Theorem pmtr3ncomlem2 19390

Description: Lemma 2 for pmtr3ncom 19391. (Contributed by AV, 17-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtr3ncom.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtr3ncom.f	⊢ 𝐹 = (𝑇‘{𝑋, 𝑌})
pmtr3ncom.g	⊢ 𝐺 = (𝑇‘{𝑌, 𝑍})

Assertion

Ref	Expression
pmtr3ncomlem2	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (𝐺 ∘ 𝐹) ≠ (𝐹 ∘ 𝐺))

Proof of Theorem pmtr3ncomlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtr3ncom.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
2		pmtr3ncom.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑇‘{𝑋, 𝑌})
3		pmtr3ncom.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑇‘{𝑌, 𝑍})
4	1, 2, 3	pmtr3ncomlem1 19389	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑋) ≠ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑋))
5		fveq1 6829	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∘ 𝐹) = (𝐹 ∘ 𝐺) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑋) = ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑋))
6	5	necon3i 2961	. 2 ⊢ (((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑋) ≠ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑋) → (𝐺 ∘ 𝐹) ≠ (𝐹 ∘ 𝐺))
7	4, 6	syl 17	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (𝐺 ∘ 𝐹) ≠ (𝐹 ∘ 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  {cpr 4579   ∘ ccom 5625  ‘cfv 6488  pmTrspcpmtr 19357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-om 7805  df-1o 8393  df-2o 8394  df-en 8878  df-pmtr 19358

This theorem is referenced by:  pmtr3ncom  19391