Theorem fprodfac 15319

Description: Factorial using product notation. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fprodfac	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Proof of Theorem fprodfac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 11887	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
2		facnn 13631	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) = (seq1( · , I )‘𝐴))
3		vex 3444	. . . . . 6 ⊢ 𝑘 ∈ V
4		fvi 6715	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ V → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
5	3, 4	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
6		elnnuz 12270	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
7	6	biimpi 219	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
8		elfznn 12931	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐴) → 𝑘 ∈ ℕ)
9	8	nncnd 11641	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐴) → 𝑘 ∈ ℂ)
10	9	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → 𝑘 ∈ ℂ)
11	5, 7, 10	fprodser 15295	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 = (seq1( · , I )‘𝐴))
12	2, 11	eqtr4d 2836	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
13		prod0 15289	. . . . 5 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝑘 = 1
14	13	eqcomi 2807	. . . 4 ⊢ 1 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝑘
15		fveq2 6645	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (!‘𝐴) = (!‘0))
16		fac0 13632	. . . . 5 ⊢ (!‘0) = 1
17	15, 16	eqtrdi 2849	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (!‘𝐴) = 1)
18		oveq2 7143	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (1...𝐴) = (1...0))
19		fz10 12923	. . . . . 6 ⊢ (1...0) = ∅
20	18, 19	eqtrdi 2849	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (1...𝐴) = ∅)
21	20	prodeq1d 15267	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝑘)
22	14, 17, 21	3eqtr4a 2859	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
23	12, 22	jaoi 854	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
24	1, 23	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441  ∅c0 4243   I cid 5424  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531  ℕcn 11625  ℕ₀cn0 11885  ℤ_≥cuz 12231  ...cfz 12885  seqcseq 13364  !cfa 13629  ∏cprod 15251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-prod 15252

This theorem is referenced by:  risefacfac  15381  fallfacval4  15389  prmolefac  16372  gausslemma2dlem1  25950  gausslemma2dlem6  25956  bcprod  33083  etransclem41  42917