Theorem ntrivcvg 15832

Description: A non-trivially converging infinite product converges. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrivcvg.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ntrivcvg.2	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
ntrivcvg.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
ntrivcvg	⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑛,𝑦   𝜑,𝑘,𝑦   𝑘,𝑀,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦   𝑘,𝑍,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem ntrivcvg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ntrivcvg.2	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
2		uzm1 12797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑛 = 𝑀 ∨ (𝑛 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
3		ntrivcvg.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	2, 3	eleq2s 2855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → (𝑛 = 𝑀 ∨ (𝑛 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
5	4	ad2antlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → (𝑛 = 𝑀 ∨ (𝑛 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
6		seqeq1 13939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → seq𝑛( · , 𝐹) = seq𝑀( · , 𝐹))
7	6	breq1d 5110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 ↔ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
8		seqex 13938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V
9		vex 3446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
10	8, 9	breldm 5865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
11	7, 10	biimtrdi 253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
12	11	adantld 490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
13		simplr 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → (𝑛 − 1) ∈ 𝑍)
14		ntrivcvg.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
15	14	ad5ant15 759	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
16		uzssz 12784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
17	3, 16	eqsstri 3982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
18		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ 𝑍)
19	17, 18	sselid 3933	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ ℤ)
20	19	zcnd 12609	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ ℂ)
21		1cnd 11139	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → 1 ∈ ℂ)
22	20, 21	npcand 11508	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → ((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛)
23	22	seqeq1d 13942	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → seq((𝑛 − 1) + 1)( · , 𝐹) = seq𝑛( · , 𝐹))
24	23	breq1d 5110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → (seq((𝑛 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 ↔ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
25	24	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq((𝑛 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)
26	3, 13, 15, 25	clim2prod 15823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ((seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 − 1)) · 𝑦))
27		ovex 7401	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 − 1)) · 𝑦) ∈ V
28	8, 27	breldm 5865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ((seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 − 1)) · 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
29	26, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
30	29	an32s 653	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
31	30	expcom 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 − 1) ∈ 𝑍 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
32	3	eqcomi 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = 𝑍
33	31, 32	eleq2s 2855	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
34	12, 33	jaoi 858	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = 𝑀 ∨ (𝑛 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
35	5, 34	mpcom 38	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
36	35	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
37	36	adantld 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
38	37	exlimdv 1935	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
39	38	rexlimdva 3139	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
40	1, 39	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   class class class wbr 5100  dom cdm 5632  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11376  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  seqcseq 13936   ⇝ cli 15419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423

This theorem is referenced by:  iprodclim2  15934  iprodcl  15936