Theorem fprodfac 15922

Description: Factorial using product notation. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fprodfac	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Proof of Theorem fprodfac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12479	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
2		facnn 14240	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) = (seq1( · , I )‘𝐴))
3		vex 3477	. . . . . 6 ⊢ 𝑘 ∈ V
4		fvi 6967	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ V → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
5	3, 4	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
6		elnnuz 12871	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
7	6	biimpi 215	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
8		elfznn 13535	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐴) → 𝑘 ∈ ℕ)
9	8	nncnd 12233	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐴) → 𝑘 ∈ ℂ)
10	9	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → 𝑘 ∈ ℂ)
11	5, 7, 10	fprodser 15898	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 = (seq1( · , I )‘𝐴))
12	2, 11	eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
13		prod0 15892	. . . . 5 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝑘 = 1
14	13	eqcomi 2740	. . . 4 ⊢ 1 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝑘
15		fveq2 6891	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (!‘𝐴) = (!‘0))
16		fac0 14241	. . . . 5 ⊢ (!‘0) = 1
17	15, 16	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (!‘𝐴) = 1)
18		oveq2 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (1...𝐴) = (1...0))
19		fz10 13527	. . . . . 6 ⊢ (1...0) = ∅
20	18, 19	eqtrdi 2787	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (1...𝐴) = ∅)
21	20	prodeq1d 15870	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝑘)
22	14, 17, 21	3eqtr4a 2797	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
23	12, 22	jaoi 854	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
24	1, 23	sylbi 216	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473  ∅c0 4322   I cid 5573  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11111  0cc0 11113  1c1 11114   · cmul 11118  ℕcn 12217  ℕ₀cn0 12477  ℤ_≥cuz 12827  ...cfz 13489  seqcseq 13971  !cfa 14238  ∏cprod 15854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-prod 15855

This theorem is referenced by:  risefacfac  15984  fallfacval4  15992  prmolefac  16984  gausslemma2dlem1  27106  gausslemma2dlem6  27112  bcprod  35013  etransclem41  45290