Theorem prodss 15923

Description: Change the index set to a subset in an upper integer product. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodss.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
prodss.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
prodss.3	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1))) ⇝ 𝑦))
prodss.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 1)
prodss.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
prodss	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛,𝑦   𝐵,𝑘,𝑛,𝑦   𝐶,𝑛,𝑦   𝑘,𝑛,𝜑,𝑦   𝑛,𝑀,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦   𝑘,𝑀

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem prodss

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		prodss.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1))) ⇝ 𝑦))
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1))) ⇝ 𝑦))
5		prodss.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
6		prodss.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
7	5, 6	sstrd 3990	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
9		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10		iftrue 4535	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐵 → if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
12		prodss.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
13	12	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ ℂ))
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ ℂ))
15		eldif 3957	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↔ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴))
16		prodss.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 1)
17		ax-1cn 11196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℂ
18	16, 17	eqeltrdi 2837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℂ)
19	15, 18	sylan2br 594	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℂ)
20	19	expr 456	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ ℂ))
21	14, 20	pm2.61d 179	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
22	21	ralrimiva 3143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
23		nfcsb1v 3917	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶
24	23	nfel1 2916	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ
25		csbeq1a 3906	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐶 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
26	25	eleq1d 2814	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ))
27	24, 26	rspc 3597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐵 → (∀𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ ℂ → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ))
28	22, 27	mpan9 506	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
29	11, 28	eqeltrd 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1) ∈ ℂ)
30		iffalse 4538	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ 𝑚 ∈ 𝐵 → if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1) = 1)
31	30, 17	eqeltrdi 2837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑚 ∈ 𝐵 → if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1) ∈ ℂ)
32	31	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐵) → if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1) ∈ ℂ)
33	29, 32	pm2.61dan 812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1) ∈ ℂ)
34	33	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1) ∈ ℂ)
35	34	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1) ∈ ℂ)
36		nfcv 2899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑚
37		nfv 1910	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑚 ∈ 𝐵
38		nfcv 2899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘1
39	37, 23, 38	nfif 4559	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1)
40		eleq1w 2812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↔ 𝑚 ∈ 𝐵))
41	40, 25	ifbieq1d 4553	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1))
42		eqid 2728	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)) = (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1))
43	36, 39, 41, 42	fvmptf 7026	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1))
44	9, 35, 43	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1))
45		iftrue 4535	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐴 → if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚))
46	45	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚))
47		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ 𝐴)
48	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
49	48	sselda 3980	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ 𝐵)
50	28	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
51	49, 50	syldan 590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
52		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
53	52	fvmpts 7008	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
54	47, 51, 53	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
55	46, 54	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
56	55	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ 𝐴 → if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶))
57	56	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → (𝑚 ∈ 𝐴 → if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶))
58		iffalse 4538	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑚 ∈ 𝐴 → if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = 1)
59	58	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = 1)
60	59	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴)) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = 1)
61		eldif 3957	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↔ (𝑚 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴))
62	16	ralrimiva 3143	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)𝐶 = 1)
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)𝐶 = 1)
64	23	nfeq1 2915	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 = 1
65	25	eqeq1d 2730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐶 = 1 ↔ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 = 1))
66	64, 65	rspc 3597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) → (∀𝑘 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)𝐶 = 1 → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 = 1))
67	63, 66	mpan9 506	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 = 1)
68	61, 67	sylan2br 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴)) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 = 1)
69	60, 68	eqtr4d 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐴)) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
70	69	expr 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑚 ∈ 𝐴 → if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶))
71	57, 70	pm2.61d 179	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
72	10	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
73	71, 72	eqtr4d 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1))
74	48	ssneld 3982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (¬ 𝑚 ∈ 𝐵 → ¬ 𝑚 ∈ 𝐴))
75	74	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑚 ∈ 𝐴)
76	75, 58	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐵) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = 1)
77	30	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐵) → if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1) = 1)
78	76, 77	eqtr4d 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐵) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1))
79	73, 78	pm2.61dan 812	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1))
80	79	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1))
81	44, 80	eqtr4d 2771	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1))
82	12	fmpttd 7125	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶ℂ)
83	82	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶ℂ)
84	83	ffvelcdmda 7094	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚) ∈ ℂ)
85	1, 2, 4, 8, 81, 84	zprod 15913	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( · , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)))))
86	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
87	43	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1))
88	34, 87	sylan 579	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1))
89		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → 𝑚 ∈ 𝐵)
90		eqid 2728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
91	90	fvmpts 7008	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝐵 ∧ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
92	89, 50, 91	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶)
93	92	ifeq1d 4548	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → if(𝑚 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1))
94	93	adantlr 714	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → if(𝑚 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1))
95		iffalse 4538	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑚 ∈ 𝐵 → if(𝑚 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = 1)
96	95, 30	eqtr4d 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑚 ∈ 𝐵 → if(𝑚 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1))
97	96	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ∧ ¬ 𝑚 ∈ 𝐵) → if(𝑚 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1))
98	94, 97	pm2.61dan 812	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → if(𝑚 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐶, 1))
99	88, 98	eqtr4d 2771	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1))‘𝑚) = if(𝑚 ∈ 𝐵, ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚), 1))
100	21	fmpttd 7125	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶ℂ)
101	100	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶ℂ)
102	101	ffvelcdmda 7094	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) ∈ ℂ)
103	1, 2, 4, 86, 99, 102	zprod 15913	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑚 ∈ 𝐵 ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( · , (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↦ if(𝑘 ∈ 𝐵, 𝐶, 1)))))
104	85, 103	eqtr4d 2771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ∏𝑚 ∈ 𝐵 ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚))
105		prodfc 15921	. . 3 ⊢ ∏𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶
106		prodfc 15921	. . 3 ⊢ ∏𝑚 ∈ 𝐵 ((𝑘 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑚) = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶
107	104, 105, 106	3eqtr3g 2791	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
108	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
109	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
110		uzf 12855	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
111	110	fdmi 6734	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
112	111	eleq2i 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ dom ℤ≥ ↔ 𝑀 ∈ ℤ)
113		ndmfv 6932	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
114	112, 113	sylnbir 331	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
115	114	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
116	109, 115	sseqtrd 4020	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ⊆ ∅)
117	108, 116	sstrd 3990	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ ∅)
118		ss0 4399	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
119	117, 118	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 = ∅)
120		ss0 4399	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ ∅ → 𝐵 = ∅)
121	116, 120	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 = ∅)
122	119, 121	eqtr4d 2771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 = 𝐵)
123	122	prodeq1d 15897	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
124	107, 123	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534  ∃wex 1774   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  ∀wral 3058  ∃wrex 3067  ⦋csb 3892   ∖ cdif 3944   ⊆ wss 3947  ∅c0 4323  ifcif 4529  𝒫 cpw 4603   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5678  ⟶wf 6544  ‘cfv 6548  ℂcc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   · cmul 11143  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  seqcseq 13998   ⇝ cli 15460  ∏cprod 15881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-prod 15882

This theorem is referenced by:  fprodss  15924