Theorem r1pwALT 9814

Description: Alternate shorter proof of r1pw 9813 based on the additional axioms ax-reg 9550 and ax-inf2 9606. (Contributed by Raph Levien, 29-May-2004.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
r1pwALT	⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))

Proof of Theorem r1pwALT

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2857	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵)))
2		pweq 4578	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴)
3	2	eleq1d 2854	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
4	1, 3	bibi12d 348	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)) ↔ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))))
5	4	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐵 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))) ↔ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))))
6		vex 3467	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	6	rankr1a 9804	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝑥) ∈ 𝐵))
8		eloni 6367	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
9		ordsucelsuc 7814	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐵 → ((rank‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ suc (rank‘𝑥) ∈ suc 𝐵))
10	8, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ On → ((rank‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ suc (rank‘𝑥) ∈ suc 𝐵))
11	7, 10	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ suc (rank‘𝑥) ∈ suc 𝐵))
12	6	rankpw 9811	. . . . . 6 ⊢ (rank‘𝒫 𝑥) = suc (rank‘𝑥)
13	12	eleq1i 2860	. . . . 5 ⊢ ((rank‘𝒫 𝑥) ∈ suc 𝐵 ↔ suc (rank‘𝑥) ∈ suc 𝐵)
14	11, 13	bitr4di 292	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝒫 𝑥) ∈ suc 𝐵))
15		onsuc 7805	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → suc 𝐵 ∈ On)
16	6	pwex 5349	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 𝑥 ∈ V
17	16	rankr1a 9804	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐵 ∈ On → (𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ (rank‘𝒫 𝑥) ∈ suc 𝐵))
18	15, 17	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ (rank‘𝒫 𝑥) ∈ suc 𝐵))
19	14, 18	bitr4d 285	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
20	5, 19	vtoclg 3531	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))))
21		elex 3484	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ∈ V)
22		elex 3484	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
23		pwexb 7761	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝐴 ∈ V)
24	22, 23	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
25	21, 24	pm5.21ni 380	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
26	25	a1d 26	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))))
27	20, 26	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  𝒫 cpw 4564  Ord word 6356  Oncon0 6357  suc csuc 6359  ‘cfv 6533  𝑅₁cr1 9730  rankcrnk 9731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-reg 9550  ax-inf2 9606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7411  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-r1 9732  df-rank 9733

This theorem is referenced by: (None)