Theorem r1pwALT 9853

Description: Alternate shorter proof of r1pw 9852 based on the additional axioms ax-reg 9579 and ax-inf2 9635. (Contributed by Raph Levien, 29-May-2004.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
r1pwALT	⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))

Proof of Theorem r1pwALT

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2849	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵)))
2		pweq 4571	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴)
3	2	eleq1d 2846	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
4	1, 3	bibi12d 348	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)) ↔ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))))
5	4	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐵 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))) ↔ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))))
6		vex 3455	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	6	rankr1a 9841	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝑥) ∈ 𝐵))
8		eloni 6371	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
9		ordsucelsuc 7831	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐵 → ((rank‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ suc (rank‘𝑥) ∈ suc 𝐵))
10	8, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ On → ((rank‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ suc (rank‘𝑥) ∈ suc 𝐵))
11	7, 10	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ suc (rank‘𝑥) ∈ suc 𝐵))
12	6	rankpw 9849	. . . . . 6 ⊢ (rank‘𝒫 𝑥) = suc (rank‘𝑥)
13	12	eleq1i 2852	. . . . 5 ⊢ ((rank‘𝒫 𝑥) ∈ suc 𝐵 ↔ suc (rank‘𝑥) ∈ suc 𝐵)
14	11, 13	bitr4di 292	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝒫 𝑥) ∈ suc 𝐵))
15		onsuc 7822	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → suc 𝐵 ∈ On)
16	6	pwex 5342	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 𝑥 ∈ V
17	16	rankr1a 9841	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐵 ∈ On → (𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ (rank‘𝒫 𝑥) ∈ suc 𝐵))
18	15, 17	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ (rank‘𝒫 𝑥) ∈ suc 𝐵))
19	14, 18	bitr4d 285	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
20	5, 19	vtoclg 3518	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))))
21		elex 3472	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ∈ V)
22		elex 3472	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
23		pwexb 7778	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝐴 ∈ V)
24	22, 23	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
25	21, 24	pm5.21ni 380	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
26	25	a1d 26	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))))
27	20, 26	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  𝒫 cpw 4557  Ord word 6360  Oncon0 6361  suc csuc 6363  ‘cfv 6537  𝑅₁cr1 9759  rankcrnk 9760

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-reg 9579  ax-inf2 9635

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-r1 9761  df-rank 9762

This theorem is used by: (None)