Theorem zprodn0 15874

Description: Nonzero series product with index set a subset of the upper integers. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zprodn0.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
zprodn0.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
zprodn0.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
zprodn0.4	⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
zprodn0.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
zprodn0.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
zprodn0.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
zprodn0	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem zprodn0

Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zprodn0.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		zprodn0.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		zprodn0.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
4		zprodn0.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
5	1, 2, 3, 4	ntrivcvgn0 15833	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑥(𝑥 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥))
6		zprodn0.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
7		zprodn0.6	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
8		zprodn0.7	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	1, 2, 5, 6, 7, 8	zprod 15872	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)))
10		fclim 15488	. . . 4 ⊢ ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
11		ffun 6673	. . . 4 ⊢ ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Fun ⇝
13		funbrfv 6890	. . 3 ⊢ (Fun ⇝ → (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋 → ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) = 𝑋))
14	12, 3, 13	mpsyl 68	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) = 𝑋)
15	9, 14	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3903  ifcif 4481   class class class wbr 5100  dom cdm 5632  Fun wfun 6494  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  seqcseq 13936   ⇝ cli 15419  ∏cprod 15838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-prod 15839

This theorem is referenced by:  iprodn0  15875  prod0  15878  prod1  15879