MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodfac 16005
Description: Factorial using product notation. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
fprodfac (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Proof of Theorem fprodfac
StepHypRef Expression
1 elnn0 12525 . 2 (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
2 facnn 14310 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) = (seq1( · , I )‘𝐴))
3 vex 3481 . . . . . 6 𝑘 ∈ V
4 fvi 6984 . . . . . 6 (𝑘 ∈ V → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
53, 4mp1i 13 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
6 elnnuz 12919 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ (ℤ‘1))
76biimpi 216 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (ℤ‘1))
8 elfznn 13589 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...𝐴) → 𝑘 ∈ ℕ)
98nncnd 12279 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1...𝐴) → 𝑘 ∈ ℂ)
109adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → 𝑘 ∈ ℂ)
115, 7, 10fprodser 15981 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 = (seq1( · , I )‘𝐴))
122, 11eqtr4d 2777 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
13 prod0 15975 . . . . 5 𝑘 ∈ ∅ 𝑘 = 1
1413eqcomi 2743 . . . 4 1 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝑘
15 fveq2 6906 . . . . 5 (𝐴 = 0 → (!‘𝐴) = (!‘0))
16 fac0 14311 . . . . 5 (!‘0) = 1
1715, 16eqtrdi 2790 . . . 4 (𝐴 = 0 → (!‘𝐴) = 1)
18 oveq2 7438 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → (1...𝐴) = (1...0))
19 fz10 13581 . . . . . 6 (1...0) = ∅
2018, 19eqtrdi 2790 . . . . 5 (𝐴 = 0 → (1...𝐴) = ∅)
2120prodeq1d 15952 . . . 4 (𝐴 = 0 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝑘)
2214, 17, 213eqtr4a 2800 . . 3 (𝐴 = 0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
2312, 22jaoi 857 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
241, 23sylbi 217 1 (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  Vcvv 3477  c0 4338   I cid 5581  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157  cn 12263  0cn0 12523  cuz 12875  ...cfz 13543  seqcseq 14038  !cfa 14308  cprod 15935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-prod 15936
This theorem is referenced by:  risefacfac  16067  fallfacval4  16075  prmolefac  17079  gausslemma2dlem1  27424  gausslemma2dlem6  27430  bcprod  35717  etransclem41  46230
  Copyright terms: Public domain W3C validator