Theorem pmtr3ncomlem2 18203

Description: Lemma 2 for pmtr3ncom 18204. (Contributed by AV, 17-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtr3ncom.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtr3ncom.f	⊢ 𝐹 = (𝑇‘{𝑋, 𝑌})
pmtr3ncom.g	⊢ 𝐺 = (𝑇‘{𝑌, 𝑍})

Assertion

Ref	Expression
pmtr3ncomlem2	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (𝐺 ∘ 𝐹) ≠ (𝐹 ∘ 𝐺))

Proof of Theorem pmtr3ncomlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtr3ncom.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
2		pmtr3ncom.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑇‘{𝑋, 𝑌})
3		pmtr3ncom.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑇‘{𝑌, 𝑍})
4	1, 2, 3	pmtr3ncomlem1 18202	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑋) ≠ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑋))
5		fveq1 6409	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∘ 𝐹) = (𝐹 ∘ 𝐺) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑋) = ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑋))
6	5	necon3i 3002	. 2 ⊢ (((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑋) ≠ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑋) → (𝐺 ∘ 𝐹) ≠ (𝐹 ∘ 𝐺))
7	4, 6	syl 17	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (𝐺 ∘ 𝐹) ≠ (𝐹 ∘ 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2970  {cpr 4369   ∘ ccom 5315  ‘cfv 6100  pmTrspcpmtr 18170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2776  ax-rep 4963  ax-sep 4974  ax-nul 4982  ax-pow 5034  ax-pr 5096  ax-un 7182

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2785  df-cleq 2791  df-clel 2794  df-nfc 2929  df-ne 2971  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3386  df-sbc 3633  df-csb 3728  df-dif 3771  df-un 3773  df-in 3775  df-ss 3782  df-pss 3784  df-nul 4115  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4628  df-iun 4711  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-ord 5943  df-on 5944  df-lim 5945  df-suc 5946  df-iota 6063  df-fun 6102  df-fn 6103  df-f 6104  df-f1 6105  df-fo 6106  df-f1o 6107  df-fv 6108  df-om 7299  df-1o 7798  df-2o 7799  df-er 7981  df-en 8195  df-dom 8196  df-sdom 8197  df-fin 8198  df-pmtr 18171

This theorem is referenced by:  pmtr3ncom  18204