Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapeq0 36974
Description: A projective map value is zero iff its argument is lattice zero. (Contributed by NM, 27-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapeq0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapeq0.z 0 = (0.‘𝐾)
pmapeq0.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmapeq0 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀𝑋) = ∅ ↔ 𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem pmapeq0
StepHypRef Expression
1 hlatl 36568 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
21adantr 484 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ AtLat)
3 pmapeq0.z . . . . 5 0 = (0.‘𝐾)
4 pmapeq0.m . . . . 5 𝑀 = (pmap‘𝐾)
53, 4pmap0 36973 . . . 4 (𝐾 ∈ AtLat → (𝑀0 ) = ∅)
62, 5syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀0 ) = ∅)
76eqeq2d 2835 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀𝑋) = (𝑀0 ) ↔ (𝑀𝑋) = ∅))
8 hlop 36570 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
98adantr 484 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
10 pmapeq0.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
1110, 3op0cl 36392 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → 0𝐵)
129, 11syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
1310, 4pmap11 36970 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → ((𝑀𝑋) = (𝑀0 ) ↔ 𝑋 = 0 ))
1412, 13mpd3an3 1459 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀𝑋) = (𝑀0 ) ↔ 𝑋 = 0 ))
157, 14bitr3d 284 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀𝑋) = ∅ ↔ 𝑋 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  c0 4276  cfv 6344  Basecbs 16481  0.cp0 17645  OPcops 36380  AtLatcal 36472  HLchlt 36558  pmapcpmap 36705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-proset 17536  df-poset 17554  df-plt 17566  df-lub 17582  df-glb 17583  df-join 17584  df-meet 17585  df-p0 17647  df-lat 17654  df-clat 17716  df-oposet 36384  df-ol 36386  df-oml 36387  df-covers 36474  df-ats 36475  df-atl 36506  df-cvlat 36530  df-hlat 36559  df-pmap 36712
This theorem is referenced by:  pmapjat1  37061
  Copyright terms: Public domain W3C validator