Theorem fprodfac 15896

Description: Factorial using product notation. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fprodfac	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Proof of Theorem fprodfac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12453	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
2		facnn 14214	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) = (seq1( · , I )‘𝐴))
3		vex 3474	. . . . . 6 ⊢ 𝑘 ∈ V
4		fvi 6950	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ V → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
5	3, 4	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
6		elnnuz 12845	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
7	6	biimpi 215	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
8		elfznn 13509	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐴) → 𝑘 ∈ ℕ)
9	8	nncnd 12207	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐴) → 𝑘 ∈ ℂ)
10	9	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → 𝑘 ∈ ℂ)
11	5, 7, 10	fprodser 15872	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 = (seq1( · , I )‘𝐴))
12	2, 11	eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
13		prod0 15866	. . . . 5 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝑘 = 1
14	13	eqcomi 2740	. . . 4 ⊢ 1 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝑘
15		fveq2 6875	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (!‘𝐴) = (!‘0))
16		fac0 14215	. . . . 5 ⊢ (!‘0) = 1
17	15, 16	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (!‘𝐴) = 1)
18		oveq2 7398	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (1...𝐴) = (1...0))
19		fz10 13501	. . . . . 6 ⊢ (1...0) = ∅
20	18, 19	eqtrdi 2787	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (1...𝐴) = ∅)
21	20	prodeq1d 15844	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝑘)
22	14, 17, 21	3eqtr4a 2797	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
23	12, 22	jaoi 855	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
24	1, 23	sylbi 216	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3470  ∅c0 4315   I cid 5563  ‘cfv 6529  (class class class)co 7390  ℂcc 11087  0cc0 11089  1c1 11090   · cmul 11094  ℕcn 12191  ℕ₀cn0 12451  ℤ_≥cuz 12801  ...cfz 13463  seqcseq 13945  !cfa 14212  ∏cprod 15828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7705  ax-inf2 9615  ax-cnex 11145  ax-resscn 11146  ax-1cn 11147  ax-icn 11148  ax-addcl 11149  ax-addrcl 11150  ax-mulcl 11151  ax-mulrcl 11152  ax-mulcom 11153  ax-addass 11154  ax-mulass 11155  ax-distr 11156  ax-i2m1 11157  ax-1ne0 11158  ax-1rid 11159  ax-rnegex 11160  ax-rrecex 11161  ax-cnre 11162  ax-pre-lttri 11163  ax-pre-lttrn 11164  ax-pre-ltadd 11165  ax-pre-mulgt0 11166  ax-pre-sup 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3430  df-v 3472  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4520  df-pw 4595  df-sn 4620  df-pr 4622  df-op 4626  df-uni 4899  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6286  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6531  df-fn 6532  df-f 6533  df-f1 6534  df-fo 6535  df-f1o 6536  df-fv 6537  df-isom 6538  df-riota 7346  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7836  df-1st 7954  df-2nd 7955  df-frecs 8245  df-wrecs 8276  df-recs 8350  df-rdg 8389  df-1o 8445  df-er 8683  df-en 8920  df-dom 8921  df-sdom 8922  df-fin 8923  df-sup 9416  df-oi 9484  df-card 9913  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11425  df-neg 11426  df-div 11851  df-nn 12192  df-2 12254  df-3 12255  df-n0 12452  df-z 12538  df-uz 12802  df-rp 12954  df-fz 13464  df-fzo 13607  df-seq 13946  df-exp 14007  df-fac 14213  df-hash 14270  df-cj 15025  df-re 15026  df-im 15027  df-sqrt 15161  df-abs 15162  df-clim 15411  df-prod 15829

This theorem is referenced by:  risefacfac  15958  fallfacval4  15966  prmolefac  16958  gausslemma2dlem1  26791  gausslemma2dlem6  26797  bcprod  34522  etransclem41  44750