MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodfac 16009
Description: Factorial using product notation. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
fprodfac (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Proof of Theorem fprodfac
StepHypRef Expression
1 elnn0 12528 . 2 (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
2 facnn 14314 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) = (seq1( · , I )‘𝐴))
3 vex 3484 . . . . . 6 𝑘 ∈ V
4 fvi 6985 . . . . . 6 (𝑘 ∈ V → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
53, 4mp1i 13 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
6 elnnuz 12922 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ (ℤ‘1))
76biimpi 216 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (ℤ‘1))
8 elfznn 13593 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...𝐴) → 𝑘 ∈ ℕ)
98nncnd 12282 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1...𝐴) → 𝑘 ∈ ℂ)
109adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → 𝑘 ∈ ℂ)
115, 7, 10fprodser 15985 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 = (seq1( · , I )‘𝐴))
122, 11eqtr4d 2780 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
13 prod0 15979 . . . . 5 𝑘 ∈ ∅ 𝑘 = 1
1413eqcomi 2746 . . . 4 1 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝑘
15 fveq2 6906 . . . . 5 (𝐴 = 0 → (!‘𝐴) = (!‘0))
16 fac0 14315 . . . . 5 (!‘0) = 1
1715, 16eqtrdi 2793 . . . 4 (𝐴 = 0 → (!‘𝐴) = 1)
18 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → (1...𝐴) = (1...0))
19 fz10 13585 . . . . . 6 (1...0) = ∅
2018, 19eqtrdi 2793 . . . . 5 (𝐴 = 0 → (1...𝐴) = ∅)
2120prodeq1d 15956 . . . 4 (𝐴 = 0 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝑘)
2214, 17, 213eqtr4a 2803 . . 3 (𝐴 = 0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
2312, 22jaoi 858 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
241, 23sylbi 217 1 (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  c0 4333   I cid 5577  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160  cn 12266  0cn0 12526  cuz 12878  ...cfz 13547  seqcseq 14042  !cfa 14312  cprod 15939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-prod 15940
This theorem is referenced by:  risefacfac  16071  fallfacval4  16079  prmolefac  17084  gausslemma2dlem1  27410  gausslemma2dlem6  27416  bcprod  35738  etransclem41  46290
  Copyright terms: Public domain W3C validator