Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoiprodp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoiprodp1 41596
Description: The dimensional volume of a half-open interval with dimension 𝑛 + 1. Used in the first equality of step (e) of Lemma 115B of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoiprodp1.l 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
hoiprodp1.y (𝜑𝑌 ∈ Fin)
hoiprodp1.3 (𝜑𝑍𝑉)
hoiprodp1.z (𝜑 → ¬ 𝑍𝑌)
hoiprodp1.x 𝑋 = (𝑌 ∪ {𝑍})
hoiprodp1.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoiprodp1.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
hoiprodp1.g 𝐺 = ∏𝑘𝑌 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
Assertion
Ref Expression
hoiprodp1 (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = (𝐺 · (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝑘,𝑌   𝑘,𝑍   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)   𝐿(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)   𝑌(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑍(𝑥,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hoiprodp1
StepHypRef Expression
1 hoiprodp1.l . . 3 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
2 hoiprodp1.x . . . 4 𝑋 = (𝑌 ∪ {𝑍})
3 hoiprodp1.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ Fin)
4 snfi 8307 . . . . . 6 {𝑍} ∈ Fin
54a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {𝑍} ∈ Fin)
6 unfi 8496 . . . . 5 ((𝑌 ∈ Fin ∧ {𝑍} ∈ Fin) → (𝑌 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
73, 5, 6syl2anc 581 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
82, 7syl5eqel 2910 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
9 hoiprodp1.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑍𝑉)
10 snidg 4427 . . . . . . 7 (𝑍𝑉𝑍 ∈ {𝑍})
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ {𝑍})
12 elun2 4008 . . . . . 6 (𝑍 ∈ {𝑍} → 𝑍 ∈ (𝑌 ∪ {𝑍}))
1311, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ (𝑌 ∪ {𝑍}))
1413, 2syl6eleqr 2917 . . . 4 (𝜑𝑍𝑋)
1514ne0d 4151 . . 3 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
16 hoiprodp1.a . . 3 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
17 hoiprodp1.b . . 3 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
181, 8, 15, 16, 17hoidmvn0val 41592 . 2 (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
1916ffvelrnda 6608 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
2017ffvelrnda 6608 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
21 volicore 41589 . . . . 5 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
2219, 20, 21syl2anc 581 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
2322recnd 10385 . . 3 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
24 fveq2 6433 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑍 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑍))
25 fveq2 6433 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑍 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑍))
2624, 25oveq12d 6923 . . . . 5 (𝑘 = 𝑍 → ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)) = ((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍)))
2726fveq2d 6437 . . . 4 (𝑘 = 𝑍 → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))))
2827adantl 475 . . 3 ((𝜑𝑘 = 𝑍) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))))
298, 23, 14, 28fprodsplit1 40620 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ((vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))))
302difeq1i 3951 . . . . . . . 8 (𝑋 ∖ {𝑍}) = ((𝑌 ∪ {𝑍}) ∖ {𝑍})
3130a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∖ {𝑍}) = ((𝑌 ∪ {𝑍}) ∖ {𝑍}))
32 difun2 4271 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∪ {𝑍}) ∖ {𝑍}) = (𝑌 ∖ {𝑍})
3332a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑌 ∪ {𝑍}) ∖ {𝑍}) = (𝑌 ∖ {𝑍}))
34 hoiprodp1.z . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝑍𝑌)
35 difsn 4547 . . . . . . . 8 𝑍𝑌 → (𝑌 ∖ {𝑍}) = 𝑌)
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌 ∖ {𝑍}) = 𝑌)
3731, 33, 363eqtrd 2865 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 ∖ {𝑍}) = 𝑌)
3837prodeq1d 15024 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ∏𝑘𝑌 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
39 hoiprodp1.g . . . . . . 7 𝐺 = ∏𝑘𝑌 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
4039eqcomi 2834 . . . . . 6 𝑘𝑌 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 𝐺
4140a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑘𝑌 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 𝐺)
4238, 41eqtrd 2861 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 𝐺)
4342oveq2d 6921 . . 3 (𝜑 → ((vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))) = ((vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) · 𝐺))
4416, 14ffvelrnd 6609 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝑍) ∈ ℝ)
4517, 14ffvelrnd 6609 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝑍) ∈ ℝ)
46 volicore 41589 . . . . . 6 (((𝐴𝑍) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑍) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) ∈ ℝ)
4744, 45, 46syl2anc 581 . . . . 5 (𝜑 → (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) ∈ ℝ)
4847recnd 10385 . . . 4 (𝜑 → (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) ∈ ℂ)
4916adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑌) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
50 ssun1 4003 . . . . . . . . . . . 12 𝑌 ⊆ (𝑌 ∪ {𝑍})
5150, 2sseqtr4i 3863 . . . . . . . . . . 11 𝑌𝑋
52 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝑌𝑘𝑌)
5351, 52sseldi 3825 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑌𝑘𝑋)
5453adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑌) → 𝑘𝑋)
5549, 54ffvelrnd 6609 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑌) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
5617adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑌) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
5756, 54ffvelrnd 6609 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑌) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
5855, 57, 21syl2anc 581 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑌) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
593, 58fprodrecl 15056 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑘𝑌 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
6039, 59syl5eqel 2910 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ ℝ)
6160recnd 10385 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
6248, 61mulcomd 10378 . . 3 (𝜑 → ((vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) · 𝐺) = (𝐺 · (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍)))))
6343, 62eqtrd 2861 . 2 (𝜑 → ((vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))) = (𝐺 · (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍)))))
6418, 29, 633eqtrd 2865 1 (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = (𝐺 · (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  cdif 3795  cun 3796  c0 4144  ifcif 4306  {csn 4397  cmpt 4952  wf 6119  cfv 6123  (class class class)co 6905  cmpt2 6907  𝑚 cmap 8122  Fincfn 8222  cr 10251  0cc0 10252   · cmul 10257  [,)cico 12465  cprod 15008  volcvol 23629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fi 8586  df-sup 8617  df-inf 8618  df-oi 8684  df-card 9078  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xneg 12232  df-xadd 12233  df-xmul 12234  df-ioo 12467  df-ico 12469  df-icc 12470  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-fl 12888  df-seq 13096  df-exp 13155  df-hash 13411  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-clim 14596  df-rlim 14597  df-sum 14794  df-prod 15009  df-rest 16436  df-topgen 16457  df-psmet 20098  df-xmet 20099  df-met 20100  df-bl 20101  df-mopn 20102  df-top 21069  df-topon 21086  df-bases 21121  df-cmp 21561  df-ovol 23630  df-vol 23631
This theorem is referenced by:  hoidmvlelem2  41604  hoidmvlelem4  41606
  Copyright terms: Public domain W3C validator