Theorem ntrivcvgn0 15919

Description: A product that converges to a nonzero value converges non-trivially. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrivcvgn0.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ntrivcvgn0.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
ntrivcvgn0.3	⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
ntrivcvgn0.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
ntrivcvgn0	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,𝑦   𝑛,𝑀,𝑦   𝑦,𝑋   𝑛,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑛)   𝑋(𝑛)   𝑍(𝑦)

Proof of Theorem ntrivcvgn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ntrivcvgn0.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2	1	uzidd 12849	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		ntrivcvgn0.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	2, 3	eleqtrrdi 2872	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
5		ntrivcvgn0.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
6		climrel 15510	. . . . 5 ⊢ Rel ⇝
7	6	brrelex2i 5700	. . . 4 ⊢ (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋 → 𝑋 ∈ V)
8	5, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
9		ntrivcvgn0.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
10	9, 5	jca 519	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋))
11		neeq1 3018	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 ≠ 0 ↔ 𝑋 ≠ 0))
12		breq2 5101	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 ↔ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋))
13	11, 12	anbi12d 641	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ↔ (𝑋 ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)))
14	8, 10, 13	spcedv 3556	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
15		seqeq1 14011	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → seq𝑛( · , 𝐹) = seq𝑀( · , 𝐹))
16	15	breq1d 5107	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 ↔ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
17	16	anbi2d 639	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ↔ (𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)))
18	17	exbidv 1940	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ↔ ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)))
19	18	rspcev 3580	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑍 ∧ ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
20	4, 14, 19	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559  ∃wex 1798   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∃wrex 3085  Vcvv 3453   class class class wbr 5097  ‘cfv 6516  0cc0 11067   · cmul 11072  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12833  seqcseq 14008   ⇝ cli 15502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-pre-lttri 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-ov 7394  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-neg 11411  df-z 12563  df-uz 12834  df-seq 14009  df-clim 15506

This theorem is referenced by:  zprodn0  15960