Theorem zprodn0 15904

Description: Nonzero series product with index set a subset of the upper integers. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zprodn0.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
zprodn0.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
zprodn0.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
zprodn0.4	⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
zprodn0.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
zprodn0.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
zprodn0.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
zprodn0	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem zprodn0

Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zprodn0.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		zprodn0.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		zprodn0.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
4		zprodn0.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0)
5	1, 2, 3, 4	ntrivcvgn0 15863	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ 𝑍 ∃𝑥(𝑥 ≠ 0 ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥))
6		zprodn0.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑍)
7		zprodn0.6	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
8		zprodn0.7	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	1, 2, 5, 6, 7, 8	zprod 15902	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)))
10		fclim 15515	. . . 4 ⊢ ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
11		ffun 6671	. . . 4 ⊢ ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ Fun ⇝
13		funbrfv 6888	. . 3 ⊢ (Fun ⇝ → (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑋 → ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) = 𝑋))
14	12, 3, 13	mpsyl 68	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑀( · , 𝐹)) = 𝑋)
15	9, 14	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   ⊆ wss 3889  ifcif 4466   class class class wbr 5085  dom cdm 5631  Fun wfun 6492  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  seqcseq 13963   ⇝ cli 15446  ∏cprod 15868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-prod 15869

This theorem is referenced by:  iprodn0  15905  prod0  15908  prod1  15909