Theorem orbitclmpt 45495

Description: Version of orbitcl 45494 using maps-to notation. (Contributed by Eric Schmidt, 6-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
orbitclmpt.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐵
orbitclmpt.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐷
orbitclmpt.3	⊢ 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴) “ ω)
orbitclmpt.4	⊢ (𝑥 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
orbitclmpt	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑍 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ 𝑍)

Proof of Theorem orbitclmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3474	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑍 → 𝐵 ∈ V)
2		orbitclmpt.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
3		orbitclmpt.2	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
4		orbitclmpt.4	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐷)
5		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ V ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)
6	2, 3, 4, 5	fvmptf 6992	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘𝐵) = 𝐷)
7	1, 6	sylan 589	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑍 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘𝐵) = 𝐷)
8		orbitcl 45494	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴) “ ω) → ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘𝐵) ∈ (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴) “ ω))
9		orbitclmpt.3	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴) “ ω)
10	9	eleq2i 2853	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑍 ↔ 𝐵 ∈ (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴) “ ω))
11	9	eleq2i 2853	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘𝐵) ∈ 𝑍 ↔ ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘𝐵) ∈ (rec((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶), 𝐴) “ ω))
12	8, 10, 11	3imtr4i 294	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑍 → ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘𝐵) ∈ 𝑍)
13	12	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑍 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ V ↦ 𝐶)‘𝐵) ∈ 𝑍)
14	7, 13	eqeltrrd 2862	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑍 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Ⅎwnfc 2908  Vcvv 3453   ↦ cmpt 5178   “ cima 5646  ‘cfv 6516  ωcom 7841  reccrdg 8374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5387  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-ov 7394  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375

This theorem is referenced by:  permaxinf2lem  45549