MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ntrivcvgn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrivcvgn0 15850
Description: A product that converges to a nonzero value converges non-trivially. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrivcvgn0.1 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
ntrivcvgn0.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
ntrivcvgn0.3 (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘‹)
ntrivcvgn0.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰  0)
Assertion
Ref Expression
ntrivcvgn0 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))
Distinct variable groups:   ๐‘›,๐น,๐‘ฆ   ๐‘›,๐‘€,๐‘ฆ   ๐‘ฆ,๐‘‹   ๐‘›,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฆ,๐‘›)   ๐‘‹(๐‘›)   ๐‘(๐‘ฆ)

Proof of Theorem ntrivcvgn0
StepHypRef Expression
1 ntrivcvgn0.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
21uzidd 12842 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
3 ntrivcvgn0.1 . . 3 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
42, 3eleqtrrdi 2838 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐‘)
5 ntrivcvgn0.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘‹)
6 climrel 15442 . . . . 5 Rel โ‡
76brrelex2i 5726 . . . 4 (seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘‹ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ V)
85, 7syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ V)
9 ntrivcvgn0.4 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰  0)
109, 5jca 511 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โ‰  0 โˆง seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘‹))
11 neeq1 2997 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ฆ โ‰  0 โ†” ๐‘‹ โ‰  0))
12 breq2 5145 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐‘‹ โ†’ (seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ โ†” seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘‹))
1311, 12anbi12d 630 . . 3 (๐‘ฆ = ๐‘‹ โ†’ ((๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†” (๐‘‹ โ‰  0 โˆง seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘‹)))
148, 10, 13spcedv 3582 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))
15 seqeq1 13975 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ seq๐‘›( ยท , ๐น) = seq๐‘€( ยท , ๐น))
1615breq1d 5151 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ (seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ โ†” seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))
1716anbi2d 628 . . . 4 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ ((๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ)))
1817exbidv 1916 . . 3 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†” โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ)))
1918rspcev 3606 . 2 ((๐‘€ โˆˆ ๐‘ โˆง โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))
204, 14, 19syl2anc 583 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533  โˆƒwex 1773   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โˆƒwrex 3064  Vcvv 3468   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  0cc0 11112   ยท cmul 11117  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  seqcseq 13972   โ‡ cli 15434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-neg 11451  df-z 12563  df-uz 12827  df-seq 13973  df-clim 15438
This theorem is referenced by:  zprodn0  15889
  Copyright terms: Public domain W3C validator