Theorem oalim2cl 42749

Description: The ordinal sum of any ordinal with a limit ordinal on the right is a limit ordinal. (Contributed by RP, 6-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oalim2cl	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → Lim (𝐴 +o 𝐵))

Proof of Theorem oalim2cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1133	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ On)
2		simp3 1135	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		simp2 1134	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → Lim 𝐵)
4		oalimcl 8587	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ Lim 𝐵)) → Lim (𝐴 +o 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl12anc 835	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → Lim (𝐴 +o 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098  Oncon0 6374  Lim wlim 6375  (class class class)co 7426   +_o coa 8490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-oadd 8497

This theorem is referenced by: (None)