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Theorem circlemethhgt 32028
 Description: The circle method, where the Vinogradov sums are weighted using the Von Mangoldt function and smoothed using functions 𝐻 and 𝐾. Statement 7.49 of [Helfgott] p. 69. At this point there is no further constraint on the smoothing functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
circlemethhgt.h (𝜑𝐻:ℕ⟶ℝ)
circlemethhgt.k (𝜑𝐾:ℕ⟶ℝ)
circlemethhgt.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
circlemethhgt (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐻,𝑥   𝑛,𝐾,𝑥   𝑛,𝑁,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥

Proof of Theorem circlemethhgt
Dummy variables 𝑎 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 circlemethhgt.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 3nn 11708 . . . 4 3 ∈ ℕ
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → 3 ∈ ℕ)
4 s3len 14251 . . . . . 6 (♯‘⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩) = 3
54eqcomi 2810 . . . . 5 3 = (♯‘⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩)
65a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 3 = (♯‘⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩))
7 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
8 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
97, 8remulcld 10664 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
109recnd 10662 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
11 vmaf 25708 . . . . . . . 8 Λ:ℕ⟶ℝ
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → Λ:ℕ⟶ℝ)
13 circlemethhgt.h . . . . . . 7 (𝜑𝐻:ℕ⟶ℝ)
14 nnex 11635 . . . . . . . 8 ℕ ∈ V
1514a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℕ ∈ V)
16 inidm 4148 . . . . . . 7 (ℕ ∩ ℕ) = ℕ
1710, 12, 13, 15, 15, 16off 7408 . . . . . 6 (𝜑 → (Λ ∘f · 𝐻):ℕ⟶ℂ)
18 cnex 10611 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
1918, 14elmap 8422 . . . . . 6 ((Λ ∘f · 𝐻) ∈ (ℂ ↑m ℕ) ↔ (Λ ∘f · 𝐻):ℕ⟶ℂ)
2017, 19sylibr 237 . . . . 5 (𝜑 → (Λ ∘f · 𝐻) ∈ (ℂ ↑m ℕ))
21 circlemethhgt.k . . . . . . 7 (𝜑𝐾:ℕ⟶ℝ)
2210, 12, 21, 15, 15, 16off 7408 . . . . . 6 (𝜑 → (Λ ∘f · 𝐾):ℕ⟶ℂ)
2318, 14elmap 8422 . . . . . 6 ((Λ ∘f · 𝐾) ∈ (ℂ ↑m ℕ) ↔ (Λ ∘f · 𝐾):ℕ⟶ℂ)
2422, 23sylibr 237 . . . . 5 (𝜑 → (Λ ∘f · 𝐾) ∈ (ℂ ↑m ℕ))
2520, 24, 24s3cld 14229 . . . 4 (𝜑 → ⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩ ∈ Word (ℂ ↑m ℕ))
266, 25wrdfd 30642 . . 3 (𝜑 → ⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩:(0..^3)⟶(ℂ ↑m ℕ))
271, 3, 26circlemeth 32025 . 2 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^3)((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
28 fveq2 6649 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0))
29 fveq2 6649 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → (𝑛𝑎) = (𝑛‘0))
3028, 29fveq12d 6656 . . . . 5 (𝑎 = 0 → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0)‘(𝑛‘0)))
31 fveq2 6649 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1))
32 fveq2 6649 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → (𝑛𝑎) = (𝑛‘1))
3331, 32fveq12d 6656 . . . . 5 (𝑎 = 1 → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)))
34 fveq2 6649 . . . . . 6 (𝑎 = 2 → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2))
35 fveq2 6649 . . . . . 6 (𝑎 = 2 → (𝑛𝑎) = (𝑛‘2))
3634, 35fveq12d 6656 . . . . 5 (𝑎 = 2 → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2)))
3726adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩:(0..^3)⟶(ℂ ↑m ℕ))
3837ffvelrnda 6832 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) ∈ (ℂ ↑m ℕ))
39 elmapi 8415 . . . . . . 7 ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) ∈ (ℂ ↑m ℕ) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎):ℕ⟶ℂ)
4038, 39syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎):ℕ⟶ℂ)
41 ssidd 3941 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ℕ ⊆ ℕ)
421nn0zd 12077 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
4342adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
44 3nn0 11907 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ0
4544a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 3 ∈ ℕ0)
46 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
4741, 43, 45, 46reprf 31997 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑛:(0..^3)⟶ℕ)
4847ffvelrnda 6832 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (𝑛𝑎) ∈ ℕ)
4940, 48ffvelrnd 6833 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) ∈ ℂ)
5030, 33, 36, 49prodfzo03 31988 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = (((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0)‘(𝑛‘0)) · (((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)) · ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2)))))
51 ovex 7172 . . . . . . . 8 (Λ ∘f · 𝐻) ∈ V
52 s3fv0 14248 . . . . . . . 8 ((Λ ∘f · 𝐻) ∈ V → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0) = (Λ ∘f · 𝐻))
5351, 52mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0) = (Λ ∘f · 𝐻))
5453fveq1d 6651 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0)‘(𝑛‘0)) = ((Λ ∘f · 𝐻)‘(𝑛‘0)))
55 simpl 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝜑)
56 c0ex 10628 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
5756tpid1 4667 . . . . . . . . . 10 0 ∈ {0, 1, 2}
58 fzo0to3tp 13122 . . . . . . . . . 10 (0..^3) = {0, 1, 2}
5957, 58eleqtrri 2892 . . . . . . . . 9 0 ∈ (0..^3)
6059a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 0 ∈ (0..^3))
6147, 60ffvelrnd 6833 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝑛‘0) ∈ ℕ)
62 ffn 6491 . . . . . . . . . 10 (Λ:ℕ⟶ℝ → Λ Fn ℕ)
6311, 62ax-mp 5 . . . . . . . . 9 Λ Fn ℕ
6463a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → Λ Fn ℕ)
6513ffnd 6492 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 Fn ℕ)
66 eqidd 2802 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛‘0) ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑛‘0)) = (Λ‘(𝑛‘0)))
67 eqidd 2802 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛‘0) ∈ ℕ) → (𝐻‘(𝑛‘0)) = (𝐻‘(𝑛‘0)))
6864, 65, 15, 15, 16, 66, 67ofval 7402 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛‘0) ∈ ℕ) → ((Λ ∘f · 𝐻)‘(𝑛‘0)) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))))
6955, 61, 68syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((Λ ∘f · 𝐻)‘(𝑛‘0)) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))))
7054, 69eqtrd 2836 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0)‘(𝑛‘0)) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))))
71 ovex 7172 . . . . . . . . 9 (Λ ∘f · 𝐾) ∈ V
72 s3fv1 14249 . . . . . . . . 9 ((Λ ∘f · 𝐾) ∈ V → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1) = (Λ ∘f · 𝐾))
7371, 72mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1) = (Λ ∘f · 𝐾))
7473fveq1d 6651 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)) = ((Λ ∘f · 𝐾)‘(𝑛‘1)))
75 1ex 10630 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ V
7675tpid2 4669 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ {0, 1, 2}
7776, 58eleqtrri 2892 . . . . . . . . . 10 1 ∈ (0..^3)
7877a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 1 ∈ (0..^3))
7947, 78ffvelrnd 6833 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝑛‘1) ∈ ℕ)
8021ffnd 6492 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 Fn ℕ)
81 eqidd 2802 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛‘1) ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑛‘1)) = (Λ‘(𝑛‘1)))
82 eqidd 2802 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛‘1) ∈ ℕ) → (𝐾‘(𝑛‘1)) = (𝐾‘(𝑛‘1)))
8364, 80, 15, 15, 16, 81, 82ofval 7402 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛‘1) ∈ ℕ) → ((Λ ∘f · 𝐾)‘(𝑛‘1)) = ((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))))
8455, 79, 83syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((Λ ∘f · 𝐾)‘(𝑛‘1)) = ((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))))
8574, 84eqtrd 2836 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)) = ((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))))
86 s3fv2 14250 . . . . . . . . 9 ((Λ ∘f · 𝐾) ∈ V → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2) = (Λ ∘f · 𝐾))
8771, 86mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2) = (Λ ∘f · 𝐾))
8887fveq1d 6651 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2)) = ((Λ ∘f · 𝐾)‘(𝑛‘2)))
89 2ex 11706 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ V
9089tpid3 4672 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ {0, 1, 2}
9190, 58eleqtrri 2892 . . . . . . . . . 10 2 ∈ (0..^3)
9291a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 2 ∈ (0..^3))
9347, 92ffvelrnd 6833 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝑛‘2) ∈ ℕ)
94 eqidd 2802 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛‘2) ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑛‘2)) = (Λ‘(𝑛‘2)))
95 eqidd 2802 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛‘2) ∈ ℕ) → (𝐾‘(𝑛‘2)) = (𝐾‘(𝑛‘2)))
9664, 80, 15, 15, 16, 94, 95ofval 7402 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛‘2) ∈ ℕ) → ((Λ ∘f · 𝐾)‘(𝑛‘2)) = ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))
9755, 93, 96syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((Λ ∘f · 𝐾)‘(𝑛‘2)) = ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))
9888, 97eqtrd 2836 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2)) = ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))
9985, 98oveq12d 7157 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)) · ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2))) = (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))))
10070, 99oveq12d 7157 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0)‘(𝑛‘0)) · (((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)) · ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2)))) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
10150, 100eqtrd 2836 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
102101sumeq2dv 15056 . 2 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^3)((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛𝑎)) = Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
103 nfv 1915 . . . . . 6 𝑎(𝜑𝑥 ∈ (0(,)1))
104 nfcv 2958 . . . . . 6 𝑎(((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)
105 fzofi 13341 . . . . . . 7 (1..^3) ∈ Fin
106105a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → (1..^3) ∈ Fin)
10756a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → 0 ∈ V)
108 eqid 2801 . . . . . . . . 9 0 = 0
109108orci 862 . . . . . . . 8 (0 = 0 ∨ 0 = 3)
110 0elfz 13003 . . . . . . . . 9 (3 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...3))
111 elfznelfzob 13142 . . . . . . . . 9 (0 ∈ (0...3) → (¬ 0 ∈ (1..^3) ↔ (0 = 0 ∨ 0 = 3)))
11244, 110, 111mp2b 10 . . . . . . . 8 (¬ 0 ∈ (1..^3) ↔ (0 = 0 ∨ 0 = 3))
113109, 112mpbir 234 . . . . . . 7 ¬ 0 ∈ (1..^3)
114113a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ¬ 0 ∈ (1..^3))
1151ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
116 ioossre 12790 . . . . . . . . . . 11 (0(,)1) ⊆ ℝ
117 ax-resscn 10587 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
118116, 117sstri 3927 . . . . . . . . . 10 (0(,)1) ⊆ ℂ
119118a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0(,)1) ⊆ ℂ)
120119sselda 3918 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
121120adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → 𝑥 ∈ ℂ)
12226ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → ⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩:(0..^3)⟶(ℂ ↑m ℕ))
123 fzo0ss1 13066 . . . . . . . . . . 11 (1..^3) ⊆ (0..^3)
124123a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → (1..^3) ⊆ (0..^3))
125124sselda 3918 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → 𝑎 ∈ (0..^3))
126122, 125ffvelrnd 6833 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) ∈ (ℂ ↑m ℕ))
127126, 39syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎):ℕ⟶ℂ)
128115, 121, 127vtscl 32023 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ)
12951, 52ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0) = (Λ ∘f · 𝐻)
13028, 129eqtrdi 2852 . . . . . . . 8 (𝑎 = 0 → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘f · 𝐻))
131130oveq1d 7154 . . . . . . 7 (𝑎 = 0 → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁) = ((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁))
132131fveq1d 6651 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → (((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥))
1331adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
13417adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → (Λ ∘f · 𝐻):ℕ⟶ℂ)
135133, 120, 134vtscl 32023 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → (((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ)
136103, 104, 106, 107, 114, 128, 132, 135fprodsplitsn 15339 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ ((1..^3) ∪ {0})(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (∏𝑎 ∈ (1..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)))
137 uncom 4083 . . . . . . . 8 ((1..^3) ∪ {0}) = ({0} ∪ (1..^3))
138 fzo0sn0fzo1 13125 . . . . . . . . 9 (3 ∈ ℕ → (0..^3) = ({0} ∪ (1..^3)))
1392, 138ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0..^3) = ({0} ∪ (1..^3))
140137, 139eqtr4i 2827 . . . . . . 7 ((1..^3) ∪ {0}) = (0..^3)
141140a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((1..^3) ∪ {0}) = (0..^3))
142141prodeq1d 15271 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ ((1..^3) ∪ {0})(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ∏𝑎 ∈ (0..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥))
143 fzo13pr 13120 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1..^3) = {1, 2}
144143eleq2i 2884 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ (1..^3) ↔ 𝑎 ∈ {1, 2})
145 vex 3447 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑎 ∈ V
146145elpr 4551 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ {1, 2} ↔ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 = 2))
147144, 146bitri 278 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ (1..^3) ↔ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 = 2))
14831adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎 = 1) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1))
14971, 72mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎 = 1) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1) = (Λ ∘f · 𝐾))
150148, 149eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑎 = 1) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘f · 𝐾))
15134adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎 = 2) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2))
15271, 86mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎 = 2) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2) = (Λ ∘f · 𝐾))
153151, 152eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑎 = 2) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘f · 𝐾))
154150, 153jaodan 955 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 = 2)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘f · 𝐾))
155147, 154sylan2b 596 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎 ∈ (1..^3)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘f · 𝐾))
156155adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘f · 𝐾))
157156oveq1d 7154 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁) = ((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁))
158157fveq1d 6651 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥))
159158prodeq2dv 15273 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥))
16022adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → (Λ ∘f · 𝐾):ℕ⟶ℂ)
161133, 120, 160vtscl 32023 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → (((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ)
162 fprodconst 15328 . . . . . . . . 9 (((1..^3) ∈ Fin ∧ (((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ) → ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥) = ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(1..^3))))
163106, 161, 162syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥) = ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(1..^3))))
164 nnuz 12273 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ = (ℤ‘1)
1652, 164eleqtri 2891 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ (ℤ‘1)
166 hashfzo 13790 . . . . . . . . . . . 12 (3 ∈ (ℤ‘1) → (♯‘(1..^3)) = (3 − 1))
167165, 166ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (♯‘(1..^3)) = (3 − 1)
168 3m1e2 11757 . . . . . . . . . . 11 (3 − 1) = 2
169167, 168eqtri 2824 . . . . . . . . . 10 (♯‘(1..^3)) = 2
170169a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → (♯‘(1..^3)) = 2)
171170oveq2d 7155 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(1..^3))) = ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2))
172159, 163, 1713eqtrd 2840 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2))
173172oveq1d 7154 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈ (1..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)) = (((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2) · (((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)))
174161sqcld 13508 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
175135, 174mulcomd 10655 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) = (((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2) · (((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)))
176173, 175eqtr4d 2839 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈ (1..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)) = ((((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)))
177136, 142, 1763eqtr3d 2844 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ((((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)))
178177oveq1d 7154 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈ (0..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) = (((((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))))
179178itgeq2dv 24389 . 2 (𝜑 → ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥 = ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
18027, 102, 1793eqtr3d 2844 1 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  Vcvv 3444   ∪ cun 3882   ⊆ wss 3884  {csn 4528  {cpr 4530  {ctp 4532   Fn wfn 6323  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ∘f cof 7391   ↑m cmap 8393  Fincfn 8496  ℂcc 10528  ℝcr 10529  0cc0 10530  1c1 10531  ici 10532   · cmul 10535   − cmin 10863  -cneg 10864  ℕcn 11629  2c2 11684  3c3 11685  ℕ0cn0 11889  ℤcz 11973  ℤ≥cuz 12235  (,)cioo 12730  ...cfz 12889  ..^cfzo 13032  ↑cexp 13429  ♯chash 13690  ⟨“cs3 14199  Σcsu 15038  ∏cprod 15255  expce 15411  πcpi 15416  ∫citg 24226  Λcvma 25681  reprcrepr 31993  vtscvts 32020 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cc 9850  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-symdif 4172  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-disj 4999  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-ofr 7394  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-word 13862  df-concat 13918  df-s1 13945  df-s2 14205  df-s3 14206  df-shft 14422  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-limsup 14824  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-prod 15256  df-ef 15417  df-sin 15419  df-cos 15420  df-pi 15422  df-dvds 15604  df-gcd 15838  df-prm 16010  df-pc 16168  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-rest 16692  df-topn 16693  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-topgen 16713  df-pt 16714  df-prds 16717  df-xrs 16771  df-qtop 16776  df-imas 16777  df-xps 16779  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-cnfld 20096  df-top 21503  df-topon 21520  df-topsp 21542  df-bases 21555  df-cld 21628  df-ntr 21629  df-cls 21630  df-nei 21707  df-lp 21745  df-perf 21746  df-cn 21836  df-cnp 21837  df-haus 21924  df-cmp 21996  df-tx 22171  df-hmeo 22364  df-fil 22455  df-fm 22547  df-flim 22548  df-flf 22549  df-xms 22931  df-ms 22932  df-tms 22933  df-cncf 23487  df-ovol 24072  df-vol 24073  df-mbf 24227  df-itg1 24228  df-itg2 24229  df-ibl 24230  df-itg 24231  df-0p 24278  df-limc 24473  df-dv 24474  df-log 25152  df-vma 25687  df-repr 31994  df-vts 32021 This theorem is referenced by:  tgoldbachgtde  32045
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