Theorem oalim2cl 43635

Description: The ordinal sum of any ordinal with a limit ordinal on the right is a limit ordinal. (Contributed by RP, 6-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oalim2cl	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → Lim (𝐴 +o 𝐵))

Proof of Theorem oalim2cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ On)
2		simp3 1139	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		simp2 1138	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → Lim 𝐵)
4		oalimcl 8497	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ Lim 𝐵)) → Lim (𝐴 +o 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl12anc 837	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → Lim (𝐴 +o 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114  Oncon0 6325  Lim wlim 6326  (class class class)co 7368   +_o coa 8404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-oadd 8411

This theorem is referenced by: (None)