Theorem r1pwALT 9462

Description: Alternate shorter proof of r1pw 9461 based on the additional axioms ax-reg 9208 and ax-inf2 9256. (Contributed by Raph Levien, 29-May-2004.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
r1pwALT	⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))

Proof of Theorem r1pwALT

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵)))
2		pweq 4529	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴)
3	2	eleq1d 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
4	1, 3	bibi12d 349	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)) ↔ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))))
5	4	imbi2d 344	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐵 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))) ↔ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))))
6		vex 3412	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	6	rankr1a 9452	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝑥) ∈ 𝐵))
8		eloni 6223	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
9		ordsucelsuc 7601	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐵 → ((rank‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ suc (rank‘𝑥) ∈ suc 𝐵))
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ On → ((rank‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ suc (rank‘𝑥) ∈ suc 𝐵))
11	7, 10	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ suc (rank‘𝑥) ∈ suc 𝐵))
12	6	rankpw 9459	. . . . . 6 ⊢ (rank‘𝒫 𝑥) = suc (rank‘𝑥)
13	12	eleq1i 2828	. . . . 5 ⊢ ((rank‘𝒫 𝑥) ∈ suc 𝐵 ↔ suc (rank‘𝑥) ∈ suc 𝐵)
14	11, 13	bitr4di 292	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝒫 𝑥) ∈ suc 𝐵))
15		suceloni 7592	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → suc 𝐵 ∈ On)
16	6	pwex 5273	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 𝑥 ∈ V
17	16	rankr1a 9452	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐵 ∈ On → (𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ (rank‘𝒫 𝑥) ∈ suc 𝐵))
18	15, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ (rank‘𝒫 𝑥) ∈ suc 𝐵))
19	14, 18	bitr4d 285	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
20	5, 19	vtoclg 3481	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))))
21		elex 3426	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ∈ V)
22		elex 3426	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
23		pwexb 7551	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝐴 ∈ V)
24	22, 23	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
25	21, 24	pm5.21ni 382	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
26	25	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))))
27	20, 26	pm2.61i 185	1 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  Vcvv 3408  𝒫 cpw 4513  Ord word 6212  Oncon0 6213  suc csuc 6215  ‘cfv 6380  𝑅₁cr1 9378  rankcrnk 9379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-reg 9208  ax-inf2 9256

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-r1 9380  df-rank 9381

This theorem is referenced by: (None)