MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ntrivcvgn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrivcvgn0 15876
Description: A product that converges to a nonzero value converges non-trivially. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrivcvgn0.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
ntrivcvgn0.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ntrivcvgn0.3 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
ntrivcvgn0.4 (𝜑𝑋 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
ntrivcvgn0 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,𝑦   𝑛,𝑀,𝑦   𝑦,𝑋   𝑛,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑛)   𝑋(𝑛)   𝑍(𝑦)

Proof of Theorem ntrivcvgn0
StepHypRef Expression
1 ntrivcvgn0.2 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
21uzidd 12868 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
3 ntrivcvgn0.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
42, 3eleqtrrdi 2840 . 2 (𝜑𝑀𝑍)
5 ntrivcvgn0.3 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
6 climrel 15468 . . . . 5 Rel ⇝
76brrelex2i 5735 . . . 4 (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋𝑋 ∈ V)
85, 7syl 17 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ V)
9 ntrivcvgn0.4 . . . 4 (𝜑𝑋 ≠ 0)
109, 5jca 511 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋))
11 neeq1 3000 . . . 4 (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 ≠ 0 ↔ 𝑋 ≠ 0))
12 breq2 5152 . . . 4 (𝑦 = 𝑋 → (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 ↔ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋))
1311, 12anbi12d 631 . . 3 (𝑦 = 𝑋 → ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ↔ (𝑋 ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)))
148, 10, 13spcedv 3585 . 2 (𝜑 → ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
15 seqeq1 14001 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑀 → seq𝑛( · , 𝐹) = seq𝑀( · , 𝐹))
1615breq1d 5158 . . . . 5 (𝑛 = 𝑀 → (seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 ↔ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
1716anbi2d 629 . . . 4 (𝑛 = 𝑀 → ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ↔ (𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)))
1817exbidv 1917 . . 3 (𝑛 = 𝑀 → (∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ↔ ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)))
1918rspcev 3609 . 2 ((𝑀𝑍 ∧ ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)) → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
204, 14, 19syl2anc 583 1 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  wne 2937  wrex 3067  Vcvv 3471   class class class wbr 5148  cfv 6548  0cc0 11138   · cmul 11143  cz 12588  cuz 12852  seqcseq 13998  cli 15460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-pre-lttri 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-neg 11477  df-z 12589  df-uz 12853  df-seq 13999  df-clim 15464
This theorem is referenced by:  zprodn0  15915
  Copyright terms: Public domain W3C validator