Theorem orbitclmpt 45781

Description: Version of orbitcl 45780 using maps-to notation. (Contributed by Eric Schmidt, 6-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
orbitclmpt.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐵
orbitclmpt.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐷
orbitclmpt.3	⊢ 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴) “ ω)
orbitclmpt.4	⊢ (𝑥 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
orbitclmpt	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑍 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ 𝑍)

Proof of Theorem orbitclmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3471	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑍 → 𝐵 ∈ V)
2		orbitclmpt.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
3		orbitclmpt.2	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
4		orbitclmpt.4	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐷)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ V ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)
6	2, 3, 4, 5	fvmptf 7008	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘𝐵) = 𝐷)
7	1, 6	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑍 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘𝐵) = 𝐷)
8		orbitcl 45780	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴) “ ω) → ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘𝐵) ∈ (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴) “ ω))
9		orbitclmpt.3	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴) “ ω)
10	9	eleq2i 2852	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑍 ↔ 𝐵 ∈ (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴) “ ω))
11	9	eleq2i 2852	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘𝐵) ∈ 𝑍 ↔ ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘𝐵) ∈ (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴) “ ω))
12	8, 10, 11	3imtr4i 295	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑍 → ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘𝐵) ∈ 𝑍)
13	12	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑍 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘𝐵) ∈ 𝑍)
14	7, 13	eqeltrrd 2861	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑍 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2907  Vcvv 3450   ↦ cmpt 5186   “ cima 5658  ‘cfv 6533  ωcom 7862  reccrdg 8398

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399

This theorem is used by:  permaxinf2lem  45835