Theorem tendoid 41798

Description: The identity value of a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 21-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendoid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendoid.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoid.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tendoid	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑆‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem tendoid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tendoid.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		tendoid.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	idltrn 41175	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
6		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
7		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
8		tendoid.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
9	6, 2, 3, 7, 8	tendotp 41786	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵)))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘( I ↾ 𝐵)))
10	5, 9	mpd3an3 1491	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵)))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘( I ↾ 𝐵)))
11		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
12	1, 11, 2, 7	trlid0 41201	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘( I ↾ 𝐵)) = (0.‘𝐾))
13	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘( I ↾ 𝐵)) = (0.‘𝐾))
14	10, 13	breqtrd 5131	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵)))(le‘𝐾)(0.‘𝐾))
15		hlop 40387	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
16	15	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → 𝐾 ∈ OP)
17	2, 3, 8	tendocl 41792	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑆‘( I ↾ 𝐵)) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
18	5, 17	mpd3an3 1491	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑆‘( I ↾ 𝐵)) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
19	1, 2, 3, 7	trlcl 41189	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆‘( I ↾ 𝐵)) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵))) ∈ 𝐵)
20	18, 19	syldan 603	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵))) ∈ 𝐵)
21	1, 6, 11	ople0 40212	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵))) ∈ 𝐵) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵)))(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ↔ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵))) = (0.‘𝐾)))
22	16, 20, 21	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵)))(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ↔ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵))) = (0.‘𝐾)))
23	14, 22	mpbid 235	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵))) = (0.‘𝐾))
24	1, 11, 2, 3, 7	trlid0b 41203	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆‘( I ↾ 𝐵)) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ((𝑆‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵))) = (0.‘𝐾)))
25	18, 24	syldan 603	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → ((𝑆‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵))) = (0.‘𝐾)))
26	23, 25	mpbird 260	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑆‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103   I cid 5545   ↾ cres 5653  ‘cfv 6531  Basecbs 17367  lecple 17415  0.cp0 18575  OPcops 40197  HLchlt 40375  LHypclh 41009  LTrncltrn 41126  trLctrl 41183  TEndoctendo 41777

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-map 8833  df-proset 18448  df-poset 18467  df-plt 18482  df-lub 18498  df-glb 18499  df-join 18500  df-meet 18501  df-p0 18577  df-p1 18578  df-lat 18586  df-clat 18653  df-oposet 40201  df-ol 40203  df-oml 40204  df-covers 40291  df-ats 40292  df-atl 40323  df-cvlat 40347  df-hlat 40376  df-lhyp 41013  df-laut 41014  df-ldil 41129  df-ltrn 41130  df-trl 41184  df-tendo 41780

This theorem is used by:  tendoeq2  41799  tendo0mulr  41852  tendotr  41855  tendocnv  42046  dvhopN  42141  dihpN  42361