Theorem ntrivcvgn0 15538

Description: A product that converges to a nonzero value converges non-trivially. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrivcvgn0.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ntrivcvgn0.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
ntrivcvgn0.3	⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
ntrivcvgn0.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
ntrivcvgn0	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,𝑦   𝑛,𝑀,𝑦   𝑦,𝑋   𝑛,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑛)   𝑋(𝑛)   𝑍(𝑦)

Proof of Theorem ntrivcvgn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ntrivcvgn0.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2	1	uzidd 12527	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		ntrivcvgn0.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	2, 3	eleqtrrdi 2850	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
5		ntrivcvgn0.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
6		climrel 15129	. . . . 5 ⊢ Rel ⇝
7	6	brrelex2i 5635	. . . 4 ⊢ (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋 → 𝑋 ∈ V)
8	5, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
9		ntrivcvgn0.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
10	9, 5	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋))
11		neeq1 3005	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 ≠ 0 ↔ 𝑋 ≠ 0))
12		breq2 5074	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 ↔ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋))
13	11, 12	anbi12d 630	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ↔ (𝑋 ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)))
14	8, 10, 13	spcedv 3527	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
15		seqeq1 13652	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → seq𝑛( · , 𝐹) = seq𝑀( · , 𝐹))
16	15	breq1d 5080	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 ↔ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
17	16	anbi2d 628	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ↔ (𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)))
18	17	exbidv 1925	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ↔ ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)))
19	18	rspcev 3552	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
20	4, 14, 19	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  0cc0 10802   · cmul 10807  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  seqcseq 13649   ⇝ cli 15121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-pre-lttri 10876

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-neg 11138  df-z 12250  df-uz 12512  df-seq 13650  df-clim 15125

This theorem is referenced by:  zprodn0  15577