Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tendoid 40278
Description: The identity value of a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 21-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoid.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
tendoid.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendoid.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
tendoid (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)) = ( I β†Ύ 𝐡))
Proof of Theorem tendoid
StepHypRef Expression
1 tendoid.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 tendoid.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 eqid 2728 . . . . . . 7 ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
41, 2, 3idltrn 39655 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
54adantr 479 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
6 eqid 2728 . . . . . 6 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
7 eqid 2728 . . . . . 6 ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 tendoid.e . . . . . 6 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
96, 2, 3, 7, 8tendotp 40266 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)))(leβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜( I β†Ύ 𝐡)))
105, 9mpd3an3 1458 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)))(leβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜( I β†Ύ 𝐡)))
11 eqid 2728 . . . . . 6 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
121, 11, 2, 7trlid0 39681 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜( I β†Ύ 𝐡)) = (0.β€˜πΎ))
1312adantr 479 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜( I β†Ύ 𝐡)) = (0.β€˜πΎ))
1410, 13breqtrd 5178 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)))(leβ€˜πΎ)(0.β€˜πΎ))
15 hlop 38866 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
1615ad2antrr 724 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ 𝐾 ∈ OP)
172, 3, 8tendocl 40272 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
185, 17mpd3an3 1458 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
191, 2, 3, 7trlcl 39669 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡))) ∈ 𝐡)
2018, 19syldan 589 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡))) ∈ 𝐡)
211, 6, 11ople0 38691 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡))) ∈ 𝐡) β†’ ((((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)))(leβ€˜πΎ)(0.β€˜πΎ) ↔ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡))) = (0.β€˜πΎ)))
2216, 20, 21syl2anc 582 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ ((((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)))(leβ€˜πΎ)(0.β€˜πΎ) ↔ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡))) = (0.β€˜πΎ)))
2314, 22mpbid 231 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡))) = (0.β€˜πΎ))
241, 11, 2, 3, 7trlid0b 39683 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ((π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡))) = (0.β€˜πΎ)))
2518, 24syldan 589 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ ((π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡))) = (0.β€˜πΎ)))
2623, 25mpbird 256 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)) = ( I β†Ύ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152   I cid 5579   β†Ύ cres 5684  β€˜cfv 6553  Basecbs 17187  lecple 17247  0.cp0 18422  OPcops 38676  HLchlt 38854  LHypclh 39489  LTrncltrn 39606  trLctrl 39663  TEndoctendo 40257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-map 8853  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-p1 18425  df-lat 18431  df-clat 18498  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-lhyp 39493  df-laut 39494  df-ldil 39609  df-ltrn 39610  df-trl 39664  df-tendo 40260
This theorem is referenced by:  tendoeq2  40279  tendo0mulr  40332  tendotr  40335  tendocnv  40526  dvhopN  40621  dihpN  40841
  Copyright terms: Public domain W3C validator