MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1pwALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1pwALT 9823
Description: Alternate shorter proof of r1pw 9822 based on the additional axioms ax-reg 9569 and ax-inf2 9618. (Contributed by Raph Levien, 29-May-2004.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
r1pwALT (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))

Proof of Theorem r1pwALT
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2820 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵)))
2 pweq 4610 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴)
32eleq1d 2817 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
41, 3bibi12d 345 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)) ↔ (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))))
54imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐵 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))) ↔ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))))
6 vex 3477 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
76rankr1a 9813 . . . . . 6 (𝐵 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ (rank‘𝑥) ∈ 𝐵))
8 eloni 6363 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
9 ordsucelsuc 7793 . . . . . . 7 (Ord 𝐵 → ((rank‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ suc (rank‘𝑥) ∈ suc 𝐵))
108, 9syl 17 . . . . . 6 (𝐵 ∈ On → ((rank‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ suc (rank‘𝑥) ∈ suc 𝐵))
117, 10bitrd 278 . . . . 5 (𝐵 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ suc (rank‘𝑥) ∈ suc 𝐵))
126rankpw 9820 . . . . . 6 (rank‘𝒫 𝑥) = suc (rank‘𝑥)
1312eleq1i 2823 . . . . 5 ((rank‘𝒫 𝑥) ∈ suc 𝐵 ↔ suc (rank‘𝑥) ∈ suc 𝐵)
1411, 13bitr4di 288 . . . 4 (𝐵 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ (rank‘𝒫 𝑥) ∈ suc 𝐵))
15 onsuc 7782 . . . . 5 (𝐵 ∈ On → suc 𝐵 ∈ On)
166pwex 5371 . . . . . 6 𝒫 𝑥 ∈ V
1716rankr1a 9813 . . . . 5 (suc 𝐵 ∈ On → (𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ (rank‘𝒫 𝑥) ∈ suc 𝐵))
1815, 17syl 17 . . . 4 (𝐵 ∈ On → (𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ (rank‘𝒫 𝑥) ∈ suc 𝐵))
1914, 18bitr4d 281 . . 3 (𝐵 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
205, 19vtoclg 3553 . 2 (𝐴 ∈ V → (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))))
21 elex 3491 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐴 ∈ V)
22 elex 3491 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
23 pwexb 7736 . . . . 5 (𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝐴 ∈ V)
2422, 23sylibr 233 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
2521, 24pm5.21ni 378 . . 3 𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
2625a1d 25 . 2 𝐴 ∈ V → (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))))
2720, 26pm2.61i 182 1 (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3473  𝒫 cpw 4596  Ord word 6352  Oncon0 6353  suc csuc 6355  cfv 6532  𝑅1cr1 9739  rankcrnk 9740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-reg 9569  ax-inf2 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-ov 7396  df-om 7839  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-r1 9741  df-rank 9742
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator