Theorem tendoid 41588

Description: The identity value of a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 21-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendoid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendoid.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoid.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tendoid	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑆‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem tendoid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tendoid.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		tendoid.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	idltrn 40965	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
6		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
7		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
8		tendoid.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
9	6, 2, 3, 7, 8	tendotp 41576	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵)))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘( I ↾ 𝐵)))
10	5, 9	mpd3an3 1491	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵)))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘( I ↾ 𝐵)))
11		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
12	1, 11, 2, 7	trlid0 40991	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘( I ↾ 𝐵)) = (0.‘𝐾))
13	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘( I ↾ 𝐵)) = (0.‘𝐾))
14	10, 13	breqtrd 5142	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵)))(le‘𝐾)(0.‘𝐾))
15		hlop 40177	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
16	15	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → 𝐾 ∈ OP)
17	2, 3, 8	tendocl 41582	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑆‘( I ↾ 𝐵)) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
18	5, 17	mpd3an3 1491	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑆‘( I ↾ 𝐵)) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
19	1, 2, 3, 7	trlcl 40979	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆‘( I ↾ 𝐵)) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵))) ∈ 𝐵)
20	18, 19	syldan 603	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵))) ∈ 𝐵)
21	1, 6, 11	ople0 40002	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵))) ∈ 𝐵) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵)))(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ↔ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵))) = (0.‘𝐾)))
22	16, 20, 21	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵)))(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ↔ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵))) = (0.‘𝐾)))
23	14, 22	mpbid 235	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵))) = (0.‘𝐾))
24	1, 11, 2, 3, 7	trlid0b 40993	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆‘( I ↾ 𝐵)) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ((𝑆‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵))) = (0.‘𝐾)))
25	18, 24	syldan 603	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → ((𝑆‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵))) = (0.‘𝐾)))
26	23, 25	mpbird 260	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑆‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114   I cid 5560   ↾ cres 5668  ‘cfv 6543  Basecbs 17294  lecple 17342  0.cp0 18502  OPcops 39987  HLchlt 40165  LHypclh 40799  LTrncltrn 40916  trLctrl 40973  TEndoctendo 41567

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-map 8835  df-proset 18375  df-poset 18394  df-plt 18409  df-lub 18425  df-glb 18426  df-join 18427  df-meet 18428  df-p0 18504  df-p1 18505  df-lat 18513  df-clat 18580  df-oposet 39991  df-ol 39993  df-oml 39994  df-covers 40081  df-ats 40082  df-atl 40113  df-cvlat 40137  df-hlat 40166  df-lhyp 40803  df-laut 40804  df-ldil 40919  df-ltrn 40920  df-trl 40974  df-tendo 41570

This theorem is used by:  tendoeq2  41589  tendo0mulr  41642  tendotr  41645  tendocnv  41836  dvhopN  41931  dihpN  42151