Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  risefacp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem risefacp1 15377
 Description: The value of the rising factorial at a successor. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
risefacp1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac (𝑁 + 1)) = ((𝐴 RiseFac 𝑁) · (𝐴 + 𝑁)))

Proof of Theorem risefacp1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0cn 11901 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
21adantl 484 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
3 1cnd 10630 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
42, 3pncand 10992 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
54oveq2d 7166 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0...((𝑁 + 1) − 1)) = (0...𝑁))
65prodeq1d 15269 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐴 + 𝑘) = ∏𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 + 𝑘))
7 elnn0uz 12277 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
87biimpi 218 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
98adantl 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
10 elfznn0 12994 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
1110nn0cnd 11951 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
12 addcl 10613 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝑘) ∈ ℂ)
1311, 12sylan2 594 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 + 𝑘) ∈ ℂ)
1413adantlr 713 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 + 𝑘) ∈ ℂ)
15 oveq2 7158 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 + 𝑘) = (𝐴 + 𝑁))
169, 14, 15fprodm1 15315 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 + 𝑘) = (∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 + 𝑘) · (𝐴 + 𝑁)))
176, 16eqtrd 2856 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐴 + 𝑘) = (∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 + 𝑘) · (𝐴 + 𝑁)))
18 peano2nn0 11931 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
19 risefacval 15356 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac (𝑁 + 1)) = ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐴 + 𝑘))
2018, 19sylan2 594 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac (𝑁 + 1)) = ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐴 + 𝑘))
21 risefacval 15356 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 + 𝑘))
2221oveq1d 7165 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 RiseFac 𝑁) · (𝐴 + 𝑁)) = (∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 + 𝑘) · (𝐴 + 𝑁)))
2317, 20, 223eqtr4d 2866 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac (𝑁 + 1)) = ((𝐴 RiseFac 𝑁) · (𝐴 + 𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536   − cmin 10864  ℕ0cn0 11891  ℤ≥cuz 12237  ...cfz 12886  ∏cprod 15253   RiseFac crisefac 15353 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-prod 15254  df-risefac 15354 This theorem is referenced by:  risefacp1d  15379  risefac1  15381
 Copyright terms: Public domain W3C validator