| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | circlemethhgt.n |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈
ℕ0) |
| 2 | | 3nn 12345 |
. . . 4
⊢ 3 ∈
ℕ |
| 3 | 2 | a1i 11 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 3 ∈
ℕ) |
| 4 | | s3len 14933 |
. . . . . 6
⊢
(♯‘〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f
· 𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉) = 3 |
| 5 | 4 | eqcomi 2746 |
. . . . 5
⊢ 3 =
(♯‘〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f
· 𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉) |
| 6 | 5 | a1i 11 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 3 =
(♯‘〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f
· 𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉)) |
| 7 | | simprl 771 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ) |
| 8 | | simprr 773 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ) |
| 9 | 7, 8 | remulcld 11291 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ) |
| 10 | 9 | recnd 11289 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ) |
| 11 | | vmaf 27162 |
. . . . . . . 8
⊢
Λ:ℕ⟶ℝ |
| 12 | 11 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 →
Λ:ℕ⟶ℝ) |
| 13 | | circlemethhgt.h |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶ℝ) |
| 14 | | nnex 12272 |
. . . . . . . 8
⊢ ℕ
∈ V |
| 15 | 14 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ℕ ∈
V) |
| 16 | | inidm 4227 |
. . . . . . 7
⊢ (ℕ
∩ ℕ) = ℕ |
| 17 | 10, 12, 13, 15, 15, 16 | off 7715 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (Λ
∘f · 𝐻):ℕ⟶ℂ) |
| 18 | | cnex 11236 |
. . . . . . 7
⊢ ℂ
∈ V |
| 19 | 18, 14 | elmap 8911 |
. . . . . 6
⊢
((Λ ∘f · 𝐻) ∈ (ℂ ↑m
ℕ) ↔ (Λ ∘f · 𝐻):ℕ⟶ℂ) |
| 20 | 17, 19 | sylibr 234 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (Λ
∘f · 𝐻) ∈ (ℂ ↑m
ℕ)) |
| 21 | | circlemethhgt.k |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐾:ℕ⟶ℝ) |
| 22 | 10, 12, 21, 15, 15, 16 | off 7715 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (Λ
∘f · 𝐾):ℕ⟶ℂ) |
| 23 | 18, 14 | elmap 8911 |
. . . . . 6
⊢
((Λ ∘f · 𝐾) ∈ (ℂ ↑m
ℕ) ↔ (Λ ∘f · 𝐾):ℕ⟶ℂ) |
| 24 | 22, 23 | sylibr 234 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (Λ
∘f · 𝐾) ∈ (ℂ ↑m
ℕ)) |
| 25 | 20, 24, 24 | s3cld 14911 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 〈“(Λ
∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉 ∈ Word (ℂ
↑m ℕ)) |
| 26 | 6, 25 | wrdfd 32918 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 〈“(Λ
∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉:(0..^3)⟶(ℂ
↑m ℕ)) |
| 27 | 1, 3, 26 | circlemeth 34655 |
. 2
⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^3)((〈“(Λ
∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^3)(((〈“(Λ
∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2
· π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥) |
| 28 | | fveq2 6906 |
. . . . . 6
⊢ (𝑎 = 0 →
(〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘𝑎) = (〈“(Λ
∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘0)) |
| 29 | | fveq2 6906 |
. . . . . 6
⊢ (𝑎 = 0 → (𝑛‘𝑎) = (𝑛‘0)) |
| 30 | 28, 29 | fveq12d 6913 |
. . . . 5
⊢ (𝑎 = 0 →
((〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = ((〈“(Λ
∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘0)‘(𝑛‘0))) |
| 31 | | fveq2 6906 |
. . . . . 6
⊢ (𝑎 = 1 →
(〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘𝑎) = (〈“(Λ
∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘1)) |
| 32 | | fveq2 6906 |
. . . . . 6
⊢ (𝑎 = 1 → (𝑛‘𝑎) = (𝑛‘1)) |
| 33 | 31, 32 | fveq12d 6913 |
. . . . 5
⊢ (𝑎 = 1 →
((〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = ((〈“(Λ
∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘1)‘(𝑛‘1))) |
| 34 | | fveq2 6906 |
. . . . . 6
⊢ (𝑎 = 2 →
(〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘𝑎) = (〈“(Λ
∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘2)) |
| 35 | | fveq2 6906 |
. . . . . 6
⊢ (𝑎 = 2 → (𝑛‘𝑎) = (𝑛‘2)) |
| 36 | 34, 35 | fveq12d 6913 |
. . . . 5
⊢ (𝑎 = 2 →
((〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = ((〈“(Λ
∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘2)‘(𝑛‘2))) |
| 37 | 26 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 〈“(Λ
∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉:(0..^3)⟶(ℂ
↑m ℕ)) |
| 38 | 37 | ffvelcdmda 7104 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) →
(〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘𝑎) ∈ (ℂ ↑m
ℕ)) |
| 39 | | elmapi 8889 |
. . . . . . 7
⊢
((〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘𝑎) ∈ (ℂ ↑m ℕ)
→ (〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘𝑎):ℕ⟶ℂ) |
| 40 | 38, 39 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) →
(〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘𝑎):ℕ⟶ℂ) |
| 41 | | ssidd 4007 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ℕ ⊆
ℕ) |
| 42 | 1 | nn0zd 12639 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ) |
| 43 | 42 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ) |
| 44 | | 3nn0 12544 |
. . . . . . . . 9
⊢ 3 ∈
ℕ0 |
| 45 | 44 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 3 ∈
ℕ0) |
| 46 | | simpr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) |
| 47 | 41, 43, 45, 46 | reprf 34627 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑛:(0..^3)⟶ℕ) |
| 48 | 47 | ffvelcdmda 7104 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (𝑛‘𝑎) ∈ ℕ) |
| 49 | 40, 48 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) →
((〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) ∈ ℂ) |
| 50 | 30, 33, 36, 49 | prodfzo03 34618 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ∏𝑎 ∈
(0..^3)((〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = (((〈“(Λ
∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘0)‘(𝑛‘0)) ·
(((〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘1)‘(𝑛‘1)) ·
((〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘2)‘(𝑛‘2))))) |
| 51 | | ovex 7464 |
. . . . . . . 8
⊢ (Λ
∘f · 𝐻) ∈ V |
| 52 | | s3fv0 14930 |
. . . . . . . 8
⊢
((Λ ∘f · 𝐻) ∈ V → (〈“(Λ
∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘0) = (Λ
∘f · 𝐻)) |
| 53 | 51, 52 | mp1i 13 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) →
(〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘0) = (Λ
∘f · 𝐻)) |
| 54 | 53 | fveq1d 6908 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) →
((〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘0)‘(𝑛‘0)) = ((Λ
∘f · 𝐻)‘(𝑛‘0))) |
| 55 | | simpl 482 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝜑) |
| 56 | | c0ex 11255 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 0 ∈
V |
| 57 | 56 | tpid1 4768 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 0 ∈
{0, 1, 2} |
| 58 | | fzo0to3tp 13791 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (0..^3) =
{0, 1, 2} |
| 59 | 57, 58 | eleqtrri 2840 |
. . . . . . . . 9
⊢ 0 ∈
(0..^3) |
| 60 | 59 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 0 ∈
(0..^3)) |
| 61 | 47, 60 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝑛‘0) ∈ ℕ) |
| 62 | | ffn 6736 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(Λ:ℕ⟶ℝ → Λ Fn
ℕ) |
| 63 | 11, 62 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . 9
⊢ Λ
Fn ℕ |
| 64 | 63 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → Λ Fn
ℕ) |
| 65 | 13 | ffnd 6737 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn ℕ) |
| 66 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘0) ∈ ℕ) →
(Λ‘(𝑛‘0)) = (Λ‘(𝑛‘0))) |
| 67 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘0) ∈ ℕ) → (𝐻‘(𝑛‘0)) = (𝐻‘(𝑛‘0))) |
| 68 | 64, 65, 15, 15, 16, 66, 67 | ofval 7708 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘0) ∈ ℕ) → ((Λ
∘f · 𝐻)‘(𝑛‘0)) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0)))) |
| 69 | 55, 61, 68 | syl2anc 584 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((Λ
∘f · 𝐻)‘(𝑛‘0)) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0)))) |
| 70 | 54, 69 | eqtrd 2777 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) →
((〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘0)‘(𝑛‘0)) =
((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0)))) |
| 71 | | ovex 7464 |
. . . . . . . . 9
⊢ (Λ
∘f · 𝐾) ∈ V |
| 72 | | s3fv1 14931 |
. . . . . . . . 9
⊢
((Λ ∘f · 𝐾) ∈ V → (〈“(Λ
∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘1) = (Λ
∘f · 𝐾)) |
| 73 | 71, 72 | mp1i 13 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) →
(〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘1) = (Λ
∘f · 𝐾)) |
| 74 | 73 | fveq1d 6908 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) →
((〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘1)‘(𝑛‘1)) = ((Λ
∘f · 𝐾)‘(𝑛‘1))) |
| 75 | | 1ex 11257 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 1 ∈
V |
| 76 | 75 | tpid2 4770 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 1 ∈
{0, 1, 2} |
| 77 | 76, 58 | eleqtrri 2840 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 1 ∈
(0..^3) |
| 78 | 77 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 1 ∈
(0..^3)) |
| 79 | 47, 78 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝑛‘1) ∈ ℕ) |
| 80 | 21 | ffnd 6737 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐾 Fn ℕ) |
| 81 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘1) ∈ ℕ) →
(Λ‘(𝑛‘1)) = (Λ‘(𝑛‘1))) |
| 82 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘1) ∈ ℕ) → (𝐾‘(𝑛‘1)) = (𝐾‘(𝑛‘1))) |
| 83 | 64, 80, 15, 15, 16, 81, 82 | ofval 7708 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘1) ∈ ℕ) → ((Λ
∘f · 𝐾)‘(𝑛‘1)) = ((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1)))) |
| 84 | 55, 79, 83 | syl2anc 584 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((Λ
∘f · 𝐾)‘(𝑛‘1)) = ((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1)))) |
| 85 | 74, 84 | eqtrd 2777 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) →
((〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘1)‘(𝑛‘1)) =
((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1)))) |
| 86 | | s3fv2 14932 |
. . . . . . . . 9
⊢
((Λ ∘f · 𝐾) ∈ V → (〈“(Λ
∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘2) = (Λ
∘f · 𝐾)) |
| 87 | 71, 86 | mp1i 13 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) →
(〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘2) = (Λ
∘f · 𝐾)) |
| 88 | 87 | fveq1d 6908 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) →
((〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘2)‘(𝑛‘2)) = ((Λ
∘f · 𝐾)‘(𝑛‘2))) |
| 89 | | 2ex 12343 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 2 ∈
V |
| 90 | 89 | tpid3 4773 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 2 ∈
{0, 1, 2} |
| 91 | 90, 58 | eleqtrri 2840 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 2 ∈
(0..^3) |
| 92 | 91 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 2 ∈
(0..^3)) |
| 93 | 47, 92 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝑛‘2) ∈ ℕ) |
| 94 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘2) ∈ ℕ) →
(Λ‘(𝑛‘2)) = (Λ‘(𝑛‘2))) |
| 95 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘2) ∈ ℕ) → (𝐾‘(𝑛‘2)) = (𝐾‘(𝑛‘2))) |
| 96 | 64, 80, 15, 15, 16, 94, 95 | ofval 7708 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘2) ∈ ℕ) → ((Λ
∘f · 𝐾)‘(𝑛‘2)) = ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) |
| 97 | 55, 93, 96 | syl2anc 584 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((Λ
∘f · 𝐾)‘(𝑛‘2)) = ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) |
| 98 | 88, 97 | eqtrd 2777 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) →
((〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘2)‘(𝑛‘2)) =
((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))) |
| 99 | 85, 98 | oveq12d 7449 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) →
(((〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘1)‘(𝑛‘1)) ·
((〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘2)‘(𝑛‘2))) =
(((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) |
| 100 | 70, 99 | oveq12d 7449 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) →
(((〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘0)‘(𝑛‘0)) ·
(((〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘1)‘(𝑛‘1)) ·
((〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘2)‘(𝑛‘2)))) =
(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))))) |
| 101 | 50, 100 | eqtrd 2777 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ∏𝑎 ∈
(0..^3)((〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))))) |
| 102 | 101 | sumeq2dv 15738 |
. 2
⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^3)((〈“(Λ
∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))))) |
| 103 | | nfv 1914 |
. . . . . 6
⊢
Ⅎ𝑎(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) |
| 104 | | nfcv 2905 |
. . . . . 6
⊢
Ⅎ𝑎(((Λ ∘f ·
𝐻)vts𝑁)‘𝑥) |
| 105 | | fzofi 14015 |
. . . . . . 7
⊢ (1..^3)
∈ Fin |
| 106 | 105 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (1..^3) ∈
Fin) |
| 107 | 56 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 0 ∈
V) |
| 108 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . 9
⊢ 0 =
0 |
| 109 | 108 | orci 866 |
. . . . . . . 8
⊢ (0 = 0
∨ 0 = 3) |
| 110 | | 0elfz 13664 |
. . . . . . . . 9
⊢ (3 ∈
ℕ0 → 0 ∈ (0...3)) |
| 111 | | elfznelfzob 13812 |
. . . . . . . . 9
⊢ (0 ∈
(0...3) → (¬ 0 ∈ (1..^3) ↔ (0 = 0 ∨ 0 =
3))) |
| 112 | 44, 110, 111 | mp2b 10 |
. . . . . . . 8
⊢ (¬ 0
∈ (1..^3) ↔ (0 = 0 ∨ 0 = 3)) |
| 113 | 109, 112 | mpbir 231 |
. . . . . . 7
⊢ ¬ 0
∈ (1..^3) |
| 114 | 113 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ¬ 0 ∈
(1..^3)) |
| 115 | 1 | ad2antrr 726 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → 𝑁 ∈
ℕ0) |
| 116 | | ioossre 13448 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (0(,)1)
⊆ ℝ |
| 117 | | ax-resscn 11212 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ℝ
⊆ ℂ |
| 118 | 116, 117 | sstri 3993 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (0(,)1)
⊆ ℂ |
| 119 | 118 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (0(,)1) ⊆
ℂ) |
| 120 | 119 | sselda 3983 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑥 ∈ ℂ) |
| 121 | 120 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → 𝑥 ∈ ℂ) |
| 122 | 26 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) →
〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉:(0..^3)⟶(ℂ
↑m ℕ)) |
| 123 | | fzo0ss1 13729 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (1..^3)
⊆ (0..^3) |
| 124 | 123 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (1..^3) ⊆
(0..^3)) |
| 125 | 124 | sselda 3983 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → 𝑎 ∈ (0..^3)) |
| 126 | 122, 125 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) →
(〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘𝑎) ∈ (ℂ ↑m
ℕ)) |
| 127 | 126, 39 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) →
(〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘𝑎):ℕ⟶ℂ) |
| 128 | 115, 121,
127 | vtscl 34653 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) →
(((〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ) |
| 129 | 51, 52 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . 9
⊢
(〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘0) = (Λ
∘f · 𝐻) |
| 130 | 28, 129 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑎 = 0 →
(〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘𝑎) = (Λ ∘f ·
𝐻)) |
| 131 | 130 | oveq1d 7446 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑎 = 0 →
((〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘𝑎)vts𝑁) = ((Λ ∘f ·
𝐻)vts𝑁)) |
| 132 | 131 | fveq1d 6908 |
. . . . . 6
⊢ (𝑎 = 0 →
(((〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (((Λ ∘f ·
𝐻)vts𝑁)‘𝑥)) |
| 133 | 1 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈
ℕ0) |
| 134 | 17 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (Λ
∘f · 𝐻):ℕ⟶ℂ) |
| 135 | 133, 120,
134 | vtscl 34653 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (((Λ
∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ) |
| 136 | 103, 104,
106, 107, 114, 128, 132, 135 | fprodsplitsn 16025 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ ((1..^3) ∪
{0})(((〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (∏𝑎 ∈ (1..^3)(((〈“(Λ
∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (((Λ ∘f
· 𝐻)vts𝑁)‘𝑥))) |
| 137 | | uncom 4158 |
. . . . . . . 8
⊢ ((1..^3)
∪ {0}) = ({0} ∪ (1..^3)) |
| 138 | | fzo0sn0fzo1 13794 |
. . . . . . . . 9
⊢ (3 ∈
ℕ → (0..^3) = ({0} ∪ (1..^3))) |
| 139 | 2, 138 | ax-mp 5 |
. . . . . . . 8
⊢ (0..^3) =
({0} ∪ (1..^3)) |
| 140 | 137, 139 | eqtr4i 2768 |
. . . . . . 7
⊢ ((1..^3)
∪ {0}) = (0..^3) |
| 141 | 140 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((1..^3) ∪ {0}) =
(0..^3)) |
| 142 | 141 | prodeq1d 15956 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ ((1..^3) ∪
{0})(((〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ∏𝑎 ∈ (0..^3)(((〈“(Λ
∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥)) |
| 143 | | fzo13pr 13788 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (1..^3) =
{1, 2} |
| 144 | 143 | eleq2i 2833 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑎 ∈ (1..^3) ↔ 𝑎 ∈ {1, 2}) |
| 145 | | vex 3484 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 𝑎 ∈ V |
| 146 | 145 | elpr 4650 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑎 ∈ {1, 2} ↔ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 = 2)) |
| 147 | 144, 146 | bitri 275 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑎 ∈ (1..^3) ↔ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 = 2)) |
| 148 | 31 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 1) → (〈“(Λ
∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘𝑎) = (〈“(Λ
∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘1)) |
| 149 | 71, 72 | mp1i 13 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 1) → (〈“(Λ
∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘1) = (Λ
∘f · 𝐾)) |
| 150 | 148, 149 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 1) → (〈“(Λ
∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘𝑎) = (Λ ∘f ·
𝐾)) |
| 151 | 34 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 2) → (〈“(Λ
∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘𝑎) = (〈“(Λ
∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘2)) |
| 152 | 71, 86 | mp1i 13 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 2) → (〈“(Λ
∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘2) = (Λ
∘f · 𝐾)) |
| 153 | 151, 152 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 2) → (〈“(Λ
∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘𝑎) = (Λ ∘f ·
𝐾)) |
| 154 | 150, 153 | jaodan 960 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 = 2)) → (〈“(Λ
∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘𝑎) = (Λ ∘f ·
𝐾)) |
| 155 | 147, 154 | sylan2b 594 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) →
(〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘𝑎) = (Λ ∘f ·
𝐾)) |
| 156 | 155 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) →
(〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘𝑎) = (Λ ∘f ·
𝐾)) |
| 157 | 156 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) →
((〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘𝑎)vts𝑁) = ((Λ ∘f ·
𝐾)vts𝑁)) |
| 158 | 157 | fveq1d 6908 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) →
(((〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (((Λ ∘f ·
𝐾)vts𝑁)‘𝑥)) |
| 159 | 158 | prodeq2dv 15958 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈
(1..^3)(((〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((Λ
∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)) |
| 160 | 22 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (Λ
∘f · 𝐾):ℕ⟶ℂ) |
| 161 | 133, 120,
160 | vtscl 34653 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (((Λ
∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ) |
| 162 | | fprodconst 16014 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((1..^3)
∈ Fin ∧ (((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ) → ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((Λ
∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥) = ((((Λ ∘f ·
𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(1..^3)))) |
| 163 | 106, 161,
162 | syl2anc 584 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((Λ
∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥) = ((((Λ ∘f ·
𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(1..^3)))) |
| 164 | | nnuz 12921 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ℕ =
(ℤ≥‘1) |
| 165 | 2, 164 | eleqtri 2839 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 3 ∈
(ℤ≥‘1) |
| 166 | | hashfzo 14468 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (3 ∈
(ℤ≥‘1) → (♯‘(1..^3)) = (3 −
1)) |
| 167 | 165, 166 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(♯‘(1..^3)) = (3 − 1) |
| 168 | | 3m1e2 12394 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (3
− 1) = 2 |
| 169 | 167, 168 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(♯‘(1..^3)) = 2 |
| 170 | 169 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) →
(♯‘(1..^3)) = 2) |
| 171 | 170 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((((Λ
∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(1..^3))) =
((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) |
| 172 | 159, 163,
171 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈
(1..^3)(((〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ((((Λ ∘f ·
𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) |
| 173 | 172 | oveq1d 7446 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈
(1..^3)(((〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (((Λ ∘f
· 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)) = (((((Λ ∘f
· 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2) · (((Λ
∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥))) |
| 174 | 161 | sqcld 14184 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((((Λ
∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2) ∈ ℂ) |
| 175 | 135, 174 | mulcomd 11282 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((((Λ
∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f
· 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) = (((((Λ
∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2) · (((Λ
∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥))) |
| 176 | 173, 175 | eqtr4d 2780 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈
(1..^3)(((〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (((Λ ∘f
· 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)) = ((((Λ ∘f
· 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f
· 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2))) |
| 177 | 136, 142,
176 | 3eqtr3d 2785 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈
(0..^3)(((〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ((((Λ ∘f ·
𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f
· 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2))) |
| 178 | 177 | oveq1d 7446 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈
(0..^3)(((〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2
· π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) = (((((Λ ∘f
· 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f
· 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i ·
(2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥))))) |
| 179 | 178 | itgeq2dv 25817 |
. 2
⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈
(0..^3)(((〈“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f ·
𝐾)(Λ
∘f · 𝐾)”〉‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2
· π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥 = ∫(0(,)1)(((((Λ
∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f
· 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i ·
(2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥) |
| 180 | 27, 102, 179 | 3eqtr3d 2785 |
1
⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = ∫(0(,)1)(((((Λ
∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f
· 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i ·
(2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥) |