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Theorem gausslemma2dlem4 26097
Description: Lemma 4 for gausslemma2d 26102. (Contributed by AV, 16-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem4 (𝜑 → (!‘𝐻) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑘,𝐻   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   𝑥,𝑀,𝑘   𝑃,𝑘
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2dlem4
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2 gausslemma2d.h . . 3 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3 gausslemma2d.r . . 3 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
41, 2, 3gausslemma2dlem1 26094 . 2 (𝜑 → (!‘𝐻) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘))
5 eldif 3851 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 ∈ {2}))
6 prm23ge5 16245 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)))
7 eleq1 2820 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ {2} ↔ 2 ∈ {2}))
87notbid 321 . . . . . . . 8 (𝑃 = 2 → (¬ 𝑃 ∈ {2} ↔ ¬ 2 ∈ {2}))
9 2ex 11786 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ V
109snid 4549 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ {2}
11102a1i 12 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 2 → (∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) ≠ (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)) → 2 ∈ {2}))
1211necon1bd 2952 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 2 → (¬ 2 ∈ {2} → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘))))
1312a1dd 50 . . . . . . . 8 (𝑃 = 2 → (¬ 2 ∈ {2} → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))))
148, 13sylbid 243 . . . . . . 7 (𝑃 = 2 → (¬ 𝑃 ∈ {2} → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))))
15 gausslemma2d.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
16 3lt4 11883 . . . . . . . . . . . 12 3 < 4
17 breq1 5030 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = 3 → (𝑃 < 4 ↔ 3 < 4))
1816, 17mpbiri 261 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = 3 → 𝑃 < 4)
19 3nn0 11987 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℕ0
20 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 = 3 → (𝑃 ∈ ℕ0 ↔ 3 ∈ ℕ0))
2119, 20mpbiri 261 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = 3 → 𝑃 ∈ ℕ0)
22 4nn 11792 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℕ
23 divfl0 13278 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝑃 < 4 ↔ (⌊‘(𝑃 / 4)) = 0))
2421, 22, 23sylancl 589 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = 3 → (𝑃 < 4 ↔ (⌊‘(𝑃 / 4)) = 0))
2518, 24mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 3 → (⌊‘(𝑃 / 4)) = 0)
2615, 25syl5eq 2785 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 3 → 𝑀 = 0)
27 oveq2 7172 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = 0 → (1...𝑀) = (1...0))
2827adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → (1...𝑀) = (1...0))
29 fz10 13012 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...0) = ∅
3028, 29eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → (1...𝑀) = ∅)
3130prodeq1d 15360 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) = ∏𝑘 ∈ ∅ (𝑅𝑘))
32 prod0 15382 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘 ∈ ∅ (𝑅𝑘) = 1
3331, 32eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) = 1)
34 oveq1 7171 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = 0 → (𝑀 + 1) = (0 + 1))
3534adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → (𝑀 + 1) = (0 + 1))
36 0p1e1 11831 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 1) = 1
3735, 36eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → (𝑀 + 1) = 1)
3837oveq1d 7179 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → ((𝑀 + 1)...𝐻) = (1...𝐻))
3938prodeq1d 15360 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘))
4033, 39oveq12d 7182 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)) = (1 · ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘)))
41 fzfid 13425 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → (1...𝐻) ∈ Fin)
42 oveq1 7171 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 · 2) = (𝑘 · 2))
4342breq1d 5037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
4442oveq2d 7180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑘 → (𝑃 − (𝑥 · 2)) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
4543, 42, 44ifbieq12d 4439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑘 → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))))
46 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → 𝑘 ∈ (1...𝐻))
47 elfzelz 12991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...𝐻) → 𝑘 ∈ ℤ)
4847zcnd 12162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (1...𝐻) → 𝑘 ∈ ℂ)
49 2cnd 11787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (1...𝐻) → 2 ∈ ℂ)
5048, 49mulcld 10732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (1...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℂ)
5150adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℂ)
52 eldifi 4015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
53 prmz 16109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
5453zcnd 12162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
551, 52, 543syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
5655adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → 𝑃 ∈ ℂ)
5756, 51subcld 11068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ ℂ)
5851, 57ifcld 4457 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))) ∈ ℂ)
593, 45, 46, 58fvmptd3 6792 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑅𝑘) = if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))))
6059, 58eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑅𝑘) ∈ ℂ)
6160adantll 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑅𝑘) ∈ ℂ)
6241, 61fprodcl 15391 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) ∈ ℂ)
6362mulid2d 10730 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → (1 · ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘)) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘))
6440, 63eqtr2d 2774 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))
6564ex 416 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 0 → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘))))
6626, 65syl 17 . . . . . . . 8 (𝑃 = 3 → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘))))
6766a1d 25 . . . . . . 7 (𝑃 = 3 → (¬ 𝑃 ∈ {2} → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))))
681, 15gausslemma2dlem0d 26087 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
6968nn0red 12030 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
7069ltp1d 11641 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 < (𝑀 + 1))
71 fzdisj 13018 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 < (𝑀 + 1) → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝐻)) = ∅)
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝐻)) = ∅)
7372adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘5) ∧ 𝜑) → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝐻)) = ∅)
74 eluzelre 12328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → 𝑃 ∈ ℝ)
75 4re 11793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 ∈ ℝ
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → 4 ∈ ℝ)
77 4ne0 11817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 ≠ 0
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → 4 ≠ 0)
7974, 76, 78redivcld 11539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → (𝑃 / 4) ∈ ℝ)
8079flcld 13252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
81 nnrp 12476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
8222, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4 ∈ ℝ+
83 eluz2 12323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) ↔ (5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑃))
84 4lt5 11886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4 < 5
85 5re 11796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5 ∈ ℝ
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 5 ∈ ℝ)
87 zre 12059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∈ ℝ)
8887adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℝ)
89 ltleletr 10804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((4 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((4 < 5 ∧ 5 ≤ 𝑃) → 4 ≤ 𝑃))
9075, 86, 88, 89mp3an2i 1467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((4 < 5 ∧ 5 ≤ 𝑃) → 4 ≤ 𝑃))
9184, 90mpani 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (5 ≤ 𝑃 → 4 ≤ 𝑃))
92913impia 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑃) → 4 ≤ 𝑃)
9383, 92sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → 4 ≤ 𝑃)
94 divge1 12533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((4 ∈ ℝ+𝑃 ∈ ℝ ∧ 4 ≤ 𝑃) → 1 ≤ (𝑃 / 4))
9582, 74, 93, 94mp3an2i 1467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → 1 ≤ (𝑃 / 4))
96 1zzd 12087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → 1 ∈ ℤ)
97 flge 13259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃 / 4) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 ≤ (𝑃 / 4) ↔ 1 ≤ (⌊‘(𝑃 / 4))))
9879, 96, 97syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → (1 ≤ (𝑃 / 4) ↔ 1 ≤ (⌊‘(𝑃 / 4))))
9995, 98mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → 1 ≤ (⌊‘(𝑃 / 4)))
100 elnnz1 12082 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (⌊‘(𝑃 / 4))))
10180, 99, 100sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ)
102101adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ)
103 oddprm 16240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
104103adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
105 prmuz2 16130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
10652, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
107106adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
108 fldiv4lem1div2uz2 13290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
110102, 104, 1093jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
111110ex 416 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
1121, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
113112impcom 411 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘5) ∧ 𝜑) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
1142oveq2i 7175 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...𝐻) = (1...((𝑃 − 1) / 2))
11515, 114eleq12i 2825 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (1...𝐻) ↔ (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
116 elfz1b 13060 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
117115, 116bitri 278 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (1...𝐻) ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
118113, 117sylibr 237 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℤ‘5) ∧ 𝜑) → 𝑀 ∈ (1...𝐻))
119 fzsplit 13017 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (1...𝐻) → (1...𝐻) = ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝐻)))
120118, 119syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘5) ∧ 𝜑) → (1...𝐻) = ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝐻)))
121 fzfid 13425 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘5) ∧ 𝜑) → (1...𝐻) ∈ Fin)
12260adantll 714 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℤ‘5) ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑅𝑘) ∈ ℂ)
12373, 120, 121, 122fprodsplit 15405 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘5) ∧ 𝜑) → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))
124123ex 416 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘))))
125124a1d 25 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → (¬ 𝑃 ∈ {2} → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))))
12614, 67, 1253jaoi 1428 . . . . . 6 ((𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)) → (¬ 𝑃 ∈ {2} → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))))
1276, 126syl 17 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 𝑃 ∈ {2} → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))))
128127imp 410 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 ∈ {2}) → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘))))
1295, 128sylbi 220 . . 3 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘))))
1301, 129mpcom 38 . 2 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))
1314, 130eqtrd 2773 1 (𝜑 → (!‘𝐻) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3o 1087  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113  wne 2934  cdif 3838  cun 3839  cin 3840  c0 4209  ifcif 4411  {csn 4513   class class class wbr 5027  cmpt 5107  cfv 6333  (class class class)co 7164  cc 10606  cr 10607  0cc0 10608  1c1 10609   + caddc 10611   · cmul 10613   < clt 10746  cle 10747  cmin 10941   / cdiv 11368  cn 11709  2c2 11764  3c3 11765  4c4 11766  5c5 11767  0cn0 11969  cz 12055  cuz 12317  +crp 12465  ...cfz 12974  cfl 13244  !cfa 13718  cprod 15344  cprime 16105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-inf2 9170  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-2o 8125  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-sup 8972  df-inf 8973  df-oi 9040  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-rp 12466  df-ioo 12818  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-fl 13246  df-seq 13454  df-exp 13515  df-fac 13719  df-hash 13776  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-clim 14928  df-prod 15345  df-dvds 15693  df-prm 16106
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem6  26100
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