Theorem r1pwALT 9821

Description: Alternate shorter proof of r1pw 9820 based on the additional axioms ax-reg 9557 and ax-inf2 9613. (Contributed by Raph Levien, 29-May-2004.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
r1pwALT	⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))

Proof of Theorem r1pwALT

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2853	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵)))
2		pweq 4578	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴)
3	2	eleq1d 2850	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
4	1, 3	bibi12d 348	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)) ↔ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))))
5	4	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐵 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))) ↔ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))))
6		vex 3461	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	6	rankr1a 9811	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝑥) ∈ 𝐵))
8		eloni 6374	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
9		ordsucelsuc 7820	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐵 → ((rank‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ suc (rank‘𝑥) ∈ suc 𝐵))
10	8, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ On → ((rank‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ suc (rank‘𝑥) ∈ suc 𝐵))
11	7, 10	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ suc (rank‘𝑥) ∈ suc 𝐵))
12	6	rankpw 9818	. . . . . 6 ⊢ (rank‘𝒫 𝑥) = suc (rank‘𝑥)
13	12	eleq1i 2856	. . . . 5 ⊢ ((rank‘𝒫 𝑥) ∈ suc 𝐵 ↔ suc (rank‘𝑥) ∈ suc 𝐵)
14	11, 13	bitr4di 292	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝒫 𝑥) ∈ suc 𝐵))
15		onsuc 7811	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → suc 𝐵 ∈ On)
16	6	pwex 5353	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 𝑥 ∈ V
17	16	rankr1a 9811	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐵 ∈ On → (𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ (rank‘𝒫 𝑥) ∈ suc 𝐵))
18	15, 17	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ (rank‘𝒫 𝑥) ∈ suc 𝐵))
19	14, 18	bitr4d 285	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
20	5, 19	vtoclg 3524	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))))
21		elex 3478	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ∈ V)
22		elex 3478	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
23		pwexb 7767	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝐴 ∈ V)
24	22, 23	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
25	21, 24	pm5.21ni 380	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
26	25	a1d 26	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))))
27	20, 26	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457  𝒫 cpw 4564  Ord word 6363  Oncon0 6364  suc csuc 6366  ‘cfv 6540  𝑅₁cr1 9737  rankcrnk 9738

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-reg 9557  ax-inf2 9613

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-r1 9739  df-rank 9740

This theorem is used by: (None)