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Theorem prodss 15931
Description: Change the index set to a subset in an upper integer product. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodss.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
prodss.2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
prodss.3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)βˆƒπ‘¦(𝑦 β‰  0 ∧ seq𝑛( Β· , (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))) ⇝ 𝑦))
prodss.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 = 1)
prodss.5 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
prodss (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 = βˆπ‘˜ ∈ 𝐡 𝐢)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜,𝑛,𝑦   𝐡,π‘˜,𝑛,𝑦   𝐢,𝑛,𝑦   π‘˜,𝑛,πœ‘,𝑦   𝑛,𝑀,𝑦   πœ‘,𝑛,𝑦   π‘˜,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐢(π‘˜)

Proof of Theorem prodss
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . 5 (β„€β‰₯β€˜π‘€) = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 simpr 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 prodss.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)βˆƒπ‘¦(𝑦 β‰  0 ∧ seq𝑛( Β· , (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))) ⇝ 𝑦))
43adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)βˆƒπ‘¦(𝑦 β‰  0 ∧ seq𝑛( Β· , (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))) ⇝ 𝑦))
5 prodss.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
6 prodss.5 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
75, 6sstrd 3992 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
87adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
9 simpr 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
10 iftrue 4538 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ 𝐡 β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
1110adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
12 prodss.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
1312ex 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ 𝐢 ∈ β„‚))
1413adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ 𝐢 ∈ β„‚))
15 eldif 3959 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴))
16 prodss.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 = 1)
17 ax-1cn 11204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ β„‚
1816, 17eqeltrdi 2837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
1915, 18sylan2br 593 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
2019expr 455 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ 𝐢 ∈ β„‚))
2114, 20pm2.61d 179 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
2221ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 ∈ β„‚)
23 nfcsb1v 3919 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ
2423nfel1 2916 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚
25 csbeq1a 3908 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = π‘š β†’ 𝐢 = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
2625eleq1d 2814 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = π‘š β†’ (𝐢 ∈ β„‚ ↔ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚))
2724, 26rspc 3599 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ 𝐡 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 ∈ β„‚ β†’ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚))
2822, 27mpan9 505 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
2911, 28eqeltrd 2829 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) ∈ β„‚)
30 iffalse 4541 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ π‘š ∈ 𝐡 β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) = 1)
3130, 17eqeltrdi 2837 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘š ∈ 𝐡 β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) ∈ β„‚)
3231adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) ∈ β„‚)
3329, 32pm2.61dan 811 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) ∈ β„‚)
3433adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) ∈ β„‚)
3534adantr 479 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) ∈ β„‚)
36 nfcv 2899 . . . . . . . 8 β„²π‘˜π‘š
37 nfv 1909 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜ π‘š ∈ 𝐡
38 nfcv 2899 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜1
3937, 23, 38nfif 4562 . . . . . . . 8 β„²π‘˜if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1)
40 eleq1w 2812 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = π‘š β†’ (π‘˜ ∈ 𝐡 ↔ π‘š ∈ 𝐡))
4140, 25ifbieq1d 4556 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘š β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
42 eqid 2728 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1)) = (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))
4336, 39, 41, 42fvmptf 7031 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
449, 35, 43syl2anc 582 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
45 iftrue 4538 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ 𝐴 β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š))
4645adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š))
47 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ π‘š ∈ 𝐴)
485adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
4948sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ π‘š ∈ 𝐡)
5028adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
5149, 50syldan 589 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
52 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)
5352fvmpts 7013 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘š ∈ 𝐴 ∧ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
5447, 51, 53syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
5546, 54eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
5655ex 411 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (π‘š ∈ 𝐴 β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ))
5756adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ (π‘š ∈ 𝐴 β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ))
58 iffalse 4541 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ π‘š ∈ 𝐴 β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = 1)
5958adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘š ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐴) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = 1)
6059adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐴)) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = 1)
61 eldif 3959 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ↔ (π‘š ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐴))
6216ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)𝐢 = 1)
6362adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)𝐢 = 1)
6423nfeq1 2915 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘˜β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ = 1
6525eqeq1d 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = π‘š β†’ (𝐢 = 1 ↔ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ = 1))
6664, 65rspc 3599 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)𝐢 = 1 β†’ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ = 1))
6763, 66mpan9 505 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ = 1)
6861, 67sylan2br 593 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐴)) β†’ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ = 1)
6960, 68eqtr4d 2771 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐴)) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
7069expr 455 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ π‘š ∈ 𝐴 β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ))
7157, 70pm2.61d 179 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
7210adantl 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
7371, 72eqtr4d 2771 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
7448ssneld 3984 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (Β¬ π‘š ∈ 𝐡 β†’ Β¬ π‘š ∈ 𝐴))
7574imp 405 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐡) β†’ Β¬ π‘š ∈ 𝐴)
7675, 58syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = 1)
7730adantl 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) = 1)
7876, 77eqtr4d 2771 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
7973, 78pm2.61dan 811 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
8079adantr 479 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
8144, 80eqtr4d 2771 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1))
8212fmpttd 7130 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚)
8382adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚)
8483ffvelcdmda 7099 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
851, 2, 4, 8, 81, 84zprod 15921 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = ( ⇝ β€˜seq𝑀( Β· , (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1)))))
866adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐡 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
8743ancoms 457 . . . . . . 7 ((if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
8834, 87sylan 578 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
89 simpr 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ π‘š ∈ 𝐡)
90 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)
9190fvmpts 7013 . . . . . . . . . 10 ((π‘š ∈ 𝐡 ∧ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
9289, 50, 91syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
9392ifeq1d 4551 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
9493adantlr 713 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
95 iffalse 4541 . . . . . . . . 9 (Β¬ π‘š ∈ 𝐡 β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = 1)
9695, 30eqtr4d 2771 . . . . . . . 8 (Β¬ π‘š ∈ 𝐡 β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
9796adantl 480 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
9894, 97pm2.61dan 811 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
9988, 98eqtr4d 2771 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1))
10021fmpttd 7130 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢):π΅βŸΆβ„‚)
101100adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢):π΅βŸΆβ„‚)
102101ffvelcdmda 7099 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
1031, 2, 4, 86, 99, 102zprod 15921 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝐡 ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = ( ⇝ β€˜seq𝑀( Β· , (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1)))))
10485, 103eqtr4d 2771 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = βˆπ‘š ∈ 𝐡 ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š))
105 prodfc 15929 . . 3 βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢
106 prodfc 15929 . . 3 βˆπ‘š ∈ 𝐡 ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = βˆπ‘˜ ∈ 𝐡 𝐢
107104, 105, 1063eqtr3g 2791 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 = βˆπ‘˜ ∈ 𝐡 𝐢)
1085adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
1096adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐡 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
110 uzf 12863 . . . . . . . . . . 11 β„€β‰₯:β„€βŸΆπ’« β„€
111110fdmi 6739 . . . . . . . . . 10 dom β„€β‰₯ = β„€
112111eleq2i 2821 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ dom β„€β‰₯ ↔ 𝑀 ∈ β„€)
113 ndmfv 6937 . . . . . . . . 9 (Β¬ 𝑀 ∈ dom β„€β‰₯ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘€) = βˆ…)
114112, 113sylnbir 330 . . . . . . . 8 (Β¬ 𝑀 ∈ β„€ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘€) = βˆ…)
115114adantl 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘€) = βˆ…)
116109, 115sseqtrd 4022 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐡 βŠ† βˆ…)
117108, 116sstrd 3992 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐴 βŠ† βˆ…)
118 ss0 4402 . . . . 5 (𝐴 βŠ† βˆ… β†’ 𝐴 = βˆ…)
119117, 118syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐴 = βˆ…)
120 ss0 4402 . . . . 5 (𝐡 βŠ† βˆ… β†’ 𝐡 = βˆ…)
121116, 120syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐡 = βˆ…)
122119, 121eqtr4d 2771 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐴 = 𝐡)
123122prodeq1d 15905 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 = βˆπ‘˜ ∈ 𝐡 𝐢)
124107, 123pm2.61dan 811 1 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 = βˆπ‘˜ ∈ 𝐡 𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067  β¦‹csb 3894   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4326  ifcif 4532  π’« cpw 4606   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  dom cdm 5682  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  β„‚cc 11144  0cc0 11146  1c1 11147   Β· cmul 11151  β„€cz 12596  β„€β‰₯cuz 12860  seqcseq 14006   ⇝ cli 15468  βˆcprod 15889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-prod 15890
This theorem is referenced by:  fprodss  15932
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