Theorem orbitclmpt 45667

Description: Version of orbitcl 45666 using maps-to notation. (Contributed by Eric Schmidt, 6-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
orbitclmpt.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐵
orbitclmpt.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐷
orbitclmpt.3	⊢ 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴) “ ω)
orbitclmpt.4	⊢ (𝑥 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
orbitclmpt	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑍 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ 𝑍)

Proof of Theorem orbitclmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3476	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑍 → 𝐵 ∈ V)
2		orbitclmpt.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
3		orbitclmpt.2	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
4		orbitclmpt.4	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐷)
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ V ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)
6	2, 3, 4, 5	fvmptf 7011	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘𝐵) = 𝐷)
7	1, 6	sylan 591	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑍 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘𝐵) = 𝐷)
8		orbitcl 45666	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴) “ ω) → ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘𝐵) ∈ (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴) “ ω))
9		orbitclmpt.3	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴) “ ω)
10	9	eleq2i 2855	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑍 ↔ 𝐵 ∈ (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴) “ ω))
11	9	eleq2i 2855	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘𝐵) ∈ 𝑍 ↔ ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘𝐵) ∈ (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴) “ ω))
12	8, 10, 11	3imtr4i 295	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑍 → ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘𝐵) ∈ 𝑍)
13	12	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑍 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘𝐵) ∈ 𝑍)
14	7, 13	eqeltrrd 2864	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑍 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Ⅎwnfc 2910  Vcvv 3455   ↦ cmpt 5192   “ cima 5664  ‘cfv 6536  ωcom 7858  reccrdg 8392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393

This theorem is referenced by:  permaxinf2lem  45721