Theorem risefacp1 16031

Description: The value of the rising factorial at a successor. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
risefacp1	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac (𝑁 + 1)) = ((𝐴 RiseFac 𝑁) · (𝐴 + 𝑁)))

Proof of Theorem risefacp1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 12477	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
3		1cnd 11161	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
4	2, 3	pncand 11529	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
5	4	oveq2d 7397	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0...((𝑁 + 1) − 1)) = (0...𝑁))
6	5	prodeq1d 15922	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐴 + 𝑘) = ∏𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 + 𝑘))
7		elnn0uz 12866	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
8	7	bilani 507	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
9		elfznn0 13611	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10	9	nn0cnd 12530	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
11		addcl 11141	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝑘) ∈ ℂ)
12	10, 11	sylan2 601	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 + 𝑘) ∈ ℂ)
13	12	adantlr 723	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 + 𝑘) ∈ ℂ)
14		oveq2 7389	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 + 𝑘) = (𝐴 + 𝑁))
15	8, 13, 14	fprodm1 15969	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 + 𝑘) = (∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 + 𝑘) · (𝐴 + 𝑁)))
16	6, 15	eqtrd 2787	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐴 + 𝑘) = (∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 + 𝑘) · (𝐴 + 𝑁)))
17		peano2nn0 12507	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
18		risefacval 16010	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac (𝑁 + 1)) = ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐴 + 𝑘))
19	17, 18	sylan2 601	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac (𝑁 + 1)) = ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐴 + 𝑘))
20		risefacval 16010	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 + 𝑘))
21	20	oveq1d 7396	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 RiseFac 𝑁) · (𝐴 + 𝑁)) = (∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 + 𝑘) · (𝐴 + 𝑁)))
22	16, 19, 21	3eqtr4d 2797	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac (𝑁 + 1)) = ((𝐴 RiseFac 𝑁) · (𝐴 + 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  ℂcc 11057  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   · cmul 11064   − cmin 11400  ℕ₀cn0 12467  ℤ_≥cuz 12825  ...cfz 13498  ∏cprod 15905   RiseFac crisefac 16007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-inf2 9582  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-isom 6515  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-sup 9374  df-oi 9444  df-card 9883  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-div 11831  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-n0 12468  df-z 12555  df-uz 12826  df-rp 12980  df-fz 13499  df-fzo 13646  df-seq 14001  df-exp 14061  df-hash 14330  df-cj 15098  df-re 15099  df-im 15100  df-sqrt 15234  df-abs 15235  df-clim 15487  df-prod 15906  df-risefac 16008

This theorem is referenced by:  risefacp1d  16033  risefac1  16035