Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tendoid 39644
Description: The identity value of a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 21-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoid.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
tendoid.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendoid.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
tendoid (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)) = ( I β†Ύ 𝐡))
Proof of Theorem tendoid
StepHypRef Expression
1 tendoid.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 tendoid.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 eqid 2733 . . . . . . 7 ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
41, 2, 3idltrn 39021 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
54adantr 482 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
6 eqid 2733 . . . . . 6 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
7 eqid 2733 . . . . . 6 ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 tendoid.e . . . . . 6 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
96, 2, 3, 7, 8tendotp 39632 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)))(leβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜( I β†Ύ 𝐡)))
105, 9mpd3an3 1463 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)))(leβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜( I β†Ύ 𝐡)))
11 eqid 2733 . . . . . 6 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
121, 11, 2, 7trlid0 39047 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜( I β†Ύ 𝐡)) = (0.β€˜πΎ))
1312adantr 482 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜( I β†Ύ 𝐡)) = (0.β€˜πΎ))
1410, 13breqtrd 5175 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)))(leβ€˜πΎ)(0.β€˜πΎ))
15 hlop 38232 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
1615ad2antrr 725 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ 𝐾 ∈ OP)
172, 3, 8tendocl 39638 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
185, 17mpd3an3 1463 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
191, 2, 3, 7trlcl 39035 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡))) ∈ 𝐡)
2018, 19syldan 592 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡))) ∈ 𝐡)
211, 6, 11ople0 38057 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡))) ∈ 𝐡) β†’ ((((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)))(leβ€˜πΎ)(0.β€˜πΎ) ↔ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡))) = (0.β€˜πΎ)))
2216, 20, 21syl2anc 585 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ ((((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)))(leβ€˜πΎ)(0.β€˜πΎ) ↔ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡))) = (0.β€˜πΎ)))
2314, 22mpbid 231 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡))) = (0.β€˜πΎ))
241, 11, 2, 3, 7trlid0b 39049 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ((π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡))) = (0.β€˜πΎ)))
2518, 24syldan 592 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ ((π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)) = ( I β†Ύ 𝐡) ↔ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡))) = (0.β€˜πΎ)))
2623, 25mpbird 257 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (π‘†β€˜( I β†Ύ 𝐡)) = ( I β†Ύ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149   I cid 5574   β†Ύ cres 5679  β€˜cfv 6544  Basecbs 17144  lecple 17204  0.cp0 18376  OPcops 38042  HLchlt 38220  LHypclh 38855  LTrncltrn 38972  trLctrl 39029  TEndoctendo 39623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8822  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-lhyp 38859  df-laut 38860  df-ldil 38975  df-ltrn 38976  df-trl 39030  df-tendo 39626
This theorem is referenced by:  tendoeq2  39645  tendo0mulr  39698  tendotr  39701  tendocnv  39892  dvhopN  39987  dihpN  40207
  Copyright terms: Public domain W3C validator