Theorem orbitclmpt 45403

Description: Version of orbitcl 45402 using maps-to notation. (Contributed by Eric Schmidt, 6-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
orbitclmpt.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐵
orbitclmpt.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐷
orbitclmpt.3	⊢ 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴) “ ω)
orbitclmpt.4	⊢ (𝑥 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
orbitclmpt	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑍 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ 𝑍)

Proof of Theorem orbitclmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3451	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑍 → 𝐵 ∈ V)
2		orbitclmpt.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
3		orbitclmpt.2	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
4		orbitclmpt.4	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐷)
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ V ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)
6	2, 3, 4, 5	fvmptf 6963	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘𝐵) = 𝐷)
7	1, 6	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑍 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘𝐵) = 𝐷)
8		orbitcl 45402	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴) “ ω) → ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘𝐵) ∈ (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴) “ ω))
9		orbitclmpt.3	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴) “ ω)
10	9	eleq2i 2829	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑍 ↔ 𝐵 ∈ (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴) “ ω))
11	9	eleq2i 2829	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘𝐵) ∈ 𝑍 ↔ ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘𝐵) ∈ (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴) “ ω))
12	8, 10, 11	3imtr4i 292	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑍 → ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘𝐵) ∈ 𝑍)
13	12	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑍 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘𝐵) ∈ 𝑍)
14	7, 13	eqeltrrd 2838	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑍 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2884  Vcvv 3430   ↦ cmpt 5167   “ cima 5627  ‘cfv 6492  ωcom 7810  reccrdg 8341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342

This theorem is referenced by:  permaxinf2lem  45457