Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | gausslemma2d.p |
. . 3
โข (๐ โ ๐ โ (โ โ
{2})) |
2 | | gausslemma2d.h |
. . 3
โข ๐ป = ((๐ โ 1) / 2) |
3 | | gausslemma2d.r |
. . 3
โข ๐
= (๐ฅ โ (1...๐ป) โฆ if((๐ฅ ยท 2) < (๐ / 2), (๐ฅ ยท 2), (๐ โ (๐ฅ ยท 2)))) |
4 | 1, 2, 3 | gausslemma2dlem1 26717 |
. 2
โข (๐ โ (!โ๐ป) = โ๐ โ (1...๐ป)(๐
โ๐)) |
5 | | eldif 3921 |
. . . 4
โข (๐ โ (โ โ {2})
โ (๐ โ โ
โง ยฌ ๐ โ
{2})) |
6 | | prm23ge5 16688 |
. . . . . 6
โข (๐ โ โ โ (๐ = 2 โจ ๐ = 3 โจ ๐ โ
(โคโฅโ5))) |
7 | | eleq1 2826 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ = 2 โ (๐ โ {2} โ 2 โ
{2})) |
8 | 7 | notbid 318 |
. . . . . . . 8
โข (๐ = 2 โ (ยฌ ๐ โ {2} โ ยฌ 2
โ {2})) |
9 | | 2ex 12231 |
. . . . . . . . . . . 12
โข 2 โ
V |
10 | 9 | snid 4623 |
. . . . . . . . . . 11
โข 2 โ
{2} |
11 | 10 | 2a1i 12 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ = 2 โ (โ๐ โ (1...๐ป)(๐
โ๐) โ (โ๐ โ (1...๐)(๐
โ๐) ยท โ๐ โ ((๐ + 1)...๐ป)(๐
โ๐)) โ 2 โ {2})) |
12 | 11 | necon1bd 2962 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ = 2 โ (ยฌ 2 โ {2}
โ โ๐ โ
(1...๐ป)(๐
โ๐) = (โ๐ โ (1...๐)(๐
โ๐) ยท โ๐ โ ((๐ + 1)...๐ป)(๐
โ๐)))) |
13 | 12 | a1dd 50 |
. . . . . . . 8
โข (๐ = 2 โ (ยฌ 2 โ {2}
โ (๐ โ โ๐ โ (1...๐ป)(๐
โ๐) = (โ๐ โ (1...๐)(๐
โ๐) ยท โ๐ โ ((๐ + 1)...๐ป)(๐
โ๐))))) |
14 | 8, 13 | sylbid 239 |
. . . . . . 7
โข (๐ = 2 โ (ยฌ ๐ โ {2} โ (๐ โ โ๐ โ (1...๐ป)(๐
โ๐) = (โ๐ โ (1...๐)(๐
โ๐) ยท โ๐ โ ((๐ + 1)...๐ป)(๐
โ๐))))) |
15 | | gausslemma2d.m |
. . . . . . . . . 10
โข ๐ = (โโ(๐ / 4)) |
16 | | 3lt4 12328 |
. . . . . . . . . . . 12
โข 3 <
4 |
17 | | breq1 5109 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ = 3 โ (๐ < 4 โ 3 < 4)) |
18 | 16, 17 | mpbiri 258 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ = 3 โ ๐ < 4) |
19 | | 3nn0 12432 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข 3 โ
โ0 |
20 | | eleq1 2826 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ = 3 โ (๐ โ โ0 โ 3 โ
โ0)) |
21 | 19, 20 | mpbiri 258 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ = 3 โ ๐ โ
โ0) |
22 | | 4nn 12237 |
. . . . . . . . . . . 12
โข 4 โ
โ |
23 | | divfl0 13730 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โ โ0
โง 4 โ โ) โ (๐ < 4 โ (โโ(๐ / 4)) = 0)) |
24 | 21, 22, 23 | sylancl 587 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ = 3 โ (๐ < 4 โ (โโ(๐ / 4)) = 0)) |
25 | 18, 24 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ = 3 โ
(โโ(๐ / 4)) =
0) |
26 | 15, 25 | eqtrid 2789 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ = 3 โ ๐ = 0) |
27 | | oveq2 7366 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ = 0 โ (1...๐) = (1...0)) |
28 | 27 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((๐ = 0 โง ๐) โ (1...๐) = (1...0)) |
29 | | fz10 13463 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (1...0) =
โ
|
30 | 28, 29 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ = 0 โง ๐) โ (1...๐) = โ
) |
31 | 30 | prodeq1d 15805 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ = 0 โง ๐) โ โ๐ โ (1...๐)(๐
โ๐) = โ๐ โ โ
(๐
โ๐)) |
32 | | prod0 15827 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข
โ๐ โ
โ
(๐
โ๐) = 1 |
33 | 31, 32 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ = 0 โง ๐) โ โ๐ โ (1...๐)(๐
โ๐) = 1) |
34 | | oveq1 7365 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ = 0 โ (๐ + 1) = (0 + 1)) |
35 | 34 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((๐ = 0 โง ๐) โ (๐ + 1) = (0 + 1)) |
36 | | 0p1e1 12276 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (0 + 1) =
1 |
37 | 35, 36 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ = 0 โง ๐) โ (๐ + 1) = 1) |
38 | 37 | oveq1d 7373 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ = 0 โง ๐) โ ((๐ + 1)...๐ป) = (1...๐ป)) |
39 | 38 | prodeq1d 15805 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ = 0 โง ๐) โ โ๐ โ ((๐ + 1)...๐ป)(๐
โ๐) = โ๐ โ (1...๐ป)(๐
โ๐)) |
40 | 33, 39 | oveq12d 7376 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ = 0 โง ๐) โ (โ๐ โ (1...๐)(๐
โ๐) ยท โ๐ โ ((๐ + 1)...๐ป)(๐
โ๐)) = (1 ยท โ๐ โ (1...๐ป)(๐
โ๐))) |
41 | | fzfid 13879 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ = 0 โง ๐) โ (1...๐ป) โ Fin) |
42 | | oveq1 7365 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ฅ = ๐ โ (๐ฅ ยท 2) = (๐ ยท 2)) |
43 | 42 | breq1d 5116 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ฅ = ๐ โ ((๐ฅ ยท 2) < (๐ / 2) โ (๐ ยท 2) < (๐ / 2))) |
44 | 42 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ฅ = ๐ โ (๐ โ (๐ฅ ยท 2)) = (๐ โ (๐ ยท 2))) |
45 | 43, 42, 44 | ifbieq12d 4515 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ฅ = ๐ โ if((๐ฅ ยท 2) < (๐ / 2), (๐ฅ ยท 2), (๐ โ (๐ฅ ยท 2))) = if((๐ ยท 2) < (๐ / 2), (๐ ยท 2), (๐ โ (๐ ยท 2)))) |
46 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((๐ โง ๐ โ (1...๐ป)) โ ๐ โ (1...๐ป)) |
47 | | elfzelz 13442 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (๐ โ (1...๐ป) โ ๐ โ โค) |
48 | 47 | zcnd 12609 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (๐ โ (1...๐ป) โ ๐ โ โ) |
49 | | 2cnd 12232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (๐ โ (1...๐ป) โ 2 โ โ) |
50 | 48, 49 | mulcld 11176 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ โ (1...๐ป) โ (๐ ยท 2) โ โ) |
51 | 50 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((๐ โง ๐ โ (1...๐ป)) โ (๐ ยท 2) โ โ) |
52 | | eldifi 4087 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (๐ โ (โ โ {2})
โ ๐ โ
โ) |
53 | | prmz 16552 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข (๐ โ โ โ ๐ โ
โค) |
54 | 53 | zcnd 12609 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (๐ โ โ โ ๐ โ
โ) |
55 | 1, 52, 54 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (๐ โ ๐ โ โ) |
56 | 55 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((๐ โง ๐ โ (1...๐ป)) โ ๐ โ โ) |
57 | 56, 51 | subcld 11513 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((๐ โง ๐ โ (1...๐ป)) โ (๐ โ (๐ ยท 2)) โ
โ) |
58 | 51, 57 | ifcld 4533 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((๐ โง ๐ โ (1...๐ป)) โ if((๐ ยท 2) < (๐ / 2), (๐ ยท 2), (๐ โ (๐ ยท 2))) โ
โ) |
59 | 3, 45, 46, 58 | fvmptd3 6972 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((๐ โง ๐ โ (1...๐ป)) โ (๐
โ๐) = if((๐ ยท 2) < (๐ / 2), (๐ ยท 2), (๐ โ (๐ ยท 2)))) |
60 | 59, 58 | eqeltrd 2838 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โง ๐ โ (1...๐ป)) โ (๐
โ๐) โ โ) |
61 | 60 | adantll 713 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ = 0 โง ๐) โง ๐ โ (1...๐ป)) โ (๐
โ๐) โ โ) |
62 | 41, 61 | fprodcl 15836 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ = 0 โง ๐) โ โ๐ โ (1...๐ป)(๐
โ๐) โ โ) |
63 | 62 | mulid2d 11174 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ = 0 โง ๐) โ (1 ยท โ๐ โ (1...๐ป)(๐
โ๐)) = โ๐ โ (1...๐ป)(๐
โ๐)) |
64 | 40, 63 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ = 0 โง ๐) โ โ๐ โ (1...๐ป)(๐
โ๐) = (โ๐ โ (1...๐)(๐
โ๐) ยท โ๐ โ ((๐ + 1)...๐ป)(๐
โ๐))) |
65 | 64 | ex 414 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ = 0 โ (๐ โ โ๐ โ (1...๐ป)(๐
โ๐) = (โ๐ โ (1...๐)(๐
โ๐) ยท โ๐ โ ((๐ + 1)...๐ป)(๐
โ๐)))) |
66 | 26, 65 | syl 17 |
. . . . . . . 8
โข (๐ = 3 โ (๐ โ โ๐ โ (1...๐ป)(๐
โ๐) = (โ๐ โ (1...๐)(๐
โ๐) ยท โ๐ โ ((๐ + 1)...๐ป)(๐
โ๐)))) |
67 | 66 | a1d 25 |
. . . . . . 7
โข (๐ = 3 โ (ยฌ ๐ โ {2} โ (๐ โ โ๐ โ (1...๐ป)(๐
โ๐) = (โ๐ โ (1...๐)(๐
โ๐) ยท โ๐ โ ((๐ + 1)...๐ป)(๐
โ๐))))) |
68 | 1, 15 | gausslemma2dlem0d 26710 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ ๐ โ
โ0) |
69 | 68 | nn0red 12475 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ ๐ โ โ) |
70 | 69 | ltp1d 12086 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ ๐ < (๐ + 1)) |
71 | | fzdisj 13469 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ < (๐ + 1) โ ((1...๐) โฉ ((๐ + 1)...๐ป)) = โ
) |
72 | 70, 71 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ ((1...๐) โฉ ((๐ + 1)...๐ป)) = โ
) |
73 | 72 | adantl 483 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โ
(โคโฅโ5) โง ๐) โ ((1...๐) โฉ ((๐ + 1)...๐ป)) = โ
) |
74 | | eluzelre 12775 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (๐ โ
(โคโฅโ5) โ ๐ โ โ) |
75 | | 4re 12238 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข 4 โ
โ |
76 | 75 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (๐ โ
(โคโฅโ5) โ 4 โ โ) |
77 | | 4ne0 12262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข 4 โ
0 |
78 | 77 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (๐ โ
(โคโฅโ5) โ 4 โ 0) |
79 | 74, 76, 78 | redivcld 11984 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (๐ โ
(โคโฅโ5) โ (๐ / 4) โ โ) |
80 | 79 | flcld 13704 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ โ
(โคโฅโ5) โ (โโ(๐ / 4)) โ โค) |
81 | | nnrp 12927 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข (4 โ
โ โ 4 โ โ+) |
82 | 22, 81 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข 4 โ
โ+ |
83 | | eluz2 12770 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข (๐ โ
(โคโฅโ5) โ (5 โ โค โง ๐ โ โค โง 5 โค
๐)) |
84 | | 4lt5 12331 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข 4 <
5 |
85 | | 5re 12241 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข 5 โ
โ |
86 | 85 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((5
โ โค โง ๐
โ โค) โ 5 โ โ) |
87 | | zre 12504 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข (๐ โ โค โ ๐ โ
โ) |
88 | 87 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((5
โ โค โง ๐
โ โค) โ ๐
โ โ) |
89 | | ltleletr 11249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((4
โ โ โง 5 โ โ โง ๐ โ โ) โ ((4 < 5 โง 5
โค ๐) โ 4 โค ๐)) |
90 | 75, 86, 88, 89 | mp3an2i 1467 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((5
โ โค โง ๐
โ โค) โ ((4 < 5 โง 5 โค ๐) โ 4 โค ๐)) |
91 | 84, 90 | mpani 695 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((5
โ โค โง ๐
โ โค) โ (5 โค ๐ โ 4 โค ๐)) |
92 | 91 | 3impia 1118 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข ((5
โ โค โง ๐
โ โค โง 5 โค ๐) โ 4 โค ๐) |
93 | 83, 92 | sylbi 216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (๐ โ
(โคโฅโ5) โ 4 โค ๐) |
94 | | divge1 12984 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข ((4
โ โ+ โง ๐ โ โ โง 4 โค ๐) โ 1 โค (๐ / 4)) |
95 | 82, 74, 93, 94 | mp3an2i 1467 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (๐ โ
(โคโฅโ5) โ 1 โค (๐ / 4)) |
96 | | 1zzd 12535 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (๐ โ
(โคโฅโ5) โ 1 โ โค) |
97 | | flge 13711 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (((๐ / 4) โ โ โง 1
โ โค) โ (1 โค (๐ / 4) โ 1 โค (โโ(๐ / 4)))) |
98 | 79, 96, 97 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (๐ โ
(โคโฅโ5) โ (1 โค (๐ / 4) โ 1 โค (โโ(๐ / 4)))) |
99 | 95, 98 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ โ
(โคโฅโ5) โ 1 โค (โโ(๐ / 4))) |
100 | | elnnz1 12530 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข
((โโ(๐ /
4)) โ โ โ ((โโ(๐ / 4)) โ โค โง 1 โค
(โโ(๐ /
4)))) |
101 | 80, 99, 100 | sylanbrc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ
(โคโฅโ5) โ (โโ(๐ / 4)) โ โ) |
102 | 101 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((๐ โ (โ โ {2})
โง ๐ โ
(โคโฅโ5)) โ (โโ(๐ / 4)) โ โ) |
103 | | oddprm 16683 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ (โ โ {2})
โ ((๐ โ 1) / 2)
โ โ) |
104 | 103 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((๐ โ (โ โ {2})
โง ๐ โ
(โคโฅโ5)) โ ((๐ โ 1) / 2) โ
โ) |
105 | | prmuz2 16573 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (๐ โ โ โ ๐ โ
(โคโฅโ2)) |
106 | 52, 105 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ โ (โ โ {2})
โ ๐ โ
(โคโฅโ2)) |
107 | 106 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((๐ โ (โ โ {2})
โง ๐ โ
(โคโฅโ5)) โ ๐ โ
(โคโฅโ2)) |
108 | | fldiv4lem1div2uz2 13742 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ
(โคโฅโ2) โ (โโ(๐ / 4)) โค ((๐ โ 1) / 2)) |
109 | 107, 108 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((๐ โ (โ โ {2})
โง ๐ โ
(โคโฅโ5)) โ (โโ(๐ / 4)) โค ((๐ โ 1) / 2)) |
110 | 102, 104,
109 | 3jca 1129 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((๐ โ (โ โ {2})
โง ๐ โ
(โคโฅโ5)) โ ((โโ(๐ / 4)) โ โ โง ((๐ โ 1) / 2) โ โ
โง (โโ(๐ /
4)) โค ((๐ โ 1) /
2))) |
111 | 110 | ex 414 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ (โ โ {2})
โ (๐ โ
(โคโฅโ5) โ ((โโ(๐ / 4)) โ โ โง ((๐ โ 1) / 2) โ โ
โง (โโ(๐ /
4)) โค ((๐ โ 1) /
2)))) |
112 | 1, 111 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ (๐ โ (โคโฅโ5)
โ ((โโ(๐ /
4)) โ โ โง ((๐ โ 1) / 2) โ โ โง
(โโ(๐ / 4))
โค ((๐ โ 1) /
2)))) |
113 | 112 | impcom 409 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โ
(โคโฅโ5) โง ๐) โ ((โโ(๐ / 4)) โ โ โง ((๐ โ 1) / 2) โ โ
โง (โโ(๐ /
4)) โค ((๐ โ 1) /
2))) |
114 | 2 | oveq2i 7369 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข
(1...๐ป) =
(1...((๐ โ 1) /
2)) |
115 | 15, 114 | eleq12i 2831 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ (1...๐ป) โ (โโ(๐ / 4)) โ (1...((๐ โ 1) / 2))) |
116 | | elfz1b 13511 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข
((โโ(๐ /
4)) โ (1...((๐ โ
1) / 2)) โ ((โโ(๐ / 4)) โ โ โง ((๐ โ 1) / 2) โ โ
โง (โโ(๐ /
4)) โค ((๐ โ 1) /
2))) |
117 | 115, 116 | bitri 275 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ (1...๐ป) โ ((โโ(๐ / 4)) โ โ โง ((๐ โ 1) / 2) โ โ
โง (โโ(๐ /
4)) โค ((๐ โ 1) /
2))) |
118 | 113, 117 | sylibr 233 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โ
(โคโฅโ5) โง ๐) โ ๐ โ (1...๐ป)) |
119 | | fzsplit 13468 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ (1...๐ป) โ (1...๐ป) = ((1...๐) โช ((๐ + 1)...๐ป))) |
120 | 118, 119 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โ
(โคโฅโ5) โง ๐) โ (1...๐ป) = ((1...๐) โช ((๐ + 1)...๐ป))) |
121 | | fzfid 13879 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โ
(โคโฅโ5) โง ๐) โ (1...๐ป) โ Fin) |
122 | 60 | adantll 713 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โ
(โคโฅโ5) โง ๐) โง ๐ โ (1...๐ป)) โ (๐
โ๐) โ โ) |
123 | 73, 120, 121, 122 | fprodsplit 15850 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โ
(โคโฅโ5) โง ๐) โ โ๐ โ (1...๐ป)(๐
โ๐) = (โ๐ โ (1...๐)(๐
โ๐) ยท โ๐ โ ((๐ + 1)...๐ป)(๐
โ๐))) |
124 | 123 | ex 414 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ
(โคโฅโ5) โ (๐ โ โ๐ โ (1...๐ป)(๐
โ๐) = (โ๐ โ (1...๐)(๐
โ๐) ยท โ๐ โ ((๐ + 1)...๐ป)(๐
โ๐)))) |
125 | 124 | a1d 25 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ
(โคโฅโ5) โ (ยฌ ๐ โ {2} โ (๐ โ โ๐ โ (1...๐ป)(๐
โ๐) = (โ๐ โ (1...๐)(๐
โ๐) ยท โ๐ โ ((๐ + 1)...๐ป)(๐
โ๐))))) |
126 | 14, 67, 125 | 3jaoi 1428 |
. . . . . 6
โข ((๐ = 2 โจ ๐ = 3 โจ ๐ โ (โคโฅโ5))
โ (ยฌ ๐ โ {2}
โ (๐ โ โ๐ โ (1...๐ป)(๐
โ๐) = (โ๐ โ (1...๐)(๐
โ๐) ยท โ๐ โ ((๐ + 1)...๐ป)(๐
โ๐))))) |
127 | 6, 126 | syl 17 |
. . . . 5
โข (๐ โ โ โ (ยฌ
๐ โ {2} โ (๐ โ โ๐ โ (1...๐ป)(๐
โ๐) = (โ๐ โ (1...๐)(๐
โ๐) ยท โ๐ โ ((๐ + 1)...๐ป)(๐
โ๐))))) |
128 | 127 | imp 408 |
. . . 4
โข ((๐ โ โ โง ยฌ
๐ โ {2}) โ (๐ โ โ๐ โ (1...๐ป)(๐
โ๐) = (โ๐ โ (1...๐)(๐
โ๐) ยท โ๐ โ ((๐ + 1)...๐ป)(๐
โ๐)))) |
129 | 5, 128 | sylbi 216 |
. . 3
โข (๐ โ (โ โ {2})
โ (๐ โ โ๐ โ (1...๐ป)(๐
โ๐) = (โ๐ โ (1...๐)(๐
โ๐) ยท โ๐ โ ((๐ + 1)...๐ป)(๐
โ๐)))) |
130 | 1, 129 | mpcom 38 |
. 2
โข (๐ โ โ๐ โ (1...๐ป)(๐
โ๐) = (โ๐ โ (1...๐)(๐
โ๐) ยท โ๐ โ ((๐ + 1)...๐ป)(๐
โ๐))) |
131 | 4, 130 | eqtrd 2777 |
1
โข (๐ โ (!โ๐ป) = (โ๐ โ (1...๐)(๐
โ๐) ยท โ๐ โ ((๐ + 1)...๐ป)(๐
โ๐))) |