Theorem oaltublim 44291

Description: Given 𝐶 is a limit ordinal, the sum of any ordinal with an ordinal less than 𝐶 is less than the sum of the first ordinal with 𝐶. Lemma 3.5 of [Schloeder] p. 7. (Contributed by RP, 29-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oaltublim	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ (Lim 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶))

Proof of Theorem oaltublim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limord 6424	. . . . . 6 ⊢ (Lim 𝐶 → Ord 𝐶)
2		elex 3472	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ V)
3	1, 2	anim12i 625	. . . . 5 ⊢ ((Lim 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (Ord 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ V))
4		elon2 6373	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ On ↔ (Ord 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ V))
5	3, 4	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((Lim 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ On)
6	5	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ (Lim 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐶 ∈ On)
7		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ (Lim 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ On)
8	6, 7	jca 521	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ (Lim 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
9		simp2 1155	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ (Lim 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐵 ∈ 𝐶)
10		oaordi 8554	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶)))
11	8, 9, 10	sylc 66	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝐶 ∧ (Lim 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  Ord word 6361  Oncon0 6362  Lim wlim 6363  (class class class)co 7420   +_o coa 8473

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-oadd 8480

This theorem is used by: (None)