![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > risefacp1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The value of the rising factorial at a successor. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.) |
Ref | Expression |
---|---|
risefacp1 | โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ0) โ (๐ด RiseFac (๐ + 1)) = ((๐ด RiseFac ๐) ยท (๐ด + ๐))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | nn0cn 12512 | . . . . . . 7 โข (๐ โ โ0 โ ๐ โ โ) | |
2 | 1 | adantl 480 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ0) โ ๐ โ โ) |
3 | 1cnd 11239 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ0) โ 1 โ โ) | |
4 | 2, 3 | pncand 11602 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ0) โ ((๐ + 1) โ 1) = ๐) |
5 | 4 | oveq2d 7432 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ0) โ (0...((๐ + 1) โ 1)) = (0...๐)) |
6 | 5 | prodeq1d 15897 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ0) โ โ๐ โ (0...((๐ + 1) โ 1))(๐ด + ๐) = โ๐ โ (0...๐)(๐ด + ๐)) |
7 | elnn0uz 12897 | . . . . . 6 โข (๐ โ โ0 โ ๐ โ (โคโฅโ0)) | |
8 | 7 | biimpi 215 | . . . . 5 โข (๐ โ โ0 โ ๐ โ (โคโฅโ0)) |
9 | 8 | adantl 480 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ0) โ ๐ โ (โคโฅโ0)) |
10 | elfznn0 13626 | . . . . . . 7 โข (๐ โ (0...๐) โ ๐ โ โ0) | |
11 | 10 | nn0cnd 12564 | . . . . . 6 โข (๐ โ (0...๐) โ ๐ โ โ) |
12 | addcl 11220 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ด + ๐) โ โ) | |
13 | 11, 12 | sylan2 591 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ (0...๐)) โ (๐ด + ๐) โ โ) |
14 | 13 | adantlr 713 | . . . 4 โข (((๐ด โ โ โง ๐ โ โ0) โง ๐ โ (0...๐)) โ (๐ด + ๐) โ โ) |
15 | oveq2 7424 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ (๐ด + ๐) = (๐ด + ๐)) | |
16 | 9, 14, 15 | fprodm1 15943 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ0) โ โ๐ โ (0...๐)(๐ด + ๐) = (โ๐ โ (0...(๐ โ 1))(๐ด + ๐) ยท (๐ด + ๐))) |
17 | 6, 16 | eqtrd 2765 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ0) โ โ๐ โ (0...((๐ + 1) โ 1))(๐ด + ๐) = (โ๐ โ (0...(๐ โ 1))(๐ด + ๐) ยท (๐ด + ๐))) |
18 | peano2nn0 12542 | . . 3 โข (๐ โ โ0 โ (๐ + 1) โ โ0) | |
19 | risefacval 15984 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง (๐ + 1) โ โ0) โ (๐ด RiseFac (๐ + 1)) = โ๐ โ (0...((๐ + 1) โ 1))(๐ด + ๐)) | |
20 | 18, 19 | sylan2 591 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ0) โ (๐ด RiseFac (๐ + 1)) = โ๐ โ (0...((๐ + 1) โ 1))(๐ด + ๐)) |
21 | risefacval 15984 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ0) โ (๐ด RiseFac ๐) = โ๐ โ (0...(๐ โ 1))(๐ด + ๐)) | |
22 | 21 | oveq1d 7431 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ0) โ ((๐ด RiseFac ๐) ยท (๐ด + ๐)) = (โ๐ โ (0...(๐ โ 1))(๐ด + ๐) ยท (๐ด + ๐))) |
23 | 17, 20, 22 | 3eqtr4d 2775 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ โ โ0) โ (๐ด RiseFac (๐ + 1)) = ((๐ด RiseFac ๐) ยท (๐ด + ๐))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 394 = wceq 1533 โ wcel 2098 โcfv 6543 (class class class)co 7416 โcc 11136 0cc0 11138 1c1 11139 + caddc 11141 ยท cmul 11143 โ cmin 11474 โ0cn0 12502 โคโฅcuz 12852 ...cfz 13516 โcprod 15881 RiseFac crisefac 15981 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-rep 5280 ax-sep 5294 ax-nul 5301 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7738 ax-inf2 9664 ax-cnex 11194 ax-resscn 11195 ax-1cn 11196 ax-icn 11197 ax-addcl 11198 ax-addrcl 11199 ax-mulcl 11200 ax-mulrcl 11201 ax-mulcom 11202 ax-addass 11203 ax-mulass 11204 ax-distr 11205 ax-i2m1 11206 ax-1ne0 11207 ax-1rid 11208 ax-rnegex 11209 ax-rrecex 11210 ax-cnre 11211 ax-pre-lttri 11212 ax-pre-lttrn 11213 ax-pre-ltadd 11214 ax-pre-mulgt0 11215 ax-pre-sup 11216 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3769 df-csb 3885 df-dif 3942 df-un 3944 df-in 3946 df-ss 3956 df-pss 3959 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-int 4945 df-iun 4993 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5227 df-tr 5261 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-se 5628 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7372 df-ov 7419 df-oprab 7420 df-mpo 7421 df-om 7869 df-1st 7991 df-2nd 7992 df-frecs 8285 df-wrecs 8316 df-recs 8390 df-rdg 8429 df-1o 8485 df-er 8723 df-en 8963 df-dom 8964 df-sdom 8965 df-fin 8966 df-sup 9465 df-oi 9533 df-card 9962 df-pnf 11280 df-mnf 11281 df-xr 11282 df-ltxr 11283 df-le 11284 df-sub 11476 df-neg 11477 df-div 11902 df-nn 12243 df-2 12305 df-3 12306 df-n0 12503 df-z 12589 df-uz 12853 df-rp 13007 df-fz 13517 df-fzo 13660 df-seq 13999 df-exp 14059 df-hash 14322 df-cj 15078 df-re 15079 df-im 15080 df-sqrt 15214 df-abs 15215 df-clim 15464 df-prod 15882 df-risefac 15982 |
This theorem is referenced by: risefacp1d 16007 risefac1 16009 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |