Theorem risefacp1 15972

Description: The value of the rising factorial at a successor. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
risefacp1	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac (𝑁 + 1)) = ((𝐴 RiseFac 𝑁) · (𝐴 + 𝑁)))

Proof of Theorem risefacp1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0cn 12430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
3		1cnd 11147	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
4	2, 3	pncand 11512	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
5	4	oveq2d 7385	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0...((𝑁 + 1) − 1)) = (0...𝑁))
6	5	prodeq1d 15863	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐴 + 𝑘) = ∏𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 + 𝑘))
7		elnn0uz 12816	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
8	7	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
10		elfznn0 13559	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
11	10	nn0cnd 12483	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
12		addcl 11128	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝑘) ∈ ℂ)
13	11, 12	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 + 𝑘) ∈ ℂ)
14	13	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 + 𝑘) ∈ ℂ)
15		oveq2 7377	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 + 𝑘) = (𝐴 + 𝑁))
16	9, 14, 15	fprodm1 15910	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 + 𝑘) = (∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 + 𝑘) · (𝐴 + 𝑁)))
17	6, 16	eqtrd 2764	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐴 + 𝑘) = (∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 + 𝑘) · (𝐴 + 𝑁)))
18		peano2nn0 12460	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
19		risefacval 15951	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac (𝑁 + 1)) = ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐴 + 𝑘))
20	18, 19	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac (𝑁 + 1)) = ∏𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐴 + 𝑘))
21		risefacval 15951	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 + 𝑘))
22	21	oveq1d 7384	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 RiseFac 𝑁) · (𝐴 + 𝑁)) = (∏𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴 + 𝑘) · (𝐴 + 𝑁)))
23	17, 20, 22	3eqtr4d 2774	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 RiseFac (𝑁 + 1)) = ((𝐴 RiseFac 𝑁) · (𝐴 + 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11044  0cc0 11046  1c1 11047   + caddc 11049   · cmul 11051   − cmin 11383  ℕ₀cn0 12420  ℤ_≥cuz 12771  ...cfz 13446  ∏cprod 15846   RiseFac crisefac 15948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9572  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123  ax-pre-sup 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9870  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-div 11814  df-nn 12165  df-2 12227  df-3 12228  df-n0 12421  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12930  df-fz 13447  df-fzo 13594  df-seq 13945  df-exp 14005  df-hash 14274  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15431  df-prod 15847  df-risefac 15949

This theorem is referenced by:  risefacp1d  15974  risefac1  15976