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Theorem gausslemma2dlem4 25314
Description: Lemma 4 for gausslemma2d 25319. (Contributed by AV, 16-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem4 (𝜑 → (!‘𝐻) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑘,𝐻   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   𝑥,𝑀,𝑘   𝑃,𝑘
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2dlem4
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2 gausslemma2d.h . . 3 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3 gausslemma2d.r . . 3 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
41, 2, 3gausslemma2dlem1 25311 . 2 (𝜑 → (!‘𝐻) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘))
5 eldif 3786 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 ∈ {2}))
6 prm23ge5 15740 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)))
7 eleq1 2880 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ {2} ↔ 2 ∈ {2}))
87notbid 309 . . . . . . . 8 (𝑃 = 2 → (¬ 𝑃 ∈ {2} ↔ ¬ 2 ∈ {2}))
9 2ex 11379 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ V
109snid 4409 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ {2}
11102a1i 12 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 2 → (∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) ≠ (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)) → 2 ∈ {2}))
1211necon1bd 3003 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 2 → (¬ 2 ∈ {2} → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘))))
1312a1dd 50 . . . . . . . 8 (𝑃 = 2 → (¬ 2 ∈ {2} → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))))
148, 13sylbid 231 . . . . . . 7 (𝑃 = 2 → (¬ 𝑃 ∈ {2} → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))))
15 gausslemma2d.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
16 3lt4 11476 . . . . . . . . . . . 12 3 < 4
17 breq1 4854 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = 3 → (𝑃 < 4 ↔ 3 < 4))
1816, 17mpbiri 249 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = 3 → 𝑃 < 4)
19 3nn0 11580 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℕ0
20 eleq1 2880 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 = 3 → (𝑃 ∈ ℕ0 ↔ 3 ∈ ℕ0))
2119, 20mpbiri 249 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = 3 → 𝑃 ∈ ℕ0)
22 4nn 11467 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℕ
23 divfl0 12852 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝑃 < 4 ↔ (⌊‘(𝑃 / 4)) = 0))
2421, 22, 23sylancl 576 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = 3 → (𝑃 < 4 ↔ (⌊‘(𝑃 / 4)) = 0))
2518, 24mpbid 223 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 3 → (⌊‘(𝑃 / 4)) = 0)
2615, 25syl5eq 2859 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 3 → 𝑀 = 0)
27 oveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = 0 → (1...𝑀) = (1...0))
2827adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → (1...𝑀) = (1...0))
29 fz10 12588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...0) = ∅
3028, 29syl6eq 2863 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → (1...𝑀) = ∅)
3130prodeq1d 14875 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) = ∏𝑘 ∈ ∅ (𝑅𝑘))
32 prod0 14897 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘 ∈ ∅ (𝑅𝑘) = 1
3331, 32syl6eq 2863 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) = 1)
34 oveq1 6884 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = 0 → (𝑀 + 1) = (0 + 1))
3534adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → (𝑀 + 1) = (0 + 1))
36 0p1e1 11417 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 1) = 1
3735, 36syl6eq 2863 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → (𝑀 + 1) = 1)
3837oveq1d 6892 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → ((𝑀 + 1)...𝐻) = (1...𝐻))
3938prodeq1d 14875 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘))
4033, 39oveq12d 6895 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)) = (1 · ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘)))
41 fzfid 12999 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → (1...𝐻) ∈ Fin)
423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2)))))
43 oveq1 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 · 2) = (𝑘 · 2))
4443breq1d 4861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
4543oveq2d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑘 → (𝑃 − (𝑥 · 2)) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
4644, 43, 45ifbieq12d 4313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑘 → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))))
4746adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) ∧ 𝑥 = 𝑘) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))))
48 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → 𝑘 ∈ (1...𝐻))
49 elfzelz 12568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...𝐻) → 𝑘 ∈ ℤ)
5049zcnd 11752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (1...𝐻) → 𝑘 ∈ ℂ)
51 2cnd 11380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (1...𝐻) → 2 ∈ ℂ)
5250, 51mulcld 10348 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (1...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℂ)
5352adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℂ)
54 eldifi 3938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
55 prmz 15610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
5655zcnd 11752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
571, 54, 563syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
5857adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → 𝑃 ∈ ℂ)
5958, 53subcld 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ ℂ)
6053, 59ifcld 4331 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))) ∈ ℂ)
6142, 47, 48, 60fvmptd 6512 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑅𝑘) = if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))))
6261, 60eqeltrd 2892 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑅𝑘) ∈ ℂ)
6362adantll 696 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑅𝑘) ∈ ℂ)
6441, 63fprodcl 14906 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) ∈ ℂ)
6564mulid2d 10346 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → (1 · ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘)) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘))
6640, 65eqtr2d 2848 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))
6766ex 399 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 0 → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘))))
6826, 67syl 17 . . . . . . . 8 (𝑃 = 3 → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘))))
6968a1d 25 . . . . . . 7 (𝑃 = 3 → (¬ 𝑃 ∈ {2} → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))))
701, 15gausslemma2dlem0d 25304 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
7170nn0red 11621 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
7271ltp1d 11242 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 < (𝑀 + 1))
73 fzdisj 12594 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 < (𝑀 + 1) → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝐻)) = ∅)
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝐻)) = ∅)
7574adantl 469 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘5) ∧ 𝜑) → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝐻)) = ∅)
76 eluzelre 11918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → 𝑃 ∈ ℝ)
77 4re 11384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 ∈ ℝ
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → 4 ∈ ℝ)
79 4ne0 11403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 ≠ 0
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → 4 ≠ 0)
8176, 78, 80redivcld 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → (𝑃 / 4) ∈ ℝ)
8281flcld 12826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
83 nnrp 12059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
8422, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4 ∈ ℝ+
85 eluz2 11913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) ↔ (5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑃))
86 4lt5 11479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4 < 5
87 5re 11386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5 ∈ ℝ
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 5 ∈ ℝ)
89 zre 11650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∈ ℝ)
9089adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℝ)
91 ltleletr 10418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((4 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((4 < 5 ∧ 5 ≤ 𝑃) → 4 ≤ 𝑃))
9277, 88, 90, 91mp3an2i 1583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((4 < 5 ∧ 5 ≤ 𝑃) → 4 ≤ 𝑃))
9386, 92mpani 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (5 ≤ 𝑃 → 4 ≤ 𝑃))
94933impia 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑃) → 4 ≤ 𝑃)
9585, 94sylbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → 4 ≤ 𝑃)
96 divge1 12115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((4 ∈ ℝ+𝑃 ∈ ℝ ∧ 4 ≤ 𝑃) → 1 ≤ (𝑃 / 4))
9784, 76, 95, 96mp3an2i 1583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → 1 ≤ (𝑃 / 4))
98 1zzd 11677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → 1 ∈ ℤ)
99 flge 12833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃 / 4) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 ≤ (𝑃 / 4) ↔ 1 ≤ (⌊‘(𝑃 / 4))))
10081, 98, 99syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → (1 ≤ (𝑃 / 4) ↔ 1 ≤ (⌊‘(𝑃 / 4))))
10197, 100mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → 1 ≤ (⌊‘(𝑃 / 4)))
102 elnnz1 11672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (⌊‘(𝑃 / 4))))
10382, 101, 102sylanbrc 574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ)
104103adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ)
105 oddprm 15735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
106105adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
107 prmuz2 15629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
10854, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
109108adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
110 fldiv4lem1div2uz2 12864 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
112104, 106, 1113jca 1151 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
113112ex 399 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
1141, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
115114impcom 396 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘5) ∧ 𝜑) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
1162oveq2i 6888 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...𝐻) = (1...((𝑃 − 1) / 2))
11715, 116eleq12i 2885 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (1...𝐻) ↔ (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
118 elfz1b 12635 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
119117, 118bitri 266 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (1...𝐻) ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
120115, 119sylibr 225 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℤ‘5) ∧ 𝜑) → 𝑀 ∈ (1...𝐻))
121 fzsplit 12593 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (1...𝐻) → (1...𝐻) = ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝐻)))
122120, 121syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘5) ∧ 𝜑) → (1...𝐻) = ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝐻)))
123 fzfid 12999 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘5) ∧ 𝜑) → (1...𝐻) ∈ Fin)
12462adantll 696 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℤ‘5) ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑅𝑘) ∈ ℂ)
12575, 122, 123, 124fprodsplit 14920 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘5) ∧ 𝜑) → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))
126125ex 399 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘))))
127126a1d 25 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → (¬ 𝑃 ∈ {2} → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))))
12814, 69, 1273jaoi 1545 . . . . . 6 ((𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)) → (¬ 𝑃 ∈ {2} → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))))
1296, 128syl 17 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 𝑃 ∈ {2} → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))))
130129imp 395 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 ∈ {2}) → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘))))
1315, 130sylbi 208 . . 3 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘))))
1321, 131mpcom 38 . 2 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))
1334, 132eqtrd 2847 1 (𝜑 → (!‘𝐻) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3o 1099  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2985  cdif 3773  cun 3774  cin 3775  c0 4123  ifcif 4286  {csn 4377   class class class wbr 4851  cmpt 4930  cfv 6104  (class class class)co 6877  cc 10222  cr 10223  0cc0 10224  1c1 10225   + caddc 10227   · cmul 10229   < clt 10362  cle 10363  cmin 10554   / cdiv 10972  cn 11308  2c2 11359  3c3 11360  4c4 11361  5c5 11362  0cn0 11562  cz 11646  cuz 11907  +crp 12049  ...cfz 12552  cfl 12818  !cfa 13283  cprod 14859  cprime 15606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-rep 4971  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-int 4677  df-iun 4721  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-se 5278  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-pred 5900  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-isom 6113  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10973  df-nn 11309  df-2 11367  df-3 11368  df-4 11369  df-5 11370  df-n0 11563  df-z 11647  df-uz 11908  df-rp 12050  df-ioo 12400  df-fz 12553  df-fzo 12693  df-fl 12820  df-seq 13028  df-exp 13087  df-fac 13284  df-hash 13341  df-cj 14065  df-re 14066  df-im 14067  df-sqrt 14201  df-abs 14202  df-clim 14445  df-prod 14860  df-dvds 15207  df-prm 15607
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem6  25317
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