![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > ntrivcvgn0 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A product that converges to a nonzero value converges non-trivially. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.) |
Ref | Expression |
---|---|
ntrivcvgn0.1 | โข ๐ = (โคโฅโ๐) |
ntrivcvgn0.2 | โข (๐ โ ๐ โ โค) |
ntrivcvgn0.3 | โข (๐ โ seq๐( ยท , ๐น) โ ๐) |
ntrivcvgn0.4 | โข (๐ โ ๐ โ 0) |
Ref | Expression |
---|---|
ntrivcvgn0 | โข (๐ โ โ๐ โ ๐ โ๐ฆ(๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , ๐น) โ ๐ฆ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ntrivcvgn0.2 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ โค) | |
2 | 1 | uzidd 12842 | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ๐)) |
3 | ntrivcvgn0.1 | . . 3 โข ๐ = (โคโฅโ๐) | |
4 | 2, 3 | eleqtrrdi 2838 | . 2 โข (๐ โ ๐ โ ๐) |
5 | ntrivcvgn0.3 | . . . 4 โข (๐ โ seq๐( ยท , ๐น) โ ๐) | |
6 | climrel 15442 | . . . . 5 โข Rel โ | |
7 | 6 | brrelex2i 5726 | . . . 4 โข (seq๐( ยท , ๐น) โ ๐ โ ๐ โ V) |
8 | 5, 7 | syl 17 | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ V) |
9 | ntrivcvgn0.4 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ 0) | |
10 | 9, 5 | jca 511 | . . 3 โข (๐ โ (๐ โ 0 โง seq๐( ยท , ๐น) โ ๐)) |
11 | neeq1 2997 | . . . 4 โข (๐ฆ = ๐ โ (๐ฆ โ 0 โ ๐ โ 0)) | |
12 | breq2 5145 | . . . 4 โข (๐ฆ = ๐ โ (seq๐( ยท , ๐น) โ ๐ฆ โ seq๐( ยท , ๐น) โ ๐)) | |
13 | 11, 12 | anbi12d 630 | . . 3 โข (๐ฆ = ๐ โ ((๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , ๐น) โ ๐ฆ) โ (๐ โ 0 โง seq๐( ยท , ๐น) โ ๐))) |
14 | 8, 10, 13 | spcedv 3582 | . 2 โข (๐ โ โ๐ฆ(๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , ๐น) โ ๐ฆ)) |
15 | seqeq1 13975 | . . . . . 6 โข (๐ = ๐ โ seq๐( ยท , ๐น) = seq๐( ยท , ๐น)) | |
16 | 15 | breq1d 5151 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ (seq๐( ยท , ๐น) โ ๐ฆ โ seq๐( ยท , ๐น) โ ๐ฆ)) |
17 | 16 | anbi2d 628 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ ((๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , ๐น) โ ๐ฆ) โ (๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , ๐น) โ ๐ฆ))) |
18 | 17 | exbidv 1916 | . . 3 โข (๐ = ๐ โ (โ๐ฆ(๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , ๐น) โ ๐ฆ) โ โ๐ฆ(๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , ๐น) โ ๐ฆ))) |
19 | 18 | rspcev 3606 | . 2 โข ((๐ โ ๐ โง โ๐ฆ(๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , ๐น) โ ๐ฆ)) โ โ๐ โ ๐ โ๐ฆ(๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , ๐น) โ ๐ฆ)) |
20 | 4, 14, 19 | syl2anc 583 | 1 โข (๐ โ โ๐ โ ๐ โ๐ฆ(๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , ๐น) โ ๐ฆ)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1533 โwex 1773 โ wcel 2098 โ wne 2934 โwrex 3064 Vcvv 3468 class class class wbr 5141 โcfv 6537 0cc0 11112 ยท cmul 11117 โคcz 12562 โคโฅcuz 12826 seqcseq 13972 โ cli 15434 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-pre-lttri 11186 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-id 5567 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6294 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-ov 7408 df-frecs 8267 df-wrecs 8298 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-neg 11451 df-z 12563 df-uz 12827 df-seq 13973 df-clim 15438 |
This theorem is referenced by: zprodn0 15889 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |