Theorem pmtr3ncomlem2 19387

Description: Lemma 2 for pmtr3ncom 19388. (Contributed by AV, 17-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtr3ncom.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtr3ncom.f	⊢ 𝐹 = (𝑇‘{𝑋, 𝑌})
pmtr3ncom.g	⊢ 𝐺 = (𝑇‘{𝑌, 𝑍})

Assertion

Ref	Expression
pmtr3ncomlem2	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (𝐺 ∘ 𝐹) ≠ (𝐹 ∘ 𝐺))

Proof of Theorem pmtr3ncomlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtr3ncom.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
2		pmtr3ncom.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑇‘{𝑋, 𝑌})
3		pmtr3ncom.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑇‘{𝑌, 𝑍})
4	1, 2, 3	pmtr3ncomlem1 19386	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑋) ≠ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑋))
5		fveq1 6821	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∘ 𝐹) = (𝐹 ∘ 𝐺) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑋) = ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑋))
6	5	necon3i 2960	. 2 ⊢ (((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑋) ≠ ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑋) → (𝐺 ∘ 𝐹) ≠ (𝐹 ∘ 𝐺))
7	4, 6	syl 17	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑍 ∈ 𝐷) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑍 ∧ 𝑌 ≠ 𝑍)) → (𝐺 ∘ 𝐹) ≠ (𝐹 ∘ 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  {cpr 4578   ∘ ccom 5620  ‘cfv 6481  pmTrspcpmtr 19354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-om 7797  df-1o 8385  df-2o 8386  df-en 8870  df-pmtr 19355

This theorem is referenced by:  pmtr3ncom  19388