Theorem pmapeq0 40540

Description: A projective map value is zero iff its argument is lattice zero. (Contributed by NM, 27-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapeq0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapeq0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
pmapeq0.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapeq0	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) = ∅ ↔ 𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem pmapeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlatl 40134	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
2	1	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ AtLat)
3		pmapeq0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4		pmapeq0.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
5	3, 4	pmap0 40539	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → (𝑀‘ 0 ) = ∅)
6	2, 5	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘ 0 ) = ∅)
7	6	eqeq2d 2774	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) = (𝑀‘ 0 ) ↔ (𝑀‘𝑋) = ∅))
8		hlop 40136	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
9	8	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
10		pmapeq0.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
11	10, 3	op0cl 39958	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)
12	9, 11	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
13	10, 4	pmap11 40536	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) = (𝑀‘ 0 ) ↔ 𝑋 = 0 ))
14	12, 13	mpd3an3 1491	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) = (𝑀‘ 0 ) ↔ 𝑋 = 0 ))
15	7, 14	bitr3d 284	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) = ∅ ↔ 𝑋 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∅c0 4286  ‘cfv 6536  Basecbs 17264  0.cp0 18472  OPcops 39946  AtLatcal 40038  HLchlt 40124  pmapcpmap 40271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-proset 18345  df-poset 18364  df-plt 18379  df-lub 18395  df-glb 18396  df-join 18397  df-meet 18398  df-p0 18474  df-lat 18483  df-clat 18550  df-oposet 39950  df-ol 39952  df-oml 39953  df-covers 40040  df-ats 40041  df-atl 40072  df-cvlat 40096  df-hlat 40125  df-pmap 40278

This theorem is referenced by:  pmapjat1  40627