MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gausslemma2dlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gausslemma2dlem4 26872
Description: Lemma 4 for gausslemma2d 26877. (Contributed by AV, 16-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
gausslemma2d.h ๐ป = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)
gausslemma2d.r ๐‘… = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐ป) โ†ฆ if((๐‘ฅ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘ฅ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฅ ยท 2))))
gausslemma2d.m ๐‘€ = (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem4 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐ป) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ป   ๐‘ฅ,๐‘ƒ   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘˜,๐ป   ๐‘…,๐‘˜   ๐œ‘,๐‘˜   ๐‘ฅ,๐‘€,๐‘˜   ๐‘ƒ,๐‘˜
Allowed substitution hint:   ๐‘…(๐‘ฅ)

Proof of Theorem gausslemma2dlem4
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.p . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}))
2 gausslemma2d.h . . 3 ๐ป = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)
3 gausslemma2d.r . . 3 ๐‘… = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐ป) โ†ฆ if((๐‘ฅ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘ฅ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฅ ยท 2))))
41, 2, 3gausslemma2dlem1 26869 . 2 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐ป) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜))
5 eldif 3959 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†” (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆˆ {2}))
6 prm23ge5 16748 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ = 2 โˆจ ๐‘ƒ = 3 โˆจ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5)))
7 eleq1 2822 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ = 2 โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ {2} โ†” 2 โˆˆ {2}))
87notbid 318 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ = 2 โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆˆ {2} โ†” ยฌ 2 โˆˆ {2}))
9 2ex 12289 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ V
109snid 4665 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ {2}
11102a1i 12 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ = 2 โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) โ‰  (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜)) โ†’ 2 โˆˆ {2}))
1211necon1bd 2959 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ = 2 โ†’ (ยฌ 2 โˆˆ {2} โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜))))
1312a1dd 50 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ = 2 โ†’ (ยฌ 2 โˆˆ {2} โ†’ (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜)))))
148, 13sylbid 239 . . . . . . 7 (๐‘ƒ = 2 โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆˆ {2} โ†’ (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜)))))
15 gausslemma2d.m . . . . . . . . . 10 ๐‘€ = (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))
16 3lt4 12386 . . . . . . . . . . . 12 3 < 4
17 breq1 5152 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ = 3 โ†’ (๐‘ƒ < 4 โ†” 3 < 4))
1816, 17mpbiri 258 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ = 3 โ†’ ๐‘ƒ < 4)
19 3nn0 12490 . . . . . . . . . . . . 13 3 โˆˆ โ„•0
20 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ = 3 โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„•0 โ†” 3 โˆˆ โ„•0))
2119, 20mpbiri 258 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ = 3 โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
22 4nn 12295 . . . . . . . . . . . 12 4 โˆˆ โ„•
23 divfl0 13789 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„•0 โˆง 4 โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ < 4 โ†” (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) = 0))
2421, 22, 23sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ = 3 โ†’ (๐‘ƒ < 4 โ†” (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) = 0))
2518, 24mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ = 3 โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) = 0)
2615, 25eqtrid 2785 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ = 3 โ†’ ๐‘€ = 0)
27 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘€ = 0 โ†’ (1...๐‘€) = (1...0))
2827adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘€ = 0 โˆง ๐œ‘) โ†’ (1...๐‘€) = (1...0))
29 fz10 13522 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...0) = โˆ…
3028, 29eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘€ = 0 โˆง ๐œ‘) โ†’ (1...๐‘€) = โˆ…)
3130prodeq1d 15865 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ = 0 โˆง ๐œ‘) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… (๐‘…โ€˜๐‘˜))
32 prod0 15887 . . . . . . . . . . . . 13 โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… (๐‘…โ€˜๐‘˜) = 1
3331, 32eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ = 0 โˆง ๐œ‘) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = 1)
34 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘€ = 0 โ†’ (๐‘€ + 1) = (0 + 1))
3534adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘€ = 0 โˆง ๐œ‘) โ†’ (๐‘€ + 1) = (0 + 1))
36 0p1e1 12334 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 1) = 1
3735, 36eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘€ = 0 โˆง ๐œ‘) โ†’ (๐‘€ + 1) = 1)
3837oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ = 0 โˆง ๐œ‘) โ†’ ((๐‘€ + 1)...๐ป) = (1...๐ป))
3938prodeq1d 15865 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ = 0 โˆง ๐œ‘) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜))
4033, 39oveq12d 7427 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ = 0 โˆง ๐œ‘) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜)) = (1 ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜)))
41 fzfid 13938 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ = 0 โˆง ๐œ‘) โ†’ (1...๐ป) โˆˆ Fin)
42 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ฅ ยท 2) = (๐‘˜ ยท 2))
4342breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘ฅ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2) โ†” (๐‘˜ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2)))
4442oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฅ ยท 2)) = (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)))
4543, 42, 44ifbieq12d 4557 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ if((๐‘ฅ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘ฅ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘ฅ ยท 2))) = if((๐‘˜ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘˜ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2))))
46 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป))
47 elfzelz 13501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
4847zcnd 12667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
49 2cnd 12290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
5048, 49mulcld 11234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป) โ†’ (๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„‚)
5150adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)) โ†’ (๐‘˜ ยท 2) โˆˆ โ„‚)
52 eldifi 4127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
53 prmz 16612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
5453zcnd 12667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
551, 52, 543syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
5655adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
5756, 51subcld 11571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2)) โˆˆ โ„‚)
5851, 57ifcld 4575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)) โ†’ if((๐‘˜ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘˜ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2))) โˆˆ โ„‚)
593, 45, 46, 58fvmptd3 7022 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)) โ†’ (๐‘…โ€˜๐‘˜) = if((๐‘˜ ยท 2) < (๐‘ƒ / 2), (๐‘˜ ยท 2), (๐‘ƒ โˆ’ (๐‘˜ ยท 2))))
6059, 58eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)) โ†’ (๐‘…โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
6160adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘€ = 0 โˆง ๐œ‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)) โ†’ (๐‘…โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
6241, 61fprodcl 15896 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ = 0 โˆง ๐œ‘) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
6362mullidd 11232 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ = 0 โˆง ๐œ‘) โ†’ (1 ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜)) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜))
6440, 63eqtr2d 2774 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ = 0 โˆง ๐œ‘) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜)))
6564ex 414 . . . . . . . . 9 (๐‘€ = 0 โ†’ (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜))))
6626, 65syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ = 3 โ†’ (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜))))
6766a1d 25 . . . . . . 7 (๐‘ƒ = 3 โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆˆ {2} โ†’ (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜)))))
681, 15gausslemma2dlem0d 26862 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
6968nn0red 12533 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
7069ltp1d 12144 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ < (๐‘€ + 1))
71 fzdisj 13528 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘€ < (๐‘€ + 1) โ†’ ((1...๐‘€) โˆฉ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) = โˆ…)
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((1...๐‘€) โˆฉ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) = โˆ…)
7372adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โˆง ๐œ‘) โ†’ ((1...๐‘€) โˆฉ ((๐‘€ + 1)...๐ป)) = โˆ…)
74 eluzelre 12833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
75 4re 12296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 โˆˆ โ„
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ 4 โˆˆ โ„)
77 4ne0 12320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 โ‰  0
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ 4 โ‰  0)
7974, 76, 78redivcld 12042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ (๐‘ƒ / 4) โˆˆ โ„)
8079flcld 13763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โˆˆ โ„ค)
81 nnrp 12985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (4 โˆˆ โ„• โ†’ 4 โˆˆ โ„+)
8222, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4 โˆˆ โ„+
83 eluz2 12828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†” (5 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง 5 โ‰ค ๐‘ƒ))
84 4lt5 12389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4 < 5
85 5re 12299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5 โˆˆ โ„
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((5 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โ†’ 5 โˆˆ โ„)
87 zre 12562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
8887adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((5 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„)
89 ltleletr 11307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((4 โˆˆ โ„ โˆง 5 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„) โ†’ ((4 < 5 โˆง 5 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ 4 โ‰ค ๐‘ƒ))
9075, 86, 88, 89mp3an2i 1467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((5 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((4 < 5 โˆง 5 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ 4 โ‰ค ๐‘ƒ))
9184, 90mpani 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((5 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โ†’ (5 โ‰ค ๐‘ƒ โ†’ 4 โ‰ค ๐‘ƒ))
92913impia 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((5 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง 5 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ 4 โ‰ค ๐‘ƒ)
9383, 92sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ 4 โ‰ค ๐‘ƒ)
94 divge1 13042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((4 โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง 4 โ‰ค ๐‘ƒ) โ†’ 1 โ‰ค (๐‘ƒ / 4))
9582, 74, 93, 94mp3an2i 1467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ 1 โ‰ค (๐‘ƒ / 4))
96 1zzd 12593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
97 flge 13770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐‘ƒ / 4) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ (1 โ‰ค (๐‘ƒ / 4) โ†” 1 โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))))
9879, 96, 97syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ (1 โ‰ค (๐‘ƒ / 4) โ†” 1 โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))))
9995, 98mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ 1 โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)))
100 elnnz1 12588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โˆˆ โ„• โ†” ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4))))
10180, 99, 100sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โˆˆ โ„•)
102101adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โˆˆ โ„•)
103 oddprm 16743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•)
104103adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•)
105 prmuz2 16633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
10652, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
107106adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
108 fldiv4lem1div2uz2 13801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
110102, 104, 1093jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5)) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
111110ex 414 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))))
1121, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))))
113112impcom 409 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โˆง ๐œ‘) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
1142oveq2i 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...๐ป) = (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
11515, 114eleq12i 2827 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘€ โˆˆ (1...๐ป) โ†” (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
116 elfz1b 13570 . . . . . . . . . . . . 13 ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โˆˆ (1...((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†” ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
117115, 116bitri 275 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘€ โˆˆ (1...๐ป) โ†” ((โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
118113, 117sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โˆง ๐œ‘) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (1...๐ป))
119 fzsplit 13527 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ (1...๐ป) โ†’ (1...๐ป) = ((1...๐‘€) โˆช ((๐‘€ + 1)...๐ป)))
120118, 119syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โˆง ๐œ‘) โ†’ (1...๐ป) = ((1...๐‘€) โˆช ((๐‘€ + 1)...๐ป)))
121 fzfid 13938 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โˆง ๐œ‘) โ†’ (1...๐ป) โˆˆ Fin)
12260adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โˆง ๐œ‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)) โ†’ (๐‘…โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
12373, 120, 121, 122fprodsplit 15910 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โˆง ๐œ‘) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜)))
124123ex 414 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜))))
125124a1d 25 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆˆ {2} โ†’ (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜)))))
12614, 67, 1253jaoi 1428 . . . . . 6 ((๐‘ƒ = 2 โˆจ ๐‘ƒ = 3 โˆจ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜5)) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆˆ {2} โ†’ (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜)))))
1276, 126syl 17 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆˆ {2} โ†’ (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜)))))
128127imp 408 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆˆ {2}) โ†’ (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜))))
1295, 128sylbi 216 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜))))
1301, 129mpcom 38 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜)))
1314, 130eqtrd 2773 1 (๐œ‘ โ†’ (!โ€˜๐ป) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)(๐‘…โ€˜๐‘˜) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐ป)(๐‘…โ€˜๐‘˜)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ w3o 1087   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   โˆ– cdif 3946   โˆช cun 3947   โˆฉ cin 3948  โˆ…c0 4323  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  2c2 12267  3c3 12268  4c4 12269  5c5 12270  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  โ„คโ‰ฅcuz 12822  โ„+crp 12974  ...cfz 13484  โŒŠcfl 13755  !cfa 14233  โˆcprod 15849  โ„™cprime 16608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-ioo 13328  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-prod 15850  df-dvds 16198  df-prm 16609
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem6  26875
  Copyright terms: Public domain W3C validator