Theorem circlemethhgt 35062

Description: The circle method, where the Vinogradov sums are weighted using the Von Mangoldt function and smoothed using functions 𝐻 and 𝐾. Statement 7.49 of [Helfgott] p. 69. At this point there is no further constraint on the smoothing functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
circlemethhgt.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶ℝ)
circlemethhgt.k	⊢ (𝜑 → 𝐾:ℕ⟶ℝ)
circlemethhgt.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
circlemethhgt	⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐻,𝑥   𝑛,𝐾,𝑥   𝑛,𝑁,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥

Proof of Theorem circlemethhgt

Dummy variables 𝑎 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		circlemethhgt.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		3nn 12338	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ)
4		s3len 14957	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩) = 3
5	4	eqcomi 2775	. . . . 5 ⊢ 3 = (♯‘⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩)
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 3 = (♯‘⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩))
7		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
8		simprr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
9	7, 8	remulcld 11257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11255	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
11		vmaf 27320	. . . . . . . 8 ⊢ Λ:ℕ⟶ℝ
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Λ:ℕ⟶ℝ)
13		circlemethhgt.h	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶ℝ)
14		nnex 12257	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℕ ∈ V)
16		inidm 4182	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ∩ ℕ) = ℕ
17	10, 12, 13, 15, 15, 16	off 7705	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Λ ∘f · 𝐻):ℕ⟶ℂ)
18		cnex 11199	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
19	18, 14	elmap 8878	. . . . . 6 ⊢ ((Λ ∘f · 𝐻) ∈ (ℂ ↑m ℕ) ↔ (Λ ∘f · 𝐻):ℕ⟶ℂ)
20	17, 19	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Λ ∘f · 𝐻) ∈ (ℂ ↑m ℕ))
21		circlemethhgt.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾:ℕ⟶ℝ)
22	10, 12, 21, 15, 15, 16	off 7705	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Λ ∘f · 𝐾):ℕ⟶ℂ)
23	18, 14	elmap 8878	. . . . . 6 ⊢ ((Λ ∘f · 𝐾) ∈ (ℂ ↑m ℕ) ↔ (Λ ∘f · 𝐾):ℕ⟶ℂ)
24	22, 23	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Λ ∘f · 𝐾) ∈ (ℂ ↑m ℕ))
25	20, 24, 24	s3cld 14935	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩ ∈ Word (ℂ ↑m ℕ))
26	6, 25	wrdfd 14576	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩:(0..^3)⟶(ℂ ↑m ℕ))
27	1, 3, 26	circlemeth 35059	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^3)((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
28		fveq2 6888	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0))
29		fveq2 6888	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑛‘𝑎) = (𝑛‘0))
30	28, 29	fveq12d 6895	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0)‘(𝑛‘0)))
31		fveq2 6888	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1))
32		fveq2 6888	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝑛‘𝑎) = (𝑛‘1))
33	31, 32	fveq12d 6895	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)))
34		fveq2 6888	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 2 → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2))
35		fveq2 6888	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 2 → (𝑛‘𝑎) = (𝑛‘2))
36	34, 35	fveq12d 6895	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 2 → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2)))
37	26	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩:(0..^3)⟶(ℂ ↑m ℕ))
38	37	ffvelcdmda 7086	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) ∈ (ℂ ↑m ℕ))
39		elmapi 8855	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) ∈ (ℂ ↑m ℕ) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎):ℕ⟶ℂ)
40	38, 39	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎):ℕ⟶ℂ)
41		ssidd 3963	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ℕ ⊆ ℕ)
42	1	nn0zd 12634	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
43	42	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
44		3nn0 12540	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
45	44	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 3 ∈ ℕ0)
46		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
47	41, 43, 45, 46	reprf 35031	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑛:(0..^3)⟶ℕ)
48	47	ffvelcdmda 7086	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (𝑛‘𝑎) ∈ ℕ)
49	40, 48	ffvelcdmd 7087	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) ∈ ℂ)
50	30, 33, 36, 49	prodfzo03 35022	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = (((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0)‘(𝑛‘0)) · (((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)) · ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2)))))
51		ovex 7456	. . . . . . . 8 ⊢ (Λ ∘f · 𝐻) ∈ V
52		s3fv0 14954	. . . . . . . 8 ⊢ ((Λ ∘f · 𝐻) ∈ V → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0) = (Λ ∘f · 𝐻))
53	51, 52	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0) = (Λ ∘f · 𝐻))
54	53	fveq1d 6890	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0)‘(𝑛‘0)) = ((Λ ∘f · 𝐻)‘(𝑛‘0)))
55		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝜑)
56		c0ex 11218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
57	56	tpid1 4739	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
58		fzo0to3tp 13800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
59	57, 58	eleqtrri 2865	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ (0..^3)
60	59	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 0 ∈ (0..^3))
61	47, 60	ffvelcdmd 7087	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝑛‘0) ∈ ℕ)
62		ffn 6712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Λ:ℕ⟶ℝ → Λ Fn ℕ)
63	11, 62	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ Λ Fn ℕ
64	63	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Λ Fn ℕ)
65	13	ffnd 6713	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn ℕ)
66		eqidd 2767	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘0) ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑛‘0)) = (Λ‘(𝑛‘0)))
67		eqidd 2767	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘0) ∈ ℕ) → (𝐻‘(𝑛‘0)) = (𝐻‘(𝑛‘0)))
68	64, 65, 15, 15, 16, 66, 67	ofval 7698	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘0) ∈ ℕ) → ((Λ ∘f · 𝐻)‘(𝑛‘0)) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))))
69	55, 61, 68	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((Λ ∘f · 𝐻)‘(𝑛‘0)) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))))
70	54, 69	eqtrd 2801	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0)‘(𝑛‘0)) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))))
71		ovex 7456	. . . . . . . . 9 ⊢ (Λ ∘f · 𝐾) ∈ V
72		s3fv1 14955	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Λ ∘f · 𝐾) ∈ V → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1) = (Λ ∘f · 𝐾))
73	71, 72	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1) = (Λ ∘f · 𝐾))
74	73	fveq1d 6890	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)) = ((Λ ∘f · 𝐾)‘(𝑛‘1)))
75		1eltp012 12329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
76	75, 58	eleqtrri 2865	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ (0..^3)
77	76	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 1 ∈ (0..^3))
78	47, 77	ffvelcdmd 7087	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝑛‘1) ∈ ℕ)
79	21	ffnd 6713	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 Fn ℕ)
80		eqidd 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘1) ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑛‘1)) = (Λ‘(𝑛‘1)))
81		eqidd 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘1) ∈ ℕ) → (𝐾‘(𝑛‘1)) = (𝐾‘(𝑛‘1)))
82	64, 79, 15, 15, 16, 80, 81	ofval 7698	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘1) ∈ ℕ) → ((Λ ∘f · 𝐾)‘(𝑛‘1)) = ((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))))
83	55, 78, 82	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((Λ ∘f · 𝐾)‘(𝑛‘1)) = ((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))))
84	74, 83	eqtrd 2801	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)) = ((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))))
85		s3fv2 14956	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Λ ∘f · 𝐾) ∈ V → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2) = (Λ ∘f · 𝐾))
86	71, 85	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2) = (Λ ∘f · 𝐾))
87	86	fveq1d 6890	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2)) = ((Λ ∘f · 𝐾)‘(𝑛‘2)))
88		2ex 12336	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ V
89	88	tpid3 4744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
90	89, 58	eleqtrri 2865	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ (0..^3)
91	90	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 2 ∈ (0..^3))
92	47, 91	ffvelcdmd 7087	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝑛‘2) ∈ ℕ)
93		eqidd 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘2) ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑛‘2)) = (Λ‘(𝑛‘2)))
94		eqidd 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘2) ∈ ℕ) → (𝐾‘(𝑛‘2)) = (𝐾‘(𝑛‘2)))
95	64, 79, 15, 15, 16, 93, 94	ofval 7698	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘2) ∈ ℕ) → ((Λ ∘f · 𝐾)‘(𝑛‘2)) = ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))
96	55, 92, 95	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((Λ ∘f · 𝐾)‘(𝑛‘2)) = ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))
97	87, 96	eqtrd 2801	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2)) = ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))
98	84, 97	oveq12d 7441	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)) · ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2))) = (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))))
99	70, 98	oveq12d 7441	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0)‘(𝑛‘0)) · (((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)) · ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2)))) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
100	50, 99	eqtrd 2801	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
101	100	sumeq2dv 15779	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^3)((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
102		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1))
103		nfcv 2928	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎(((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)
104		fzofi 14030	. . . . . . 7 ⊢ (1..^3) ∈ Fin
105	104	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (1..^3) ∈ Fin)
106	56	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 0 ∈ V)
107		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = 0
108	107	orci 879	. . . . . . . 8 ⊢ (0 = 0 ∨ 0 = 3)
109		0elfz 13671	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...3))
110		elfznelfzob 13822	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ (0...3) → (¬ 0 ∈ (1..^3) ↔ (0 = 0 ∨ 0 = 3)))
111	44, 109, 110	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 0 ∈ (1..^3) ↔ (0 = 0 ∨ 0 = 3))
112	108, 111	mpbir 234	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 0 ∈ (1..^3)
113	112	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ¬ 0 ∈ (1..^3))
114	1	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
115		ioossre 13452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℝ
116		ax-resscn 11175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
117	115, 116	sstri 3949	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℂ
118	117	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0(,)1) ⊆ ℂ)
119	118	sselda 3940	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
120	119	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → 𝑥 ∈ ℂ)
121	26	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → ⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩:(0..^3)⟶(ℂ ↑m ℕ))
122		fzo0ss1 13737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1..^3) ⊆ (0..^3)
123	122	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (1..^3) ⊆ (0..^3))
124	123	sselda 3940	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → 𝑎 ∈ (0..^3))
125	121, 124	ffvelcdmd 7087	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) ∈ (ℂ ↑m ℕ))
126	125, 39	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎):ℕ⟶ℂ)
127	114, 120, 126	vtscl 35057	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ)
128	51, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0) = (Λ ∘f · 𝐻)
129	28, 128	eqtrdi 2817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 0 → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘f · 𝐻))
130	129	oveq1d 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁) = ((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁))
131	130	fveq1d 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥))
132	1	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
133	17	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (Λ ∘f · 𝐻):ℕ⟶ℂ)
134	132, 119, 133	vtscl 35057	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ)
135	102, 103, 105, 106, 113, 127, 131, 134	fprodsplitsn 16069	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ ((1..^3) ∪ {0})(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (∏𝑎 ∈ (1..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)))
136		uncom 4115	. . . . . . . 8 ⊢ ((1..^3) ∪ {0}) = ({0} ∪ (1..^3))
137		fzo0sn0fzo1 13803	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℕ → (0..^3) = ({0} ∪ (1..^3)))
138	2, 137	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^3) = ({0} ∪ (1..^3))
139	136, 138	eqtr4i 2792	. . . . . . 7 ⊢ ((1..^3) ∪ {0}) = (0..^3)
140	139	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((1..^3) ∪ {0}) = (0..^3))
141	140	prodeq1d 16000	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ ((1..^3) ∪ {0})(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ∏𝑎 ∈ (0..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥))
142		fzo13pr 13797	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1..^3) = {1, 2}
143	142	eleq2i 2858	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ (1..^3) ↔ 𝑎 ∈ {1, 2})
144		vex 3462	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑎 ∈ V
145	144	elpr 4619	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ {1, 2} ↔ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 = 2))
146	143, 145	bitri 278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (1..^3) ↔ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 = 2))
147	31	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 1) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1))
148	71, 72	mp1i 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 1) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1) = (Λ ∘f · 𝐾))
149	147, 148	eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 1) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘f · 𝐾))
150	34	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 2) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2))
151	71, 85	mp1i 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 2) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2) = (Λ ∘f · 𝐾))
152	150, 151	eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 2) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘f · 𝐾))
153	149, 152	jaodan 972	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 = 2)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘f · 𝐾))
154	146, 153	sylan2b 606	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘f · 𝐾))
155	154	adantlr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘f · 𝐾))
156	155	oveq1d 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁) = ((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁))
157	156	fveq1d 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥))
158	157	prodeq2dv 16002	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥))
159	22	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (Λ ∘f · 𝐾):ℕ⟶ℂ)
160	132, 119, 159	vtscl 35057	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ)
161		fprodconst 16058	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1..^3) ∈ Fin ∧ (((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ) → ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥) = ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(1..^3))))
162	105, 160, 161	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥) = ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(1..^3))))
163		nnuz 12919	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
164	2, 163	eleqtri 2864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘1)
165		hashfzo 14486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘1) → (♯‘(1..^3)) = (3 − 1))
166	164, 165	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯‘(1..^3)) = (3 − 1)
167		3m1e2 12386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 − 1) = 2
168	166, 167	eqtri 2789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘(1..^3)) = 2
169	168	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (♯‘(1..^3)) = 2)
170	169	oveq2d 7439	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(1..^3))) = ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2))
171	158, 162, 170	3eqtrd 2805	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2))
172	171	oveq1d 7438	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈ (1..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)) = (((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2) · (((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)))
173	160	sqcld 14200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
174	134, 173	mulcomd 11248	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) = (((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2) · (((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)))
175	172, 174	eqtr4d 2804	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈ (1..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)) = ((((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)))
176	135, 141, 175	3eqtr3d 2809	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ((((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)))
177	176	oveq1d 7438	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈ (0..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) = (((((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))))
178	177	itgeq2dv 25978	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥 = ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
179	27, 101, 178	3eqtr3d 2809	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458   ∪ cun 3906   ⊆ wss 3908  {csn 4594  {cpr 4596  {ctp 4598   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ∘_f cof 7685   ↑_m cmap 8833  Fincfn 8952  ℂcc 11116  ℝcr 11117  0cc0 11118  1c1 11119  ici 11120   · cmul 11123   − cmin 11459  -cneg 11460  ℕcn 12251  2c2 12313  3c3 12314  ℕ₀cn0 12522  ℤcz 12609  ℤ_≥cuz 12880  (,)cioo 13390  ...cfz 13553  ..^cfzo 13701  ↑cexp 14117  ♯chash 14386  ⟨“cs3 14905  Σcsu 15763  ∏cprod 15983  expce 16140  πcpi 16145  ∫citg 25814  Λcvma 27293  reprcrepr 35027  vtscvts 35054

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cc 10437  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-symdif 4209  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-disj 5082  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-ofr 7688  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9906  df-card 9944  df-acn 9947  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-word 14571  df-concat 14628  df-s1 14655  df-s2 14911  df-s3 14912  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-prod 15984  df-ef 16146  df-sin 16148  df-cos 16149  df-pi 16151  df-dvds 16336  df-gcd 16578  df-prm 16755  df-pc 16922  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-rest 17500  df-topn 17501  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-topgen 17521  df-pt 17522  df-prds 17525  df-xrs 17581  df-qtop 17586  df-imas 17587  df-xps 17589  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-mulg 19165  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-fbas 21556  df-fg 21557  df-cnfld 21560  df-top 23088  df-topon 23105  df-topsp 23127  df-bases 23140  df-cld 23213  df-ntr 23214  df-cls 23215  df-nei 23292  df-lp 23330  df-perf 23331  df-cn 23421  df-cnp 23422  df-haus 23509  df-cmp 23581  df-tx 23756  df-hmeo 23949  df-fil 24040  df-fm 24132  df-flim 24133  df-flf 24134  df-xms 24514  df-ms 24515  df-tms 24516  df-cncf 25074  df-ovol 25660  df-vol 25661  df-mbf 25815  df-itg1 25816  df-itg2 25817  df-ibl 25818  df-itg 25819  df-0p 25866  df-limc 26062  df-dv 26063  df-log 26758  df-vma 27299  df-repr 35028  df-vts 35055

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