Theorem fprodfac 15929

Description: Factorial using product notation. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fprodfac	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Proof of Theorem fprodfac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12430	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
2		facnn 14228	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) = (seq1( · , I )‘𝐴))
3		vex 3435	. . . . . 6 ⊢ 𝑘 ∈ V
4		fvi 6903	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ V → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
5	3, 4	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
6		elnnuz 12819	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
7	6	biimpi 217	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
8		elfznn 13498	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐴) → 𝑘 ∈ ℕ)
9	8	nncnd 12181	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐴) → 𝑘 ∈ ℂ)
10	9	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → 𝑘 ∈ ℂ)
11	5, 7, 10	fprodser 15905	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 = (seq1( · , I )‘𝐴))
12	2, 11	eqtr4d 2777	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
13		prod0 15899	. . . . 5 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝑘 = 1
14	13	eqcomi 2748	. . . 4 ⊢ 1 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝑘
15		fveq2 6827	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (!‘𝐴) = (!‘0))
16		fac0 14229	. . . . 5 ⊢ (!‘0) = 1
17	15, 16	eqtrdi 2790	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (!‘𝐴) = 1)
18		oveq2 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (1...𝐴) = (1...0))
19		fz10 13490	. . . . . 6 ⊢ (1...0) = ∅
20	18, 19	eqtrdi 2790	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (1...𝐴) = ∅)
21	20	prodeq1d 15876	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝑘)
22	14, 17, 21	3eqtr4a 2800	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
23	12, 22	jaoi 863	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
24	1, 23	sylbi 218	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431  ∅c0 4261   I cid 5512  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  0cc0 11029  1c1 11030   · cmul 11034  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  ℤ_≥cuz 12779  ...cfz 13452  seqcseq 13954  !cfa 14226  ∏cprod 15859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-prod 15860

This theorem is referenced by:  risefacfac  15991  fallfacval4  15999  prmolefac  17008  gausslemma2dlem1  27347  gausslemma2dlem6  27353  bcprod  35966  etransclem41  46718