Theorem r1pwALT 9828

Description: Alternate shorter proof of r1pw 9827 based on the additional axioms ax-reg 9564 and ax-inf2 9620. (Contributed by Raph Levien, 29-May-2004.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
r1pwALT	⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))

Proof of Theorem r1pwALT

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2848	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵)))
2		pweq 4571	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴)
3	2	eleq1d 2845	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
4	1, 3	bibi12d 348	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)) ↔ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))))
5	4	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐵 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))) ↔ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))))
6		vex 3454	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
7	6	rankr1a 9818	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝑥) ∈ 𝐵))
8		eloni 6367	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
9		ordsucelsuc 7818	. . . . . . 7 ⊢ (Ord 𝐵 → ((rank‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ suc (rank‘𝑥) ∈ suc 𝐵))
10	8, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ On → ((rank‘𝑥) ∈ 𝐵 ↔ suc (rank‘𝑥) ∈ suc 𝐵))
11	7, 10	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ suc (rank‘𝑥) ∈ suc 𝐵))
12	6	rankpw 9825	. . . . . 6 ⊢ (rank‘𝒫 𝑥) = suc (rank‘𝑥)
13	12	eleq1i 2851	. . . . 5 ⊢ ((rank‘𝒫 𝑥) ∈ suc 𝐵 ↔ suc (rank‘𝑥) ∈ suc 𝐵)
14	11, 13	bitr4di 292	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ (rank‘𝒫 𝑥) ∈ suc 𝐵))
15		onsuc 7809	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → suc 𝐵 ∈ On)
16	6	pwex 5345	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 𝑥 ∈ V
17	16	rankr1a 9818	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐵 ∈ On → (𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ (rank‘𝒫 𝑥) ∈ suc 𝐵))
18	15, 17	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ (rank‘𝒫 𝑥) ∈ suc 𝐵))
19	14, 18	bitr4d 285	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝑥 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
20	5, 19	vtoclg 3517	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))))
21		elex 3471	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ∈ V)
22		elex 3471	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
23		pwexb 7765	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝐴 ∈ V)
24	22, 23	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
25	21, 24	pm5.21ni 380	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
26	25	a1d 26	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))))
27	20, 26	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  𝒫 cpw 4557  Ord word 6356  Oncon0 6357  suc csuc 6359  ‘cfv 6533  𝑅₁cr1 9744  rankcrnk 9745

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-reg 9564  ax-inf2 9620

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-r1 9746  df-rank 9747

This theorem is used by: (None)