Theorem hoiprodp1 46685

Description: The dimensional volume of a half-open interval with dimension 𝑛 + 1. Used in the first equality of step (e) of Lemma 115B of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoiprodp1.l	⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
hoiprodp1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Fin)
hoiprodp1.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
hoiprodp1.z	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ 𝑌)
hoiprodp1.x	⊢ 𝑋 = (𝑌 ∪ {𝑍})
hoiprodp1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoiprodp1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
hoiprodp1.g	⊢ 𝐺 = ∏𝑘 ∈ 𝑌 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
hoiprodp1	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = (𝐺 · (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝑘,𝑌   𝑘,𝑍   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)   𝐿(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)   𝑌(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑍(𝑥,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hoiprodp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoiprodp1.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
2		hoiprodp1.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (𝑌 ∪ {𝑍})
3		hoiprodp1.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Fin)
4		snfi 8965	. . . . . 6 ⊢ {𝑍} ∈ Fin
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑍} ∈ Fin)
6		unfi 9080	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ Fin ∧ {𝑍} ∈ Fin) → (𝑌 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
7	3, 5, 6	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
8	2, 7	eqeltrid 2835	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
9		hoiprodp1.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
10		snidg 4610	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → 𝑍 ∈ {𝑍})
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ {𝑍})
12		elun2 4130	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ {𝑍} → 𝑍 ∈ (𝑌 ∪ {𝑍}))
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑌 ∪ {𝑍}))
14	13, 2	eleqtrrdi 2842	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑋)
15	14	ne0d 4289	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
16		hoiprodp1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
17		hoiprodp1.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
18	1, 8, 15, 16, 17	hoidmvn0val 46681	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
19	16	ffvelcdmda 7017	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
20	17	ffvelcdmda 7017	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
21		volicore 46678	. . . . 5 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
22	19, 20, 21	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11140	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℂ)
24		fveq2 6822	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑍 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑍))
25		fveq2 6822	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑍 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑍))
26	24, 25	oveq12d 7364	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑍 → ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) = ((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍)))
27	26	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑍 → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))))
28	27	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑍) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))))
29	8, 23, 14, 28	fprodsplit1 45692	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = ((vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))))
30	2	difeq1i 4069	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∖ {𝑍}) = ((𝑌 ∪ {𝑍}) ∖ {𝑍})
31	30	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ {𝑍}) = ((𝑌 ∪ {𝑍}) ∖ {𝑍}))
32		difun2 4428	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∪ {𝑍}) ∖ {𝑍}) = (𝑌 ∖ {𝑍})
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ∪ {𝑍}) ∖ {𝑍}) = (𝑌 ∖ {𝑍}))
34		hoiprodp1.z	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ 𝑌)
35		difsn 4747	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ 𝑌 → (𝑌 ∖ {𝑍}) = 𝑌)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∖ {𝑍}) = 𝑌)
37	31, 33, 36	3eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ {𝑍}) = 𝑌)
38	37	prodeq1d 15827	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = ∏𝑘 ∈ 𝑌 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
39		hoiprodp1.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = ∏𝑘 ∈ 𝑌 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))
40	39	eqcomi 2740	. . . . . 6 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝑌 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 𝐺
41	40	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑌 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 𝐺)
42	38, 41	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 𝐺)
43	42	oveq2d 7362	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))) = ((vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))) · 𝐺))
44	16, 14	ffvelcdmd 7018	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑍) ∈ ℝ)
45	17, 14	ffvelcdmd 7018	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑍) ∈ ℝ)
46		volicore 46678	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴‘𝑍) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑍) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))) ∈ ℝ)
47	44, 45, 46	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))) ∈ ℝ)
48	47	recnd 11140	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))) ∈ ℂ)
49	16	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
50		ssun1 4125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑌 ⊆ (𝑌 ∪ {𝑍})
51	50, 2	sseqtrri 3979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑌 ⊆ 𝑋
52		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑌 → 𝑘 ∈ 𝑌)
53	51, 52	sselid 3927	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑌 → 𝑘 ∈ 𝑋)
54	53	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌) → 𝑘 ∈ 𝑋)
55	49, 54	ffvelcdmd 7018	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
56	17	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
57	56, 54	ffvelcdmd 7018	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
58	55, 57, 21	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
59	3, 58	fprodrecl 15860	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑌 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
60	39, 59	eqeltrid 2835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ)
61	60	recnd 11140	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
62	48, 61	mulcomd 11133	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))) · 𝐺) = (𝐺 · (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍)))))
63	43, 62	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → ((vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))) = (𝐺 · (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍)))))
64	18, 29, 63	3eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = (𝐺 · (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3894   ∪ cun 3895  ∅c0 4280  ifcif 4472  {csn 4573   ↦ cmpt 5170  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∈ cmpo 7348   ↑_m cmap 8750  Fincfn 8869  ℝcr 11005  0cc0 11006   · cmul 11011  [,)cico 13247  ∏cprod 15810  volcvol 25391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-dju 9794  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ioo 13249  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-prod 15811  df-rest 17326  df-topgen 17347  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-top 22809  df-topon 22826  df-bases 22861  df-cmp 23302  df-ovol 25392  df-vol 25393

This theorem is referenced by:  hoidmvlelem2  46693  hoidmvlelem4  46695