Theorem ntrivcvg 15913

Description: A non-trivially converging infinite product converges. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrivcvg.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ntrivcvg.2	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
ntrivcvg.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
ntrivcvg	⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑛,𝑦   𝜑,𝑘,𝑦   𝑘,𝑀,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦   𝑘,𝑍,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem ntrivcvg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ntrivcvg.2	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
2		uzm1 12890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑛 = 𝑀 ∨ (𝑛 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
3		ntrivcvg.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	2, 3	eleq2s 2852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → (𝑛 = 𝑀 ∨ (𝑛 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
5	4	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → (𝑛 = 𝑀 ∨ (𝑛 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
6		seqeq1 14022	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → seq𝑛( · , 𝐹) = seq𝑀( · , 𝐹))
7	6	breq1d 5129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 ↔ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
8		seqex 14021	. . . . . . . . . . 11 ⊢ seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V
9		vex 3463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
10	8, 9	breldm 5888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
11	7, 10	biimtrdi 253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
12	11	adantld 490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
13		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → (𝑛 − 1) ∈ 𝑍)
14		ntrivcvg.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
15	14	ad5ant15 758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
16		uzssz 12873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
17	3, 16	eqsstri 4005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
18		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ 𝑍)
19	17, 18	sselid 3956	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ ℤ)
20	19	zcnd 12698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ ℂ)
21		1cnd 11230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → 1 ∈ ℂ)
22	20, 21	npcand 11598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → ((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛)
23	22	seqeq1d 14025	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → seq((𝑛 − 1) + 1)( · , 𝐹) = seq𝑛( · , 𝐹))
24	23	breq1d 5129	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → (seq((𝑛 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 ↔ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
25	24	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq((𝑛 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)
26	3, 13, 15, 25	clim2prod 15904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ((seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 − 1)) · 𝑦))
27		ovex 7438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 − 1)) · 𝑦) ∈ V
28	8, 27	breldm 5888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ((seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 − 1)) · 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
29	26, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
30	29	an32s 652	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
31	30	expcom 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 − 1) ∈ 𝑍 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
32	3	eqcomi 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = 𝑍
33	31, 32	eleq2s 2852	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
34	12, 33	jaoi 857	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = 𝑀 ∨ (𝑛 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
35	5, 34	mpcom 38	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
36	35	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
37	36	adantld 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
38	37	exlimdv 1933	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
39	38	rexlimdva 3141	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
40	1, 39	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060   class class class wbr 5119  dom cdm 5654  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   · cmul 11134   − cmin 11466  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  seqcseq 14019   ⇝ cli 15500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fz 13525  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504

This theorem is referenced by:  iprodclim2  16015  iprodcl  16017