Theorem hoiprodp1 47801

Description: The dimensional volume of a half-open interval with dimension 𝑛 + 1. Used in the first equality of step (e) of Lemma 115B of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoiprodp1.l	⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
hoiprodp1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Fin)
hoiprodp1.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
hoiprodp1.z	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ 𝑌)
hoiprodp1.x	⊢ 𝑋 = (𝑌 ∪ {𝑍})
hoiprodp1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoiprodp1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
hoiprodp1.g	⊢ 𝐺 = ∏𝑘 ∈ 𝑌 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
hoiprodp1	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = (𝐺 · (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝑘,𝑌   𝑘,𝑍   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥, 𝑘, 𝑎, 𝑏)   𝐿(𝑥, 𝑘, 𝑎, 𝑏)   𝑉(𝑥, 𝑘, 𝑎, 𝑏)   𝑌(𝑥, 𝑎, 𝑏)   𝑍(𝑥, 𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem hoiprodp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoiprodp1.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
2		hoiprodp1.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (𝑌 ∪ {𝑍})
3		hoiprodp1.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Fin)
4		snfi 9096	. . . . . 6 ⊢ {𝑍} ∈ Fin
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑍} ∈ Fin)
6		unfi 9211	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ Fin ∧ {𝑍} ∈ Fin) → (𝑌 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
7	3, 5, 6	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
8	2, 7	eqeltrid 2868	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
9		hoiprodp1.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
10		snidg 4621	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → 𝑍 ∈ {𝑍})
11	9, 10	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ {𝑍})
12		elun2 4184	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ {𝑍} → 𝑍 ∈ (𝑌 ∪ {𝑍}))
13	11, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑌 ∪ {𝑍}))
14	13, 2	eleqtrrdi 2875	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑋)
15	14	ne0d 4291	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
16		hoiprodp1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
17		hoiprodp1.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
18	1, 8, 15, 16, 17	hoidmvn0val 47797	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
19	16	ffvelcdmda 7105	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
20	17	ffvelcdmda 7105	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
21		volicore 47794	. . . . 5 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
22	19, 20, 21	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11361	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℂ)
24		fveq2 6905	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑍 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑍))
25		fveq2 6905	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑍 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑍))
26	24, 25	oveq12d 7458	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑍 → ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) = ((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍)))
27	26	fveq2d 6909	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑍 → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))))
28	27	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑍) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))))
29	8, 23, 14, 28	fprodsplit1 46808	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = ((vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))))
30	2	difeq1i 4062	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∖ {𝑍}) = ((𝑌 ∪ {𝑍}) ∖ {𝑍})
31	30	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ {𝑍}) = ((𝑌 ∪ {𝑍}) ∖ {𝑍}))
32		difun2 4440	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∪ {𝑍}) ∖ {𝑍}) = (𝑌 ∖ {𝑍})
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ∪ {𝑍}) ∖ {𝑍}) = (𝑌 ∖ {𝑍}))
34		hoiprodp1.z	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ 𝑌)
35		difsn 4761	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ 𝑌 → (𝑌 ∖ {𝑍}) = 𝑌)
36	34, 35	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∖ {𝑍}) = 𝑌)
37	31, 33, 36	3eqtrd 2802	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ {𝑍}) = 𝑌)
38	37	prodeq1d 16114	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = ∏𝑘 ∈ 𝑌 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
39		hoiprodp1.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = ∏𝑘 ∈ 𝑌 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))
40	39	eqcomi 2772	. . . . . 6 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝑌 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 𝐺
41	40	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑌 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 𝐺)
42	38, 41	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 𝐺)
43	42	oveq2d 7456	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))) = ((vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))) · 𝐺))
44	16, 14	ffvelcdmd 7106	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑍) ∈ ℝ)
45	17, 14	ffvelcdmd 7106	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑍) ∈ ℝ)
46		volicore 47794	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴‘𝑍) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑍) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))) ∈ ℝ)
47	44, 45, 46	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))) ∈ ℝ)
48	47	recnd 11361	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))) ∈ ℂ)
49	16	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
50		ssun1 4179	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑌 ⊆ (𝑌 ∪ {𝑍})
51	50, 2	sseqtrri 3962	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑌 ⊆ 𝑋
52		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑌 → 𝑘 ∈ 𝑌)
53	51, 52	sselid 3911	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑌 → 𝑘 ∈ 𝑋)
54	53	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌) → 𝑘 ∈ 𝑋)
55	49, 54	ffvelcdmd 7106	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
56	17	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
57	56, 54	ffvelcdmd 7106	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
58	55, 57, 21	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
59	3, 58	fprodrecl 16146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑌 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
60	39, 59	eqeltrid 2868	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ)
61	60	recnd 11361	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
62	48, 61	mulcomd 11354	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))) · 𝐺) = (𝐺 · (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍)))))
63	43, 62	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → ((vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))) = (𝐺 · (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍)))))
64	18, 29, 63	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = (𝐺 · (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍)))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∖ cdif 4048   ∪ cun 4152  ∅c0 4281  ifcif 4485  {csn 4588   ↦ cmpt 5189  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   ∈ cmpo 7442   ↑_m cmap 8872  Fincfn 8998  ℝcr 11223  0cc0 11224   · cmul 11229  [,)cico 13502  ∏cprod 16098  volcvol 25811

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fi 9427  df-sup 9458  df-inf 9459  df-oi 9528  df-dju 10006  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-xneg 13265  df-xadd 13266  df-xmul 13267  df-ioo 13504  df-ico 13506  df-icc 13507  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-fl 13956  df-seq 14169  df-exp 14229  df-hash 14499  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-clim 15681  df-rlim 15682  df-sum 15880  df-prod 16099  df-rest 17619  df-topgen 17640  df-psmet 21697  df-xmet 21698  df-met 21699  df-bl 21700  df-mopn 21701  df-top 23239  df-topon 23256  df-bases 23291  df-cmp 23732  df-ovol 25812  df-vol 25813

This theorem is used by:  hoidmvlelem2  47809  hoidmvlelem4  47811