Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tendoid 40156
Description: The identity value of a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 21-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoid.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
tendoid.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendoid.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
tendoid (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)) = ( I β†Ύ 𝐡))
Proof of Theorem tendoid
StepHypRef Expression
1 tendoid.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 tendoid.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 eqid 2726 . . . . . . 7 ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
41, 2, 3idltrn 39533 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
54adantr 480 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
6 eqid 2726 . . . . . 6 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
7 eqid 2726 . . . . . 6 ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 tendoid.e . . . . . 6 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
96, 2, 3, 7, 8tendotp 40144 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)))(leβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜( I β†Ύ 𝐡)))
105, 9mpd3an3 1458 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)))(leβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜( I β†Ύ 𝐡)))
11 eqid 2726 . . . . . 6 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
121, 11, 2, 7trlid0 39559 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜( I β†Ύ 𝐡)) = (0.β€˜πΎ))
1312adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜( I β†Ύ 𝐡)) = (0.β€˜πΎ))
1410, 13breqtrd 5167 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)))(leβ€˜πΎ)(0.β€˜πΎ))
15 hlop 38744 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
1615ad2antrr 723 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ 𝐾 ∈ OP)
172, 3, 8tendocl 40150 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
185, 17mpd3an3 1458 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
191, 2, 3, 7trlcl 39547 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡))) ∈ 𝐡)
2018, 19syldan 590 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡))) ∈ 𝐡)
211, 6, 11ople0 38569 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡))) ∈ 𝐡) β†’ ((((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)))(leβ€˜πΎ)(0.β€˜πΎ) ↔ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡))) = (0.β€˜πΎ)))
2216, 20, 21syl2anc 583 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ ((((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)))(leβ€˜πΎ)(0.β€˜πΎ) ↔ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡))) = (0.β€˜πΎ)))
2314, 22mpbid 231 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡))) = (0.β€˜πΎ))
241, 11, 2, 3, 7trlid0b 39561 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ((π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡))) = (0.β€˜πΎ)))
2518, 24syldan 590 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ ((π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡))) = (0.β€˜πΎ)))
2623, 25mpbird 257 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)) = ( I β†Ύ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141   I cid 5566   β†Ύ cres 5671  β€˜cfv 6536  Basecbs 17150  lecple 17210  0.cp0 18385  OPcops 38554  HLchlt 38732  LHypclh 39367  LTrncltrn 39484  trLctrl 39541  TEndoctendo 40135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-map 8821  df-proset 18257  df-poset 18275  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-p1 18388  df-lat 18394  df-clat 18461  df-oposet 38558  df-ol 38560  df-oml 38561  df-covers 38648  df-ats 38649  df-atl 38680  df-cvlat 38704  df-hlat 38733  df-lhyp 39371  df-laut 39372  df-ldil 39487  df-ltrn 39488  df-trl 39542  df-tendo 40138
This theorem is referenced by:  tendoeq2  40157  tendo0mulr  40210  tendotr  40213  tendocnv  40404  dvhopN  40499  dihpN  40719
  Copyright terms: Public domain W3C validator