![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > ntrivcvgn0 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A product that converges to a nonzero value converges non-trivially. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.) |
Ref | Expression |
---|---|
ntrivcvgn0.1 | โข ๐ = (โคโฅโ๐) |
ntrivcvgn0.2 | โข (๐ โ ๐ โ โค) |
ntrivcvgn0.3 | โข (๐ โ seq๐( ยท , ๐น) โ ๐) |
ntrivcvgn0.4 | โข (๐ โ ๐ โ 0) |
Ref | Expression |
---|---|
ntrivcvgn0 | โข (๐ โ โ๐ โ ๐ โ๐ฆ(๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , ๐น) โ ๐ฆ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ntrivcvgn0.2 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ โค) | |
2 | 1 | uzidd 12866 | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ๐)) |
3 | ntrivcvgn0.1 | . . 3 โข ๐ = (โคโฅโ๐) | |
4 | 2, 3 | eleqtrrdi 2836 | . 2 โข (๐ โ ๐ โ ๐) |
5 | ntrivcvgn0.3 | . . . 4 โข (๐ โ seq๐( ยท , ๐น) โ ๐) | |
6 | climrel 15466 | . . . . 5 โข Rel โ | |
7 | 6 | brrelex2i 5729 | . . . 4 โข (seq๐( ยท , ๐น) โ ๐ โ ๐ โ V) |
8 | 5, 7 | syl 17 | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ V) |
9 | ntrivcvgn0.4 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ 0) | |
10 | 9, 5 | jca 510 | . . 3 โข (๐ โ (๐ โ 0 โง seq๐( ยท , ๐น) โ ๐)) |
11 | neeq1 2993 | . . . 4 โข (๐ฆ = ๐ โ (๐ฆ โ 0 โ ๐ โ 0)) | |
12 | breq2 5147 | . . . 4 โข (๐ฆ = ๐ โ (seq๐( ยท , ๐น) โ ๐ฆ โ seq๐( ยท , ๐น) โ ๐)) | |
13 | 11, 12 | anbi12d 630 | . . 3 โข (๐ฆ = ๐ โ ((๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , ๐น) โ ๐ฆ) โ (๐ โ 0 โง seq๐( ยท , ๐น) โ ๐))) |
14 | 8, 10, 13 | spcedv 3578 | . 2 โข (๐ โ โ๐ฆ(๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , ๐น) โ ๐ฆ)) |
15 | seqeq1 13999 | . . . . . 6 โข (๐ = ๐ โ seq๐( ยท , ๐น) = seq๐( ยท , ๐น)) | |
16 | 15 | breq1d 5153 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ (seq๐( ยท , ๐น) โ ๐ฆ โ seq๐( ยท , ๐น) โ ๐ฆ)) |
17 | 16 | anbi2d 628 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ ((๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , ๐น) โ ๐ฆ) โ (๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , ๐น) โ ๐ฆ))) |
18 | 17 | exbidv 1916 | . . 3 โข (๐ = ๐ โ (โ๐ฆ(๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , ๐น) โ ๐ฆ) โ โ๐ฆ(๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , ๐น) โ ๐ฆ))) |
19 | 18 | rspcev 3602 | . 2 โข ((๐ โ ๐ โง โ๐ฆ(๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , ๐น) โ ๐ฆ)) โ โ๐ โ ๐ โ๐ฆ(๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , ๐น) โ ๐ฆ)) |
20 | 4, 14, 19 | syl2anc 582 | 1 โข (๐ โ โ๐ โ ๐ โ๐ฆ(๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , ๐น) โ ๐ฆ)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 394 = wceq 1533 โwex 1773 โ wcel 2098 โ wne 2930 โwrex 3060 Vcvv 3463 class class class wbr 5143 โcfv 6542 0cc0 11136 ยท cmul 11141 โคcz 12586 โคโฅcuz 12850 seqcseq 13996 โ cli 15458 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-sep 5294 ax-nul 5301 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7737 ax-cnex 11192 ax-resscn 11193 ax-pre-lttri 11210 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3770 df-csb 3886 df-dif 3943 df-un 3945 df-in 3947 df-ss 3957 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5227 df-id 5570 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6300 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-ov 7418 df-frecs 8283 df-wrecs 8314 df-recs 8388 df-rdg 8427 df-er 8721 df-en 8961 df-dom 8962 df-sdom 8963 df-pnf 11278 df-mnf 11279 df-xr 11280 df-ltxr 11281 df-le 11282 df-neg 11475 df-z 12587 df-uz 12851 df-seq 13997 df-clim 15462 |
This theorem is referenced by: zprodn0 15913 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |