MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  jensen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jensen 26354
Description: Jensen's inequality, a finite extension of the definition of convexity (the last hypothesis). (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
jensen.1 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
jensen.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
jensen.3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐷 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘Ž[,]𝑏) βŠ† 𝐷)
jensen.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
jensen.5 (πœ‘ β†’ 𝑇:𝐴⟢(0[,)+∞))
jensen.6 (πœ‘ β†’ 𝑋:𝐴⟢𝐷)
jensen.7 (πœ‘ β†’ 0 < (β„‚fld Ξ£g 𝑇))
jensen.8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1))) β†’ (πΉβ€˜((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))) ≀ ((𝑑 Β· (πΉβ€˜π‘₯)) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (πΉβ€˜π‘¦))))
Assertion
Ref Expression
jensen (πœ‘ β†’ (((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· 𝑋)) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· 𝑋)) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇))) ≀ ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋))) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇))))
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦,𝐴   𝐷,π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   πœ‘,π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   𝐹,π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑇,π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑋,π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦

Proof of Theorem jensen
Dummy variables 𝑐 π‘˜ 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 jensen.7 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 < (β„‚fld Ξ£g 𝑇))
2 jensen.5 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇:𝐴⟢(0[,)+∞))
32ffnd 6674 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 Fn 𝐴)
4 fnresdm 6625 . . . . . . . 8 (𝑇 Fn 𝐴 β†’ (𝑇 β†Ύ 𝐴) = 𝑇)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑇 β†Ύ 𝐴) = 𝑇)
65oveq2d 7378 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴)) = (β„‚fld Ξ£g 𝑇))
71, 6breqtrrd 5138 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴)))
8 ssid 3971 . . . . 5 𝐴 βŠ† 𝐴
97, 8jctil 521 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴))))
10 jensen.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
11 sseq1 3974 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = βˆ… β†’ (π‘Ž βŠ† 𝐴 ↔ βˆ… βŠ† 𝐴))
12 reseq2 5937 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = βˆ… β†’ (𝑇 β†Ύ π‘Ž) = (𝑇 β†Ύ βˆ…))
13 res0 5946 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 β†Ύ βˆ…) = βˆ…
1412, 13eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = βˆ… β†’ (𝑇 β†Ύ π‘Ž) = βˆ…)
1514oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = βˆ… β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)) = (β„‚fld Ξ£g βˆ…))
16 cnfld0 20837 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
1716gsum0 18546 . . . . . . . . . . 11 (β„‚fld Ξ£g βˆ…) = 0
1815, 17eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = βˆ… β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)) = 0)
1918breq2d 5122 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = βˆ… β†’ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)) ↔ 0 < 0))
2011, 19anbi12d 632 . . . . . . . 8 (π‘Ž = βˆ… β†’ ((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) ↔ (βˆ… βŠ† 𝐴 ∧ 0 < 0)))
21 reseq2 5937 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = βˆ… β†’ ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž) = ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ βˆ…))
2221oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = βˆ… β†’ (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž)) = (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ βˆ…)))
2322, 18oveq12d 7380 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = βˆ… β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) = ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ βˆ…)) / 0))
24 reseq2 5937 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = βˆ… β†’ ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž) = ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ βˆ…))
2524oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = βˆ… β†’ (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) = (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ βˆ…)))
2625, 18oveq12d 7380 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = βˆ… β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) = ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ βˆ…)) / 0))
2726breq2d 5122 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = βˆ… β†’ ((πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) ↔ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ βˆ…)) / 0)))
2827rabbidv 3418 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = βˆ… β†’ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)))} = {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ βˆ…)) / 0)})
2923, 28eleq12d 2832 . . . . . . . 8 (π‘Ž = βˆ… β†’ (((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)))} ↔ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ βˆ…)) / 0) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ βˆ…)) / 0)}))
3020, 29imbi12d 345 . . . . . . 7 (π‘Ž = βˆ… β†’ (((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)))}) ↔ ((βˆ… βŠ† 𝐴 ∧ 0 < 0) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ βˆ…)) / 0) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ βˆ…)) / 0)})))
3130imbi2d 341 . . . . . 6 (π‘Ž = βˆ… β†’ ((πœ‘ β†’ ((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)))})) ↔ (πœ‘ β†’ ((βˆ… βŠ† 𝐴 ∧ 0 < 0) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ βˆ…)) / 0) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ βˆ…)) / 0)}))))
32 sseq1 3974 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = π‘˜ β†’ (π‘Ž βŠ† 𝐴 ↔ π‘˜ βŠ† 𝐴))
33 reseq2 5937 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = π‘˜ β†’ (𝑇 β†Ύ π‘Ž) = (𝑇 β†Ύ π‘˜))
3433oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = π‘˜ β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)) = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))
3534breq2d 5122 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = π‘˜ β†’ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)) ↔ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))))
3632, 35anbi12d 632 . . . . . . . 8 (π‘Ž = π‘˜ β†’ ((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) ↔ (π‘˜ βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))))
37 reseq2 5937 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = π‘˜ β†’ ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž) = ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜))
3837oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = π‘˜ β†’ (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž)) = (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)))
3938, 34oveq12d 7380 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = π‘˜ β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) = ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))))
40 reseq2 5937 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = π‘˜ β†’ ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž) = ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜))
4140oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = π‘˜ β†’ (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) = (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)))
4241, 34oveq12d 7380 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = π‘˜ β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) = ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))))
4342breq2d 5122 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) ↔ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))))
4443rabbidv 3418 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = π‘˜ β†’ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)))} = {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})
4539, 44eleq12d 2832 . . . . . . . 8 (π‘Ž = π‘˜ β†’ (((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)))} ↔ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))}))
4636, 45imbi12d 345 . . . . . . 7 (π‘Ž = π‘˜ β†’ (((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)))}) ↔ ((π‘˜ βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})))
4746imbi2d 341 . . . . . 6 (π‘Ž = π‘˜ β†’ ((πœ‘ β†’ ((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)))})) ↔ (πœ‘ β†’ ((π‘˜ βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))}))))
48 sseq1 3974 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) β†’ (π‘Ž βŠ† 𝐴 ↔ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴))
49 reseq2 5937 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) β†’ (𝑇 β†Ύ π‘Ž) = (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))
5049oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)) = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))
5150breq2d 5122 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) β†’ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)) ↔ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))))
5248, 51anbi12d 632 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) β†’ ((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) ↔ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))))
53 reseq2 5937 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) β†’ ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž) = ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))
5453oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) β†’ (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž)) = (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))
5554, 50oveq12d 7380 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) = ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))))
56 reseq2 5937 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) β†’ ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž) = ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))
5756oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) β†’ (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) = (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))
5857, 50oveq12d 7380 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) = ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))))
5958breq2d 5122 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) β†’ ((πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) ↔ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))))
6059rabbidv 3418 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) β†’ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)))} = {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))})
6155, 60eleq12d 2832 . . . . . . . 8 (π‘Ž = (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) β†’ (((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)))} ↔ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))}))
6252, 61imbi12d 345 . . . . . . 7 (π‘Ž = (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) β†’ (((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)))}) ↔ (((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))})))
6362imbi2d 341 . . . . . 6 (π‘Ž = (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) β†’ ((πœ‘ β†’ ((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)))})) ↔ (πœ‘ β†’ (((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))}))))
64 sseq1 3974 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (π‘Ž βŠ† 𝐴 ↔ 𝐴 βŠ† 𝐴))
65 reseq2 5937 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (𝑇 β†Ύ π‘Ž) = (𝑇 β†Ύ 𝐴))
6665oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)) = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴)))
6766breq2d 5122 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)) ↔ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴))))
6864, 67anbi12d 632 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) ↔ (𝐴 βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴)))))
69 reseq2 5937 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž) = ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐴))
7069oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž)) = (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐴)))
7170, 66oveq12d 7380 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) = ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐴)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴))))
72 reseq2 5937 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž) = ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐴))
7372oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) = (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐴)))
7473, 66oveq12d 7380 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) = ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐴)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴))))
7574breq2d 5122 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) ↔ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐴)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴)))))
7675rabbidv 3418 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝐴 β†’ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)))} = {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐴)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴)))})
7771, 76eleq12d 2832 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)))} ↔ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐴)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐴)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴)))}))
7868, 77imbi12d 345 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)))}) ↔ ((𝐴 βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐴)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐴)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴)))})))
7978imbi2d 341 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((πœ‘ β†’ ((π‘Ž βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘Ž)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘Ž)))})) ↔ (πœ‘ β†’ ((𝐴 βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐴)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐴)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴)))}))))
80 0re 11164 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
8180ltnri 11271 . . . . . . . . 9 Β¬ 0 < 0
8281pm2.21i 119 . . . . . . . 8 (0 < 0 β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ βˆ…)) / 0) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ βˆ…)) / 0)})
8382adantl 483 . . . . . . 7 ((βˆ… βŠ† 𝐴 ∧ 0 < 0) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ βˆ…)) / 0) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ βˆ…)) / 0)})
8483a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((βˆ… βŠ† 𝐴 ∧ 0 < 0) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ βˆ…)) / 0) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ βˆ…)) / 0)}))
85 impexp 452 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘˜ βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))}) ↔ (π‘˜ βŠ† 𝐴 β†’ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})))
86 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) β†’ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴)
8786unssad 4152 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) β†’ π‘˜ βŠ† 𝐴)
88 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))
89 jensen.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
9089ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∧ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
91 jensen.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
9291ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∧ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
93 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∧ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) β†’ πœ‘)
94 jensen.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐷 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘Ž[,]𝑏) βŠ† 𝐷)
9593, 94sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∧ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) ∧ (π‘Ž ∈ 𝐷 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘Ž[,]𝑏) βŠ† 𝐷)
9693, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∧ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
9793, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∧ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) β†’ 𝑇:𝐴⟢(0[,)+∞))
98 jensen.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑋:𝐴⟢𝐷)
9993, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∧ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) β†’ 𝑋:𝐴⟢𝐷)
1001ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∧ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) β†’ 0 < (β„‚fld Ξ£g 𝑇))
101 jensen.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1))) β†’ (πΉβ€˜((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))) ≀ ((𝑑 Β· (πΉβ€˜π‘₯)) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (πΉβ€˜π‘¦))))
10293, 101sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∧ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1))) β†’ (πΉβ€˜((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))) ≀ ((𝑑 Β· (πΉβ€˜π‘₯)) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (πΉβ€˜π‘¦))))
103 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∧ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) β†’ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜)
10486adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∧ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) β†’ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴)
105 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))
106 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))
107 cnring 20835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 β„‚fld ∈ Ring
108 ringcmn 20010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
109107, 108mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
11010ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
111110, 87ssfid 9218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) β†’ π‘˜ ∈ Fin)
112 rege0subm 20869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0[,)+∞) ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld)
113112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) β†’ (0[,)+∞) ∈ (SubMndβ€˜β„‚fld))
1142ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) β†’ 𝑇:𝐴⟢(0[,)+∞))
115114, 87fssresd 6714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) β†’ (𝑇 β†Ύ π‘˜):π‘˜βŸΆ(0[,)+∞))
116 c0ex 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 0 ∈ V
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) β†’ 0 ∈ V)
118115, 111, 117fdmfifsupp 9322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) β†’ (𝑇 β†Ύ π‘˜) finSupp 0)
11916, 109, 111, 113, 115, 118gsumsubmcl 19703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∈ (0[,)+∞))
120 elrege0 13378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))))
121120simplbi 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∈ (0[,)+∞) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∈ ℝ)
122119, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∈ ℝ)
123122adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∧ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∈ ℝ)
124 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∧ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) β†’ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))
125123, 124elrpd 12961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∧ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∈ ℝ+)
126 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∧ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})
127 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 = ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))))
128127breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 = ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ↔ (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))))
129128elrab 3650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))} ↔ (((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ 𝐷 ∧ (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))))
130126, 129sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∧ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) β†’ (((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ 𝐷 ∧ (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))))
131130simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∧ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ 𝐷)
132130simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∧ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) β†’ (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))))
13390, 92, 95, 96, 97, 99, 100, 102, 103, 104, 105, 106, 125, 131, 132jensenlem2 26353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∧ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) β†’ (((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) ∈ 𝐷 ∧ (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))))
134 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 = ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))))
135134breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 = ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) β†’ ((πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) ↔ (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))))
136135elrab 3650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))} ↔ (((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) ∈ 𝐷 ∧ (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))))
137133, 136sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∧ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))})
138137expr 458 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))} β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))}))
13988, 138embantd 59 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))}) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))}))
140 cnfldbas 20816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
141 ringmnd 19981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ Mnd)
142107, 141mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ β„‚fld ∈ Mnd)
143110, 86ssfid 9218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) β†’ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) ∈ Fin)
144143adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) ∈ Fin)
145 ssun2 4138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 {𝑐} βŠ† (π‘˜ βˆͺ {𝑐})
146 vsnid 4628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑐 ∈ {𝑐}
147145, 146sselii 3946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑐 ∈ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})
148147a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ 𝑐 ∈ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))
149 remulcl 11143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ ℝ)
150149adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ ℝ)
151 rge0ssre 13380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
152 fss 6690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑇:𝐴⟢(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ) β†’ 𝑇:π΄βŸΆβ„)
1532, 151, 152sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ 𝑇:π΄βŸΆβ„)
15498, 89fssd 6691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ 𝑋:π΄βŸΆβ„)
155 inidm 4183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
156150, 153, 154, 10, 10, 155off 7640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∘f Β· 𝑋):π΄βŸΆβ„)
157 ax-resscn 11115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ℝ βŠ† β„‚
158 fss 6690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑇 ∘f Β· 𝑋):π΄βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (𝑇 ∘f Β· 𝑋):π΄βŸΆβ„‚)
159156, 157, 158sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∘f Β· 𝑋):π΄βŸΆβ„‚)
160159ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (𝑇 ∘f Β· 𝑋):π΄βŸΆβ„‚)
16186adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴)
162160, 161fssresd 6714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})):(π‘˜ βˆͺ {𝑐})βŸΆβ„‚)
1632ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ 𝑇:𝐴⟢(0[,)+∞))
164110adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ 𝐴 ∈ Fin)
165163, 164fexd 7182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ 𝑇 ∈ V)
16698ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ 𝑋:𝐴⟢𝐷)
167166, 164fexd 7182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ 𝑋 ∈ V)
168 offres 7921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ V) β†’ ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})) = ((𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})) ∘f Β· (𝑋 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))
169165, 167, 168syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})) = ((𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})) ∘f Β· (𝑋 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))
170169oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})) supp 0) = (((𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})) ∘f Β· (𝑋 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) supp 0))
171151, 157sstri 3958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (0[,)+∞) βŠ† β„‚
172 fss 6690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑇:𝐴⟢(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† β„‚) β†’ 𝑇:π΄βŸΆβ„‚)
173163, 171, 172sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ 𝑇:π΄βŸΆβ„‚)
174173, 161fssresd 6714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})):(π‘˜ βˆͺ {𝑐})βŸΆβ„‚)
175 eldifi 4091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘₯ ∈ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βˆ– {𝑐}) β†’ π‘₯ ∈ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))
176175adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βˆ– {𝑐})) β†’ π‘₯ ∈ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))
177176fvresd 6867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βˆ– {𝑐})) β†’ ((𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))β€˜π‘₯) = (π‘‡β€˜π‘₯))
178 difun2 4445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βˆ– {𝑐}) = (π‘˜ βˆ– {𝑐})
179 difss 4096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘˜ βˆ– {𝑐}) βŠ† π‘˜
180178, 179eqsstri 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βˆ– {𝑐}) βŠ† π‘˜
181180sseli 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘₯ ∈ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βˆ– {𝑐}) β†’ π‘₯ ∈ π‘˜)
182 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))
18387adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ π‘˜ βŠ† 𝐴)
184163, 183feqresmpt 6916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (𝑇 β†Ύ π‘˜) = (π‘₯ ∈ π‘˜ ↦ (π‘‡β€˜π‘₯)))
185184oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) = (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘˜ ↦ (π‘‡β€˜π‘₯))))
186111adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ π‘˜ ∈ Fin)
187183sselda 3949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∧ π‘₯ ∈ π‘˜) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
188163ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞))
189187, 188syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∧ π‘₯ ∈ π‘˜) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞))
190171, 189sselid 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∧ π‘₯ ∈ π‘˜) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
191186, 190gsumfsum 20880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ π‘˜ ↦ (π‘‡β€˜π‘₯))) = Ξ£π‘₯ ∈ π‘˜ (π‘‡β€˜π‘₯))
192182, 185, 1913eqtrrd 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ π‘˜ (π‘‡β€˜π‘₯) = 0)
193 elrege0 13378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((π‘‡β€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((π‘‡β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘‡β€˜π‘₯)))
194189, 193sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∧ π‘₯ ∈ π‘˜) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘‡β€˜π‘₯)))
195194simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∧ π‘₯ ∈ π‘˜) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
196194simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∧ π‘₯ ∈ π‘˜) β†’ 0 ≀ (π‘‡β€˜π‘₯))
197186, 195, 196fsum00 15690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (Ξ£π‘₯ ∈ π‘˜ (π‘‡β€˜π‘₯) = 0 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘˜ (π‘‡β€˜π‘₯) = 0))
198192, 197mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘˜ (π‘‡β€˜π‘₯) = 0)
199198r19.21bi 3237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∧ π‘₯ ∈ π‘˜) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) = 0)
200181, 199sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βˆ– {𝑐})) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) = 0)
201177, 200eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βˆ– {𝑐})) β†’ ((𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))β€˜π‘₯) = 0)
202174, 201suppss 8130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})) supp 0) βŠ† {𝑐})
203 mul02 11340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (0 Β· π‘₯) = 0)
204203adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0 Β· π‘₯) = 0)
20589ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
206205, 157sstrdi 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ 𝐷 βŠ† β„‚)
207166, 206fssd 6691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ 𝑋:π΄βŸΆβ„‚)
208207, 161fssresd 6714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (𝑋 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})):(π‘˜ βˆͺ {𝑐})βŸΆβ„‚)
209116a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ 0 ∈ V)
210202, 204, 174, 208, 144, 209suppssof1 8135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (((𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})) ∘f Β· (𝑋 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) supp 0) βŠ† {𝑐})
211170, 210eqsstrd 3987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})) supp 0) βŠ† {𝑐})
212140, 16, 142, 144, 148, 162, 211gsumpt 19746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) = (((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))β€˜π‘))
213148fvresd 6867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))β€˜π‘) = ((𝑇 ∘f Β· 𝑋)β€˜π‘))
214163ffnd 6674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ 𝑇 Fn 𝐴)
215166ffnd 6674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ 𝑋 Fn 𝐴)
216161, 148sseldd 3950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ 𝑐 ∈ 𝐴)
217 fnfvof 7639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑇 Fn 𝐴 ∧ 𝑋 Fn 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑇 ∘f Β· 𝑋)β€˜π‘) = ((π‘‡β€˜π‘) Β· (π‘‹β€˜π‘)))
218214, 215, 164, 216, 217syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((𝑇 ∘f Β· 𝑋)β€˜π‘) = ((π‘‡β€˜π‘) Β· (π‘‹β€˜π‘)))
219212, 213, 2183eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) = ((π‘‡β€˜π‘) Β· (π‘‹β€˜π‘)))
220140, 16, 142, 144, 148, 174, 202gsumpt 19746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) = ((𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))β€˜π‘))
221148fvresd 6867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))β€˜π‘) = (π‘‡β€˜π‘))
222220, 221eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) = (π‘‡β€˜π‘))
223219, 222oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) = (((π‘‡β€˜π‘) Β· (π‘‹β€˜π‘)) / (π‘‡β€˜π‘)))
224207, 216ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (π‘‹β€˜π‘) ∈ β„‚)
225173, 216ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (π‘‡β€˜π‘) ∈ β„‚)
226 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))
227226, 222breqtrd 5136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ 0 < (π‘‡β€˜π‘))
228227gt0ne0d 11726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (π‘‡β€˜π‘) β‰  0)
229224, 225, 228divcan3d 11943 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (((π‘‡β€˜π‘) Β· (π‘‹β€˜π‘)) / (π‘‡β€˜π‘)) = (π‘‹β€˜π‘))
230223, 229eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) = (π‘‹β€˜π‘))
231166, 216ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (π‘‹β€˜π‘) ∈ 𝐷)
232230, 231eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) ∈ 𝐷)
23391ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
234233, 231ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘)) ∈ ℝ)
235234leidd 11728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘)) ≀ (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘)))
236230fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) = (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘)))
237 fco 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ 𝑋:𝐴⟢𝐷) β†’ (𝐹 ∘ 𝑋):π΄βŸΆβ„)
23891, 98, 237syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝑋):π΄βŸΆβ„)
239150, 153, 238, 10, 10, 155off 7640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)):π΄βŸΆβ„)
240 fss 6690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)):π΄βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)):π΄βŸΆβ„‚)
241239, 157, 240sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)):π΄βŸΆβ„‚)
242241ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)):π΄βŸΆβ„‚)
243242, 161fssresd 6714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})):(π‘˜ βˆͺ {𝑐})βŸΆβ„‚)
244238ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (𝐹 ∘ 𝑋):π΄βŸΆβ„)
245244, 164fexd 7182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (𝐹 ∘ 𝑋) ∈ V)
246 offres 7921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑇 ∈ V ∧ (𝐹 ∘ 𝑋) ∈ V) β†’ ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})) = ((𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})) ∘f Β· ((𝐹 ∘ 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))
247165, 245, 246syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})) = ((𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})) ∘f Β· ((𝐹 ∘ 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))
248247oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})) supp 0) = (((𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})) ∘f Β· ((𝐹 ∘ 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) supp 0))
249 fss 6690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐹 ∘ 𝑋):π΄βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (𝐹 ∘ 𝑋):π΄βŸΆβ„‚)
250244, 157, 249sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (𝐹 ∘ 𝑋):π΄βŸΆβ„‚)
251250, 161fssresd 6714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})):(π‘˜ βˆͺ {𝑐})βŸΆβ„‚)
252202, 204, 174, 251, 144, 209suppssof1 8135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (((𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})) ∘f Β· ((𝐹 ∘ 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) supp 0) βŠ† {𝑐})
253248, 252eqsstrd 3987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})) supp 0) βŠ† {𝑐})
254140, 16, 142, 144, 148, 243, 253gsumpt 19746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) = (((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))β€˜π‘))
255148fvresd 6867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))β€˜π‘) = ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋))β€˜π‘))
25691ffnd 6674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝐷)
257 fnfco 6712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝑋:𝐴⟢𝐷) β†’ (𝐹 ∘ 𝑋) Fn 𝐴)
258256, 98, 257syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝑋) Fn 𝐴)
259258ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (𝐹 ∘ 𝑋) Fn 𝐴)
260 fnfvof 7639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑇 Fn 𝐴 ∧ (𝐹 ∘ 𝑋) Fn 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑐 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋))β€˜π‘) = ((π‘‡β€˜π‘) Β· ((𝐹 ∘ 𝑋)β€˜π‘)))
261214, 259, 164, 216, 260syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋))β€˜π‘) = ((π‘‡β€˜π‘) Β· ((𝐹 ∘ 𝑋)β€˜π‘)))
262 fvco3 6945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋:𝐴⟢𝐷 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑋)β€˜π‘) = (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘)))
263166, 216, 262syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑋)β€˜π‘) = (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘)))
264263oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((π‘‡β€˜π‘) Β· ((𝐹 ∘ 𝑋)β€˜π‘)) = ((π‘‡β€˜π‘) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘))))
265261, 264eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋))β€˜π‘) = ((π‘‡β€˜π‘) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘))))
266254, 255, 2653eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) = ((π‘‡β€˜π‘) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘))))
267266, 222oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) = (((π‘‡β€˜π‘) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘))) / (π‘‡β€˜π‘)))
268234recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘)) ∈ β„‚)
269268, 225, 228divcan3d 11943 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (((π‘‡β€˜π‘) Β· (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘))) / (π‘‡β€˜π‘)) = (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘)))
270267, 269eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) = (πΉβ€˜(π‘‹β€˜π‘)))
271235, 236, 2703brtr4d 5142 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))))
272135, 232, 271elrabd 3652 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))})
273272a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) ∧ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))}) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))}))
274120simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∈ (0[,)+∞) β†’ 0 ≀ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))
275119, 274syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) β†’ 0 ≀ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))
276 leloe 11248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ ∧ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ↔ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∨ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))))
27780, 122, 276sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) β†’ (0 ≀ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ↔ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∨ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))))
278275, 277mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) β†’ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) ∨ 0 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))))
279139, 273, 278mpjaodan 958 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) β†’ ((0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))}) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))}))
28087, 279embantd 59 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) β†’ ((π‘˜ βŠ† 𝐴 β†’ (0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))}))
28185, 280biimtrid 241 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) ∧ ((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))) β†’ (((π‘˜ βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))}) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))}))
282281ex 414 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) β†’ (((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) β†’ (((π‘˜ βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))}) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))})))
283282com23 86 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) β†’ (((π‘˜ βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))}) β†’ (((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))})))
284283expcom 415 . . . . . . . 8 (Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜ β†’ (πœ‘ β†’ (((π‘˜ βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))}) β†’ (((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))}))))
285284adantl 483 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) β†’ (πœ‘ β†’ (((π‘˜ βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))}) β†’ (((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))}))))
286285a2d 29 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑐 ∈ π‘˜) β†’ ((πœ‘ β†’ ((π‘˜ βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ π‘˜)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ π‘˜)))})) β†’ (πœ‘ β†’ (((π‘˜ βˆͺ {𝑐}) βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐})))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (π‘˜ βˆͺ {𝑐}))))}))))
28731, 47, 63, 79, 84, 286findcard2s 9116 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin β†’ (πœ‘ β†’ ((𝐴 βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐴)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐴)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴)))})))
28810, 287mpcom 38 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βŠ† 𝐴 ∧ 0 < (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴))) β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐴)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐴)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴)))}))
2899, 288mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐴)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴))) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐴)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴)))})
290156ffnd 6674 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∘f Β· 𝑋) Fn 𝐴)
291 fnresdm 6625 . . . . . 6 ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) Fn 𝐴 β†’ ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐴) = (𝑇 ∘f Β· 𝑋))
292290, 291syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐴) = (𝑇 ∘f Β· 𝑋))
293292oveq2d 7378 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐴)) = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· 𝑋)))
294293, 6oveq12d 7380 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· 𝑋) β†Ύ 𝐴)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴))) = ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· 𝑋)) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇)))
2953, 258, 10, 10, 155offn 7635 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) Fn 𝐴)
296 fnresdm 6625 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) Fn 𝐴 β†’ ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐴) = (𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)))
297295, 296syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐴) = (𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)))
298297oveq2d 7378 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐴)) = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋))))
299298, 6oveq12d 7380 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐴)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴))) = ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋))) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇)))
300299breq2d 5122 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐴)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴))) ↔ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋))) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇))))
301300rabbidv 3418 . . 3 (πœ‘ β†’ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g ((𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋)) β†Ύ 𝐴)) / (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐴)))} = {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋))) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇))})
302289, 294, 3013eltr3d 2852 . 2 (πœ‘ β†’ ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· 𝑋)) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇)) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋))) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇))})
303 fveq2 6847 . . . 4 (𝑀 = ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· 𝑋)) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇)) β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· 𝑋)) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇))))
304303breq1d 5120 . . 3 (𝑀 = ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· 𝑋)) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇)) β†’ ((πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋))) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇)) ↔ (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· 𝑋)) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇))) ≀ ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋))) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇))))
305304elrab 3650 . 2 (((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· 𝑋)) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇)) ∈ {𝑀 ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘€) ≀ ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋))) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇))} ↔ (((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· 𝑋)) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· 𝑋)) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇))) ≀ ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋))) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇))))
306302, 305sylib 217 1 (πœ‘ β†’ (((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· 𝑋)) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇)) ∈ 𝐷 ∧ (πΉβ€˜((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· 𝑋)) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇))) ≀ ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 ∘f Β· (𝐹 ∘ 𝑋))) / (β„‚fld Ξ£g 𝑇))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  {crab 3410  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   βˆͺ cun 3913   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  {csn 4591   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   β†Ύ cres 5640   ∘ ccom 5642   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∘f cof 7620   supp csupp 8097  Fincfn 8890  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063  +∞cpnf 11193   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  [,)cico 13273  [,]cicc 13274  Ξ£csu 15577   Ξ£g cgsu 17329  Mndcmnd 18563  SubMndcsubmnd 18607  CMndccmn 19569  Ringcrg 19971  β„‚fldccnfld 20812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-dvr 20119  df-drng 20201  df-subrg 20236  df-cnfld 20813  df-refld 21025
This theorem is referenced by:  amgmlem  26355  amgmwlem  47323
  Copyright terms: Public domain W3C validator