Theorem ntrivcvgn0 15840

Description: A product that converges to a nonzero value converges non-trivially. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrivcvgn0.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ntrivcvgn0.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
ntrivcvgn0.3	⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
ntrivcvgn0.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
ntrivcvgn0	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,𝑦   𝑛,𝑀,𝑦   𝑦,𝑋   𝑛,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑛)   𝑋(𝑛)   𝑍(𝑦)

Proof of Theorem ntrivcvgn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ntrivcvgn0.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2	1	uzidd 12834	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		ntrivcvgn0.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	2, 3	eleqtrrdi 2844	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
5		ntrivcvgn0.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
6		climrel 15432	. . . . 5 ⊢ Rel ⇝
7	6	brrelex2i 5731	. . . 4 ⊢ (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋 → 𝑋 ∈ V)
8	5, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
9		ntrivcvgn0.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
10	9, 5	jca 512	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋))
11		neeq1 3003	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 ≠ 0 ↔ 𝑋 ≠ 0))
12		breq2 5151	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 ↔ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋))
13	11, 12	anbi12d 631	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ↔ (𝑋 ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)))
14	8, 10, 13	spcedv 3588	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
15		seqeq1 13965	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → seq𝑛( · , 𝐹) = seq𝑀( · , 𝐹))
16	15	breq1d 5157	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 ↔ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
17	16	anbi2d 629	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ↔ (𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)))
18	17	exbidv 1924	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ↔ ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)))
19	18	rspcev 3612	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
20	4, 14, 19	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070  Vcvv 3474   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  0cc0 11106   · cmul 11111  ℤcz 12554  ℤ_≥cuz 12818  seqcseq 13962   ⇝ cli 15424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-neg 11443  df-z 12555  df-uz 12819  df-seq 13963  df-clim 15428

This theorem is referenced by:  zprodn0  15879