Theorem circlemethhgt 34901

Description: The circle method, where the Vinogradov sums are weighted using the Von Mangoldt function and smoothed using functions 𝐻 and 𝐾. Statement 7.49 of [Helfgott] p. 69. At this point there is no further constraint on the smoothing functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
circlemethhgt.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶ℝ)
circlemethhgt.k	⊢ (𝜑 → 𝐾:ℕ⟶ℝ)
circlemethhgt.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
circlemethhgt	⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐻,𝑥   𝑛,𝐾,𝑥   𝑛,𝑁,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥

Proof of Theorem circlemethhgt

Dummy variables 𝑎 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		circlemethhgt.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		3nn 12294	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ)
4		s3len 14904	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩) = 3
5	4	eqcomi 2770	. . . . 5 ⊢ 3 = (♯‘⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩)
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 3 = (♯‘⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩))
7		simprl 780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
8		simprr 782	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
9	7, 8	remulcld 11209	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
11		vmaf 27160	. . . . . . . 8 ⊢ Λ:ℕ⟶ℝ
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Λ:ℕ⟶ℝ)
13		circlemethhgt.h	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶ℝ)
14		nnex 12213	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℕ ∈ V)
16		inidm 4178	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ∩ ℕ) = ℕ
17	10, 12, 13, 15, 15, 16	off 7674	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Λ ∘f · 𝐻):ℕ⟶ℂ)
18		cnex 11151	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
19	18, 14	elmap 8849	. . . . . 6 ⊢ ((Λ ∘f · 𝐻) ∈ (ℂ ↑m ℕ) ↔ (Λ ∘f · 𝐻):ℕ⟶ℂ)
20	17, 19	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Λ ∘f · 𝐻) ∈ (ℂ ↑m ℕ))
21		circlemethhgt.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾:ℕ⟶ℝ)
22	10, 12, 21, 15, 15, 16	off 7674	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Λ ∘f · 𝐾):ℕ⟶ℂ)
23	18, 14	elmap 8849	. . . . . 6 ⊢ ((Λ ∘f · 𝐾) ∈ (ℂ ↑m ℕ) ↔ (Λ ∘f · 𝐾):ℕ⟶ℂ)
24	22, 23	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Λ ∘f · 𝐾) ∈ (ℂ ↑m ℕ))
25	20, 24, 24	s3cld 14882	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩ ∈ Word (ℂ ↑m ℕ))
26	6, 25	wrdfd 14529	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩:(0..^3)⟶(ℂ ↑m ℕ))
27	1, 3, 26	circlemeth 34898	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^3)((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
28		fveq2 6863	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0))
29		fveq2 6863	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑛‘𝑎) = (𝑛‘0))
30	28, 29	fveq12d 6870	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0)‘(𝑛‘0)))
31		fveq2 6863	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1))
32		fveq2 6863	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝑛‘𝑎) = (𝑛‘1))
33	31, 32	fveq12d 6870	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)))
34		fveq2 6863	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 2 → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2))
35		fveq2 6863	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 2 → (𝑛‘𝑎) = (𝑛‘2))
36	34, 35	fveq12d 6870	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 2 → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2)))
37	26	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩:(0..^3)⟶(ℂ ↑m ℕ))
38	37	ffvelcdmda 7061	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) ∈ (ℂ ↑m ℕ))
39		elmapi 8826	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) ∈ (ℂ ↑m ℕ) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎):ℕ⟶ℂ)
40	38, 39	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎):ℕ⟶ℂ)
41		ssidd 3959	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ℕ ⊆ ℕ)
42	1	nn0zd 12590	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
43	42	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
44		3nn0 12496	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
45	44	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 3 ∈ ℕ0)
46		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
47	41, 43, 45, 46	reprf 34870	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑛:(0..^3)⟶ℕ)
48	47	ffvelcdmda 7061	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (𝑛‘𝑎) ∈ ℕ)
49	40, 48	ffvelcdmd 7062	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) ∈ ℂ)
50	30, 33, 36, 49	prodfzo03 34861	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = (((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0)‘(𝑛‘0)) · (((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)) · ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2)))))
51		ovex 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (Λ ∘f · 𝐻) ∈ V
52		s3fv0 14901	. . . . . . . 8 ⊢ ((Λ ∘f · 𝐻) ∈ V → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0) = (Λ ∘f · 𝐻))
53	51, 52	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0) = (Λ ∘f · 𝐻))
54	53	fveq1d 6865	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0)‘(𝑛‘0)) = ((Λ ∘f · 𝐻)‘(𝑛‘0)))
55		simpl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝜑)
56		c0ex 11170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
57	56	tpid1 4726	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
58		fzo0to3tp 13755	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
59	57, 58	eleqtrri 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ (0..^3)
60	59	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 0 ∈ (0..^3))
61	47, 60	ffvelcdmd 7062	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝑛‘0) ∈ ℕ)
62		ffn 6687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Λ:ℕ⟶ℝ → Λ Fn ℕ)
63	11, 62	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ Λ Fn ℕ
64	63	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Λ Fn ℕ)
65	13	ffnd 6688	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn ℕ)
66		eqidd 2762	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘0) ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑛‘0)) = (Λ‘(𝑛‘0)))
67		eqidd 2762	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘0) ∈ ℕ) → (𝐻‘(𝑛‘0)) = (𝐻‘(𝑛‘0)))
68	64, 65, 15, 15, 16, 66, 67	ofval 7667	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘0) ∈ ℕ) → ((Λ ∘f · 𝐻)‘(𝑛‘0)) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))))
69	55, 61, 68	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((Λ ∘f · 𝐻)‘(𝑛‘0)) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))))
70	54, 69	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0)‘(𝑛‘0)) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))))
71		ovex 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (Λ ∘f · 𝐾) ∈ V
72		s3fv1 14902	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Λ ∘f · 𝐾) ∈ V → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1) = (Λ ∘f · 𝐾))
73	71, 72	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1) = (Λ ∘f · 𝐾))
74	73	fveq1d 6865	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)) = ((Λ ∘f · 𝐾)‘(𝑛‘1)))
75		1ex 11173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ V
76	75	tpid2 4728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
77	76, 58	eleqtrri 2860	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ (0..^3)
78	77	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 1 ∈ (0..^3))
79	47, 78	ffvelcdmd 7062	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝑛‘1) ∈ ℕ)
80	21	ffnd 6688	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 Fn ℕ)
81		eqidd 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘1) ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑛‘1)) = (Λ‘(𝑛‘1)))
82		eqidd 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘1) ∈ ℕ) → (𝐾‘(𝑛‘1)) = (𝐾‘(𝑛‘1)))
83	64, 80, 15, 15, 16, 81, 82	ofval 7667	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘1) ∈ ℕ) → ((Λ ∘f · 𝐾)‘(𝑛‘1)) = ((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))))
84	55, 79, 83	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((Λ ∘f · 𝐾)‘(𝑛‘1)) = ((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))))
85	74, 84	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)) = ((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))))
86		s3fv2 14903	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Λ ∘f · 𝐾) ∈ V → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2) = (Λ ∘f · 𝐾))
87	71, 86	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2) = (Λ ∘f · 𝐾))
88	87	fveq1d 6865	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2)) = ((Λ ∘f · 𝐾)‘(𝑛‘2)))
89		2ex 12292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ V
90	89	tpid3 4731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
91	90, 58	eleqtrri 2860	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ (0..^3)
92	91	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 2 ∈ (0..^3))
93	47, 92	ffvelcdmd 7062	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝑛‘2) ∈ ℕ)
94		eqidd 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘2) ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑛‘2)) = (Λ‘(𝑛‘2)))
95		eqidd 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘2) ∈ ℕ) → (𝐾‘(𝑛‘2)) = (𝐾‘(𝑛‘2)))
96	64, 80, 15, 15, 16, 94, 95	ofval 7667	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘2) ∈ ℕ) → ((Λ ∘f · 𝐾)‘(𝑛‘2)) = ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))
97	55, 93, 96	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((Λ ∘f · 𝐾)‘(𝑛‘2)) = ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))
98	88, 97	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2)) = ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))
99	85, 98	oveq12d 7410	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)) · ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2))) = (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))))
100	70, 99	oveq12d 7410	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0)‘(𝑛‘0)) · (((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)) · ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2)))) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
101	50, 100	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
102	101	sumeq2dv 15712	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^3)((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
103		nfv 1933	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1))
104		nfcv 2923	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎(((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)
105		fzofi 13984	. . . . . . 7 ⊢ (1..^3) ∈ Fin
106	105	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (1..^3) ∈ Fin)
107	56	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 0 ∈ V)
108		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = 0
109	108	orci 876	. . . . . . . 8 ⊢ (0 = 0 ∨ 0 = 3)
110		0elfz 13626	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...3))
111		elfznelfzob 13777	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ (0...3) → (¬ 0 ∈ (1..^3) ↔ (0 = 0 ∨ 0 = 3)))
112	44, 110, 111	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 0 ∈ (1..^3) ↔ (0 = 0 ∨ 0 = 3))
113	109, 112	mpbir 233	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 0 ∈ (1..^3)
114	113	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ¬ 0 ∈ (1..^3))
115	1	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
116		ioossre 13408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℝ
117		ax-resscn 11127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
118	116, 117	sstri 3945	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℂ
119	118	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0(,)1) ⊆ ℂ)
120	119	sselda 3936	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
121	120	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → 𝑥 ∈ ℂ)
122	26	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → ⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩:(0..^3)⟶(ℂ ↑m ℕ))
123		fzo0ss1 13692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1..^3) ⊆ (0..^3)
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (1..^3) ⊆ (0..^3))
125	124	sselda 3936	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → 𝑎 ∈ (0..^3))
126	122, 125	ffvelcdmd 7062	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) ∈ (ℂ ↑m ℕ))
127	126, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎):ℕ⟶ℂ)
128	115, 121, 127	vtscl 34896	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ)
129	51, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0) = (Λ ∘f · 𝐻)
130	28, 129	eqtrdi 2812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 0 → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘f · 𝐻))
131	130	oveq1d 7407	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁) = ((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁))
132	131	fveq1d 6865	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥))
133	1	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
134	17	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (Λ ∘f · 𝐻):ℕ⟶ℂ)
135	133, 120, 134	vtscl 34896	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ)
136	103, 104, 106, 107, 114, 128, 132, 135	fprodsplitsn 16002	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ ((1..^3) ∪ {0})(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (∏𝑎 ∈ (1..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)))
137		uncom 4111	. . . . . . . 8 ⊢ ((1..^3) ∪ {0}) = ({0} ∪ (1..^3))
138		fzo0sn0fzo1 13758	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℕ → (0..^3) = ({0} ∪ (1..^3)))
139	2, 138	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^3) = ({0} ∪ (1..^3))
140	137, 139	eqtr4i 2787	. . . . . . 7 ⊢ ((1..^3) ∪ {0}) = (0..^3)
141	140	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((1..^3) ∪ {0}) = (0..^3))
142	141	prodeq1d 15933	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ ((1..^3) ∪ {0})(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ∏𝑎 ∈ (0..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥))
143		fzo13pr 13752	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1..^3) = {1, 2}
144	143	eleq2i 2853	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ (1..^3) ↔ 𝑎 ∈ {1, 2})
145		vex 3457	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑎 ∈ V
146	145	elpr 4606	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ {1, 2} ↔ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 = 2))
147	144, 146	bitri 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (1..^3) ↔ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 = 2))
148	31	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 1) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1))
149	71, 72	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 1) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1) = (Λ ∘f · 𝐾))
150	148, 149	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 1) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘f · 𝐾))
151	34	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 2) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2))
152	71, 86	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 2) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2) = (Λ ∘f · 𝐾))
153	151, 152	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 2) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘f · 𝐾))
154	150, 153	jaodan 970	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 = 2)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘f · 𝐾))
155	147, 154	sylan2b 603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘f · 𝐾))
156	155	adantlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘f · 𝐾))
157	156	oveq1d 7407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁) = ((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁))
158	157	fveq1d 6865	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥))
159	158	prodeq2dv 15935	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥))
160	22	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (Λ ∘f · 𝐾):ℕ⟶ℂ)
161	133, 120, 160	vtscl 34896	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ)
162		fprodconst 15991	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1..^3) ∈ Fin ∧ (((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ) → ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥) = ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(1..^3))))
163	106, 161, 162	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥) = ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(1..^3))))
164		nnuz 12875	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
165	2, 164	eleqtri 2859	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘1)
166		hashfzo 14439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘1) → (♯‘(1..^3)) = (3 − 1))
167	165, 166	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯‘(1..^3)) = (3 − 1)
168		3m1e2 12342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 − 1) = 2
169	167, 168	eqtri 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘(1..^3)) = 2
170	169	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (♯‘(1..^3)) = 2)
171	170	oveq2d 7408	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(1..^3))) = ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2))
172	159, 163, 171	3eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2))
173	172	oveq1d 7407	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈ (1..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)) = (((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2) · (((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)))
174	161	sqcld 14154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
175	135, 174	mulcomd 11200	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) = (((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2) · (((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)))
176	173, 175	eqtr4d 2799	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈ (1..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)) = ((((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)))
177	136, 142, 176	3eqtr3d 2804	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ((((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)))
178	177	oveq1d 7407	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈ (0..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) = (((((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))))
179	178	itgeq2dv 25824	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥 = ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
180	27, 102, 179	3eqtr3d 2804	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ∪ cun 3902   ⊆ wss 3904  {csn 4581  {cpr 4583  {ctp 4585   Fn wfn 6512  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   ∘_f cof 7654   ↑_m cmap 8803  Fincfn 8923  ℂcc 11068  ℝcr 11069  0cc0 11070  1c1 11071  ici 11072   · cmul 11075   − cmin 11411  -cneg 11412  ℕcn 12207  2c2 12269  3c3 12270  ℕ₀cn0 12478  ℤcz 12565  ℤ_≥cuz 12836  (,)cioo 13346  ...cfz 13509  ..^cfzo 13656  ↑cexp 14071  ♯chash 14340  ⟨“cs3 14852  Σcsu 15696  ∏cprod 15916  expce 16074  πcpi 16079  ∫citg 25660  Λcvma 27133  reprcrepr 34866  vtscvts 34893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593  ax-cc 10389  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148  ax-addf 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-symdif 4205  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-disj 5067  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-ofr 7657  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-oadd 8436  df-omul 8437  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9455  df-dju 9856  df-card 9894  df-acn 9897  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-xneg 13111  df-xadd 13112  df-xmul 13113  df-ioo 13350  df-ioc 13351  df-ico 13352  df-icc 13353  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14012  df-exp 14072  df-fac 14284  df-bc 14313  df-hash 14341  df-word 14524  df-concat 14581  df-s1 14607  df-s2 14858  df-s3 14859  df-shft 15077  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-limsup 15481  df-clim 15498  df-rlim 15499  df-sum 15697  df-prod 15917  df-ef 16080  df-sin 16082  df-cos 16083  df-pi 16085  df-dvds 16270  df-gcd 16512  df-prm 16689  df-pc 16856  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-pt 17456  df-prds 17459  df-xrs 17515  df-qtop 17520  df-imas 17521  df-xps 17523  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-acs 17600  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-submnd 18801  df-mulg 19093  df-cntz 19340  df-cmn 19805  df-psmet 21396  df-xmet 21397  df-met 21398  df-bl 21399  df-mopn 21400  df-fbas 21401  df-fg 21402  df-cnfld 21405  df-top 22934  df-topon 22951  df-topsp 22973  df-bases 22986  df-cld 23059  df-ntr 23060  df-cls 23061  df-nei 23138  df-lp 23176  df-perf 23177  df-cn 23267  df-cnp 23268  df-haus 23355  df-cmp 23427  df-tx 23602  df-hmeo 23795  df-fil 23886  df-fm 23978  df-flim 23979  df-flf 23980  df-xms 24360  df-ms 24361  df-tms 24362  df-cncf 24920  df-ovol 25506  df-vol 25507  df-mbf 25661  df-itg1 25662  df-itg2 25663  df-ibl 25664  df-itg 25665  df-0p 25712  df-limc 25908  df-dv 25909  df-log 26598  df-vma 27139  df-repr 34867  df-vts 34894

This theorem is referenced by:  tgoldbachgtde  34918