Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoiprodp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoiprodp1 45602
Description: The dimensional volume of a half-open interval with dimension 𝑛 + 1. Used in the first equality of step (e) of Lemma 115B of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoiprodp1.l 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
hoiprodp1.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Fin)
hoiprodp1.3 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
hoiprodp1.z (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑍 ∈ π‘Œ)
hoiprodp1.x 𝑋 = (π‘Œ βˆͺ {𝑍})
hoiprodp1.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
hoiprodp1.b (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
hoiprodp1.g 𝐺 = βˆπ‘˜ ∈ π‘Œ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
Assertion
Ref Expression
hoiprodp1 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) = (𝐺 Β· (volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘)))))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ž,𝑏,π‘˜   𝐡,π‘Ž,𝑏,π‘˜   𝑋,π‘Ž,𝑏,π‘˜,π‘₯   π‘˜,π‘Œ   π‘˜,𝑍   πœ‘,π‘Ž,𝑏,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯)   𝐺(π‘₯,π‘˜,π‘Ž,𝑏)   𝐿(π‘₯,π‘˜,π‘Ž,𝑏)   𝑉(π‘₯,π‘˜,π‘Ž,𝑏)   π‘Œ(π‘₯,π‘Ž,𝑏)   𝑍(π‘₯,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem hoiprodp1
StepHypRef Expression
1 hoiprodp1.l . . 3 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
2 hoiprodp1.x . . . 4 𝑋 = (π‘Œ βˆͺ {𝑍})
3 hoiprodp1.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Fin)
4 snfi 9046 . . . . . 6 {𝑍} ∈ Fin
54a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {𝑍} ∈ Fin)
6 unfi 9174 . . . . 5 ((π‘Œ ∈ Fin ∧ {𝑍} ∈ Fin) β†’ (π‘Œ βˆͺ {𝑍}) ∈ Fin)
73, 5, 6syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆͺ {𝑍}) ∈ Fin)
82, 7eqeltrid 2835 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
9 hoiprodp1.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
10 snidg 4661 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ 𝑍 ∈ {𝑍})
119, 10syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ {𝑍})
12 elun2 4176 . . . . . 6 (𝑍 ∈ {𝑍} β†’ 𝑍 ∈ (π‘Œ βˆͺ {𝑍}))
1311, 12syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (π‘Œ βˆͺ {𝑍}))
1413, 2eleqtrrdi 2842 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑋)
1514ne0d 4334 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
16 hoiprodp1.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
17 hoiprodp1.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
181, 8, 15, 16, 17hoidmvn0val 45598 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
1916ffvelcdmda 7085 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
2017ffvelcdmda 7085 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
21 volicore 45595 . . . . 5 (((π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
2219, 20, 21syl2anc 582 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
2322recnd 11246 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ β„‚)
24 fveq2 6890 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑍 β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘))
25 fveq2 6890 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑍 β†’ (π΅β€˜π‘˜) = (π΅β€˜π‘))
2624, 25oveq12d 7429 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑍 β†’ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) = ((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘)))
2726fveq2d 6894 . . . 4 (π‘˜ = 𝑍 β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = (volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘))))
2827adantl 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ = 𝑍) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = (volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘))))
298, 23, 14, 28fprodsplit1 44607 . 2 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = ((volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍})(volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))))
302difeq1i 4117 . . . . . . . 8 (𝑋 βˆ– {𝑍}) = ((π‘Œ βˆͺ {𝑍}) βˆ– {𝑍})
3130a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ– {𝑍}) = ((π‘Œ βˆͺ {𝑍}) βˆ– {𝑍}))
32 difun2 4479 . . . . . . . 8 ((π‘Œ βˆͺ {𝑍}) βˆ– {𝑍}) = (π‘Œ βˆ– {𝑍})
3332a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ βˆͺ {𝑍}) βˆ– {𝑍}) = (π‘Œ βˆ– {𝑍}))
34 hoiprodp1.z . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑍 ∈ π‘Œ)
35 difsn 4800 . . . . . . . 8 (Β¬ 𝑍 ∈ π‘Œ β†’ (π‘Œ βˆ– {𝑍}) = π‘Œ)
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ– {𝑍}) = π‘Œ)
3731, 33, 363eqtrd 2774 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ– {𝑍}) = π‘Œ)
3837prodeq1d 15869 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍})(volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = βˆπ‘˜ ∈ π‘Œ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
39 hoiprodp1.g . . . . . . 7 𝐺 = βˆπ‘˜ ∈ π‘Œ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
4039eqcomi 2739 . . . . . 6 βˆπ‘˜ ∈ π‘Œ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = 𝐺
4140a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ π‘Œ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = 𝐺)
4238, 41eqtrd 2770 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍})(volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = 𝐺)
4342oveq2d 7427 . . 3 (πœ‘ β†’ ((volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍})(volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))) = ((volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘))) Β· 𝐺))
4416, 14ffvelcdmd 7086 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜π‘) ∈ ℝ)
4517, 14ffvelcdmd 7086 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π΅β€˜π‘) ∈ ℝ)
46 volicore 45595 . . . . . 6 (((π΄β€˜π‘) ∈ ℝ ∧ (π΅β€˜π‘) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘))) ∈ ℝ)
4744, 45, 46syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘))) ∈ ℝ)
4847recnd 11246 . . . 4 (πœ‘ β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘))) ∈ β„‚)
4916adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
50 ssun1 4171 . . . . . . . . . . . 12 π‘Œ βŠ† (π‘Œ βˆͺ {𝑍})
5150, 2sseqtrri 4018 . . . . . . . . . . 11 π‘Œ βŠ† 𝑋
52 id 22 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ π‘Œ β†’ π‘˜ ∈ π‘Œ)
5351, 52sselid 3979 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ π‘Œ β†’ π‘˜ ∈ 𝑋)
5453adantl 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ π‘˜ ∈ 𝑋)
5549, 54ffvelcdmd 7086 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
5617adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
5756, 54ffvelcdmd 7086 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
5855, 57, 21syl2anc 582 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ π‘Œ) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
593, 58fprodrecl 15901 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ π‘Œ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
6039, 59eqeltrid 2835 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ℝ)
6160recnd 11246 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ β„‚)
6248, 61mulcomd 11239 . . 3 (πœ‘ β†’ ((volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘))) Β· 𝐺) = (𝐺 Β· (volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘)))))
6343, 62eqtrd 2770 . 2 (πœ‘ β†’ ((volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘))) Β· βˆπ‘˜ ∈ (𝑋 βˆ– {𝑍})(volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))) = (𝐺 Β· (volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘)))))
6418, 29, 633eqtrd 2774 1 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) = (𝐺 Β· (volβ€˜((π΄β€˜π‘)[,)(π΅β€˜π‘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945  βˆ…c0 4321  ifcif 4527  {csn 4627   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941  β„cr 11111  0cc0 11112   Β· cmul 11117  [,)cico 13330  βˆcprod 15853  volcvol 25212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-prod 15854  df-rest 17372  df-topgen 17393  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cmp 23111  df-ovol 25213  df-vol 25214
This theorem is referenced by:  hoidmvlelem2  45610  hoidmvlelem4  45612
  Copyright terms: Public domain W3C validator