Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendoid 37383
Description: The identity value of a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 21-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoid.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendoid.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoid.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
tendoid (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (𝑆‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))

Proof of Theorem tendoid
StepHypRef Expression
1 tendoid.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 tendoid.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 eqid 2772 . . . . . . 7 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
41, 2, 3idltrn 36760 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
54adantr 473 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
6 eqid 2772 . . . . . 6 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
7 eqid 2772 . . . . . 6 ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
8 tendoid.e . . . . . 6 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
96, 2, 3, 7, 8tendotp 37371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵)))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘( I ↾ 𝐵)))
105, 9mpd3an3 1441 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵)))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘( I ↾ 𝐵)))
11 eqid 2772 . . . . . 6 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
121, 11, 2, 7trlid0 36786 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘( I ↾ 𝐵)) = (0.‘𝐾))
1312adantr 473 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘( I ↾ 𝐵)) = (0.‘𝐾))
1410, 13breqtrd 4951 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵)))(le‘𝐾)(0.‘𝐾))
15 hlop 35972 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
1615ad2antrr 713 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → 𝐾 ∈ OP)
172, 3, 8tendocl 37377 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸 ∧ ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑆‘( I ↾ 𝐵)) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
185, 17mpd3an3 1441 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (𝑆‘( I ↾ 𝐵)) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
191, 2, 3, 7trlcl 36774 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆‘( I ↾ 𝐵)) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵))) ∈ 𝐵)
2018, 19syldan 582 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵))) ∈ 𝐵)
211, 6, 11ople0 35797 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵))) ∈ 𝐵) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵)))(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ↔ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵))) = (0.‘𝐾)))
2216, 20, 21syl2anc 576 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → ((((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵)))(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ↔ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵))) = (0.‘𝐾)))
2314, 22mpbid 224 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵))) = (0.‘𝐾))
241, 11, 2, 3, 7trlid0b 36788 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆‘( I ↾ 𝐵)) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ((𝑆‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵))) = (0.‘𝐾)))
2518, 24syldan 582 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → ((𝑆‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘( I ↾ 𝐵))) = (0.‘𝐾)))
2623, 25mpbird 249 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (𝑆‘( I ↾ 𝐵)) = ( I ↾ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050   class class class wbr 4925   I cid 5307  cres 5405  cfv 6185  Basecbs 16337  lecple 16426  0.cp0 17517  OPcops 35782  HLchlt 35960  LHypclh 36594  LTrncltrn 36711  trLctrl 36768  TEndoctendo 37362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-map 8206  df-proset 17408  df-poset 17426  df-plt 17438  df-lub 17454  df-glb 17455  df-join 17456  df-meet 17457  df-p0 17519  df-p1 17520  df-lat 17526  df-clat 17588  df-oposet 35786  df-ol 35788  df-oml 35789  df-covers 35876  df-ats 35877  df-atl 35908  df-cvlat 35932  df-hlat 35961  df-lhyp 36598  df-laut 36599  df-ldil 36714  df-ltrn 36715  df-trl 36769  df-tendo 37365
This theorem is referenced by:  tendoeq2  37384  tendo0mulr  37437  tendotr  37440  tendocnv  37631  dvhopN  37726  dihpN  37946
  Copyright terms: Public domain W3C validator