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Theorem prodss 15923
Description: Change the index set to a subset in an upper integer product. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodss.1 (𝜑𝐴𝐵)
prodss.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
prodss.3 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))) ⇝ 𝑦))
prodss.4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 1)
prodss.5 (𝜑𝐵 ⊆ (ℤ𝑀))
Assertion
Ref Expression
prodss (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐶 = ∏𝑘𝐵 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛,𝑦   𝐵,𝑘,𝑛,𝑦   𝐶,𝑛,𝑦   𝑘,𝑛,𝜑,𝑦   𝑛,𝑀,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦   𝑘,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem prodss
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . 5 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 prodss.3 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))) ⇝ 𝑦))
43adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))) ⇝ 𝑦))
5 prodss.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
6 prodss.5 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ⊆ (ℤ𝑀))
75, 6sstrd 3990 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
87adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
9 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
10 iftrue 4535 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚𝐵 → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
1110adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚𝐵) → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
12 prodss.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
1312ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶 ∈ ℂ))
1413adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑘𝐴𝐶 ∈ ℂ))
15 eldif 3957 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↔ (𝑘𝐵 ∧ ¬ 𝑘𝐴))
16 prodss.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 1)
17 ax-1cn 11196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℂ
1816, 17eqeltrdi 2837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 ∈ ℂ)
1915, 18sylan2br 594 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐵 ∧ ¬ 𝑘𝐴)) → 𝐶 ∈ ℂ)
2019expr 456 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐵) → (¬ 𝑘𝐴𝐶 ∈ ℂ))
2114, 20pm2.61d 179 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
2221ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
23 nfcsb1v 3917 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘𝑚 / 𝑘𝐶
2423nfel1 2916 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ
25 csbeq1a 3906 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑚𝐶 = 𝑚 / 𝑘𝐶)
2625eleq1d 2814 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑚 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
2724, 26rspc 3597 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚𝐵 → (∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
2822, 27mpan9 506 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚𝐵) → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
2911, 28eqeltrd 2829 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚𝐵) → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) ∈ ℂ)
30 iffalse 4538 . . . . . . . . . . . 12 𝑚𝐵 → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) = 1)
3130, 17eqeltrdi 2837 . . . . . . . . . . 11 𝑚𝐵 → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) ∈ ℂ)
3231adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) ∈ ℂ)
3329, 32pm2.61dan 812 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) ∈ ℂ)
3433adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) ∈ ℂ)
3534adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) ∈ ℂ)
36 nfcv 2899 . . . . . . . 8 𝑘𝑚
37 nfv 1910 . . . . . . . . 9 𝑘 𝑚𝐵
38 nfcv 2899 . . . . . . . . 9 𝑘1
3937, 23, 38nfif 4559 . . . . . . . 8 𝑘if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1)
40 eleq1w 2812 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝐵𝑚𝐵))
4140, 25ifbieq1d 4553 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
42 eqid 2728 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)) = (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))
4336, 39, 41, 42fvmptf 7026 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ∧ if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
449, 35, 43syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
45 iftrue 4535 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚𝐴 → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚))
4645adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚))
47 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚𝐴)
485adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴𝐵)
4948sselda 3980 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚𝐵)
5028adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐵) → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
5149, 50syldan 590 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
52 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘𝐴𝐶) = (𝑘𝐴𝐶)
5352fvmpts 7008 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚𝐴𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
5447, 51, 53syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
5546, 54eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
5655ex 412 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → (𝑚𝐴 → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶))
5756adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐵) → (𝑚𝐴 → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶))
58 iffalse 4538 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑚𝐴 → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 1)
5958adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚𝐵 ∧ ¬ 𝑚𝐴) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 1)
6059adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐵 ∧ ¬ 𝑚𝐴)) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 1)
61 eldif 3957 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (𝐵𝐴) ↔ (𝑚𝐵 ∧ ¬ 𝑚𝐴))
6216ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶 = 1)
6362adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → ∀𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶 = 1)
6423nfeq1 2915 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝑚 / 𝑘𝐶 = 1
6525eqeq1d 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑚 → (𝐶 = 1 ↔ 𝑚 / 𝑘𝐶 = 1))
6664, 65rspc 3597 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (𝐵𝐴) → (∀𝑘 ∈ (𝐵𝐴)𝐶 = 1 → 𝑚 / 𝑘𝐶 = 1))
6763, 66mpan9 506 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝑚 / 𝑘𝐶 = 1)
6861, 67sylan2br 594 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐵 ∧ ¬ 𝑚𝐴)) → 𝑚 / 𝑘𝐶 = 1)
6960, 68eqtr4d 2771 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐵 ∧ ¬ 𝑚𝐴)) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
7069expr 456 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐵) → (¬ 𝑚𝐴 → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶))
7157, 70pm2.61d 179 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
7210adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
7371, 72eqtr4d 2771 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
7448ssneld 3982 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → (¬ 𝑚𝐵 → ¬ 𝑚𝐴))
7574imp 406 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑚𝐵) → ¬ 𝑚𝐴)
7675, 58syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = 1)
7730adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) = 1)
7876, 77eqtr4d 2771 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
7973, 78pm2.61dan 812 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
8079adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
8144, 80eqtr4d 2771 . . . . 5 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))‘𝑚) = if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 1))
8212fmpttd 7125 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶):𝐴⟶ℂ)
8382adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → (𝑘𝐴𝐶):𝐴⟶ℂ)
8483ffvelcdmda 7094 . . . . 5 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) ∈ ℂ)
851, 2, 4, 8, 81, 84zprod 15913 . . . 4 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( · , (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)))))
866adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀))
8743ancoms 458 . . . . . . 7 ((if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
8834, 87sylan 579 . . . . . 6 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
89 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐵) → 𝑚𝐵)
90 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐵𝐶) = (𝑘𝐵𝐶)
9190fvmpts 7008 . . . . . . . . . 10 ((𝑚𝐵𝑚 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
9289, 50, 91syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐵) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = 𝑚 / 𝑘𝐶)
9392ifeq1d 4548 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
9493adantlr 714 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
95 iffalse 4538 . . . . . . . . 9 𝑚𝐵 → if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 1) = 1)
9695, 30eqtr4d 2771 . . . . . . . 8 𝑚𝐵 → if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
9796adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑚𝐵) → if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
9894, 97pm2.61dan 812 . . . . . 6 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 1) = if(𝑚𝐵, 𝑚 / 𝑘𝐶, 1))
9988, 98eqtr4d 2771 . . . . 5 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 1))
10021fmpttd 7125 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝐵𝐶):𝐵⟶ℂ)
101100adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → (𝑘𝐵𝐶):𝐵⟶ℂ)
102101ffvelcdmda 7094 . . . . 5 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐵) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) ∈ ℂ)
1031, 2, 4, 86, 99, 102zprod 15913 . . . 4 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑚𝐵 ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( · , (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)))))
10485, 103eqtr4d 2771 . . 3 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = ∏𝑚𝐵 ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚))
105 prodfc 15921 . . 3 𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = ∏𝑘𝐴 𝐶
106 prodfc 15921 . . 3 𝑚𝐵 ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = ∏𝑘𝐵 𝐶
107104, 105, 1063eqtr3g 2791 . 2 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑘𝐴 𝐶 = ∏𝑘𝐵 𝐶)
1085adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴𝐵)
1096adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀))
110 uzf 12855 . . . . . . . . . . 11 :ℤ⟶𝒫 ℤ
111110fdmi 6734 . . . . . . . . . 10 dom ℤ = ℤ
112111eleq2i 2821 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ dom ℤ𝑀 ∈ ℤ)
113 ndmfv 6932 . . . . . . . . 9 𝑀 ∈ dom ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
114112, 113sylnbir 331 . . . . . . . 8 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
115114adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → (ℤ𝑀) = ∅)
116109, 115sseqtrd 4020 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ⊆ ∅)
117108, 116sstrd 3990 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ ∅)
118 ss0 4399 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
119117, 118syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 = ∅)
120 ss0 4399 . . . . 5 (𝐵 ⊆ ∅ → 𝐵 = ∅)
121116, 120syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 = ∅)
122119, 121eqtr4d 2771 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 = 𝐵)
123122prodeq1d 15897 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑘𝐴 𝐶 = ∏𝑘𝐵 𝐶)
124107, 123pm2.61dan 812 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐶 = ∏𝑘𝐵 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  csb 3892  cdif 3944  wss 3947  c0 4323  ifcif 4529  𝒫 cpw 4603   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5678  wf 6544  cfv 6548  cc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   · cmul 11143  cz 12588  cuz 12852  seqcseq 13998  cli 15460  cprod 15881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-prod 15882
This theorem is referenced by:  fprodss  15924
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