MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ntrivcvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrivcvg 15885
Description: A non-trivially converging infinite product converges. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrivcvg.1 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
ntrivcvg.2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))
ntrivcvg.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
ntrivcvg (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐น,๐‘›,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘ฆ   ๐‘˜,๐‘€,๐‘›,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘˜,๐‘,๐‘ฆ
Allowed substitution hint:   ๐‘(๐‘›)

Proof of Theorem ntrivcvg
StepHypRef Expression
1 ntrivcvg.2 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))
2 uzm1 12900 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (๐‘› = ๐‘€ โˆจ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)))
3 ntrivcvg.1 . . . . . . . . 9 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
42, 3eleq2s 2847 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘› = ๐‘€ โˆจ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)))
54ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘› = ๐‘€ โˆจ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)))
6 seqeq1 14011 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ seq๐‘›( ยท , ๐น) = seq๐‘€( ยท , ๐น))
76breq1d 5162 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ (seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ โ†” seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))
8 seqex 14010 . . . . . . . . . . 11 seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ V
9 vex 3477 . . . . . . . . . . 11 ๐‘ฆ โˆˆ V
108, 9breldm 5915 . . . . . . . . . 10 (seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
117, 10biimtrdi 252 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ (seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
1211adantld 489 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
13 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘) โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘)
14 ntrivcvg.3 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
1514ad5ant15 757 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘) โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
16 uzssz 12883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โІ โ„ค
173, 16eqsstri 4016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ๐‘ โІ โ„ค
18 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘)
1917, 18sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
2019zcnd 12707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
21 1cnd 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
2220, 21npcand 11615 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) + 1) = ๐‘›)
2322seqeq1d 14014 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘) โ†’ seq((๐‘› โˆ’ 1) + 1)( ยท , ๐น) = seq๐‘›( ยท , ๐น))
2423breq1d 5162 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘) โ†’ (seq((๐‘› โˆ’ 1) + 1)( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ โ†” seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))
2524biimpar 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘) โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†’ seq((๐‘› โˆ’ 1) + 1)( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ)
263, 13, 15, 25clim2prod 15876 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘) โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)) ยท ๐‘ฆ))
27 ovex 7459 . . . . . . . . . . . . 13 ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)) ยท ๐‘ฆ) โˆˆ V
288, 27breldm 5915 . . . . . . . . . . . 12 (seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)) ยท ๐‘ฆ) โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
2926, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘) โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
3029an32s 650 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘) โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
3130expcom 412 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘ โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
323eqcomi 2737 . . . . . . . . 9 (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) = ๐‘
3331, 32eleq2s 2847 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
3412, 33jaoi 855 . . . . . . 7 ((๐‘› = ๐‘€ โˆจ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
355, 34mpcom 38 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
3635ex 411 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โ†’ (seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
3736adantld 489 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
3837exlimdv 1928 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
3938rexlimdva 3152 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
401, 39mpd 15 1 (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   = wceq 1533  โˆƒwex 1773   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937  โˆƒwrex 3067   class class class wbr 5152  dom cdm 5682  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11146  0cc0 11148  1c1 11149   + caddc 11151   ยท cmul 11153   โˆ’ cmin 11484  โ„คcz 12598  โ„คโ‰ฅcuz 12862  seqcseq 14008   โ‡ cli 15470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-sup 9475  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13527  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-clim 15474
This theorem is referenced by:  iprodclim2  15985  iprodcl  15987
  Copyright terms: Public domain W3C validator