Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1pwALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1pwALT 9262
 Description: Alternate shorter proof of r1pw 9261 based on the additional axioms ax-reg 9043 and ax-inf2 9091. (Contributed by Raph Levien, 29-May-2004.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
r1pwALT (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))

Proof of Theorem r1pwALT
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2877 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵)))
2 pweq 4513 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴)
32eleq1d 2874 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
41, 3bibi12d 349 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)) ↔ (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))))
54imbi2d 344 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐵 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))) ↔ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))))
6 vex 3444 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
76rankr1a 9252 . . . . . 6 (𝐵 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ (rank‘𝑥) ∈ 𝐵))
8 eloni 6170 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
9 ordsucelsuc 7520 . . . . . . 7 (Ord 𝐵 → ((rank‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ suc (rank‘𝑥) ∈ suc 𝐵))
108, 9syl 17 . . . . . 6 (𝐵 ∈ On → ((rank‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ suc (rank‘𝑥) ∈ suc 𝐵))
117, 10bitrd 282 . . . . 5 (𝐵 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ suc (rank‘𝑥) ∈ suc 𝐵))
126rankpw 9259 . . . . . 6 (rank‘𝒫 𝑥) = suc (rank‘𝑥)
1312eleq1i 2880 . . . . 5 ((rank‘𝒫 𝑥) ∈ suc 𝐵 ↔ suc (rank‘𝑥) ∈ suc 𝐵)
1411, 13bitr4di 292 . . . 4 (𝐵 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ (rank‘𝒫 𝑥) ∈ suc 𝐵))
15 suceloni 7511 . . . . 5 (𝐵 ∈ On → suc 𝐵 ∈ On)
166pwex 5247 . . . . . 6 𝒫 𝑥 ∈ V
1716rankr1a 9252 . . . . 5 (suc 𝐵 ∈ On → (𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ (rank‘𝒫 𝑥) ∈ suc 𝐵))
1815, 17syl 17 . . . 4 (𝐵 ∈ On → (𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ (rank‘𝒫 𝑥) ∈ suc 𝐵))
1914, 18bitr4d 285 . . 3 (𝐵 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
205, 19vtoclg 3515 . 2 (𝐴 ∈ V → (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))))
21 elex 3459 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) → 𝐴 ∈ V)
22 elex 3459 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
23 pwexb 7471 . . . . 5 (𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝐴 ∈ V)
2422, 23sylibr 237 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
2521, 24pm5.21ni 382 . . 3 𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
2625a1d 25 . 2 𝐴 ∈ V → (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))))
2720, 26pm2.61i 185 1 (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441  𝒫 cpw 4497  Ord word 6159  Oncon0 6160  suc csuc 6162  ‘cfv 6325  𝑅1cr1 9178  rankcrnk 9179 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-reg 9043  ax-inf2 9091 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-om 7564  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-r1 9180  df-rank 9181 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator