Theorem fprodfac 16052

Description: Factorial using product notation. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fprodfac	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Proof of Theorem fprodfac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12523	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
2		facnn 14331	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) = (seq1( · , I )‘𝐴))
3		vex 3461	. . . . . 6 ⊢ 𝑘 ∈ V
4		fvi 6961	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ V → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
5	3, 4	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
6		elnnuz 12920	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
7	6	biimpi 219	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
8		elfznn 13600	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐴) → 𝑘 ∈ ℕ)
9	8	nncnd 12266	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐴) → 𝑘 ∈ ℂ)
10	9	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → 𝑘 ∈ ℂ)
11	5, 7, 10	fprodser 16028	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 = (seq1( · , I )‘𝐴))
12	2, 11	eqtr4d 2803	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
13		prod0 16022	. . . . 5 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝑘 = 1
14	13	eqcomi 2774	. . . 4 ⊢ 1 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝑘
15		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (!‘𝐴) = (!‘0))
16		fac0 14332	. . . . 5 ⊢ (!‘0) = 1
17	15, 16	eqtrdi 2816	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (!‘𝐴) = 1)
18		oveq2 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (1...𝐴) = (1...0))
19		fz10 13591	. . . . . 6 ⊢ (1...0) = ∅
20	18, 19	eqtrdi 2816	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (1...𝐴) = ∅)
21	20	prodeq1d 15999	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝑘)
22	14, 17, 21	3eqtr4a 2826	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
23	12, 22	jaoi 871	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
24	1, 23	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457  ∅c0 4286   I cid 5557  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11115  0cc0 11117  1c1 11118   · cmul 11122  ℕcn 12250  ℕ₀cn0 12521  ℤ_≥cuz 12880  ...cfz 13553  seqcseq 14057  !cfa 14329  ∏cprod 15982

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-prod 15983

This theorem is used by:  risefacfac  16113  fallfacval4  16121  prmolefac  17130  gausslemma2dlem1  27583  gausslemma2dlem6  27589  bcprod  36269  etransclem41  47049