Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oaltublim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oaltublim 42495
Description: Given 𝐶 is a limit ordinal, the sum of any ordinal with an ordinal less than 𝐶 is less than the sum of the first ordinal with 𝐶. Lemma 3.5 of [Schloeder] p. 7. (Contributed by RP, 29-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
oaltublim ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵𝐶 ∧ (Lim 𝐶𝐶𝑉)) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶))

Proof of Theorem oaltublim
StepHypRef Expression
1 limord 6414 . . . . . 6 (Lim 𝐶 → Ord 𝐶)
2 elex 3485 . . . . . 6 (𝐶𝑉𝐶 ∈ V)
31, 2anim12i 612 . . . . 5 ((Lim 𝐶𝐶𝑉) → (Ord 𝐶𝐶 ∈ V))
4 elon2 6365 . . . . 5 (𝐶 ∈ On ↔ (Ord 𝐶𝐶 ∈ V))
53, 4sylibr 233 . . . 4 ((Lim 𝐶𝐶𝑉) → 𝐶 ∈ On)
653ad2ant3 1132 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵𝐶 ∧ (Lim 𝐶𝐶𝑉)) → 𝐶 ∈ On)
7 simp1 1133 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵𝐶 ∧ (Lim 𝐶𝐶𝑉)) → 𝐴 ∈ On)
86, 7jca 511 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵𝐶 ∧ (Lim 𝐶𝐶𝑉)) → (𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
9 simp2 1134 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵𝐶 ∧ (Lim 𝐶𝐶𝑉)) → 𝐵𝐶)
10 oaordi 8541 . 2 ((𝐶 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵𝐶 → (𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶)))
118, 9, 10sylc 65 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵𝐶 ∧ (Lim 𝐶𝐶𝑉)) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ (𝐴 +o 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084  wcel 2098  Vcvv 3466  Ord word 6353  Oncon0 6354  Lim wlim 6355  (class class class)co 7401   +o coa 8458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-oadd 8465
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator