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Theorem prodss 15895
Description: Change the index set to a subset in an upper integer product. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodss.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
prodss.2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
prodss.3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)βˆƒπ‘¦(𝑦 β‰  0 ∧ seq𝑛( Β· , (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))) ⇝ 𝑦))
prodss.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 = 1)
prodss.5 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
prodss (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 = βˆπ‘˜ ∈ 𝐡 𝐢)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜,𝑛,𝑦   𝐡,π‘˜,𝑛,𝑦   𝐢,𝑛,𝑦   π‘˜,𝑛,πœ‘,𝑦   𝑛,𝑀,𝑦   πœ‘,𝑛,𝑦   π‘˜,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐢(π‘˜)

Proof of Theorem prodss
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . . 5 (β„€β‰₯β€˜π‘€) = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 prodss.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)βˆƒπ‘¦(𝑦 β‰  0 ∧ seq𝑛( Β· , (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))) ⇝ 𝑦))
43adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)βˆƒπ‘¦(𝑦 β‰  0 ∧ seq𝑛( Β· , (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))) ⇝ 𝑦))
5 prodss.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
6 prodss.5 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
75, 6sstrd 3987 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
87adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
9 simpr 484 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
10 iftrue 4529 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ 𝐡 β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
1110adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
12 prodss.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
1312ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ 𝐢 ∈ β„‚))
1413adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ 𝐢 ∈ β„‚))
15 eldif 3953 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴))
16 prodss.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 = 1)
17 ax-1cn 11167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ β„‚
1816, 17eqeltrdi 2835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
1915, 18sylan2br 594 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴)) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
2019expr 456 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ 𝐢 ∈ β„‚))
2114, 20pm2.61d 179 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
2221ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 ∈ β„‚)
23 nfcsb1v 3913 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ
2423nfel1 2913 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚
25 csbeq1a 3902 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = π‘š β†’ 𝐢 = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
2625eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = π‘š β†’ (𝐢 ∈ β„‚ ↔ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚))
2724, 26rspc 3594 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ 𝐡 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐡 𝐢 ∈ β„‚ β†’ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚))
2822, 27mpan9 506 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
2911, 28eqeltrd 2827 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) ∈ β„‚)
30 iffalse 4532 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ π‘š ∈ 𝐡 β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) = 1)
3130, 17eqeltrdi 2835 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘š ∈ 𝐡 β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) ∈ β„‚)
3231adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) ∈ β„‚)
3329, 32pm2.61dan 810 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) ∈ β„‚)
3433adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) ∈ β„‚)
3534adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) ∈ β„‚)
36 nfcv 2897 . . . . . . . 8 β„²π‘˜π‘š
37 nfv 1909 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜ π‘š ∈ 𝐡
38 nfcv 2897 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜1
3937, 23, 38nfif 4553 . . . . . . . 8 β„²π‘˜if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1)
40 eleq1w 2810 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = π‘š β†’ (π‘˜ ∈ 𝐡 ↔ π‘š ∈ 𝐡))
4140, 25ifbieq1d 4547 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘š β†’ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
42 eqid 2726 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1)) = (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))
4336, 39, 41, 42fvmptf 7012 . . . . . . 7 ((π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
449, 35, 43syl2anc 583 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
45 iftrue 4529 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ 𝐴 β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š))
4645adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š))
47 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ π‘š ∈ 𝐴)
485adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
4948sselda 3977 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ π‘š ∈ 𝐡)
5028adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
5149, 50syldan 590 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚)
52 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)
5352fvmpts 6994 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘š ∈ 𝐴 ∧ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
5447, 51, 53syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
5546, 54eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
5655ex 412 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (π‘š ∈ 𝐴 β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ))
5756adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ (π‘š ∈ 𝐴 β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ))
58 iffalse 4532 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ π‘š ∈ 𝐴 β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = 1)
5958adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘š ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐴) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = 1)
6059adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐴)) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = 1)
61 eldif 3953 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ↔ (π‘š ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐴))
6216ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)𝐢 = 1)
6362adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)𝐢 = 1)
6423nfeq1 2912 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘˜β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ = 1
6525eqeq1d 2728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = π‘š β†’ (𝐢 = 1 ↔ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ = 1))
6664, 65rspc 3594 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)𝐢 = 1 β†’ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ = 1))
6763, 66mpan9 506 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ = 1)
6861, 67sylan2br 594 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐴)) β†’ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ = 1)
6960, 68eqtr4d 2769 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐴)) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
7069expr 456 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ π‘š ∈ 𝐴 β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ))
7157, 70pm2.61d 179 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
7210adantl 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
7371, 72eqtr4d 2769 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
7448ssneld 3979 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (Β¬ π‘š ∈ 𝐡 β†’ Β¬ π‘š ∈ 𝐴))
7574imp 406 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐡) β†’ Β¬ π‘š ∈ 𝐴)
7675, 58syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = 1)
7730adantl 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) = 1)
7876, 77eqtr4d 2769 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
7973, 78pm2.61dan 810 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
8079adantr 480 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
8144, 80eqtr4d 2769 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐴, ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1))
8212fmpttd 7109 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚)
8382adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚)
8483ffvelcdmda 7079 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
851, 2, 4, 8, 81, 84zprod 15885 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = ( ⇝ β€˜seq𝑀( Β· , (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1)))))
866adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐡 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
8743ancoms 458 . . . . . . 7 ((if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1) ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
8834, 87sylan 579 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
89 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ π‘š ∈ 𝐡)
90 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) = (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)
9190fvmpts 6994 . . . . . . . . . 10 ((π‘š ∈ 𝐡 ∧ β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
9289, 50, 91syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ)
9392ifeq1d 4542 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
9493adantlr 712 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
95 iffalse 4532 . . . . . . . . 9 (Β¬ π‘š ∈ 𝐡 β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = 1)
9695, 30eqtr4d 2769 . . . . . . . 8 (Β¬ π‘š ∈ 𝐡 β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
9796adantl 481 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) ∧ Β¬ π‘š ∈ 𝐡) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
9894, 97pm2.61dan 810 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1) = if(π‘š ∈ 𝐡, β¦‹π‘š / π‘˜β¦ŒπΆ, 1))
9988, 98eqtr4d 2769 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1))β€˜π‘š) = if(π‘š ∈ 𝐡, ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š), 1))
10021fmpttd 7109 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢):π΅βŸΆβ„‚)
101100adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢):π΅βŸΆβ„‚)
102101ffvelcdmda 7079 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ 𝐡) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
1031, 2, 4, 86, 99, 102zprod 15885 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝐡 ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = ( ⇝ β€˜seq𝑀( Β· , (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↦ if(π‘˜ ∈ 𝐡, 𝐢, 1)))))
10485, 103eqtr4d 2769 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = βˆπ‘š ∈ 𝐡 ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š))
105 prodfc 15893 . . 3 βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢
106 prodfc 15893 . . 3 βˆπ‘š ∈ 𝐡 ((π‘˜ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = βˆπ‘˜ ∈ 𝐡 𝐢
107104, 105, 1063eqtr3g 2789 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 = βˆπ‘˜ ∈ 𝐡 𝐢)
1085adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐡)
1096adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐡 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
110 uzf 12826 . . . . . . . . . . 11 β„€β‰₯:β„€βŸΆπ’« β„€
111110fdmi 6722 . . . . . . . . . 10 dom β„€β‰₯ = β„€
112111eleq2i 2819 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ dom β„€β‰₯ ↔ 𝑀 ∈ β„€)
113 ndmfv 6919 . . . . . . . . 9 (Β¬ 𝑀 ∈ dom β„€β‰₯ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘€) = βˆ…)
114112, 113sylnbir 331 . . . . . . . 8 (Β¬ 𝑀 ∈ β„€ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘€) = βˆ…)
115114adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘€) = βˆ…)
116109, 115sseqtrd 4017 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐡 βŠ† βˆ…)
117108, 116sstrd 3987 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐴 βŠ† βˆ…)
118 ss0 4393 . . . . 5 (𝐴 βŠ† βˆ… β†’ 𝐴 = βˆ…)
119117, 118syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐴 = βˆ…)
120 ss0 4393 . . . . 5 (𝐡 βŠ† βˆ… β†’ 𝐡 = βˆ…)
121116, 120syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐡 = βˆ…)
122119, 121eqtr4d 2769 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐴 = 𝐡)
123122prodeq1d 15869 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 = βˆπ‘˜ ∈ 𝐡 𝐢)
124107, 123pm2.61dan 810 1 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 = βˆπ‘˜ ∈ 𝐡 𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  β¦‹csb 3888   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  ifcif 4523  π’« cpw 4597   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  β„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   Β· cmul 11114  β„€cz 12559  β„€β‰₯cuz 12823  seqcseq 13969   ⇝ cli 15432  βˆcprod 15853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-prod 15854
This theorem is referenced by:  fprodss  15896
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