Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapeq0 39271
Description: A projective map value is zero iff its argument is lattice zero. (Contributed by NM, 27-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapeq0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapeq0.z 0 = (0.‘𝐾)
pmapeq0.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmapeq0 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀𝑋) = ∅ ↔ 𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem pmapeq0
StepHypRef Expression
1 hlatl 38864 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
21adantr 479 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ AtLat)
3 pmapeq0.z . . . . 5 0 = (0.‘𝐾)
4 pmapeq0.m . . . . 5 𝑀 = (pmap‘𝐾)
53, 4pmap0 39270 . . . 4 (𝐾 ∈ AtLat → (𝑀0 ) = ∅)
62, 5syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀0 ) = ∅)
76eqeq2d 2739 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀𝑋) = (𝑀0 ) ↔ (𝑀𝑋) = ∅))
8 hlop 38866 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
98adantr 479 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
10 pmapeq0.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
1110, 3op0cl 38688 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → 0𝐵)
129, 11syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
1310, 4pmap11 39267 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → ((𝑀𝑋) = (𝑀0 ) ↔ 𝑋 = 0 ))
1412, 13mpd3an3 1458 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀𝑋) = (𝑀0 ) ↔ 𝑋 = 0 ))
157, 14bitr3d 280 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀𝑋) = ∅ ↔ 𝑋 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  c0 4326  cfv 6553  Basecbs 17187  0.cp0 18422  OPcops 38676  AtLatcal 38768  HLchlt 38854  pmapcpmap 39002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-lat 18431  df-clat 18498  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-pmap 39009
This theorem is referenced by:  pmapjat1  39358
  Copyright terms: Public domain W3C validator