MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ntrivcvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrivcvg 15849
Description: A non-trivially converging infinite product converges. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrivcvg.1 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
ntrivcvg.2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))
ntrivcvg.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
ntrivcvg (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐น,๐‘›,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘ฆ   ๐‘˜,๐‘€,๐‘›,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘›,๐‘ฆ   ๐‘˜,๐‘,๐‘ฆ
Allowed substitution hint:   ๐‘(๐‘›)

Proof of Theorem ntrivcvg
StepHypRef Expression
1 ntrivcvg.2 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))
2 uzm1 12864 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (๐‘› = ๐‘€ โˆจ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)))
3 ntrivcvg.1 . . . . . . . . 9 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
42, 3eleq2s 2845 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘› = ๐‘€ โˆจ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)))
54ad2antlr 724 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘› = ๐‘€ โˆจ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)))
6 seqeq1 13975 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ seq๐‘›( ยท , ๐น) = seq๐‘€( ยท , ๐น))
76breq1d 5151 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ (seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ โ†” seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))
8 seqex 13974 . . . . . . . . . . 11 seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ V
9 vex 3472 . . . . . . . . . . 11 ๐‘ฆ โˆˆ V
108, 9breldm 5902 . . . . . . . . . 10 (seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
117, 10biimtrdi 252 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ (seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
1211adantld 490 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
13 simplr 766 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘) โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘)
14 ntrivcvg.3 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
1514ad5ant15 756 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘) โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
16 uzssz 12847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โІ โ„ค
173, 16eqsstri 4011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ๐‘ โІ โ„ค
18 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ ๐‘)
1917, 18sselid 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
2019zcnd 12671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
21 1cnd 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
2220, 21npcand 11579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) + 1) = ๐‘›)
2322seqeq1d 13978 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘) โ†’ seq((๐‘› โˆ’ 1) + 1)( ยท , ๐น) = seq๐‘›( ยท , ๐น))
2423breq1d 5151 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘) โ†’ (seq((๐‘› โˆ’ 1) + 1)( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ โ†” seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ))
2524biimpar 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘) โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†’ seq((๐‘› โˆ’ 1) + 1)( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ)
263, 13, 15, 25clim2prod 15840 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘) โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)) ยท ๐‘ฆ))
27 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . 13 ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)) ยท ๐‘ฆ) โˆˆ V
288, 27breldm 5902 . . . . . . . . . . . 12 (seq๐‘€( ยท , ๐น) โ‡ ((seq๐‘€( ยท , ๐น)โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)) ยท ๐‘ฆ) โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
2926, 28syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘) โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
3029an32s 649 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘) โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
3130expcom 413 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ ๐‘ โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
323eqcomi 2735 . . . . . . . . 9 (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) = ๐‘
3331, 32eleq2s 2845 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
3412, 33jaoi 854 . . . . . . 7 ((๐‘› = ๐‘€ โˆจ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
355, 34mpcom 38 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
3635ex 412 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โ†’ (seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
3736adantld 490 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
3837exlimdv 1928 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
3938rexlimdva 3149 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ ))
401, 39mpd 15 1 (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( ยท , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1533  โˆƒwex 1773   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  seqcseq 13972   โ‡ cli 15434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438
This theorem is referenced by:  iprodclim2  15949  iprodcl  15951
  Copyright terms: Public domain W3C validator