Theorem hoiprodp1 47042

Description: The dimensional volume of a half-open interval with dimension 𝑛 + 1. Used in the first equality of step (e) of Lemma 115B of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoiprodp1.l	⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
hoiprodp1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Fin)
hoiprodp1.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
hoiprodp1.z	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ 𝑌)
hoiprodp1.x	⊢ 𝑋 = (𝑌 ∪ {𝑍})
hoiprodp1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoiprodp1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
hoiprodp1.g	⊢ 𝐺 = ∏𝑘 ∈ 𝑌 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
hoiprodp1	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = (𝐺 · (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝑘,𝑌   𝑘,𝑍   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)   𝐿(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)   𝑌(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑍(𝑥,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hoiprodp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoiprodp1.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
2		hoiprodp1.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (𝑌 ∪ {𝑍})
3		hoiprodp1.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Fin)
4		snfi 8987	. . . . . 6 ⊢ {𝑍} ∈ Fin
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑍} ∈ Fin)
6		unfi 9102	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ Fin ∧ {𝑍} ∈ Fin) → (𝑌 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
7	3, 5, 6	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
8	2, 7	eqeltrid 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
9		hoiprodp1.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
10		snidg 4605	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → 𝑍 ∈ {𝑍})
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ {𝑍})
12		elun2 4124	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ {𝑍} → 𝑍 ∈ (𝑌 ∪ {𝑍}))
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑌 ∪ {𝑍}))
14	13, 2	eleqtrrdi 2848	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑋)
15	14	ne0d 4283	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
16		hoiprodp1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
17		hoiprodp1.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
18	1, 8, 15, 16, 17	hoidmvn0val 47038	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
19	16	ffvelcdmda 7034	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
20	17	ffvelcdmda 7034	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
21		volicore 47035	. . . . 5 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
22	19, 20, 21	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11170	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℂ)
24		fveq2 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑍 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑍))
25		fveq2 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑍 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑍))
26	24, 25	oveq12d 7382	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑍 → ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) = ((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍)))
27	26	fveq2d 6842	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑍 → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))))
28	27	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑍) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))))
29	8, 23, 14, 28	fprodsplit1 46049	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = ((vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))))
30	2	difeq1i 4063	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∖ {𝑍}) = ((𝑌 ∪ {𝑍}) ∖ {𝑍})
31	30	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ {𝑍}) = ((𝑌 ∪ {𝑍}) ∖ {𝑍}))
32		difun2 4422	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∪ {𝑍}) ∖ {𝑍}) = (𝑌 ∖ {𝑍})
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ∪ {𝑍}) ∖ {𝑍}) = (𝑌 ∖ {𝑍}))
34		hoiprodp1.z	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ 𝑌)
35		difsn 4742	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ 𝑌 → (𝑌 ∖ {𝑍}) = 𝑌)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∖ {𝑍}) = 𝑌)
37	31, 33, 36	3eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ {𝑍}) = 𝑌)
38	37	prodeq1d 15882	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = ∏𝑘 ∈ 𝑌 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
39		hoiprodp1.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = ∏𝑘 ∈ 𝑌 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))
40	39	eqcomi 2746	. . . . . 6 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝑌 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 𝐺
41	40	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑌 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 𝐺)
42	38, 41	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 𝐺)
43	42	oveq2d 7380	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))) = ((vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))) · 𝐺))
44	16, 14	ffvelcdmd 7035	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑍) ∈ ℝ)
45	17, 14	ffvelcdmd 7035	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑍) ∈ ℝ)
46		volicore 47035	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴‘𝑍) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑍) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))) ∈ ℝ)
47	44, 45, 46	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))) ∈ ℝ)
48	47	recnd 11170	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))) ∈ ℂ)
49	16	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
50		ssun1 4119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑌 ⊆ (𝑌 ∪ {𝑍})
51	50, 2	sseqtrri 3972	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑌 ⊆ 𝑋
52		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑌 → 𝑘 ∈ 𝑌)
53	51, 52	sselid 3920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑌 → 𝑘 ∈ 𝑋)
54	53	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌) → 𝑘 ∈ 𝑋)
55	49, 54	ffvelcdmd 7035	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
56	17	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
57	56, 54	ffvelcdmd 7035	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
58	55, 57, 21	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
59	3, 58	fprodrecl 15915	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑌 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
60	39, 59	eqeltrid 2841	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ)
61	60	recnd 11170	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
62	48, 61	mulcomd 11163	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))) · 𝐺) = (𝐺 · (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍)))))
63	43, 62	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → ((vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))) = (𝐺 · (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍)))))
64	18, 29, 63	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = (𝐺 · (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3887   ∪ cun 3888  ∅c0 4274  ifcif 4467  {csn 4568   ↦ cmpt 5167  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7364   ∈ cmpo 7366   ↑_m cmap 8770  Fincfn 8890  ℝcr 11034  0cc0 11035   · cmul 11040  [,)cico 13297  ∏cprod 15865  volcvol 25446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686  ax-inf2 9559  ax-cnex 11091  ax-resscn 11092  ax-1cn 11093  ax-icn 11094  ax-addcl 11095  ax-addrcl 11096  ax-mulcl 11097  ax-mulrcl 11098  ax-mulcom 11099  ax-addass 11100  ax-mulass 11101  ax-distr 11102  ax-i2m1 11103  ax-1ne0 11104  ax-1rid 11105  ax-rnegex 11106  ax-rrecex 11107  ax-cnre 11108  ax-pre-lttri 11109  ax-pre-lttrn 11110  ax-pre-ltadd 11111  ax-pre-mulgt0 11112  ax-pre-sup 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5523  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5581  df-se 5582  df-we 5583  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-of 7628  df-om 7815  df-1st 7939  df-2nd 7940  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fi 9321  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-dju 9822  df-card 9860  df-pnf 11178  df-mnf 11179  df-xr 11180  df-ltxr 11181  df-le 11182  df-sub 11376  df-neg 11377  df-div 11805  df-nn 12172  df-2 12241  df-3 12242  df-n0 12435  df-z 12522  df-uz 12786  df-q 12896  df-rp 12940  df-xneg 13060  df-xadd 13061  df-xmul 13062  df-ioo 13299  df-ico 13301  df-icc 13302  df-fz 13459  df-fzo 13606  df-fl 13748  df-seq 13961  df-exp 14021  df-hash 14290  df-cj 15058  df-re 15059  df-im 15060  df-sqrt 15194  df-abs 15195  df-clim 15447  df-rlim 15448  df-sum 15646  df-prod 15866  df-rest 17382  df-topgen 17403  df-psmet 21342  df-xmet 21343  df-met 21344  df-bl 21345  df-mopn 21346  df-top 22875  df-topon 22892  df-bases 22927  df-cmp 23368  df-ovol 25447  df-vol 25448

This theorem is referenced by:  hoidmvlelem2  47050  hoidmvlelem4  47052