Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapeq0 39149
Description: A projective map value is zero iff its argument is lattice zero. (Contributed by NM, 27-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapeq0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapeq0.z 0 = (0.‘𝐾)
pmapeq0.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmapeq0 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀𝑋) = ∅ ↔ 𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem pmapeq0
StepHypRef Expression
1 hlatl 38742 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
21adantr 480 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ AtLat)
3 pmapeq0.z . . . . 5 0 = (0.‘𝐾)
4 pmapeq0.m . . . . 5 𝑀 = (pmap‘𝐾)
53, 4pmap0 39148 . . . 4 (𝐾 ∈ AtLat → (𝑀0 ) = ∅)
62, 5syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀0 ) = ∅)
76eqeq2d 2737 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀𝑋) = (𝑀0 ) ↔ (𝑀𝑋) = ∅))
8 hlop 38744 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
98adantr 480 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
10 pmapeq0.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
1110, 3op0cl 38566 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → 0𝐵)
129, 11syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
1310, 4pmap11 39145 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → ((𝑀𝑋) = (𝑀0 ) ↔ 𝑋 = 0 ))
1412, 13mpd3an3 1458 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀𝑋) = (𝑀0 ) ↔ 𝑋 = 0 ))
157, 14bitr3d 281 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀𝑋) = ∅ ↔ 𝑋 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  c0 4317  cfv 6536  Basecbs 17150  0.cp0 18385  OPcops 38554  AtLatcal 38646  HLchlt 38732  pmapcpmap 38880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-proset 18257  df-poset 18275  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-lat 18394  df-clat 18461  df-oposet 38558  df-ol 38560  df-oml 38561  df-covers 38648  df-ats 38649  df-atl 38680  df-cvlat 38704  df-hlat 38733  df-pmap 38887
This theorem is referenced by:  pmapjat1  39236
  Copyright terms: Public domain W3C validator