Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoiprodp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoiprodp1 46544
Description: The dimensional volume of a half-open interval with dimension 𝑛 + 1. Used in the first equality of step (e) of Lemma 115B of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoiprodp1.l 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
hoiprodp1.y (𝜑𝑌 ∈ Fin)
hoiprodp1.3 (𝜑𝑍𝑉)
hoiprodp1.z (𝜑 → ¬ 𝑍𝑌)
hoiprodp1.x 𝑋 = (𝑌 ∪ {𝑍})
hoiprodp1.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoiprodp1.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
hoiprodp1.g 𝐺 = ∏𝑘𝑌 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
Assertion
Ref Expression
hoiprodp1 (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = (𝐺 · (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝑘,𝑌   𝑘,𝑍   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)   𝐿(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)   𝑌(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑍(𝑥,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hoiprodp1
StepHypRef Expression
1 hoiprodp1.l . . 3 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
2 hoiprodp1.x . . . 4 𝑋 = (𝑌 ∪ {𝑍})
3 hoiprodp1.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ Fin)
4 snfi 9082 . . . . . 6 {𝑍} ∈ Fin
54a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {𝑍} ∈ Fin)
6 unfi 9210 . . . . 5 ((𝑌 ∈ Fin ∧ {𝑍} ∈ Fin) → (𝑌 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
73, 5, 6syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
82, 7eqeltrid 2843 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
9 hoiprodp1.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑍𝑉)
10 snidg 4665 . . . . . . 7 (𝑍𝑉𝑍 ∈ {𝑍})
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ {𝑍})
12 elun2 4193 . . . . . 6 (𝑍 ∈ {𝑍} → 𝑍 ∈ (𝑌 ∪ {𝑍}))
1311, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ (𝑌 ∪ {𝑍}))
1413, 2eleqtrrdi 2850 . . . 4 (𝜑𝑍𝑋)
1514ne0d 4348 . . 3 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
16 hoiprodp1.a . . 3 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
17 hoiprodp1.b . . 3 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
181, 8, 15, 16, 17hoidmvn0val 46540 . 2 (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
1916ffvelcdmda 7104 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
2017ffvelcdmda 7104 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
21 volicore 46537 . . . . 5 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
2219, 20, 21syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
2322recnd 11287 . . 3 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
24 fveq2 6907 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑍 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑍))
25 fveq2 6907 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑍 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑍))
2624, 25oveq12d 7449 . . . . 5 (𝑘 = 𝑍 → ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)) = ((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍)))
2726fveq2d 6911 . . . 4 (𝑘 = 𝑍 → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))))
2827adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑘 = 𝑍) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))))
298, 23, 14, 28fprodsplit1 45549 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ((vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))))
302difeq1i 4132 . . . . . . . 8 (𝑋 ∖ {𝑍}) = ((𝑌 ∪ {𝑍}) ∖ {𝑍})
3130a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∖ {𝑍}) = ((𝑌 ∪ {𝑍}) ∖ {𝑍}))
32 difun2 4487 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∪ {𝑍}) ∖ {𝑍}) = (𝑌 ∖ {𝑍})
3332a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑌 ∪ {𝑍}) ∖ {𝑍}) = (𝑌 ∖ {𝑍}))
34 hoiprodp1.z . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝑍𝑌)
35 difsn 4803 . . . . . . . 8 𝑍𝑌 → (𝑌 ∖ {𝑍}) = 𝑌)
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌 ∖ {𝑍}) = 𝑌)
3731, 33, 363eqtrd 2779 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 ∖ {𝑍}) = 𝑌)
3837prodeq1d 15953 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ∏𝑘𝑌 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
39 hoiprodp1.g . . . . . . 7 𝐺 = ∏𝑘𝑌 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
4039eqcomi 2744 . . . . . 6 𝑘𝑌 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 𝐺
4140a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑘𝑌 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 𝐺)
4238, 41eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 𝐺)
4342oveq2d 7447 . . 3 (𝜑 → ((vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))) = ((vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) · 𝐺))
4416, 14ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝑍) ∈ ℝ)
4517, 14ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝑍) ∈ ℝ)
46 volicore 46537 . . . . . 6 (((𝐴𝑍) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑍) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) ∈ ℝ)
4744, 45, 46syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) ∈ ℝ)
4847recnd 11287 . . . 4 (𝜑 → (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) ∈ ℂ)
4916adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑌) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
50 ssun1 4188 . . . . . . . . . . . 12 𝑌 ⊆ (𝑌 ∪ {𝑍})
5150, 2sseqtrri 4033 . . . . . . . . . . 11 𝑌𝑋
52 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝑌𝑘𝑌)
5351, 52sselid 3993 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑌𝑘𝑋)
5453adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑌) → 𝑘𝑋)
5549, 54ffvelcdmd 7105 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑌) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
5617adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑌) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
5756, 54ffvelcdmd 7105 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑌) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
5855, 57, 21syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑌) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
593, 58fprodrecl 15986 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑘𝑌 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
6039, 59eqeltrid 2843 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ ℝ)
6160recnd 11287 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
6248, 61mulcomd 11280 . . 3 (𝜑 → ((vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) · 𝐺) = (𝐺 · (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍)))))
6343, 62eqtrd 2775 . 2 (𝜑 → ((vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))) = (𝐺 · (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍)))))
6418, 29, 633eqtrd 2779 1 (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = (𝐺 · (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cdif 3960  cun 3961  c0 4339  ifcif 4531  {csn 4631  cmpt 5231  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  m cmap 8865  Fincfn 8984  cr 11152  0cc0 11153   · cmul 11158  [,)cico 13386  cprod 15936  volcvol 25512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-prod 15937  df-rest 17469  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cmp 23411  df-ovol 25513  df-vol 25514
This theorem is referenced by:  hoidmvlelem2  46552  hoidmvlelem4  46554
  Copyright terms: Public domain W3C validator