MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  jensen Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem jensen 26490
Description: Jensen's inequality, a finite extension of the definition of convexity (the last hypothesis). (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
jensen.1 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
jensen.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
jensen.3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐷 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘Ž[,]𝑏) βŠ† 𝐷)
jensen.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
jensen.5 (πœ‘ β†’ 𝑇:𝐴⟢(0[,)+∞))
jensen.6 (πœ‘ β†’ 𝑋:𝐴⟢𝐷)
jensen.7 (πœ‘ β†’ 0 < (β„‚fld Ξ£g 𝑇))
jensen.8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1))) β†’ (πΉβ€˜((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))) ≀ ((𝑑 Β· (πΉβ€˜π‘₯)) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (πΉβ€˜π‘¦))))
Assertion
Ref Expression
jensen (πœ‘ β†’ (((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· 𝑋)) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· 𝑋)) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇))) ≀ ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋))) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇))))
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦,𝐴   𝐷,π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   πœ‘,π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   𝐹,π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑇,π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑋,π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦
Proof of Theorem jensen
Dummy variables 𝑐 π‘˜ 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 jensen.7 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 < (β„‚fld Ξ£g 𝑇))
2 jensen.5 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇:𝐴⟢(0[,)+∞))
32ffnd 6718 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 Fn 𝐴)
4 fnresdm 6669 . . . . . . . 8 (𝑇 Fn 𝐴 β†’ (𝑇 β†Ύ 𝐴) = 𝑇)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑇 β†Ύ 𝐴) = 𝑇)
65oveq2d 7424 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴)) = (β„‚fld Ξ£g 𝑇))
71, 6breqtrrd 5176 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴)))
8 ssid 4004 . . . . 5 𝐴 βŠ† 𝐴
97, 8jctil 520 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴))))
10 jensen.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
11 sseq1 4007 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = βˆ… β†’ (π‘Ž βŠ† 𝐴 ↔ βˆ… βŠ† 𝐴))
12 reseq2 5976 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = βˆ… β†’ (𝑇 β†Ύ π‘Ž) = (𝑇 β†Ύ βˆ…))
13 res0 5985 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 β†Ύ βˆ…) = βˆ…
1412, 13eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = βˆ… β†’ (𝑇 β†Ύ π‘Ž) = βˆ…)
1514oveq2d 7424 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = βˆ… β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)) = (β„‚fld Ξ£g βˆ…))
16 cnfld0 20968 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
1716gsum0 18602 . . . . . . . . . . 11 (β„‚fld Ξ£g βˆ…) = 0
1815, 17eqtrdi 2788 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = βˆ… β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)) = 0)
1918breq2d 5160 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = βˆ… β†’ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)) ↔ 0 < 0))
2011, 19anbi12d 631 . . . . . . . 8 (π‘Ž = βˆ… β†’ ((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) ↔ (βˆ… βŠ† 𝐴 ∧ 0 < 0)))
21 reseq2 5976 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = βˆ… β†’ ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž) = ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ βˆ…))
2221oveq2d 7424 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = βˆ… β†’ (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž)) = (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ βˆ…)))
2322, 18oveq12d 7426 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = βˆ… β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) = ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ βˆ…)) / 0))
24 reseq2 5976 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = βˆ… β†’ ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž) = ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ βˆ…))
2524oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = βˆ… β†’ (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) = (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ βˆ…)))
2625, 18oveq12d 7426 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = βˆ… β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) = ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ βˆ…)) / 0))
2726breq2d 5160 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = βˆ… β†’ ((πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) ↔ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ βˆ…)) / 0)))
2827rabbidv 3440 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = βˆ… β†’ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)))} = {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ βˆ…)) / 0)})
2923, 28eleq12d 2827 . . . . . . . 8 (π‘Ž = βˆ… β†’ (((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)))} ↔ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ βˆ…)) / 0) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ βˆ…)) / 0)}))
3020, 29imbi12d 344 . . . . . . 7 (π‘Ž = βˆ… β†’ (((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)))}) ↔ ((βˆ… βŠ† 𝐴 ∧ 0 < 0) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ βˆ…)) / 0) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ βˆ…)) / 0)})))
3130imbi2d 340 . . . . . 6 (π‘Ž = βˆ… β†’ ((πœ‘ β†’ ((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)))})) ↔ (πœ‘ β†’ ((βˆ… βŠ† 𝐴 ∧ 0 < 0) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ βˆ…)) / 0) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ βˆ…)) / 0)}))))
32 sseq1 4007 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = π‘˜ β†’ (π‘Ž βŠ† 𝐴 ↔ π‘˜ βŠ† 𝐴))
33 reseq2 5976 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = π‘˜ β†’ (𝑇 β†Ύ π‘Ž) = (𝑇 β†Ύ π‘˜))
3433oveq2d 7424 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = π‘˜ β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)) = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))
3534breq2d 5160 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = π‘˜ β†’ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)) ↔ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))))
3632, 35anbi12d 631 . . . . . . . 8 (π‘Ž = π‘˜ β†’ ((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) ↔ (π‘˜ βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))))
37 reseq2 5976 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = π‘˜ β†’ ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž) = ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜))
3837oveq2d 7424 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = π‘˜ β†’ (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž)) = (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)))
3938, 34oveq12d 7426 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = π‘˜ β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) = ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))))
40 reseq2 5976 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = π‘˜ β†’ ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž) = ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜))
4140oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = π‘˜ β†’ (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) = (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)))
4241, 34oveq12d 7426 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = π‘˜ β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) = ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))))
4342breq2d 5160 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) ↔ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))))
4443rabbidv 3440 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = π‘˜ β†’ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)))} = {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})
4539, 44eleq12d 2827 . . . . . . . 8 (π‘Ž = π‘˜ β†’ (((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)))} ↔ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))}))
4636, 45imbi12d 344 . . . . . . 7 (π‘Ž = π‘˜ β†’ (((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)))}) ↔ ((π‘˜ βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})))
4746imbi2d 340 . . . . . 6 (π‘Ž = π‘˜ β†’ ((πœ‘ β†’ ((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)))})) ↔ (πœ‘ β†’ ((π‘˜ βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))}))))
48 sseq1 4007 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) β†’ (π‘Ž βŠ† 𝐴 ↔ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴))
49 reseq2 5976 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) β†’ (𝑇 β†Ύ π‘Ž) = (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))
5049oveq2d 7424 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)) = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))
5150breq2d 5160 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) β†’ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)) ↔ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))))
5248, 51anbi12d 631 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) β†’ ((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) ↔ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))))
53 reseq2 5976 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) β†’ ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž) = ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))
5453oveq2d 7424 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) β†’ (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž)) = (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))
5554, 50oveq12d 7426 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) = ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))))
56 reseq2 5976 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) β†’ ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž) = ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))
5756oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) β†’ (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) = (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))
5857, 50oveq12d 7426 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) = ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))))
5958breq2d 5160 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) β†’ ((πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) ↔ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))))
6059rabbidv 3440 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) β†’ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)))} = {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))})
6155, 60eleq12d 2827 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) β†’ (((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)))} ↔ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))}))
6252, 61imbi12d 344 . . . . . . 7 (π‘Ž = (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) β†’ (((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)))}) ↔ (((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))})))
6362imbi2d 340 . . . . . 6 (π‘Ž = (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) β†’ ((πœ‘ β†’ ((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)))})) ↔ (πœ‘ β†’ (((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))}))))
64 sseq1 4007 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (π‘Ž βŠ† 𝐴 ↔ 𝐴 βŠ† 𝐴))
65 reseq2 5976 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (𝑇 β†Ύ π‘Ž) = (𝑇 β†Ύ 𝐴))
6665oveq2d 7424 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)) = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴)))
6766breq2d 5160 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)) ↔ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴))))
6864, 67anbi12d 631 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) ↔ (𝐴 βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴)))))
69 reseq2 5976 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž) = ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐴))
7069oveq2d 7424 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž)) = (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐴)))
7170, 66oveq12d 7426 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) = ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐴)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴))))
72 reseq2 5976 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž) = ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐴))
7372oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) = (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐴)))
7473, 66oveq12d 7426 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) = ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐴)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴))))
7574breq2d 5160 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) ↔ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐴)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴)))))
7675rabbidv 3440 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝐴 β†’ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)))} = {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐴)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴)))})
7771, 76eleq12d 2827 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)))} ↔ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐴)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐴)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴)))}))
7868, 77imbi12d 344 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)))}) ↔ ((𝐴 βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐴)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐴)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴)))})))
7978imbi2d 340 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((πœ‘ β†’ ((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)))})) ↔ (πœ‘ β†’ ((𝐴 βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐴)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐴)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴)))}))))
80 0re 11215 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
8180ltnri 11322 . . . . . . . . 9 Β¬ 0 < 0
8281pm2.21i 119 . . . . . . . 8 (0 < 0 β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ βˆ…)) / 0) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ βˆ…)) / 0)})
8382adantl 482 . . . . . . 7 ((βˆ… βŠ† 𝐴 ∧ 0 < 0) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ βˆ…)) / 0) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ βˆ…)) / 0)})
8483a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((βˆ… βŠ† 𝐴 ∧ 0 < 0) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ βˆ…)) / 0) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ βˆ…)) / 0)}))
85 impexp 451 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘˜ βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))}) ↔ (π‘˜ βŠ† 𝐴 β†’ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})))
86 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) β†’ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴)
8786unssad 4187 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) β†’ π‘˜ βŠ† 𝐴)
88 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))
89 jensen.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
9089ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∧ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
91 jensen.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
9291ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∧ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
93 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∧ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) β†’ πœ‘)
94 jensen.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐷 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘Ž[,]𝑏) βŠ† 𝐷)
9593, 94sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∧ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐷 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘Ž[,]𝑏) βŠ† 𝐷)
9693, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∧ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
9793, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∧ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) β†’ 𝑇:𝐴⟢(0[,)+∞))
98 jensen.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑋:𝐴⟢𝐷)
9993, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∧ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) β†’ 𝑋:𝐴⟢𝐷)
1001ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∧ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) β†’ 0 < (β„‚fld Ξ£g 𝑇))
101 jensen.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1))) β†’ (πΉβ€˜((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))) ≀ ((𝑑 Β· (πΉβ€˜π‘₯)) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (πΉβ€˜π‘¦))))
10293, 101sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∧ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1))) β†’ (πΉβ€˜((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))) ≀ ((𝑑 Β· (πΉβ€˜π‘₯)) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (πΉβ€˜π‘¦))))
103 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∧ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) β†’ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜)
10486adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∧ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) β†’ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴)
105 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))
106 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))
107 cnring 20966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 β„‚fld ∈ Ring
108 ringcmn 20098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
109107, 108mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
11010ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
111110, 87ssfid 9266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) β†’ π‘˜ ∈ Fin)
112 rege0subm 21000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0[,)+∞) ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld)
113112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) β†’ (0[,)+∞) ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld))
1142ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) β†’ 𝑇:𝐴⟢(0[,)+∞))
115114, 87fssresd 6758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) β†’ (𝑇 β†Ύ π‘˜):π‘˜βŸΆ(0[,)+∞))
116 c0ex 11207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 0 ∈ V
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) β†’ 0 ∈ V)
118115, 111, 117fdmfifsupp 9372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) β†’ (𝑇 β†Ύ π‘˜) finSupp 0)
11916, 109, 111, 113, 115, 118gsumsubmcl 19786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∈ (0[,)+∞))
120 elrege0 13430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))))
121120simplbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∈ (0[,)+∞) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∈ ℝ)
122119, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∈ ℝ)
123122adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∧ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∈ ℝ)
124 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∧ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) β†’ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))
125123, 124elrpd 13012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∧ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∈ ℝ+)
126 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∧ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})
127 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 = ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))))
128127breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 = ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ↔ (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))))
129128elrab 3683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))} ↔ (((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ 𝐷 ∧ (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))))
130126, 129sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∧ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) β†’ (((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ 𝐷 ∧ (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))))
131130simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∧ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ 𝐷)
132130simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∧ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) β†’ (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))))
13390, 92, 95, 96, 97, 99, 100, 102, 103, 104, 105, 106, 125, 131, 132jensenlem2 26489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∧ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) β†’ (((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) ∈ 𝐷 ∧ (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))))
134 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 = ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))))
135134breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 = ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) β†’ ((πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) ↔ (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))))
136135elrab 3683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))} ↔ (((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) ∈ 𝐷 ∧ (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))))
137133, 136sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∧ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))})
138137expr 457 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))} β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))}))
13988, 138embantd 59 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))}) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))}))
140 cnfldbas 20947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
141 ringmnd 20065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ Mnd)
142107, 141mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ β„‚fld ∈ Mnd)
143110, 86ssfid 9266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) β†’ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) ∈ Fin)
144143adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) ∈ Fin)
145 ssun2 4173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 {𝑐} βŠ† (π‘˜ βˆͺ {𝑐})
146 vsnid 4665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑐 ∈ {𝑐}
147145, 146sselii 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑐 ∈ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})
148147a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ 𝑐 ∈ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))
149 remulcl 11194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ ℝ)
150149adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ ℝ)
151 rge0ssre 13432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
152 fss 6734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑇:𝐴⟢(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ) β†’ 𝑇:π΄βŸΆβ„)
1532, 151, 152sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ 𝑇:π΄βŸΆβ„)
15498, 89fssd 6735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ 𝑋:π΄βŸΆβ„)
155 inidm 4218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
156150, 153, 154, 10, 10, 155off 7687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∘f Β· 𝑋):π΄βŸΆβ„)
157 ax-resscn 11166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ℝ βŠ† β„‚
158 fss 6734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑇 ∘f Β· 𝑋):π΄βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (𝑇 ∘f Β· 𝑋):π΄βŸΆβ„‚)
159156, 157, 158sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∘f Β· 𝑋):π΄βŸΆβ„‚)
160159ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (𝑇 ∘f Β· 𝑋):π΄βŸΆβ„‚)
16186adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴)
162160, 161fssresd 6758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})):(π‘˜ βˆͺ {𝑐})βŸΆβ„‚)
1632ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ 𝑇:𝐴⟢(0[,)+∞))
164110adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
165163, 164fexd 7228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ 𝑇 ∈ V)
16698ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ 𝑋:𝐴⟢𝐷)
167166, 164fexd 7228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ 𝑋 ∈ V)
168 offres 7969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ V) β†’ ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})) = ((𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})) ∘f Β· (𝑋 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))
169165, 167, 168syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})) = ((𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})) ∘f Β· (𝑋 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))
170169oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})) supp 0) = (((𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})) ∘f Β· (𝑋 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) supp 0))
171151, 157sstri 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (0[,)+∞) βŠ† β„‚
172 fss 6734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑇:𝐴⟢(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† β„‚) β†’ 𝑇:π΄βŸΆβ„‚)
173163, 171, 172sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ 𝑇:π΄βŸΆβ„‚)
174173, 161fssresd 6758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})):(π‘˜ βˆͺ {𝑐})βŸΆβ„‚)
175 eldifi 4126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘₯ ∈ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βˆ– {𝑐}) β†’ π‘₯ ∈ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))
176175adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βˆ– {𝑐})) β†’ π‘₯ ∈ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))
177176fvresd 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βˆ– {𝑐})) β†’ ((𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))β€˜π‘₯) = (π‘‡β€˜π‘₯))
178 difun2 4480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βˆ– {𝑐}) = (π‘˜ βˆ– {𝑐})
179 difss 4131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘˜ βˆ– {𝑐}) βŠ† π‘˜
180178, 179eqsstri 4016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βˆ– {𝑐}) βŠ† π‘˜
181180sseli 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘₯ ∈ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βˆ– {𝑐}) β†’ π‘₯ ∈ π‘˜)
182 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))
18387adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ π‘˜ βŠ† 𝐴)
184163, 183feqresmpt 6961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (𝑇 β†Ύ π‘˜) = (π‘₯ ∈ π‘˜ ↦ (π‘‡β€˜π‘₯)))
185184oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) = (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘˜ ↦ (π‘‡β€˜π‘₯))))
186111adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ π‘˜ ∈ Fin)
187183sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∧ π‘₯ ∈ π‘˜) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
188163ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞))
189187, 188syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∧ π‘₯ ∈ π‘˜) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞))
190171, 189sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∧ π‘₯ ∈ π‘˜) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
191186, 190gsumfsum 21011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘˜ ↦ (π‘‡β€˜π‘₯))) = Ξ£π‘₯ ∈ π‘˜ (π‘‡β€˜π‘₯))
192182, 185, 1913eqtrrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ π‘˜ (π‘‡β€˜π‘₯) = 0)
193 elrege0 13430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((π‘‡β€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((π‘‡β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘‡β€˜π‘₯)))
194189, 193sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∧ π‘₯ ∈ π‘˜) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘‡β€˜π‘₯)))
195194simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∧ π‘₯ ∈ π‘˜) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
196194simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∧ π‘₯ ∈ π‘˜) β†’ 0 ≀ (π‘‡β€˜π‘₯))
197186, 195, 196fsum00 15743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (Ξ£π‘₯ ∈ π‘˜ (π‘‡β€˜π‘₯) = 0 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘˜ (π‘‡β€˜π‘₯) = 0))
198192, 197mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘˜ (π‘‡β€˜π‘₯) = 0)
199198r19.21bi 3248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∧ π‘₯ ∈ π‘˜) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) = 0)
200181, 199sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βˆ– {𝑐})) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) = 0)
201177, 200eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βˆ– {𝑐})) β†’ ((𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))β€˜π‘₯) = 0)
202174, 201suppss 8178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})) supp 0) βŠ† {𝑐})
203 mul02 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (0 Β· π‘₯) = 0)
204203adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0 Β· π‘₯) = 0)
20589ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
206205, 157sstrdi 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ 𝐷 βŠ† β„‚)
207166, 206fssd 6735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ 𝑋:π΄βŸΆβ„‚)
208207, 161fssresd 6758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (𝑋 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})):(π‘˜ βˆͺ {𝑐})βŸΆβ„‚)
209116a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ 0 ∈ V)
210202, 204, 174, 208, 144, 209suppssof1 8183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (((𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})) ∘f Β· (𝑋 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) supp 0) βŠ† {𝑐})
211170, 210eqsstrd 4020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})) supp 0) βŠ† {𝑐})
212140, 16, 142, 144, 148, 162, 211gsumpt 19829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) = (((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))β€˜π‘))
213148fvresd 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))β€˜π‘) = ((𝑇 ∘f Β· 𝑋)β€˜π‘))
214163ffnd 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ 𝑇 Fn 𝐴)
215166ffnd 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ 𝑋 Fn 𝐴)
216161, 148sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ 𝑐 ∈ 𝐴)
217 fnfvof 7686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑇 Fn 𝐴 ∧ 𝑋 Fn 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑇 ∘f Β· 𝑋)β€˜π‘) = ((π‘‡β€˜π‘) Β· (π‘‹β€˜π‘)))
218214, 215, 164, 216, 217syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((𝑇 ∘f Β· 𝑋)β€˜π‘) = ((π‘‡β€˜π‘) Β· (π‘‹β€˜π‘)))
219212, 213, 2183eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) = ((π‘‡β€˜π‘) Β· (π‘‹β€˜π‘)))
220140, 16, 142, 144, 148, 174, 202gsumpt 19829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) = ((𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))β€˜π‘))
221148fvresd 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))β€˜π‘) = (π‘‡β€˜π‘))
222220, 221eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) = (π‘‡β€˜π‘))
223219, 222oveq12d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) = (((π‘‡β€˜π‘) Β· (π‘‹β€˜π‘)) / (π‘‡β€˜π‘)))
224207, 216ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (π‘‹β€˜π‘) ∈ β„‚)
225173, 216ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (π‘‡β€˜π‘) ∈ β„‚)
226 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))
227226, 222breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ 0 < (π‘‡β€˜π‘))
228227gt0ne0d 11777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (π‘‡β€˜π‘) β‰  0)
229224, 225, 228divcan3d 11994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (((π‘‡β€˜π‘) Β· (π‘‹β€˜π‘)) / (π‘‡β€˜π‘)) = (π‘‹β€˜π‘))
230223, 229eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) = (π‘‹β€˜π‘))
231166, 216ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (π‘‹β€˜π‘) ∈ 𝐷)
232230, 231eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) ∈ 𝐷)
23391ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
234233, 231ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘)) ∈ ℝ)
235234leidd 11779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘)) ≀ (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘)))
236230fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) = (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘)))
237 fco 6741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ 𝑋:𝐴⟢𝐷) β†’ (𝐹 ∘ 𝑋):π΄βŸΆβ„)
23891, 98, 237syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝑋):π΄βŸΆβ„)
239150, 153, 238, 10, 10, 155off 7687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)):π΄βŸΆβ„)
240 fss 6734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)):π΄βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)):π΄βŸΆβ„‚)
241239, 157, 240sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)):π΄βŸΆβ„‚)
242241ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)):π΄βŸΆβ„‚)
243242, 161fssresd 6758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})):(π‘˜ βˆͺ {𝑐})βŸΆβ„‚)
244238ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (𝐹 ∘ 𝑋):π΄βŸΆβ„)
245244, 164fexd 7228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (𝐹 ∘ 𝑋) ∈ V)
246 offres 7969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑇 ∈ V ∧ (𝐹 ∘ 𝑋) ∈ V) β†’ ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})) = ((𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})) ∘f Β· ((𝐹 ∘ 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))
247165, 245, 246syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})) = ((𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})) ∘f Β· ((𝐹 ∘ 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))
248247oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})) supp 0) = (((𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})) ∘f Β· ((𝐹 ∘ 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) supp 0))
249 fss 6734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐹 ∘ 𝑋):π΄βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (𝐹 ∘ 𝑋):π΄βŸΆβ„‚)
250244, 157, 249sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (𝐹 ∘ 𝑋):π΄βŸΆβ„‚)
251250, 161fssresd 6758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})):(π‘˜ βˆͺ {𝑐})βŸΆβ„‚)
252202, 204, 174, 251, 144, 209suppssof1 8183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (((𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})) ∘f Β· ((𝐹 ∘ 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) supp 0) βŠ† {𝑐})
253248, 252eqsstrd 4020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})) supp 0) βŠ† {𝑐})
254140, 16, 142, 144, 148, 243, 253gsumpt 19829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) = (((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))β€˜π‘))
255148fvresd 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))β€˜π‘) = ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋))β€˜π‘))
25691ffnd 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝐷)
257 fnfco 6756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝑋:𝐴⟢𝐷) β†’ (𝐹 ∘ 𝑋) Fn 𝐴)
258256, 98, 257syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝑋) Fn 𝐴)
259258ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (𝐹 ∘ 𝑋) Fn 𝐴)
260 fnfvof 7686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑇 Fn 𝐴 ∧ (𝐹 ∘ 𝑋) Fn 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋))β€˜π‘) = ((π‘‡β€˜π‘) Β· ((𝐹 ∘ 𝑋)β€˜π‘)))
261214, 259, 164, 216, 260syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋))β€˜π‘) = ((π‘‡β€˜π‘) Β· ((𝐹 ∘ 𝑋)β€˜π‘)))
262 fvco3 6990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋:𝐴⟢𝐷 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑋)β€˜π‘) = (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘)))
263166, 216, 262syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑋)β€˜π‘) = (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘)))
264263oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((π‘‡β€˜π‘) Β· ((𝐹 ∘ 𝑋)β€˜π‘)) = ((π‘‡β€˜π‘) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘))))
265261, 264eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋))β€˜π‘) = ((π‘‡β€˜π‘) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘))))
266254, 255, 2653eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) = ((π‘‡β€˜π‘) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘))))
267266, 222oveq12d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) = (((π‘‡β€˜π‘) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘))) / (π‘‡β€˜π‘)))
268234recnd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘)) ∈ β„‚)
269268, 225, 228divcan3d 11994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (((π‘‡β€˜π‘) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘))) / (π‘‡β€˜π‘)) = (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘)))
270267, 269eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) = (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘)))
271235, 236, 2703brtr4d 5180 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))))
272135, 232, 271elrabd 3685 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))})
273272a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))}) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))}))
274120simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∈ (0[,)+∞) β†’ 0 ≀ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))
275119, 274syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) β†’ 0 ≀ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))
276 leloe 11299 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ ∧ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ↔ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∨ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))))
27780, 122, 276sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) β†’ (0 ≀ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ↔ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∨ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))))
278275, 277mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) β†’ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∨ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))))
279139, 273, 278mpjaodan 957 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) β†’ ((0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))}) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))}))
28087, 279embantd 59 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) β†’ ((π‘˜ βŠ† 𝐴 β†’ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))}))
28185, 280biimtrid 241 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) β†’ (((π‘˜ βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))}) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))}))
282281ex 413 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) β†’ (((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) β†’ (((π‘˜ βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))}) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))})))
283282com23 86 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) β†’ (((π‘˜ βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))}) β†’ (((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))})))
284283expcom 414 . . . . . . . 8 (Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜ β†’ (πœ‘ β†’ (((π‘˜ βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))}) β†’ (((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))}))))
285284adantl 482 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) β†’ (πœ‘ β†’ (((π‘˜ βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))}) β†’ (((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))}))))
286285a2d 29 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) β†’ ((πœ‘ β†’ ((π‘˜ βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) β†’ (πœ‘ β†’ (((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))}))))
28731, 47, 63, 79, 84, 286findcard2s 9164 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin β†’ (πœ‘ β†’ ((𝐴 βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐴)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐴)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴)))})))
28810, 287mpcom 38 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐴)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐴)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴)))}))
2899, 288mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐴)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐴)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴)))})
290156ffnd 6718 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∘f Β· 𝑋) Fn 𝐴)
291 fnresdm 6669 . . . . . 6 ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) Fn 𝐴 β†’ ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐴) = (𝑇 ∘f Β· 𝑋))
292290, 291syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐴) = (𝑇 ∘f Β· 𝑋))
293292oveq2d 7424 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐴)) = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· 𝑋)))
294293, 6oveq12d 7426 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐴)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴))) = ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· 𝑋)) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇)))
2953, 258, 10, 10, 155offn 7682 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) Fn 𝐴)
296 fnresdm 6669 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) Fn 𝐴 β†’ ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐴) = (𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)))
297295, 296syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐴) = (𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)))
298297oveq2d 7424 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐴)) = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋))))
299298, 6oveq12d 7426 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐴)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴))) = ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋))) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇)))
300299breq2d 5160 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐴)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴))) ↔ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋))) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇))))
301300rabbidv 3440 . . 3 (πœ‘ β†’ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐴)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴)))} = {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋))) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇))})
302289, 294, 3013eltr3d 2847 . 2 (πœ‘ β†’ ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· 𝑋)) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇)) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋))) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇))})
303 fveq2 6891 . . . 4 (𝑀 = ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· 𝑋)) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇)) β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· 𝑋)) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇))))
304303breq1d 5158 . . 3 (𝑀 = ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· 𝑋)) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇)) β†’ ((πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋))) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇)) ↔ (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· 𝑋)) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇))) ≀ ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋))) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇))))
305304elrab 3683 . 2 (((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· 𝑋)) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇)) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋))) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇))} ↔ (((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· 𝑋)) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· 𝑋)) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇))) ≀ ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋))) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇))))
306302, 305sylib 217 1 (πœ‘ β†’ (((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· 𝑋)) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· 𝑋)) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇))) ≀ ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋))) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∘f cof 7667   supp csupp 8145  Fincfn 8938  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114  +∞cpnf 11244   < clt 11247   ≀ cle 11248   βˆ’ cmin 11443   / cdiv 11870  [,)cico 13325  [,]cicc 13326  Ξ£csu 15631   Ξ£g cgsu 17385  Mndcmnd 18624  SubMndcsubmnd 18669  CMndccmn 19647  Ringcrg 20055  β„‚fldccnfld 20943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12974  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-sum 15632  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-subrg 20316  df-drng 20358  df-cnfld 20944  df-refld 21157
This theorem is referenced by:  amgmlem  26491  amgmwlem  47839
  Copyright terms: Public domain W3C validator