MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ntrivcvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrivcvg 15843
Description: A non-trivially converging infinite product converges. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrivcvg.1 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
ntrivcvg.2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))
ntrivcvg.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
ntrivcvg (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐น,๐‘›,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘ฆ   ๐‘˜,๐‘€,๐‘›,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘˜,๐‘,๐‘ฆ
Allowed substitution hint:   ๐‘(๐‘›)

Proof of Theorem ntrivcvg
StepHypRef Expression
1 ntrivcvg.2 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))
2 uzm1 12860 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (๐‘› = ๐‘€ โˆจ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)))
3 ntrivcvg.1 . . . . . . . . 9 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
42, 3eleq2s 2852 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘› = ๐‘€ โˆจ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)))
54ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘› = ๐‘€ โˆจ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)))
6 seqeq1 13969 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ seq๐‘›( ยท , ๐น) = seq๐‘€( ยท , ๐น))
76breq1d 5159 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ (seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ โ†” seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))
8 seqex 13968 . . . . . . . . . . 11 seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ V
9 vex 3479 . . . . . . . . . . 11 ๐‘ฆ โˆˆ V
108, 9breldm 5909 . . . . . . . . . 10 (seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
117, 10syl6bi 253 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ (seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
1211adantld 492 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
13 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘) โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘)
14 ntrivcvg.3 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
1514ad5ant15 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘) โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
16 uzssz 12843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โŠ† โ„ค
173, 16eqsstri 4017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ๐‘ โŠ† โ„ค
18 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘)
1917, 18sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
2019zcnd 12667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
21 1cnd 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
2220, 21npcand 11575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) + 1) = ๐‘›)
2322seqeq1d 13972 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘) โ†’ seq((๐‘› โˆ’ 1) + 1)( ยท , ๐น) = seq๐‘›( ยท , ๐น))
2423breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘) โ†’ (seq((๐‘› โˆ’ 1) + 1)( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ โ†” seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))
2524biimpar 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘) โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†’ seq((๐‘› โˆ’ 1) + 1)( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ)
263, 13, 15, 25clim2prod 15834 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘) โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)) ยท ๐‘ฆ))
27 ovex 7442 . . . . . . . . . . . . 13 ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)) ยท ๐‘ฆ) โˆˆ V
288, 27breldm 5909 . . . . . . . . . . . 12 (seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)) ยท ๐‘ฆ) โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
2926, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘) โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
3029an32s 651 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘) โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
3130expcom 415 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘ โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
323eqcomi 2742 . . . . . . . . 9 (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) = ๐‘
3331, 32eleq2s 2852 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
3412, 33jaoi 856 . . . . . . 7 ((๐‘› = ๐‘€ โˆจ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
355, 34mpcom 38 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
3635ex 414 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โ†’ (seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
3736adantld 492 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
3837exlimdv 1937 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
3938rexlimdva 3156 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
401, 39mpd 15 1 (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542  โˆƒwex 1782   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆƒwrex 3071   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โˆ’ cmin 11444  โ„คcz 12558  โ„คโ‰ฅcuz 12822  seqcseq 13966   โ‡ cli 15428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432
This theorem is referenced by:  iprodclim2  15943  iprodcl  15945
  Copyright terms: Public domain W3C validator