Theorem prodss 16027

Description: Change the index set to a subset in an upper integer product. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodss.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
prodss.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
prodss.3	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1))) ⇝ 𝑦))
prodss.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 1)
prodss.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
prodss	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛,𝑦   𝐵,𝑘,𝑛,𝑦   𝐶,𝑛,𝑦   𝑘,𝑛,𝜑,𝑦   𝑛,𝑀,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦   𝑘,𝑀

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem prodss

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		prodss.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1))) ⇝ 𝑦))
4	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1))) ⇝ 𝑦))
5		prodss.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
6		prodss.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
7	5, 6	sstrd 3950	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
8	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
9		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10		iftrue 4498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐵 → if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
11	10	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
12		prodss.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
13	12	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ ℂ))
14	13	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ ℂ))
15		eldif 3918	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↔ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴))
16		prodss.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 1)
17		ax-1cn 11176	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℂ
18	16, 17	eqeltrdi 2874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℂ)
19	15, 18	sylan2br 607	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℂ)
20	19	expr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ ℂ))
21	14, 20	pm2.61d 181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
22	21	ralrimiva 3160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
23		nfcsb1v 3880	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶
24	23	nfel1 2944	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ
25		csbeq1a 3870	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐶 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
26	25	eleq1d 2851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ))
27	24, 26	rspc 3572	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐵 → (∀𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ))
28	22, 27	mpan9 516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
29	11, 28	eqeltrd 2866	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1) ∈ ℂ)
30		iffalse 4501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑚 ∈ 𝐵 → if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1) = 1)
31	30, 17	eqeltrdi 2874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑚 ∈ 𝐵 → if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1) ∈ ℂ)
32	31	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐵) → if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1) ∈ ℂ)
33	29, 32	pm2.61dan 825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1) ∈ ℂ)
34	33	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1) ∈ ℂ)
35	34	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1) ∈ ℂ)
36		nfcv 2928	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑚
37		nfv 1947	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑚 ∈ 𝐵
38		nfcv 2928	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘1
39	37, 23, 38	nfif 4523	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1)
40		eleq1w 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↔ 𝑚 ∈ 𝐵))
41	40, 25	ifbieq1d 4517	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1))
42		eqid 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1))
43	36, 39, 41, 42	fvmptf 7018	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1))
44	9, 35, 43	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1))
45		iftrue 4498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐴 → if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚))
46	45	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚))
47		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ 𝐴)
48	5	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
49	48	sselda 3940	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ 𝐵)
50	28	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
51	49, 50	syldan 603	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
52		eqid 2766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
53	52	fvmpts 7000	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
54	47, 51, 53	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
55	46, 54	eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
56	55	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ 𝐴 → if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶))
57	56	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → (𝑚 ∈ 𝐴 → if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶))
58		iffalse 4501	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑚 ∈ 𝐴 → if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = 1)
59	58	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = 1)
60	59	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴)) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = 1)
61		eldif 3918	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↔ (𝑚 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴))
62	16	ralrimiva 3160	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)𝐶 = 1)
63	62	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)𝐶 = 1)
64	23	nfeq1 2943	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 = 1
65	25	eqeq1d 2768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐶 = 1 ↔ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 = 1))
66	64, 65	rspc 3572	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) → (∀𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)𝐶 = 1 → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 = 1))
67	63, 66	mpan9 516	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 = 1)
68	61, 67	sylan2br 607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴)) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 = 1)
69	60, 68	eqtr4d 2804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴)) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
70	69	expr 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑚 ∈ 𝐴 → if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶))
71	57, 70	pm2.61d 181	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
72	10	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
73	71, 72	eqtr4d 2804	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1))
74	48	ssneld 3942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (¬ 𝑚 ∈ 𝐵 → ¬ 𝑚 ∈ 𝐴))
75	74	imp 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑚 ∈ 𝐴)
76	75, 58	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐵) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = 1)
77	30	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐵) → if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1) = 1)
78	76, 77	eqtr4d 2804	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐵) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1))
79	73, 78	pm2.61dan 825	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1))
80	79	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1))
81	44, 80	eqtr4d 2804	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1))
82	12	fmpttd 7117	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶ℂ)
83	82	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶ℂ)
84	83	ffvelcdmda 7086	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚) ∈ ℂ)
85	1, 2, 4, 8, 81, 84	zprod 16017	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( · , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)))))
86	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
87	43	ancoms 464	. . . . . . 7 ⊢ ((if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1))
88	34, 87	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1))
89		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → 𝑚 ∈ 𝐵)
90		eqid 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
91	90	fvmpts 7000	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝐵 ∧ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
92	89, 50, 91	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
93	92	ifeq1d 4512	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → if(𝑚 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1))
94	93	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → if(𝑚 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1))
95		iffalse 4501	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑚 ∈ 𝐵 → if(𝑚 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = 1)
96	95, 30	eqtr4d 2804	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑚 ∈ 𝐵 → if(𝑚 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1))
97	96	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐵) → if(𝑚 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1))
98	94, 97	pm2.61dan 825	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑚 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1))
99	88, 98	eqtr4d 2804	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1))
100	21	fmpttd 7117	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶ℂ)
101	100	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶ℂ)
102	101	ffvelcdmda 7086	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) ∈ ℂ)
103	1, 2, 4, 86, 99, 102	zprod 16017	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑚 ∈ 𝐵 ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( · , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)))))
104	85, 103	eqtr4d 2804	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ∏𝑚 ∈ 𝐵 ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚))
105		prodfc 16025	. . 3 ⊢ ∏𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶
106		prodfc 16025	. . 3 ⊢ ∏𝑚 ∈ 𝐵 ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶
107	104, 105, 106	3eqtr3g 2824	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
108	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
109	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
110		uzf 12883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
111	110	fdmi 6724	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
112	111	eleq2i 2858	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ dom ℤ≥ ↔ 𝑀 ∈ ℤ)
113		ndmfv 6920	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
114	112, 113	sylnbir 334	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
115	114	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
116	109, 115	sseqtrd 3976	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ⊆ ∅)
117	108, 116	sstrd 3950	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ ∅)
118		ss0 4362	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
119	117, 118	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 = ∅)
120		ss0 4362	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ ∅ → 𝐵 = ∅)
121	116, 120	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 = ∅)
122	119, 121	eqtr4d 2804	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 = 𝐵)
123	122	prodeq1d 16000	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
124	107, 123	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∀wral 3082  ∃wrex 3092  ⦋csb 3856   ∖ cdif 3905   ⊆ wss 3908  ∅c0 4289  ifcif 4492  𝒫 cpw 4567   class class class wbr 5114   ↦ cmpt 5197  dom cdm 5666  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  ℂcc 11116  0cc0 11118  1c1 11119   · cmul 11123  ℤcz 12609  ℤ_≥cuz 12880  seqcseq 14057   ⇝ cli 15561  ∏cprod 15983

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-prod 15984

This theorem is used by:  fprodss  16028