Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoiprodp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoiprodp1 46111
Description: The dimensional volume of a half-open interval with dimension 𝑛 + 1. Used in the first equality of step (e) of Lemma 115B of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoiprodp1.l 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
hoiprodp1.y (𝜑𝑌 ∈ Fin)
hoiprodp1.3 (𝜑𝑍𝑉)
hoiprodp1.z (𝜑 → ¬ 𝑍𝑌)
hoiprodp1.x 𝑋 = (𝑌 ∪ {𝑍})
hoiprodp1.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoiprodp1.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
hoiprodp1.g 𝐺 = ∏𝑘𝑌 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
Assertion
Ref Expression
hoiprodp1 (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = (𝐺 · (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝑘,𝑌   𝑘,𝑍   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)   𝐿(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)   𝑌(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑍(𝑥,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hoiprodp1
StepHypRef Expression
1 hoiprodp1.l . . 3 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
2 hoiprodp1.x . . . 4 𝑋 = (𝑌 ∪ {𝑍})
3 hoiprodp1.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ Fin)
4 snfi 9069 . . . . . 6 {𝑍} ∈ Fin
54a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {𝑍} ∈ Fin)
6 unfi 9197 . . . . 5 ((𝑌 ∈ Fin ∧ {𝑍} ∈ Fin) → (𝑌 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
73, 5, 6syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
82, 7eqeltrid 2829 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
9 hoiprodp1.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑍𝑉)
10 snidg 4664 . . . . . . 7 (𝑍𝑉𝑍 ∈ {𝑍})
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ {𝑍})
12 elun2 4175 . . . . . 6 (𝑍 ∈ {𝑍} → 𝑍 ∈ (𝑌 ∪ {𝑍}))
1311, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ (𝑌 ∪ {𝑍}))
1413, 2eleqtrrdi 2836 . . . 4 (𝜑𝑍𝑋)
1514ne0d 4335 . . 3 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
16 hoiprodp1.a . . 3 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
17 hoiprodp1.b . . 3 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
181, 8, 15, 16, 17hoidmvn0val 46107 . 2 (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
1916ffvelcdmda 7093 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
2017ffvelcdmda 7093 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
21 volicore 46104 . . . . 5 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
2219, 20, 21syl2anc 582 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
2322recnd 11274 . . 3 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℂ)
24 fveq2 6896 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑍 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑍))
25 fveq2 6896 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑍 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑍))
2624, 25oveq12d 7437 . . . . 5 (𝑘 = 𝑍 → ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)) = ((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍)))
2726fveq2d 6900 . . . 4 (𝑘 = 𝑍 → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))))
2827adantl 480 . . 3 ((𝜑𝑘 = 𝑍) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))))
298, 23, 14, 28fprodsplit1 45116 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ((vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))))
302difeq1i 4114 . . . . . . . 8 (𝑋 ∖ {𝑍}) = ((𝑌 ∪ {𝑍}) ∖ {𝑍})
3130a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∖ {𝑍}) = ((𝑌 ∪ {𝑍}) ∖ {𝑍}))
32 difun2 4482 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∪ {𝑍}) ∖ {𝑍}) = (𝑌 ∖ {𝑍})
3332a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑌 ∪ {𝑍}) ∖ {𝑍}) = (𝑌 ∖ {𝑍}))
34 hoiprodp1.z . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝑍𝑌)
35 difsn 4803 . . . . . . . 8 𝑍𝑌 → (𝑌 ∖ {𝑍}) = 𝑌)
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌 ∖ {𝑍}) = 𝑌)
3731, 33, 363eqtrd 2769 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 ∖ {𝑍}) = 𝑌)
3837prodeq1d 15901 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = ∏𝑘𝑌 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
39 hoiprodp1.g . . . . . . 7 𝐺 = ∏𝑘𝑌 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
4039eqcomi 2734 . . . . . 6 𝑘𝑌 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 𝐺
4140a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ∏𝑘𝑌 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 𝐺)
4238, 41eqtrd 2765 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = 𝐺)
4342oveq2d 7435 . . 3 (𝜑 → ((vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))) = ((vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) · 𝐺))
4416, 14ffvelcdmd 7094 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝑍) ∈ ℝ)
4517, 14ffvelcdmd 7094 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝑍) ∈ ℝ)
46 volicore 46104 . . . . . 6 (((𝐴𝑍) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑍) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) ∈ ℝ)
4744, 45, 46syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) ∈ ℝ)
4847recnd 11274 . . . 4 (𝜑 → (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) ∈ ℂ)
4916adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑌) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
50 ssun1 4170 . . . . . . . . . . . 12 𝑌 ⊆ (𝑌 ∪ {𝑍})
5150, 2sseqtrri 4014 . . . . . . . . . . 11 𝑌𝑋
52 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝑌𝑘𝑌)
5351, 52sselid 3974 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑌𝑘𝑋)
5453adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑌) → 𝑘𝑋)
5549, 54ffvelcdmd 7094 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑌) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
5617adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑌) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
5756, 54ffvelcdmd 7094 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑌) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
5855, 57, 21syl2anc 582 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑌) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
593, 58fprodrecl 15933 . . . . . 6 (𝜑 → ∏𝑘𝑌 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
6039, 59eqeltrid 2829 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ ℝ)
6160recnd 11274 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
6248, 61mulcomd 11267 . . 3 (𝜑 → ((vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) · 𝐺) = (𝐺 · (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍)))))
6343, 62eqtrd 2765 . 2 (𝜑 → ((vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))) = (𝐺 · (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍)))))
6418, 29, 633eqtrd 2769 1 (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = (𝐺 · (vol‘((𝐴𝑍)[,)(𝐵𝑍)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  cdif 3941  cun 3942  c0 4322  ifcif 4530  {csn 4630  cmpt 5232  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  cmpo 7421  m cmap 8845  Fincfn 8964  cr 11139  0cc0 11140   · cmul 11145  [,)cico 13361  cprod 15885  volcvol 25436
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-dju 9926  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ioo 13363  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-rlim 15469  df-sum 15669  df-prod 15886  df-rest 17407  df-topgen 17428  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-top 22840  df-topon 22857  df-bases 22893  df-cmp 23335  df-ovol 25437  df-vol 25438
This theorem is referenced by:  hoidmvlelem2  46119  hoidmvlelem4  46121
  Copyright terms: Public domain W3C validator