Theorem hoiprodp1 46593

Description: The dimensional volume of a half-open interval with dimension 𝑛 + 1. Used in the first equality of step (e) of Lemma 115B of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoiprodp1.l	⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
hoiprodp1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Fin)
hoiprodp1.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
hoiprodp1.z	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ 𝑌)
hoiprodp1.x	⊢ 𝑋 = (𝑌 ∪ {𝑍})
hoiprodp1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoiprodp1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
hoiprodp1.g	⊢ 𝐺 = ∏𝑘 ∈ 𝑌 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
hoiprodp1	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = (𝐺 · (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝑘,𝑌   𝑘,𝑍   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)   𝐿(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)   𝑌(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑍(𝑥,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hoiprodp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoiprodp1.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
2		hoiprodp1.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (𝑌 ∪ {𝑍})
3		hoiprodp1.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Fin)
4		snfi 9017	. . . . . 6 ⊢ {𝑍} ∈ Fin
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑍} ∈ Fin)
6		unfi 9141	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ Fin ∧ {𝑍} ∈ Fin) → (𝑌 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
7	3, 5, 6	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
8	2, 7	eqeltrid 2833	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
9		hoiprodp1.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
10		snidg 4627	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → 𝑍 ∈ {𝑍})
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ {𝑍})
12		elun2 4149	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ {𝑍} → 𝑍 ∈ (𝑌 ∪ {𝑍}))
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑌 ∪ {𝑍}))
14	13, 2	eleqtrrdi 2840	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑋)
15	14	ne0d 4308	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
16		hoiprodp1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
17		hoiprodp1.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
18	1, 8, 15, 16, 17	hoidmvn0val 46589	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
19	16	ffvelcdmda 7059	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
20	17	ffvelcdmda 7059	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
21		volicore 46586	. . . . 5 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
22	19, 20, 21	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11209	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℂ)
24		fveq2 6861	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑍 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑍))
25		fveq2 6861	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑍 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑍))
26	24, 25	oveq12d 7408	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑍 → ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) = ((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍)))
27	26	fveq2d 6865	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑍 → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))))
28	27	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑍) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))))
29	8, 23, 14, 28	fprodsplit1 45598	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = ((vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))))
30	2	difeq1i 4088	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∖ {𝑍}) = ((𝑌 ∪ {𝑍}) ∖ {𝑍})
31	30	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ {𝑍}) = ((𝑌 ∪ {𝑍}) ∖ {𝑍}))
32		difun2 4447	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∪ {𝑍}) ∖ {𝑍}) = (𝑌 ∖ {𝑍})
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ∪ {𝑍}) ∖ {𝑍}) = (𝑌 ∖ {𝑍}))
34		hoiprodp1.z	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ 𝑌)
35		difsn 4765	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ 𝑌 → (𝑌 ∖ {𝑍}) = 𝑌)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∖ {𝑍}) = 𝑌)
37	31, 33, 36	3eqtrd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ {𝑍}) = 𝑌)
38	37	prodeq1d 15893	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = ∏𝑘 ∈ 𝑌 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
39		hoiprodp1.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = ∏𝑘 ∈ 𝑌 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))
40	39	eqcomi 2739	. . . . . 6 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝑌 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 𝐺
41	40	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑌 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 𝐺)
42	38, 41	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 𝐺)
43	42	oveq2d 7406	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))) = ((vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))) · 𝐺))
44	16, 14	ffvelcdmd 7060	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑍) ∈ ℝ)
45	17, 14	ffvelcdmd 7060	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑍) ∈ ℝ)
46		volicore 46586	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴‘𝑍) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑍) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))) ∈ ℝ)
47	44, 45, 46	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))) ∈ ℝ)
48	47	recnd 11209	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))) ∈ ℂ)
49	16	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
50		ssun1 4144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑌 ⊆ (𝑌 ∪ {𝑍})
51	50, 2	sseqtrri 3999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑌 ⊆ 𝑋
52		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑌 → 𝑘 ∈ 𝑌)
53	51, 52	sselid 3947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑌 → 𝑘 ∈ 𝑋)
54	53	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌) → 𝑘 ∈ 𝑋)
55	49, 54	ffvelcdmd 7060	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
56	17	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
57	56, 54	ffvelcdmd 7060	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
58	55, 57, 21	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
59	3, 58	fprodrecl 15926	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑌 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
60	39, 59	eqeltrid 2833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ)
61	60	recnd 11209	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
62	48, 61	mulcomd 11202	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))) · 𝐺) = (𝐺 · (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍)))))
63	43, 62	eqtrd 2765	. 2 ⊢ (𝜑 → ((vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))) = (𝐺 · (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍)))))
64	18, 29, 63	3eqtrd 2769	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = (𝐺 · (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3914   ∪ cun 3915  ∅c0 4299  ifcif 4491  {csn 4592   ↦ cmpt 5191  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∈ cmpo 7392   ↑_m cmap 8802  Fincfn 8921  ℝcr 11074  0cc0 11075   · cmul 11080  [,)cico 13315  ∏cprod 15876  volcvol 25371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-prod 15877  df-rest 17392  df-topgen 17413  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-top 22788  df-topon 22805  df-bases 22840  df-cmp 23281  df-ovol 25372  df-vol 25373

This theorem is referenced by:  hoidmvlelem2  46601  hoidmvlelem4  46603