Theorem oalim2cl 44398

Description: The ordinal sum of any ordinal with a limit ordinal on the right is a limit ordinal. (Contributed by RP, 6-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oalim2cl	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → Lim (𝐴 +o 𝐵))

Proof of Theorem oalim2cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ On)
2		simp3 1156	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		simp2 1155	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → Lim 𝐵)
4		oalimcl 8573	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ Lim 𝐵)) → Lim (𝐴 +o 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl12anc 850	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → Lim (𝐴 +o 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144  Oncon0 6364  Lim wlim 6365  (class class class)co 7422   +_o coa 8478

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7753

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-oadd 8485

This theorem is used by: (None)