Theorem pmapeq0 40803

Description: A projective map value is zero iff its argument is lattice zero. (Contributed by NM, 27-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapeq0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapeq0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
pmapeq0.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapeq0	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) = ∅ ↔ 𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem pmapeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlatl 40397	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
2	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ AtLat)
3		pmapeq0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4		pmapeq0.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
5	3, 4	pmap0 40802	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → (𝑀‘ 0 ) = ∅)
6	2, 5	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘ 0 ) = ∅)
7	6	eqeq2d 2772	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) = (𝑀‘ 0 ) ↔ (𝑀‘𝑋) = ∅))
8		hlop 40399	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
10		pmapeq0.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
11	10, 3	op0cl 40221	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)
12	9, 11	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
13	10, 4	pmap11 40799	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) = (𝑀‘ 0 ) ↔ 𝑋 = 0 ))
14	12, 13	mpd3an3 1491	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) = (𝑀‘ 0 ) ↔ 𝑋 = 0 ))
15	7, 14	bitr3d 284	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) = ∅ ↔ 𝑋 = 0 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∅c0 4279  ‘cfv 6537  Basecbs 17380  0.cp0 18588  OPcops 40209  AtLatcal 40301  HLchlt 40387  pmapcpmap 40534

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-proset 18461  df-poset 18480  df-plt 18495  df-lub 18511  df-glb 18512  df-join 18513  df-meet 18514  df-p0 18590  df-lat 18599  df-clat 18666  df-oposet 40213  df-ol 40215  df-oml 40216  df-covers 40303  df-ats 40304  df-atl 40335  df-cvlat 40359  df-hlat 40388  df-pmap 40541

This theorem is used by:  pmapjat1  40890