Theorem pmapeq0 40273

Description: A projective map value is zero iff its argument is lattice zero. (Contributed by NM, 27-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapeq0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapeq0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
pmapeq0.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapeq0	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) = ∅ ↔ 𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem pmapeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlatl 39867	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
2	1	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ AtLat)
3		pmapeq0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4		pmapeq0.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
5	3, 4	pmap0 40272	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → (𝑀‘ 0 ) = ∅)
6	2, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘ 0 ) = ∅)
7	6	eqeq2d 2752	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) = (𝑀‘ 0 ) ↔ (𝑀‘𝑋) = ∅))
8		hlop 39869	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
9	8	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
10		pmapeq0.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
11	10, 3	op0cl 39691	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)
12	9, 11	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
13	10, 4	pmap11 40269	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) = (𝑀‘ 0 ) ↔ 𝑋 = 0 ))
14	12, 13	mpd3an3 1471	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) = (𝑀‘ 0 ) ↔ 𝑋 = 0 ))
15	7, 14	bitr3d 283	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) = ∅ ↔ 𝑋 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∅c0 4264  ‘cfv 6489  Basecbs 17174  0.cp0 18382  OPcops 39679  AtLatcal 39771  HLchlt 39857  pmapcpmap 40004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-lat 18393  df-clat 18460  df-oposet 39683  df-ol 39685  df-oml 39686  df-covers 39773  df-ats 39774  df-atl 39805  df-cvlat 39829  df-hlat 39858  df-pmap 40011

This theorem is referenced by:  pmapjat1  40360