Theorem circlemethhgt 34610

Description: The circle method, where the Vinogradov sums are weighted using the Von Mangoldt function and smoothed using functions 𝐻 and 𝐾. Statement 7.49 of [Helfgott] p. 69. At this point there is no further constraint on the smoothing functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
circlemethhgt.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶ℝ)
circlemethhgt.k	⊢ (𝜑 → 𝐾:ℕ⟶ℝ)
circlemethhgt.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
circlemethhgt	⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐻,𝑥   𝑛,𝐾,𝑥   𝑛,𝑁,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥

Proof of Theorem circlemethhgt

Dummy variables 𝑎 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		circlemethhgt.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		3nn 12225	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ)
4		s3len 14819	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩) = 3
5	4	eqcomi 2738	. . . . 5 ⊢ 3 = (♯‘⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩)
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 3 = (♯‘⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩))
7		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
8		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
9	7, 8	remulcld 11164	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
11		vmaf 27045	. . . . . . . 8 ⊢ Λ:ℕ⟶ℝ
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Λ:ℕ⟶ℝ)
13		circlemethhgt.h	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶ℝ)
14		nnex 12152	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℕ ∈ V)
16		inidm 4180	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ∩ ℕ) = ℕ
17	10, 12, 13, 15, 15, 16	off 7635	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Λ ∘f · 𝐻):ℕ⟶ℂ)
18		cnex 11109	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
19	18, 14	elmap 8805	. . . . . 6 ⊢ ((Λ ∘f · 𝐻) ∈ (ℂ ↑m ℕ) ↔ (Λ ∘f · 𝐻):ℕ⟶ℂ)
20	17, 19	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Λ ∘f · 𝐻) ∈ (ℂ ↑m ℕ))
21		circlemethhgt.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾:ℕ⟶ℝ)
22	10, 12, 21, 15, 15, 16	off 7635	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Λ ∘f · 𝐾):ℕ⟶ℂ)
23	18, 14	elmap 8805	. . . . . 6 ⊢ ((Λ ∘f · 𝐾) ∈ (ℂ ↑m ℕ) ↔ (Λ ∘f · 𝐾):ℕ⟶ℂ)
24	22, 23	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Λ ∘f · 𝐾) ∈ (ℂ ↑m ℕ))
25	20, 24, 24	s3cld 14797	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩ ∈ Word (ℂ ↑m ℕ))
26	6, 25	wrdfd 14444	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩:(0..^3)⟶(ℂ ↑m ℕ))
27	1, 3, 26	circlemeth 34607	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^3)((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
28		fveq2 6826	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0))
29		fveq2 6826	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑛‘𝑎) = (𝑛‘0))
30	28, 29	fveq12d 6833	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0)‘(𝑛‘0)))
31		fveq2 6826	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1))
32		fveq2 6826	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝑛‘𝑎) = (𝑛‘1))
33	31, 32	fveq12d 6833	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)))
34		fveq2 6826	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 2 → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2))
35		fveq2 6826	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 2 → (𝑛‘𝑎) = (𝑛‘2))
36	34, 35	fveq12d 6833	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 2 → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2)))
37	26	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩:(0..^3)⟶(ℂ ↑m ℕ))
38	37	ffvelcdmda 7022	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) ∈ (ℂ ↑m ℕ))
39		elmapi 8783	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) ∈ (ℂ ↑m ℕ) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎):ℕ⟶ℂ)
40	38, 39	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎):ℕ⟶ℂ)
41		ssidd 3961	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ℕ ⊆ ℕ)
42	1	nn0zd 12515	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
43	42	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
44		3nn0 12420	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
45	44	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 3 ∈ ℕ0)
46		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
47	41, 43, 45, 46	reprf 34579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑛:(0..^3)⟶ℕ)
48	47	ffvelcdmda 7022	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (𝑛‘𝑎) ∈ ℕ)
49	40, 48	ffvelcdmd 7023	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) ∈ ℂ)
50	30, 33, 36, 49	prodfzo03 34570	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = (((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0)‘(𝑛‘0)) · (((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)) · ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2)))))
51		ovex 7386	. . . . . . . 8 ⊢ (Λ ∘f · 𝐻) ∈ V
52		s3fv0 14816	. . . . . . . 8 ⊢ ((Λ ∘f · 𝐻) ∈ V → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0) = (Λ ∘f · 𝐻))
53	51, 52	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0) = (Λ ∘f · 𝐻))
54	53	fveq1d 6828	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0)‘(𝑛‘0)) = ((Λ ∘f · 𝐻)‘(𝑛‘0)))
55		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝜑)
56		c0ex 11128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
57	56	tpid1 4722	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
58		fzo0to3tp 13673	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
59	57, 58	eleqtrri 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ (0..^3)
60	59	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 0 ∈ (0..^3))
61	47, 60	ffvelcdmd 7023	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝑛‘0) ∈ ℕ)
62		ffn 6656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Λ:ℕ⟶ℝ → Λ Fn ℕ)
63	11, 62	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ Λ Fn ℕ
64	63	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Λ Fn ℕ)
65	13	ffnd 6657	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn ℕ)
66		eqidd 2730	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘0) ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑛‘0)) = (Λ‘(𝑛‘0)))
67		eqidd 2730	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘0) ∈ ℕ) → (𝐻‘(𝑛‘0)) = (𝐻‘(𝑛‘0)))
68	64, 65, 15, 15, 16, 66, 67	ofval 7628	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘0) ∈ ℕ) → ((Λ ∘f · 𝐻)‘(𝑛‘0)) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))))
69	55, 61, 68	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((Λ ∘f · 𝐻)‘(𝑛‘0)) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))))
70	54, 69	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0)‘(𝑛‘0)) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))))
71		ovex 7386	. . . . . . . . 9 ⊢ (Λ ∘f · 𝐾) ∈ V
72		s3fv1 14817	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Λ ∘f · 𝐾) ∈ V → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1) = (Λ ∘f · 𝐾))
73	71, 72	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1) = (Λ ∘f · 𝐾))
74	73	fveq1d 6828	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)) = ((Λ ∘f · 𝐾)‘(𝑛‘1)))
75		1ex 11130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ V
76	75	tpid2 4724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
77	76, 58	eleqtrri 2827	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ (0..^3)
78	77	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 1 ∈ (0..^3))
79	47, 78	ffvelcdmd 7023	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝑛‘1) ∈ ℕ)
80	21	ffnd 6657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 Fn ℕ)
81		eqidd 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘1) ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑛‘1)) = (Λ‘(𝑛‘1)))
82		eqidd 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘1) ∈ ℕ) → (𝐾‘(𝑛‘1)) = (𝐾‘(𝑛‘1)))
83	64, 80, 15, 15, 16, 81, 82	ofval 7628	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘1) ∈ ℕ) → ((Λ ∘f · 𝐾)‘(𝑛‘1)) = ((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))))
84	55, 79, 83	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((Λ ∘f · 𝐾)‘(𝑛‘1)) = ((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))))
85	74, 84	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)) = ((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))))
86		s3fv2 14818	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Λ ∘f · 𝐾) ∈ V → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2) = (Λ ∘f · 𝐾))
87	71, 86	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2) = (Λ ∘f · 𝐾))
88	87	fveq1d 6828	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2)) = ((Λ ∘f · 𝐾)‘(𝑛‘2)))
89		2ex 12223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ V
90	89	tpid3 4727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
91	90, 58	eleqtrri 2827	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ (0..^3)
92	91	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 2 ∈ (0..^3))
93	47, 92	ffvelcdmd 7023	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝑛‘2) ∈ ℕ)
94		eqidd 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘2) ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑛‘2)) = (Λ‘(𝑛‘2)))
95		eqidd 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘2) ∈ ℕ) → (𝐾‘(𝑛‘2)) = (𝐾‘(𝑛‘2)))
96	64, 80, 15, 15, 16, 94, 95	ofval 7628	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘2) ∈ ℕ) → ((Λ ∘f · 𝐾)‘(𝑛‘2)) = ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))
97	55, 93, 96	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((Λ ∘f · 𝐾)‘(𝑛‘2)) = ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))
98	88, 97	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2)) = ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))
99	85, 98	oveq12d 7371	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)) · ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2))) = (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))))
100	70, 99	oveq12d 7371	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0)‘(𝑛‘0)) · (((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)) · ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2)))) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
101	50, 100	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
102	101	sumeq2dv 15627	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^3)((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
103		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1))
104		nfcv 2891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎(((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)
105		fzofi 13899	. . . . . . 7 ⊢ (1..^3) ∈ Fin
106	105	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (1..^3) ∈ Fin)
107	56	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 0 ∈ V)
108		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = 0
109	108	orci 865	. . . . . . . 8 ⊢ (0 = 0 ∨ 0 = 3)
110		0elfz 13545	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...3))
111		elfznelfzob 13694	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ (0...3) → (¬ 0 ∈ (1..^3) ↔ (0 = 0 ∨ 0 = 3)))
112	44, 110, 111	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 0 ∈ (1..^3) ↔ (0 = 0 ∨ 0 = 3))
113	109, 112	mpbir 231	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 0 ∈ (1..^3)
114	113	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ¬ 0 ∈ (1..^3))
115	1	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
116		ioossre 13328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℝ
117		ax-resscn 11085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
118	116, 117	sstri 3947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℂ
119	118	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0(,)1) ⊆ ℂ)
120	119	sselda 3937	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
121	120	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → 𝑥 ∈ ℂ)
122	26	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → ⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩:(0..^3)⟶(ℂ ↑m ℕ))
123		fzo0ss1 13610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1..^3) ⊆ (0..^3)
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (1..^3) ⊆ (0..^3))
125	124	sselda 3937	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → 𝑎 ∈ (0..^3))
126	122, 125	ffvelcdmd 7023	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) ∈ (ℂ ↑m ℕ))
127	126, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎):ℕ⟶ℂ)
128	115, 121, 127	vtscl 34605	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ)
129	51, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0) = (Λ ∘f · 𝐻)
130	28, 129	eqtrdi 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 0 → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘f · 𝐻))
131	130	oveq1d 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁) = ((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁))
132	131	fveq1d 6828	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥))
133	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
134	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (Λ ∘f · 𝐻):ℕ⟶ℂ)
135	133, 120, 134	vtscl 34605	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ)
136	103, 104, 106, 107, 114, 128, 132, 135	fprodsplitsn 15914	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ ((1..^3) ∪ {0})(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (∏𝑎 ∈ (1..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)))
137		uncom 4111	. . . . . . . 8 ⊢ ((1..^3) ∪ {0}) = ({0} ∪ (1..^3))
138		fzo0sn0fzo1 13676	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℕ → (0..^3) = ({0} ∪ (1..^3)))
139	2, 138	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^3) = ({0} ∪ (1..^3))
140	137, 139	eqtr4i 2755	. . . . . . 7 ⊢ ((1..^3) ∪ {0}) = (0..^3)
141	140	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((1..^3) ∪ {0}) = (0..^3))
142	141	prodeq1d 15845	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ ((1..^3) ∪ {0})(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ∏𝑎 ∈ (0..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥))
143		fzo13pr 13670	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1..^3) = {1, 2}
144	143	eleq2i 2820	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ (1..^3) ↔ 𝑎 ∈ {1, 2})
145		vex 3442	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑎 ∈ V
146	145	elpr 4604	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ {1, 2} ↔ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 = 2))
147	144, 146	bitri 275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (1..^3) ↔ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 = 2))
148	31	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 1) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1))
149	71, 72	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 1) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1) = (Λ ∘f · 𝐾))
150	148, 149	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 1) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘f · 𝐾))
151	34	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 2) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2))
152	71, 86	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 2) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2) = (Λ ∘f · 𝐾))
153	151, 152	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 2) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘f · 𝐾))
154	150, 153	jaodan 959	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 = 2)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘f · 𝐾))
155	147, 154	sylan2b 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘f · 𝐾))
156	155	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘f · 𝐾))
157	156	oveq1d 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁) = ((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁))
158	157	fveq1d 6828	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥))
159	158	prodeq2dv 15847	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥))
160	22	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (Λ ∘f · 𝐾):ℕ⟶ℂ)
161	133, 120, 160	vtscl 34605	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ)
162		fprodconst 15903	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1..^3) ∈ Fin ∧ (((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ) → ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥) = ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(1..^3))))
163	106, 161, 162	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥) = ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(1..^3))))
164		nnuz 12796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
165	2, 164	eleqtri 2826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘1)
166		hashfzo 14354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘1) → (♯‘(1..^3)) = (3 − 1))
167	165, 166	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯‘(1..^3)) = (3 − 1)
168		3m1e2 12269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 − 1) = 2
169	167, 168	eqtri 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘(1..^3)) = 2
170	169	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (♯‘(1..^3)) = 2)
171	170	oveq2d 7369	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(1..^3))) = ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2))
172	159, 163, 171	3eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2))
173	172	oveq1d 7368	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈ (1..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)) = (((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2) · (((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)))
174	161	sqcld 14069	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
175	135, 174	mulcomd 11155	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) = (((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2) · (((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)))
176	173, 175	eqtr4d 2767	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈ (1..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)) = ((((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)))
177	136, 142, 176	3eqtr3d 2772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ((((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)))
178	177	oveq1d 7368	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈ (0..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) = (((((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))))
179	178	itgeq2dv 25699	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥 = ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
180	27, 102, 179	3eqtr3d 2772	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438   ∪ cun 3903   ⊆ wss 3905  {csn 4579  {cpr 4581  {ctp 4583   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∘_f cof 7615   ↑_m cmap 8760  Fincfn 8879  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029  ici 11030   · cmul 11033   − cmin 11365  -cneg 11366  ℕcn 12146  2c2 12201  3c3 12202  ℕ₀cn0 12402  ℤcz 12489  ℤ_≥cuz 12753  (,)cioo 13266  ...cfz 13428  ..^cfzo 13575  ↑cexp 13986  ♯chash 14255  ⟨“cs3 14767  Σcsu 15611  ∏cprod 15828  expce 15986  πcpi 15991  ∫citg 25535  Λcvma 27018  reprcrepr 34575  vtscvts 34602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cc 10348  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-symdif 4206  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-disj 5063  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-dju 9816  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ioo 13270  df-ioc 13271  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-fac 14199  df-bc 14228  df-hash 14256  df-word 14439  df-concat 14496  df-s1 14521  df-s2 14773  df-s3 14774  df-shft 14992  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-limsup 15396  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-prod 15829  df-ef 15992  df-sin 15994  df-cos 15995  df-pi 15997  df-dvds 16182  df-gcd 16424  df-prm 16601  df-pc 16767  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17424  df-qtop 17429  df-imas 17430  df-xps 17432  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-submnd 18676  df-mulg 18965  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22797  df-topon 22814  df-topsp 22836  df-bases 22849  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-lp 23039  df-perf 23040  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-haus 23218  df-cmp 23290  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-xms 24224  df-ms 24225  df-tms 24226  df-cncf 24787  df-ovol 25381  df-vol 25382  df-mbf 25536  df-itg1 25537  df-itg2 25538  df-ibl 25539  df-itg 25540  df-0p 25587  df-limc 25783  df-dv 25784  df-log 26481  df-vma 27024  df-repr 34576  df-vts 34603

This theorem is referenced by:  tgoldbachgtde  34627