Theorem tendoid 41654

Description: The identity value of a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 21-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendoid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendoid.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoid.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tendoid	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑆‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem tendoid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tendoid.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		tendoid.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	idltrn 41031	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
6		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
7		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
8		tendoid.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
9	6, 2, 3, 7, 8	tendotp 41642	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵)))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘( I ↾ 𝐵)))
10	5, 9	mpd3an3 1491	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵)))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘( I ↾ 𝐵)))
11		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
12	1, 11, 2, 7	trlid0 41057	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘( I ↾ 𝐵)) = (0.‘𝐾))
13	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘( I ↾ 𝐵)) = (0.‘𝐾))
14	10, 13	breqtrd 5135	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵)))(le‘𝐾)(0.‘𝐾))
15		hlop 40243	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
16	15	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → 𝐾 ∈ OP)
17	2, 3, 8	tendocl 41648	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑆‘( I ↾ 𝐵)) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
18	5, 17	mpd3an3 1491	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑆‘( I ↾ 𝐵)) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
19	1, 2, 3, 7	trlcl 41045	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆‘( I ↾ 𝐵)) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵))) ∈ 𝐵)
20	18, 19	syldan 603	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵))) ∈ 𝐵)
21	1, 6, 11	ople0 40068	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵))) ∈ 𝐵) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵)))(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ↔ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵))) = (0.‘𝐾)))
22	16, 20, 21	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵)))(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ↔ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵))) = (0.‘𝐾)))
23	14, 22	mpbid 235	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵))) = (0.‘𝐾))
24	1, 11, 2, 3, 7	trlid0b 41059	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆‘( I ↾ 𝐵)) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ((𝑆‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵))) = (0.‘𝐾)))
25	18, 24	syldan 603	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → ((𝑆‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵))) = (0.‘𝐾)))
26	23, 25	mpbird 260	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑆‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107   I cid 5553   ↾ cres 5661  ‘cfv 6537  Basecbs 17307  lecple 17355  0.cp0 18515  OPcops 40053  HLchlt 40231  LHypclh 40865  LTrncltrn 40982  trLctrl 41039  TEndoctendo 41633

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-map 8832  df-proset 18388  df-poset 18407  df-plt 18422  df-lub 18438  df-glb 18439  df-join 18440  df-meet 18441  df-p0 18517  df-p1 18518  df-lat 18526  df-clat 18593  df-oposet 40057  df-ol 40059  df-oml 40060  df-covers 40147  df-ats 40148  df-atl 40179  df-cvlat 40203  df-hlat 40232  df-lhyp 40869  df-laut 40870  df-ldil 40985  df-ltrn 40986  df-trl 41040  df-tendo 41636

This theorem is used by:  tendoeq2  41655  tendo0mulr  41708  tendotr  41711  tendocnv  41902  dvhopN  41997  dihpN  42217