Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendoid 39239
Description: The identity value of a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 21-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoid.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
tendoid.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendoid.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
tendoid (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)) = ( I β†Ύ 𝐡))

Proof of Theorem tendoid
StepHypRef Expression
1 tendoid.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 tendoid.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 eqid 2737 . . . . . . 7 ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
41, 2, 3idltrn 38616 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
54adantr 482 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
6 eqid 2737 . . . . . 6 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
7 eqid 2737 . . . . . 6 ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 tendoid.e . . . . . 6 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
96, 2, 3, 7, 8tendotp 39227 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)))(leβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜( I β†Ύ 𝐡)))
105, 9mpd3an3 1463 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)))(leβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜( I β†Ύ 𝐡)))
11 eqid 2737 . . . . . 6 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
121, 11, 2, 7trlid0 38642 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜( I β†Ύ 𝐡)) = (0.β€˜πΎ))
1312adantr 482 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜( I β†Ύ 𝐡)) = (0.β€˜πΎ))
1410, 13breqtrd 5132 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)))(leβ€˜πΎ)(0.β€˜πΎ))
15 hlop 37827 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
1615ad2antrr 725 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ 𝐾 ∈ OP)
172, 3, 8tendocl 39233 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
185, 17mpd3an3 1463 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
191, 2, 3, 7trlcl 38630 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡))) ∈ 𝐡)
2018, 19syldan 592 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡))) ∈ 𝐡)
211, 6, 11ople0 37652 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡))) ∈ 𝐡) β†’ ((((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)))(leβ€˜πΎ)(0.β€˜πΎ) ↔ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡))) = (0.β€˜πΎ)))
2216, 20, 21syl2anc 585 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ ((((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)))(leβ€˜πΎ)(0.β€˜πΎ) ↔ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡))) = (0.β€˜πΎ)))
2314, 22mpbid 231 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡))) = (0.β€˜πΎ))
241, 11, 2, 3, 7trlid0b 38644 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ((π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡))) = (0.β€˜πΎ)))
2518, 24syldan 592 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ ((π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡))) = (0.β€˜πΎ)))
2623, 25mpbird 257 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)) = ( I β†Ύ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5106   I cid 5531   β†Ύ cres 5636  β€˜cfv 6497  Basecbs 17084  lecple 17141  0.cp0 18313  OPcops 37637  HLchlt 37815  LHypclh 38450  LTrncltrn 38567  trLctrl 38624  TEndoctendo 39218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-map 8768  df-proset 18185  df-poset 18203  df-plt 18220  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-p0 18315  df-p1 18316  df-lat 18322  df-clat 18389  df-oposet 37641  df-ol 37643  df-oml 37644  df-covers 37731  df-ats 37732  df-atl 37763  df-cvlat 37787  df-hlat 37816  df-lhyp 38454  df-laut 38455  df-ldil 38570  df-ltrn 38571  df-trl 38625  df-tendo 39221
This theorem is referenced by:  tendoeq2  39240  tendo0mulr  39293  tendotr  39296  tendocnv  39487  dvhopN  39582  dihpN  39802
  Copyright terms: Public domain W3C validator