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Theorem prodss 15837
Description: Change the index set to a subset in an upper integer product. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodss.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
prodss.2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
prodss.3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)βˆƒπ‘¦(𝑦 β‰  0 ∧ seq𝑛( Β· , (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))) ⇝ 𝑦))
prodss.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 = 1)
prodss.5 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
prodss (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 = βˆπ‘˜ ∈ 𝐡 𝐢)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜,𝑛,𝑦   𝐡,π‘˜,𝑛,𝑦   𝐢,𝑛,𝑦   π‘˜,𝑛,πœ‘,𝑦   𝑛,𝑀,𝑦   πœ‘,𝑛,𝑦   π‘˜,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐢(π‘˜)

Proof of Theorem prodss
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . 5 (β„€β‰₯β€˜π‘€) = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 prodss.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)βˆƒπ‘¦(𝑦 β‰  0 ∧ seq𝑛( Β· , (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))) ⇝ 𝑦))
43adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)βˆƒπ‘¦(𝑦 β‰  0 ∧ seq𝑛( Β· , (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))) ⇝ 𝑦))
5 prodss.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
6 prodss.5 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
75, 6sstrd 3959 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
87adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
9 simpr 486 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
10 iftrue 4497 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ 𝐡 β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
1110adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
12 prodss.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
1312ex 414 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ 𝐢 ∈ β„‚))
1413adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ 𝐢 ∈ β„‚))
15 eldif 3925 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴))
16 prodss.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 = 1)
17 ax-1cn 11116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ β„‚
1816, 17eqeltrdi 2846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
1915, 18sylan2br 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
2019expr 458 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ 𝐢 ∈ β„‚))
2114, 20pm2.61d 179 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
2221ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 ∈ β„‚)
23 nfcsb1v 3885 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ
2423nfel1 2924 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚
25 csbeq1a 3874 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = π‘š β†’ 𝐢 = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
2625eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = π‘š β†’ (𝐢 ∈ β„‚ ↔ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚))
2724, 26rspc 3572 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ 𝐡 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 ∈ β„‚ β†’ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚))
2822, 27mpan9 508 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
2911, 28eqeltrd 2838 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) ∈ β„‚)
30 iffalse 4500 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ π‘š ∈ 𝐡 β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) = 1)
3130, 17eqeltrdi 2846 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘š ∈ 𝐡 β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) ∈ β„‚)
3231adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) ∈ β„‚)
3329, 32pm2.61dan 812 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) ∈ β„‚)
3433adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) ∈ β„‚)
3534adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) ∈ β„‚)
36 nfcv 2908 . . . . . . . 8 β„²π‘˜π‘š
37 nfv 1918 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜ π‘š ∈ 𝐡
38 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜1
3937, 23, 38nfif 4521 . . . . . . . 8 β„²π‘˜if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1)
40 eleq1w 2821 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = π‘š β†’ (π‘˜ ∈ 𝐡 ↔ π‘š ∈ 𝐡))
4140, 25ifbieq1d 4515 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘š β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
42 eqid 2737 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1)) = (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))
4336, 39, 41, 42fvmptf 6974 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
449, 35, 43syl2anc 585 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
45 iftrue 4497 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ 𝐴 β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š))
4645adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š))
47 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ π‘š ∈ 𝐴)
485adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
4948sselda 3949 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ π‘š ∈ 𝐡)
5028adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
5149, 50syldan 592 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
52 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)
5352fvmpts 6956 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘š ∈ 𝐴 ∧ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
5447, 51, 53syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
5546, 54eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
5655ex 414 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (π‘š ∈ 𝐴 β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ))
5756adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ (π‘š ∈ 𝐴 β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ))
58 iffalse 4500 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ π‘š ∈ 𝐴 β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = 1)
5958adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘š ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐴) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = 1)
6059adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐴)) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = 1)
61 eldif 3925 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ↔ (π‘š ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐴))
6216ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)𝐢 = 1)
6362adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)𝐢 = 1)
6423nfeq1 2923 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘˜β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ = 1
6525eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = π‘š β†’ (𝐢 = 1 ↔ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ = 1))
6664, 65rspc 3572 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)𝐢 = 1 β†’ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ = 1))
6763, 66mpan9 508 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ = 1)
6861, 67sylan2br 596 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐴)) β†’ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ = 1)
6960, 68eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐴)) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
7069expr 458 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ π‘š ∈ 𝐴 β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ))
7157, 70pm2.61d 179 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
7210adantl 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
7371, 72eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
7448ssneld 3951 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (Β¬ π‘š ∈ 𝐡 β†’ Β¬ π‘š ∈ 𝐴))
7574imp 408 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐡) β†’ Β¬ π‘š ∈ 𝐴)
7675, 58syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = 1)
7730adantl 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) = 1)
7876, 77eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
7973, 78pm2.61dan 812 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
8079adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
8144, 80eqtr4d 2780 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1))
8212fmpttd 7068 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚)
8382adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚)
8483ffvelcdmda 7040 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
851, 2, 4, 8, 81, 84zprod 15827 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = ( ⇝ β€˜seq𝑀( Β· , (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1)))))
866adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐡 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
8743ancoms 460 . . . . . . 7 ((if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
8834, 87sylan 581 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
89 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ π‘š ∈ 𝐡)
90 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)
9190fvmpts 6956 . . . . . . . . . 10 ((π‘š ∈ 𝐡 ∧ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
9289, 50, 91syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
9392ifeq1d 4510 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
9493adantlr 714 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
95 iffalse 4500 . . . . . . . . 9 (Β¬ π‘š ∈ 𝐡 β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = 1)
9695, 30eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 (Β¬ π‘š ∈ 𝐡 β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
9796adantl 483 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
9894, 97pm2.61dan 812 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
9988, 98eqtr4d 2780 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1))
10021fmpttd 7068 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢):π΅βŸΆβ„‚)
101100adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢):π΅βŸΆβ„‚)
102101ffvelcdmda 7040 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
1031, 2, 4, 86, 99, 102zprod 15827 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝐡 ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = ( ⇝ β€˜seq𝑀( Β· , (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1)))))
10485, 103eqtr4d 2780 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = βˆπ‘š ∈ 𝐡 ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š))
105 prodfc 15835 . . 3 βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢
106 prodfc 15835 . . 3 βˆπ‘š ∈ 𝐡 ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = βˆπ‘˜ ∈ 𝐡 𝐢
107104, 105, 1063eqtr3g 2800 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 = βˆπ‘˜ ∈ 𝐡 𝐢)
1085adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
1096adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐡 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
110 uzf 12773 . . . . . . . . . . 11 β„€β‰₯:β„€βŸΆπ’« β„€
111110fdmi 6685 . . . . . . . . . 10 dom β„€β‰₯ = β„€
112111eleq2i 2830 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ dom β„€β‰₯ ↔ 𝑀 ∈ β„€)
113 ndmfv 6882 . . . . . . . . 9 (Β¬ 𝑀 ∈ dom β„€β‰₯ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘€) = βˆ…)
114112, 113sylnbir 331 . . . . . . . 8 (Β¬ 𝑀 ∈ β„€ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘€) = βˆ…)
115114adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘€) = βˆ…)
116109, 115sseqtrd 3989 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐡 βŠ† βˆ…)
117108, 116sstrd 3959 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐴 βŠ† βˆ…)
118 ss0 4363 . . . . 5 (𝐴 βŠ† βˆ… β†’ 𝐴 = βˆ…)
119117, 118syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐴 = βˆ…)
120 ss0 4363 . . . . 5 (𝐡 βŠ† βˆ… β†’ 𝐡 = βˆ…)
121116, 120syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐡 = βˆ…)
122119, 121eqtr4d 2780 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐴 = 𝐡)
123122prodeq1d 15811 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 = βˆπ‘˜ ∈ 𝐡 𝐢)
124107, 123pm2.61dan 812 1 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 = βˆπ‘˜ ∈ 𝐡 𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  β¦‹csb 3860   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  ifcif 4491  π’« cpw 4565   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  β„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   Β· cmul 11063  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  seqcseq 13913   ⇝ cli 15373  βˆcprod 15795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-prod 15796
This theorem is referenced by:  fprodss  15838
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