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Theorem gausslemma2dlem4 25514
Description: Lemma 4 for gausslemma2d 25519. (Contributed by AV, 16-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem4 (𝜑 → (!‘𝐻) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑘,𝐻   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   𝑥,𝑀,𝑘   𝑃,𝑘
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2dlem4
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2 gausslemma2d.h . . 3 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3 gausslemma2d.r . . 3 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
41, 2, 3gausslemma2dlem1 25511 . 2 (𝜑 → (!‘𝐻) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘))
5 eldif 3808 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 ∈ {2}))
6 prm23ge5 15898 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)))
7 eleq1 2894 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ {2} ↔ 2 ∈ {2}))
87notbid 310 . . . . . . . 8 (𝑃 = 2 → (¬ 𝑃 ∈ {2} ↔ ¬ 2 ∈ {2}))
9 2ex 11435 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ V
109snid 4431 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ {2}
11102a1i 12 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 2 → (∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) ≠ (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)) → 2 ∈ {2}))
1211necon1bd 3017 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 2 → (¬ 2 ∈ {2} → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘))))
1312a1dd 50 . . . . . . . 8 (𝑃 = 2 → (¬ 2 ∈ {2} → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))))
148, 13sylbid 232 . . . . . . 7 (𝑃 = 2 → (¬ 𝑃 ∈ {2} → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))))
15 gausslemma2d.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
16 3lt4 11539 . . . . . . . . . . . 12 3 < 4
17 breq1 4878 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = 3 → (𝑃 < 4 ↔ 3 < 4))
1816, 17mpbiri 250 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = 3 → 𝑃 < 4)
19 3nn0 11645 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℕ0
20 eleq1 2894 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 = 3 → (𝑃 ∈ ℕ0 ↔ 3 ∈ ℕ0))
2119, 20mpbiri 250 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = 3 → 𝑃 ∈ ℕ0)
22 4nn 11442 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℕ
23 divfl0 12927 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝑃 < 4 ↔ (⌊‘(𝑃 / 4)) = 0))
2421, 22, 23sylancl 580 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = 3 → (𝑃 < 4 ↔ (⌊‘(𝑃 / 4)) = 0))
2518, 24mpbid 224 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 3 → (⌊‘(𝑃 / 4)) = 0)
2615, 25syl5eq 2873 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 3 → 𝑀 = 0)
27 oveq2 6918 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = 0 → (1...𝑀) = (1...0))
2827adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → (1...𝑀) = (1...0))
29 fz10 12662 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...0) = ∅
3028, 29syl6eq 2877 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → (1...𝑀) = ∅)
3130prodeq1d 15031 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) = ∏𝑘 ∈ ∅ (𝑅𝑘))
32 prod0 15053 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘 ∈ ∅ (𝑅𝑘) = 1
3331, 32syl6eq 2877 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) = 1)
34 oveq1 6917 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = 0 → (𝑀 + 1) = (0 + 1))
3534adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → (𝑀 + 1) = (0 + 1))
36 0p1e1 11487 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 1) = 1
3735, 36syl6eq 2877 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → (𝑀 + 1) = 1)
3837oveq1d 6925 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → ((𝑀 + 1)...𝐻) = (1...𝐻))
3938prodeq1d 15031 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘))
4033, 39oveq12d 6928 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)) = (1 · ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘)))
41 fzfid 13074 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → (1...𝐻) ∈ Fin)
42 oveq1 6917 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑘 → (𝑥 · 2) = (𝑘 · 2))
4342breq1d 4885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑘 · 2) < (𝑃 / 2)))
4442oveq2d 6926 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑘 → (𝑃 − (𝑥 · 2)) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
4543, 42, 44ifbieq12d 4335 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑘 → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))))
46 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → 𝑘 ∈ (1...𝐻))
47 elfzelz 12642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...𝐻) → 𝑘 ∈ ℤ)
4847zcnd 11818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (1...𝐻) → 𝑘 ∈ ℂ)
49 2cnd 11436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (1...𝐻) → 2 ∈ ℂ)
5048, 49mulcld 10384 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (1...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℂ)
5150adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℂ)
52 eldifi 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
53 prmz 15768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
5453zcnd 11818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
551, 52, 543syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
5655adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → 𝑃 ∈ ℂ)
5756, 51subcld 10720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ ℂ)
5851, 57ifcld 4353 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))) ∈ ℂ)
593, 45, 46, 58fvmptd3 6555 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑅𝑘) = if((𝑘 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑘 · 2), (𝑃 − (𝑘 · 2))))
6059, 58eqeltrd 2906 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑅𝑘) ∈ ℂ)
6160adantll 705 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑅𝑘) ∈ ℂ)
6241, 61fprodcl 15062 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) ∈ ℂ)
6362mulid2d 10382 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → (1 · ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘)) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘))
6440, 63eqtr2d 2862 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 = 0 ∧ 𝜑) → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))
6564ex 403 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 0 → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘))))
6626, 65syl 17 . . . . . . . 8 (𝑃 = 3 → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘))))
6766a1d 25 . . . . . . 7 (𝑃 = 3 → (¬ 𝑃 ∈ {2} → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))))
681, 15gausslemma2dlem0d 25504 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
6968nn0red 11686 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
7069ltp1d 11291 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 < (𝑀 + 1))
71 fzdisj 12668 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 < (𝑀 + 1) → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝐻)) = ∅)
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝐻)) = ∅)
7372adantl 475 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘5) ∧ 𝜑) → ((1...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝐻)) = ∅)
74 eluzelre 11986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → 𝑃 ∈ ℝ)
75 4re 11443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 ∈ ℝ
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → 4 ∈ ℝ)
77 4ne0 11473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 ≠ 0
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → 4 ≠ 0)
7974, 76, 78redivcld 11186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → (𝑃 / 4) ∈ ℝ)
8079flcld 12901 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
81 nnrp 12132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
8222, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4 ∈ ℝ+
83 eluz2 11981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) ↔ (5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑃))
84 4lt5 11542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4 < 5
85 5re 11447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5 ∈ ℝ
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 5 ∈ ℝ)
87 zre 11715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∈ ℝ)
8887adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℝ)
89 ltleletr 10456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((4 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((4 < 5 ∧ 5 ≤ 𝑃) → 4 ≤ 𝑃))
9075, 86, 88, 89mp3an2i 1594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((4 < 5 ∧ 5 ≤ 𝑃) → 4 ≤ 𝑃))
9184, 90mpani 687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (5 ≤ 𝑃 → 4 ≤ 𝑃))
92913impia 1149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((5 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 5 ≤ 𝑃) → 4 ≤ 𝑃)
9383, 92sylbi 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → 4 ≤ 𝑃)
94 divge1 12189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((4 ∈ ℝ+𝑃 ∈ ℝ ∧ 4 ≤ 𝑃) → 1 ≤ (𝑃 / 4))
9582, 74, 93, 94mp3an2i 1594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → 1 ≤ (𝑃 / 4))
96 1zzd 11743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → 1 ∈ ℤ)
97 flge 12908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃 / 4) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 ≤ (𝑃 / 4) ↔ 1 ≤ (⌊‘(𝑃 / 4))))
9879, 96, 97syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → (1 ≤ (𝑃 / 4) ↔ 1 ≤ (⌊‘(𝑃 / 4))))
9995, 98mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → 1 ≤ (⌊‘(𝑃 / 4)))
100 elnnz1 11738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (⌊‘(𝑃 / 4))))
10180, 99, 100sylanbrc 578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ)
102101adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ)
103 oddprm 15893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
104103adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
105 prmuz2 15787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
10652, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
107106adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
108 fldiv4lem1div2uz2 12939 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
110102, 104, 1093jca 1162 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
111110ex 403 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
1121, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
113112impcom 398 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘5) ∧ 𝜑) → ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
1142oveq2i 6921 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...𝐻) = (1...((𝑃 − 1) / 2))
11515, 114eleq12i 2899 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (1...𝐻) ↔ (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
116 elfz1b 12710 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
117115, 116bitri 267 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (1...𝐻) ↔ ((⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
118113, 117sylibr 226 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℤ‘5) ∧ 𝜑) → 𝑀 ∈ (1...𝐻))
119 fzsplit 12667 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (1...𝐻) → (1...𝐻) = ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝐻)))
120118, 119syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘5) ∧ 𝜑) → (1...𝐻) = ((1...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝐻)))
121 fzfid 13074 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘5) ∧ 𝜑) → (1...𝐻) ∈ Fin)
12260adantll 705 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℤ‘5) ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐻)) → (𝑅𝑘) ∈ ℂ)
12373, 120, 121, 122fprodsplit 15076 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘5) ∧ 𝜑) → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))
124123ex 403 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘))))
125124a1d 25 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘5) → (¬ 𝑃 ∈ {2} → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))))
12614, 67, 1253jaoi 1556 . . . . . 6 ((𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3 ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘5)) → (¬ 𝑃 ∈ {2} → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))))
1276, 126syl 17 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 𝑃 ∈ {2} → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))))
128127imp 397 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑃 ∈ {2}) → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘))))
1295, 128sylbi 209 . . 3 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘))))
1301, 129mpcom 38 . 2 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐻)(𝑅𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))
1314, 130eqtrd 2861 1 (𝜑 → (!‘𝐻) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑀)(𝑅𝑘) · ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  w3o 1110  w3a 1111   = wceq 1656  wcel 2164  wne 2999  cdif 3795  cun 3796  cin 3797  c0 4146  ifcif 4308  {csn 4399   class class class wbr 4875  cmpt 4954  cfv 6127  (class class class)co 6910  cc 10257  cr 10258  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262   · cmul 10264   < clt 10398  cle 10399  cmin 10592   / cdiv 11016  cn 11357  2c2 11413  3c3 11414  4c4 11415  5c5 11416  0cn0 11625  cz 11711  cuz 11975  +crp 12119  ...cfz 12626  cfl 12893  !cfa 13360  cprod 15015  cprime 15764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-sup 8623  df-inf 8624  df-oi 8691  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-rp 12120  df-ioo 12474  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-fl 12895  df-seq 13103  df-exp 13162  df-fac 13361  df-hash 13418  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-clim 14603  df-prod 15016  df-dvds 15365  df-prm 15765
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem6  25517
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