgn0 15931
Description: A product that converges to a nonzero value converges non-trivially. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrivcvgn0.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
ntrivcvgn0.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ntrivcvgn0.3 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
ntrivcvgn0.4 (𝜑𝑋 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
ntrivcvgn0 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,𝑦   𝑛,𝑀,𝑦   𝑦,𝑋   𝑛,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑛)   𝑋(𝑛)   𝑍(𝑦)

Proof of Theorem ntrivcvgn0
StepHypRef Expression
1 ntrivcvgn0.2 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
21uzidd 12892 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
3 ntrivcvgn0.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
42, 3eleqtrrdi 2850 . 2 (𝜑𝑀𝑍)
5 ntrivcvgn0.3 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
6 climrel 15525 . . . . 5 Rel ⇝
76brrelex2i 5746 . . . 4 (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋𝑋 ∈ V)
85, 7syl 17 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ V)
9 ntrivcvgn0.4 . . . 4 (𝜑𝑋 ≠ 0)
109, 5jca 511 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋))
11 neeq1 3001 . . . 4 (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 ≠ 0 ↔ 𝑋 ≠ 0))
12 breq2 5152 . . . 4 (𝑦 = 𝑋 → (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 ↔ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋))
1311, 12anbi12d 632 . . 3 (𝑦 = 𝑋 → ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ↔ (𝑋 ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)))
148, 10, 13spcedv 3598 . 2 (𝜑 → ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
15 seqeq1 14042 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑀 → seq𝑛( · , 𝐹) = seq𝑀( · , 𝐹))
1615breq1d 5158 . . . . 5 (𝑛 = 𝑀 → (seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 ↔ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
1716anbi2d 630 . . . 4 (𝑛 = 𝑀 → ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ↔ (𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)))
1817exbidv 1919 . . 3 (𝑛 = 𝑀 → (∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ↔ ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)))
1918rspcev 3622 . 2 ((𝑀𝑍 ∧ ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)) → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
204, 14, 19syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  cfv 6563  0cc0 11153   · cmul 11158  cz 12611  cuz 12876  seqcseq 14039  cli 15517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-neg 11493  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-clim 15521
This theorem is referenced by:  zprodn0  15972
  Copyright terms: Public domain W3C validator