Theorem pmapeq0 39723

Description: A projective map value is zero iff its argument is lattice zero. (Contributed by NM, 27-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapeq0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapeq0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
pmapeq0.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapeq0	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) = ∅ ↔ 𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem pmapeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlatl 39316	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ AtLat)
3		pmapeq0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4		pmapeq0.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
5	3, 4	pmap0 39722	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → (𝑀‘ 0 ) = ∅)
6	2, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘ 0 ) = ∅)
7	6	eqeq2d 2751	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) = (𝑀‘ 0 ) ↔ (𝑀‘𝑋) = ∅))
8		hlop 39318	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
10		pmapeq0.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
11	10, 3	op0cl 39140	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)
12	9, 11	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
13	10, 4	pmap11 39719	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) = (𝑀‘ 0 ) ↔ 𝑋 = 0 ))
14	12, 13	mpd3an3 1462	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) = (𝑀‘ 0 ) ↔ 𝑋 = 0 ))
15	7, 14	bitr3d 281	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) = ∅ ↔ 𝑋 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∅c0 4352  ‘cfv 6573  Basecbs 17258  0.cp0 18493  OPcops 39128  AtLatcal 39220  HLchlt 39306  pmapcpmap 39454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-lat 18502  df-clat 18569  df-oposet 39132  df-ol 39134  df-oml 39135  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307  df-pmap 39461

This theorem is referenced by:  pmapjat1  39810