Theorem ntrivcvg 15945

Description: A non-trivially converging infinite product converges. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrivcvg.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ntrivcvg.2	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
ntrivcvg.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
ntrivcvg	⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑛,𝑦   𝜑,𝑘,𝑦   𝑘,𝑀,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦   𝑘,𝑍,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem ntrivcvg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ntrivcvg.2	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
2		uzm1 12941	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑛 = 𝑀 ∨ (𝑛 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
3		ntrivcvg.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	2, 3	eleq2s 2862	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → (𝑛 = 𝑀 ∨ (𝑛 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
5	4	ad2antlr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → (𝑛 = 𝑀 ∨ (𝑛 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
6		seqeq1 14055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → seq𝑛( · , 𝐹) = seq𝑀( · , 𝐹))
7	6	breq1d 5176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 ↔ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
8		seqex 14054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V
9		vex 3492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
10	8, 9	breldm 5933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
11	7, 10	biimtrdi 253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
12	11	adantld 490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
13		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → (𝑛 − 1) ∈ 𝑍)
14		ntrivcvg.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
15	14	ad5ant15 758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
16		uzssz 12924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
17	3, 16	eqsstri 4043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
18		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ 𝑍)
19	17, 18	sselid 4006	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ ℤ)
20	19	zcnd 12748	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ ℂ)
21		1cnd 11285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → 1 ∈ ℂ)
22	20, 21	npcand 11651	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → ((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛)
23	22	seqeq1d 14058	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → seq((𝑛 − 1) + 1)( · , 𝐹) = seq𝑛( · , 𝐹))
24	23	breq1d 5176	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → (seq((𝑛 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 ↔ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
25	24	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq((𝑛 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)
26	3, 13, 15, 25	clim2prod 15936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ((seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 − 1)) · 𝑦))
27		ovex 7481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 − 1)) · 𝑦) ∈ V
28	8, 27	breldm 5933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ((seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 − 1)) · 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
29	26, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
30	29	an32s 651	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
31	30	expcom 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 − 1) ∈ 𝑍 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
32	3	eqcomi 2749	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = 𝑍
33	31, 32	eleq2s 2862	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
34	12, 33	jaoi 856	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = 𝑀 ∨ (𝑛 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
35	5, 34	mpcom 38	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
36	35	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
37	36	adantld 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
38	37	exlimdv 1932	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
39	38	rexlimdva 3161	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
40	1, 39	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076   class class class wbr 5166  dom cdm 5700  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   − cmin 11520  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  seqcseq 14052   ⇝ cli 15530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534

This theorem is referenced by:  iprodclim2  16047  iprodcl  16049