Theorem zprodn0 16086

Description: Nonzero series product with index set a subset of the upper integers. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zprodn0.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
zprodn0.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
zprodn0.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
zprodn0.4	⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
zprodn0.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
zprodn0.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
zprodn0.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
zprodn0	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem zprodn0

Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zprodn0.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		zprodn0.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		zprodn0.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
4		zprodn0.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
5	1, 2, 3, 4	ntrivcvgn0 16047	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑥(𝑥 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥))
6		zprodn0.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
7		zprodn0.6	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
8		zprodn0.7	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	1, 2, 5, 6, 7, 8	zprod 16084	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)))
10		fclim 15700	. . . 4 ⊢ ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
11		ffun 6704	. . . 4 ⊢ ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Fun ⇝
13		funbrfv 6925	. . 3 ⊢ (Fun ⇝ → (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋 → ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) = 𝑋))
14	12, 3, 13	mpsyl 69	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) = 𝑋)
15	9, 14	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ⊆ wss 3899  ifcif 4482   class class class wbr 5103  dom cdm 5651  Fun wfun 6525  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  ℂcc 11179  0cc0 11181  1c1 11182   · cmul 11186  ℤcz 12674  ℤ_≥cuz 12946  seqcseq 14124   ⇝ cli 15631  ∏cprod 16052

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-exp 14185  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-clim 15635  df-prod 16053

This theorem is used by:  iprodn0  16087  prod0  16090  prod1  16091