Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoiprodp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoiprodp1 45304
Description: The dimensional volume of a half-open interval with dimension 𝑛 + 1. Used in the first equality of step (e) of Lemma 115B of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoiprodp1.l 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
hoiprodp1.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Fin)
hoiprodp1.3 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
hoiprodp1.z (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑍 ∈ π‘Œ)
hoiprodp1.x 𝑋 = (π‘Œ βˆͺ {𝑍})
hoiprodp1.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
hoiprodp1.b (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
hoiprodp1.g 𝐺 = βˆπ‘˜ ∈ π‘Œ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
Assertion
Ref Expression
hoiprodp1 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) = (𝐺 Β· (volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘)))))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ž,𝑏,π‘˜   𝐡,π‘Ž,𝑏,π‘˜   𝑋,π‘Ž,𝑏,π‘˜,π‘₯   π‘˜,π‘Œ   π‘˜,𝑍   πœ‘,π‘Ž,𝑏,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯)   𝐺(π‘₯,π‘˜,π‘Ž,𝑏)   𝐿(π‘₯,π‘˜,π‘Ž,𝑏)   𝑉(π‘₯,π‘˜,π‘Ž,𝑏)   π‘Œ(π‘₯,π‘Ž,𝑏)   𝑍(π‘₯,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem hoiprodp1
StepHypRef Expression
1 hoiprodp1.l . . 3 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
2 hoiprodp1.x . . . 4 𝑋 = (π‘Œ βˆͺ {𝑍})
3 hoiprodp1.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Fin)
4 snfi 9044 . . . . . 6 {𝑍} ∈ Fin
54a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {𝑍} ∈ Fin)
6 unfi 9172 . . . . 5 ((π‘Œ ∈ Fin ∧ {𝑍} ∈ Fin) β†’ (π‘Œ βˆͺ {𝑍}) ∈ Fin)
73, 5, 6syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆͺ {𝑍}) ∈ Fin)
82, 7eqeltrid 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
9 hoiprodp1.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
10 snidg 4663 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ 𝑍 ∈ {𝑍})
119, 10syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ {𝑍})
12 elun2 4178 . . . . . 6 (𝑍 ∈ {𝑍} β†’ 𝑍 ∈ (π‘Œ βˆͺ {𝑍}))
1311, 12syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (π‘Œ βˆͺ {𝑍}))
1413, 2eleqtrrdi 2845 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑋)
1514ne0d 4336 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
16 hoiprodp1.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
17 hoiprodp1.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
181, 8, 15, 16, 17hoidmvn0val 45300 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
1916ffvelcdmda 7087 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
2017ffvelcdmda 7087 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
21 volicore 45297 . . . . 5 (((π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
2219, 20, 21syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
2322recnd 11242 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ β„‚)
24 fveq2 6892 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑍 β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘))
25 fveq2 6892 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑍 β†’ (π΅β€˜π‘˜) = (π΅β€˜π‘))
2624, 25oveq12d 7427 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑍 β†’ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) = ((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘)))
2726fveq2d 6896 . . . 4 (π‘˜ = 𝑍 β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = (volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘))))
2827adantl 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 𝑍) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = (volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘))))
298, 23, 14, 28fprodsplit1 44309 . 2 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = ((volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍})(volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))))
302difeq1i 4119 . . . . . . . 8 (𝑋 βˆ– {𝑍}) = ((π‘Œ βˆͺ {𝑍}) βˆ– {𝑍})
3130a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ– {𝑍}) = ((π‘Œ βˆͺ {𝑍}) βˆ– {𝑍}))
32 difun2 4481 . . . . . . . 8 ((π‘Œ βˆͺ {𝑍}) βˆ– {𝑍}) = (π‘Œ βˆ– {𝑍})
3332a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ βˆͺ {𝑍}) βˆ– {𝑍}) = (π‘Œ βˆ– {𝑍}))
34 hoiprodp1.z . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑍 ∈ π‘Œ)
35 difsn 4802 . . . . . . . 8 (Β¬ 𝑍 ∈ π‘Œ β†’ (π‘Œ βˆ– {𝑍}) = π‘Œ)
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ– {𝑍}) = π‘Œ)
3731, 33, 363eqtrd 2777 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ– {𝑍}) = π‘Œ)
3837prodeq1d 15865 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍})(volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = βˆπ‘˜ ∈ π‘Œ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
39 hoiprodp1.g . . . . . . 7 𝐺 = βˆπ‘˜ ∈ π‘Œ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
4039eqcomi 2742 . . . . . 6 βˆπ‘˜ ∈ π‘Œ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = 𝐺
4140a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ π‘Œ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = 𝐺)
4238, 41eqtrd 2773 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍})(volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = 𝐺)
4342oveq2d 7425 . . 3 (πœ‘ β†’ ((volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍})(volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))) = ((volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘))) Β· 𝐺))
4416, 14ffvelcdmd 7088 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜π‘) ∈ ℝ)
4517, 14ffvelcdmd 7088 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π΅β€˜π‘) ∈ ℝ)
46 volicore 45297 . . . . . 6 (((π΄β€˜π‘) ∈ ℝ ∧ (π΅β€˜π‘) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘))) ∈ ℝ)
4744, 45, 46syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘))) ∈ ℝ)
4847recnd 11242 . . . 4 (πœ‘ β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘))) ∈ β„‚)
4916adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
50 ssun1 4173 . . . . . . . . . . . 12 π‘Œ βŠ† (π‘Œ βˆͺ {𝑍})
5150, 2sseqtrri 4020 . . . . . . . . . . 11 π‘Œ βŠ† 𝑋
52 id 22 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ π‘Œ β†’ π‘˜ ∈ π‘Œ)
5351, 52sselid 3981 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ π‘Œ β†’ π‘˜ ∈ 𝑋)
5453adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ π‘˜ ∈ 𝑋)
5549, 54ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
5617adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
5756, 54ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
5855, 57, 21syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
593, 58fprodrecl 15897 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ π‘Œ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
6039, 59eqeltrid 2838 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ℝ)
6160recnd 11242 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ β„‚)
6248, 61mulcomd 11235 . . 3 (πœ‘ β†’ ((volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘))) Β· 𝐺) = (𝐺 Β· (volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘)))))
6343, 62eqtrd 2773 . 2 (πœ‘ β†’ ((volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍})(volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))) = (𝐺 Β· (volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘)))))
6418, 29, 633eqtrd 2777 1 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) = (𝐺 Β· (volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947  βˆ…c0 4323  ifcif 4529  {csn 4629   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411   ↑m cmap 8820  Fincfn 8939  β„cr 11109  0cc0 11110   Β· cmul 11115  [,)cico 13326  βˆcprod 15849  volcvol 24980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-prod 15850  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cmp 22891  df-ovol 24981  df-vol 24982
This theorem is referenced by:  hoidmvlelem2  45312  hoidmvlelem4  45314
  Copyright terms: Public domain W3C validator