Theorem hoiprodp1 46111

Description: The dimensional volume of a half-open interval with dimension 𝑛 + 1. Used in the first equality of step (e) of Lemma 115B of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoiprodp1.l	⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
hoiprodp1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Fin)
hoiprodp1.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
hoiprodp1.z	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ 𝑌)
hoiprodp1.x	⊢ 𝑋 = (𝑌 ∪ {𝑍})
hoiprodp1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoiprodp1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
hoiprodp1.g	⊢ 𝐺 = ∏𝑘 ∈ 𝑌 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
hoiprodp1	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = (𝐺 · (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝑘,𝑌   𝑘,𝑍   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)   𝐿(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑥,𝑘,𝑎,𝑏)   𝑌(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑍(𝑥,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hoiprodp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoiprodp1.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
2		hoiprodp1.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (𝑌 ∪ {𝑍})
3		hoiprodp1.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Fin)
4		snfi 9069	. . . . . 6 ⊢ {𝑍} ∈ Fin
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑍} ∈ Fin)
6		unfi 9197	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ Fin ∧ {𝑍} ∈ Fin) → (𝑌 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
7	3, 5, 6	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∪ {𝑍}) ∈ Fin)
8	2, 7	eqeltrid 2829	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
9		hoiprodp1.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
10		snidg 4664	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → 𝑍 ∈ {𝑍})
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ {𝑍})
12		elun2 4175	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ {𝑍} → 𝑍 ∈ (𝑌 ∪ {𝑍}))
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑌 ∪ {𝑍}))
14	13, 2	eleqtrrdi 2836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑋)
15	14	ne0d 4335	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
16		hoiprodp1.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
17		hoiprodp1.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
18	1, 8, 15, 16, 17	hoidmvn0val 46107	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
19	16	ffvelcdmda 7093	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
20	17	ffvelcdmda 7093	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
21		volicore 46104	. . . . 5 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
22	19, 20, 21	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℂ)
24		fveq2 6896	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑍 → (𝐴‘𝑘) = (𝐴‘𝑍))
25		fveq2 6896	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑍 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑍))
26	24, 25	oveq12d 7437	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑍 → ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) = ((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍)))
27	26	fveq2d 6900	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑍 → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))))
28	27	adantl 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑍) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))))
29	8, 23, 14, 28	fprodsplit1 45116	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = ((vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))))
30	2	difeq1i 4114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∖ {𝑍}) = ((𝑌 ∪ {𝑍}) ∖ {𝑍})
31	30	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ {𝑍}) = ((𝑌 ∪ {𝑍}) ∖ {𝑍}))
32		difun2 4482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∪ {𝑍}) ∖ {𝑍}) = (𝑌 ∖ {𝑍})
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ∪ {𝑍}) ∖ {𝑍}) = (𝑌 ∖ {𝑍}))
34		hoiprodp1.z	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ 𝑌)
35		difsn 4803	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ 𝑌 → (𝑌 ∖ {𝑍}) = 𝑌)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∖ {𝑍}) = 𝑌)
37	31, 33, 36	3eqtrd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ {𝑍}) = 𝑌)
38	37	prodeq1d 15901	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = ∏𝑘 ∈ 𝑌 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
39		hoiprodp1.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = ∏𝑘 ∈ 𝑌 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))
40	39	eqcomi 2734	. . . . . 6 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝑌 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 𝐺
41	40	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑌 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 𝐺)
42	38, 41	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) = 𝐺)
43	42	oveq2d 7435	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))) = ((vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))) · 𝐺))
44	16, 14	ffvelcdmd 7094	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑍) ∈ ℝ)
45	17, 14	ffvelcdmd 7094	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵‘𝑍) ∈ ℝ)
46		volicore 46104	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴‘𝑍) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑍) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))) ∈ ℝ)
47	44, 45, 46	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))) ∈ ℝ)
48	47	recnd 11274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))) ∈ ℂ)
49	16	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
50		ssun1 4170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑌 ⊆ (𝑌 ∪ {𝑍})
51	50, 2	sseqtrri 4014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑌 ⊆ 𝑋
52		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑌 → 𝑘 ∈ 𝑌)
53	51, 52	sselid 3974	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑌 → 𝑘 ∈ 𝑋)
54	53	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌) → 𝑘 ∈ 𝑋)
55	49, 54	ffvelcdmd 7094	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
56	17	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
57	56, 54	ffvelcdmd 7094	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
58	55, 57, 21	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑌) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
59	3, 58	fprodrecl 15933	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑌 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
60	39, 59	eqeltrid 2829	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ)
61	60	recnd 11274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
62	48, 61	mulcomd 11267	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))) · 𝐺) = (𝐺 · (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍)))))
63	43, 62	eqtrd 2765	. 2 ⊢ (𝜑 → ((vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍))) · ∏𝑘 ∈ (𝑋 ∖ {𝑍})(vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))) = (𝐺 · (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍)))))
64	18, 29, 63	3eqtrd 2769	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = (𝐺 · (vol‘((𝐴‘𝑍)[,)(𝐵‘𝑍)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∖ cdif 3941   ∪ cun 3942  ∅c0 4322  ifcif 4530  {csn 4630   ↦ cmpt 5232  ⟶wf 6545  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419   ∈ cmpo 7421   ↑_m cmap 8845  Fincfn 8964  ℝcr 11139  0cc0 11140   · cmul 11145  [,)cico 13361  ∏cprod 15885  volcvol 25436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-dju 9926  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ioo 13363  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-rlim 15469  df-sum 15669  df-prod 15886  df-rest 17407  df-topgen 17428  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-top 22840  df-topon 22857  df-bases 22893  df-cmp 23335  df-ovol 25437  df-vol 25438

This theorem is referenced by:  hoidmvlelem2  46119  hoidmvlelem4  46121