MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ntrivcvgn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrivcvgn0 15874
Description: A product that converges to a nonzero value converges non-trivially. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrivcvgn0.1 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
ntrivcvgn0.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
ntrivcvgn0.3 (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘‹)
ntrivcvgn0.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰  0)
Assertion
Ref Expression
ntrivcvgn0 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))
Distinct variable groups:   ๐‘›,๐น,๐‘ฆ   ๐‘›,๐‘€,๐‘ฆ   ๐‘ฆ,๐‘‹   ๐‘›,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฆ,๐‘›)   ๐‘‹(๐‘›)   ๐‘(๐‘ฆ)

Proof of Theorem ntrivcvgn0
StepHypRef Expression
1 ntrivcvgn0.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
21uzidd 12866 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
3 ntrivcvgn0.1 . . 3 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
42, 3eleqtrrdi 2836 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐‘)
5 ntrivcvgn0.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘‹)
6 climrel 15466 . . . . 5 Rel โ‡
76brrelex2i 5729 . . . 4 (seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘‹ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ V)
85, 7syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ V)
9 ntrivcvgn0.4 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰  0)
109, 5jca 510 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โ‰  0 โˆง seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘‹))
11 neeq1 2993 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ฆ โ‰  0 โ†” ๐‘‹ โ‰  0))
12 breq2 5147 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐‘‹ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ โ†” seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘‹))
1311, 12anbi12d 630 . . 3 (๐‘ฆ = ๐‘‹ โ†’ ((๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†” (๐‘‹ โ‰  0 โˆง seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘‹)))
148, 10, 13spcedv 3578 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))
15 seqeq1 13999 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ seq๐‘›( ยท , ๐น) = seq๐‘€( ยท , ๐น))
1615breq1d 5153 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ (seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ โ†” seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))
1716anbi2d 628 . . . 4 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ ((๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ)))
1817exbidv 1916 . . 3 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ)))
1918rspcev 3602 . 2 ((๐‘€ โˆˆ ๐‘ โˆง โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))
204, 14, 19syl2anc 582 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533  โˆƒwex 1773   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930  โˆƒwrex 3060  Vcvv 3463   class class class wbr 5143  โ€˜cfv 6542  0cc0 11136   ยท cmul 11141  โ„คcz 12586  โ„คโ‰ฅcuz 12850  seqcseq 13996   โ‡ cli 15458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-pre-lttri 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7418  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-neg 11475  df-z 12587  df-uz 12851  df-seq 13997  df-clim 15462
This theorem is referenced by:  zprodn0  15913
  Copyright terms: Public domain W3C validator