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Theorem prodss 15138
Description: Change the index set to a subset in an upper integer product. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodss.1 (𝜑𝐴𝐵)
prodss.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
prodss.3 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))) ⇝ 𝑦))
prodss.4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 1)
prodss.5 (𝜑𝐵 ⊆ (ℤ𝑀))
Assertion
Ref Expression
prodss (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐶 = ∏𝑘𝐵 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛,𝑦   𝐵,𝑘,𝑛,𝑦   𝐶,𝑛,𝑦   𝑘,𝑛,𝜑,𝑦   𝑛,𝑀,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦   𝑘,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem prodss
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2797 . . . . 5 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 prodss.3 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))) ⇝ 𝑦))
43adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))) ⇝ 𝑦))
5 prodss.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
6 prodss.5 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ⊆ (ℤ𝑀))
75, 6sstrd 3905 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
87adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
9 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
10 iftrue 4393 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚𝐵 → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
1110adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚𝐵) → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
12 prodss.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
1312ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶 ∈ ℂ))
1413adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑘𝐴𝐶 ∈ ℂ))
15 eldif 3875 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↔ (𝑘𝐵 ∧ ¬ 𝑘𝐴))
16 prodss.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 1)
17 ax-1cn 10448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℂ
1816, 17syl6eqel 2893 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 ∈ ℂ)
1915, 18sylan2br 594 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐵 ∧ ¬ 𝑘𝐴)) → 𝐶 ∈ ℂ)
2019expr 457 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐵) → (¬ 𝑘𝐴𝐶 ∈ ℂ))
2114, 20pm2.61d 180 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
2221ralrimiva 3151 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
23 nfcsb1v 3839 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘𝑚 / 𝑘𝐶
2423nfel1 2965 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ
25 csbeq1a 3830 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑚𝐶 = 𝑚 / 𝑘𝐶)
2625eleq1d 2869 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑚 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
2724, 26rspc 3555 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚𝐵 → (∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
2822, 27mpan9 507 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚𝐵) → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
2911, 28eqeltrd 2885 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚𝐵) → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) ∈ ℂ)
30 iffalse 4396 . . . . . . . . . . . 12 𝑚𝐵 → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) = 1)
3130, 17syl6eqel 2893 . . . . . . . . . . 11 𝑚𝐵 → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) ∈ ℂ)
3231adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) ∈ ℂ)
3329, 32pm2.61dan 809 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) ∈ ℂ)
3433adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) ∈ ℂ)
3534adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) ∈ ℂ)
36 nfcv 2951 . . . . . . . 8 𝑘𝑚
37 nfv 1896 . . . . . . . . 9 𝑘 𝑚𝐵
38 nfcv 2951 . . . . . . . . 9 𝑘1
3937, 23, 38nfif 4416 . . . . . . . 8 𝑘if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1)
40 eleq1w 2867 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝐵𝑚𝐵))
4140, 25ifbieq1d 4410 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
42 eqid 2797 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)) = (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))
4336, 39, 41, 42fvmptf 6662 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ∧ if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
449, 35, 43syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
45 iftrue 4393 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚𝐴 → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚))
4645adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚))
47 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚𝐴)
485adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴𝐵)
4948sselda 3895 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚𝐵)
5028adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐵) → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
5149, 50syldan 591 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
52 eqid 2797 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘𝐴𝐶) = (𝑘𝐴𝐶)
5352fvmpts 6645 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚𝐴𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
5447, 51, 53syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
5546, 54eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
5655ex 413 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → (𝑚𝐴 → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶))
5756adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐵) → (𝑚𝐴 → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶))
58 iffalse 4396 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑚𝐴 → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 1)
5958adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚𝐵 ∧ ¬ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 1)
6059adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐵 ∧ ¬ 𝑚𝐴)) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 1)
61 eldif 3875 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (𝐵𝐴) ↔ (𝑚𝐵 ∧ ¬ 𝑚𝐴))
6216ralrimiva 3151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶 = 1)
6362adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶 = 1)
6423nfeq1 2964 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝑚 / 𝑘𝐶 = 1
6525eqeq1d 2799 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑚 → (𝐶 = 1 ↔ 𝑚 / 𝑘𝐶 = 1))
6664, 65rspc 3555 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (𝐵𝐴) → (∀𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶 = 1 → 𝑚 / 𝑘𝐶 = 1))
6763, 66mpan9 507 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝑚 / 𝑘𝐶 = 1)
6861, 67sylan2br 594 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐵 ∧ ¬ 𝑚𝐴)) → 𝑚 / 𝑘𝐶 = 1)
6960, 68eqtr4d 2836 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐵 ∧ ¬ 𝑚𝐴)) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
7069expr 457 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐵) → (¬ 𝑚𝐴 → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶))
7157, 70pm2.61d 180 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
7210adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
7371, 72eqtr4d 2836 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
7448ssneld 3897 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → (¬ 𝑚𝐵 → ¬ 𝑚𝐴))
7574imp 407 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑚𝐵) → ¬ 𝑚𝐴)
7675, 58syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 1)
7730adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) = 1)
7876, 77eqtr4d 2836 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
7973, 78pm2.61dan 809 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
8079adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
8144, 80eqtr4d 2836 . . . . 5 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))‘𝑚) = if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1))
8212fmpttd 6749 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶):𝐴⟶ℂ)
8382adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → (𝑘𝐴𝐶):𝐴⟶ℂ)
8483ffvelrnda 6723 . . . . 5 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) ∈ ℂ)
851, 2, 4, 8, 81, 84zprod 15128 . . . 4 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( · , (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)))))
866adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀))
8743ancoms 459 . . . . . . 7 ((if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
8834, 87sylan 580 . . . . . 6 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
89 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐵) → 𝑚𝐵)
90 eqid 2797 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐵𝐶) = (𝑘𝐵𝐶)
9190fvmpts 6645 . . . . . . . . . 10 ((𝑚𝐵𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
9289, 50, 91syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐵) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
9392ifeq1d 4405 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
9493adantlr 711 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
95 iffalse 4396 . . . . . . . . 9 𝑚𝐵 → if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 1) = 1)
9695, 30eqtr4d 2836 . . . . . . . 8 𝑚𝐵 → if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
9796adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
9894, 97pm2.61dan 809 . . . . . 6 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
9988, 98eqtr4d 2836 . . . . 5 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 1))
10021fmpttd 6749 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝐵𝐶):𝐵⟶ℂ)
101100adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → (𝑘𝐵𝐶):𝐵⟶ℂ)
102101ffvelrnda 6723 . . . . 5 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐵) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) ∈ ℂ)
1031, 2, 4, 86, 99, 102zprod 15128 . . . 4 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑚𝐵 ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( · , (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)))))
10485, 103eqtr4d 2836 . . 3 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = ∏𝑚𝐵 ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚))
105 prodfc 15136 . . 3 𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = ∏𝑘𝐴 𝐶
106 prodfc 15136 . . 3 𝑚𝐵 ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = ∏𝑘𝐵 𝐶
107104, 105, 1063eqtr3g 2856 . 2 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑘𝐴 𝐶 = ∏𝑘𝐵 𝐶)
1085adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴𝐵)
1096adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀))
110 uzf 12100 . . . . . . . . . . 11 :ℤ⟶𝒫 ℤ
111110fdmi 6399 . . . . . . . . . 10 dom ℤ = ℤ
112111eleq2i 2876 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ dom ℤ𝑀 ∈ ℤ)
113 ndmfv 6575 . . . . . . . . 9 𝑀 ∈ dom ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
114112, 113sylnbir 332 . . . . . . . 8 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
115114adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → (ℤ𝑀) = ∅)
116109, 115sseqtrd 3934 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ⊆ ∅)
117108, 116sstrd 3905 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ ∅)
118 ss0 4278 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
119117, 118syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 = ∅)
120 ss0 4278 . . . . 5 (𝐵 ⊆ ∅ → 𝐵 = ∅)
121116, 120syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 = ∅)
122119, 121eqtr4d 2836 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 = 𝐵)
123122prodeq1d 15112 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑘𝐴 𝐶 = ∏𝑘𝐵 𝐶)
124107, 123pm2.61dan 809 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐶 = ∏𝑘𝐵 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1525  wex 1765  wcel 2083  wne 2986  wral 3107  wrex 3108  csb 3817  cdif 3862  wss 3865  c0 4217  ifcif 4387  𝒫 cpw 4459   class class class wbr 4968  cmpt 5047  dom cdm 5450  wf 6228  cfv 6232  cc 10388  0cc0 10390  1c1 10391   · cmul 10395  cz 11835  cuz 12097  seqcseq 13223  cli 14679  cprod 15096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-inf2 8957  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-fal 1538  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-oi 8827  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-rp 12244  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-seq 13224  df-exp 13284  df-hash 13545  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-clim 14683  df-prod 15097
This theorem is referenced by:  fprodss  15139
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