Theorem circlemethhgt 31487

Description: The circle method, where the Vinogradov sums are weighted using the Von Mangoldt function and smoothed using functions 𝐻 and 𝐾. Statement 7.49 of [Helfgott] p. 69. At this point there is no further constraint on the smoothing functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
circlemethhgt.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶ℝ)
circlemethhgt.k	⊢ (𝜑 → 𝐾:ℕ⟶ℝ)
circlemethhgt.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
circlemethhgt	⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐻,𝑥   𝑛,𝐾,𝑥   𝑛,𝑁,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥

Proof of Theorem circlemethhgt

Dummy variables 𝑎 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		circlemethhgt.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		3nn 11553	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ)
4		s3len 14080	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩) = 3
5	4	eqcomi 2802	. . . . 5 ⊢ 3 = (♯‘⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩)
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 3 = (♯‘⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩))
7		simprl 767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
8		simprr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
9	7, 8	remulcld 10506	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
10	9	recnd 10504	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
11		vmaf 25366	. . . . . . . 8 ⊢ Λ:ℕ⟶ℝ
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Λ:ℕ⟶ℝ)
13		circlemethhgt.h	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶ℝ)
14		nnex 11481	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℕ ∈ V)
16		inidm 4110	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ∩ ℕ) = ℕ
17	10, 12, 13, 15, 15, 16	off 7273	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Λ ∘𝑓 · 𝐻):ℕ⟶ℂ)
18		cnex 10453	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
19	18, 14	elmap 8276	. . . . . 6 ⊢ ((Λ ∘𝑓 · 𝐻) ∈ (ℂ ↑𝑚 ℕ) ↔ (Λ ∘𝑓 · 𝐻):ℕ⟶ℂ)
20	17, 19	sylibr 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Λ ∘𝑓 · 𝐻) ∈ (ℂ ↑𝑚 ℕ))
21		circlemethhgt.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾:ℕ⟶ℝ)
22	10, 12, 21, 15, 15, 16	off 7273	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Λ ∘𝑓 · 𝐾):ℕ⟶ℂ)
23	18, 14	elmap 8276	. . . . . 6 ⊢ ((Λ ∘𝑓 · 𝐾) ∈ (ℂ ↑𝑚 ℕ) ↔ (Λ ∘𝑓 · 𝐾):ℕ⟶ℂ)
24	22, 23	sylibr 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Λ ∘𝑓 · 𝐾) ∈ (ℂ ↑𝑚 ℕ))
25	20, 24, 24	s3cld 14058	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩ ∈ Word (ℂ ↑𝑚 ℕ))
26	6, 25	wrdfd 30267	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩:(0..^3)⟶(ℂ ↑𝑚 ℕ))
27	1, 3, 26	circlemeth 31484	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^3)((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^3)(((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
28		fveq2 6530	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘0))
29		fveq2 6530	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑛‘𝑎) = (𝑛‘0))
30	28, 29	fveq12d 6537	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘0)‘(𝑛‘0)))
31		fveq2 6530	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘1))
32		fveq2 6530	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝑛‘𝑎) = (𝑛‘1))
33	31, 32	fveq12d 6537	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)))
34		fveq2 6530	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 2 → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘2))
35		fveq2 6530	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 2 → (𝑛‘𝑎) = (𝑛‘2))
36	34, 35	fveq12d 6537	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 2 → ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2)))
37	26	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩:(0..^3)⟶(ℂ ↑𝑚 ℕ))
38	37	ffvelrnda 6707	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎) ∈ (ℂ ↑𝑚 ℕ))
39		elmapi 8269	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎) ∈ (ℂ ↑𝑚 ℕ) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎):ℕ⟶ℂ)
40	38, 39	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎):ℕ⟶ℂ)
41		ssidd 3906	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ℕ ⊆ ℕ)
42	1	nn0zd 11923	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
43	42	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
44		3nn0 11752	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
45	44	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 3 ∈ ℕ0)
46		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
47	41, 43, 45, 46	reprf 31456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑛:(0..^3)⟶ℕ)
48	47	ffvelrnda 6707	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (𝑛‘𝑎) ∈ ℕ)
49	40, 48	ffvelrnd 6708	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) ∈ ℂ)
50	30, 33, 36, 49	prodfzo03 31447	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = (((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘0)‘(𝑛‘0)) · (((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)) · ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2)))))
51		ovex 7039	. . . . . . . 8 ⊢ (Λ ∘𝑓 · 𝐻) ∈ V
52		s3fv0 14077	. . . . . . . 8 ⊢ ((Λ ∘𝑓 · 𝐻) ∈ V → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘0) = (Λ ∘𝑓 · 𝐻))
53	51, 52	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘0) = (Λ ∘𝑓 · 𝐻))
54	53	fveq1d 6532	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘0)‘(𝑛‘0)) = ((Λ ∘𝑓 · 𝐻)‘(𝑛‘0)))
55		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝜑)
56		c0ex 10470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
57	56	tpid1 4605	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
58		fzo0to3tp 12961	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
59	57, 58	eleqtrri 2880	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ (0..^3)
60	59	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 0 ∈ (0..^3))
61	47, 60	ffvelrnd 6708	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝑛‘0) ∈ ℕ)
62		ffn 6374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Λ:ℕ⟶ℝ → Λ Fn ℕ)
63	11, 62	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ Λ Fn ℕ
64	63	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Λ Fn ℕ)
65	13	ffnd 6375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn ℕ)
66		eqidd 2794	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘0) ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑛‘0)) = (Λ‘(𝑛‘0)))
67		eqidd 2794	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘0) ∈ ℕ) → (𝐻‘(𝑛‘0)) = (𝐻‘(𝑛‘0)))
68	64, 65, 15, 15, 16, 66, 67	ofval 7267	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘0) ∈ ℕ) → ((Λ ∘𝑓 · 𝐻)‘(𝑛‘0)) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))))
69	55, 61, 68	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((Λ ∘𝑓 · 𝐻)‘(𝑛‘0)) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))))
70	54, 69	eqtrd 2829	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘0)‘(𝑛‘0)) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))))
71		ovex 7039	. . . . . . . . 9 ⊢ (Λ ∘𝑓 · 𝐾) ∈ V
72		s3fv1 14078	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Λ ∘𝑓 · 𝐾) ∈ V → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘1) = (Λ ∘𝑓 · 𝐾))
73	71, 72	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘1) = (Λ ∘𝑓 · 𝐾))
74	73	fveq1d 6532	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)) = ((Λ ∘𝑓 · 𝐾)‘(𝑛‘1)))
75		1ex 10472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ V
76	75	tpid2 4607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
77	76, 58	eleqtrri 2880	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ (0..^3)
78	77	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 1 ∈ (0..^3))
79	47, 78	ffvelrnd 6708	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝑛‘1) ∈ ℕ)
80	21	ffnd 6375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 Fn ℕ)
81		eqidd 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘1) ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑛‘1)) = (Λ‘(𝑛‘1)))
82		eqidd 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘1) ∈ ℕ) → (𝐾‘(𝑛‘1)) = (𝐾‘(𝑛‘1)))
83	64, 80, 15, 15, 16, 81, 82	ofval 7267	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘1) ∈ ℕ) → ((Λ ∘𝑓 · 𝐾)‘(𝑛‘1)) = ((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))))
84	55, 79, 83	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((Λ ∘𝑓 · 𝐾)‘(𝑛‘1)) = ((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))))
85	74, 84	eqtrd 2829	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)) = ((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))))
86		s3fv2 14079	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Λ ∘𝑓 · 𝐾) ∈ V → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘2) = (Λ ∘𝑓 · 𝐾))
87	71, 86	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘2) = (Λ ∘𝑓 · 𝐾))
88	87	fveq1d 6532	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2)) = ((Λ ∘𝑓 · 𝐾)‘(𝑛‘2)))
89		2ex 11551	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ V
90	89	tpid3 4610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
91	90, 58	eleqtrri 2880	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ (0..^3)
92	91	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 2 ∈ (0..^3))
93	47, 92	ffvelrnd 6708	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝑛‘2) ∈ ℕ)
94		eqidd 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘2) ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑛‘2)) = (Λ‘(𝑛‘2)))
95		eqidd 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘2) ∈ ℕ) → (𝐾‘(𝑛‘2)) = (𝐾‘(𝑛‘2)))
96	64, 80, 15, 15, 16, 94, 95	ofval 7267	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘2) ∈ ℕ) → ((Λ ∘𝑓 · 𝐾)‘(𝑛‘2)) = ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))
97	55, 93, 96	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((Λ ∘𝑓 · 𝐾)‘(𝑛‘2)) = ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))
98	88, 97	eqtrd 2829	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2)) = ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))
99	85, 98	oveq12d 7025	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)) · ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2))) = (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))))
100	70, 99	oveq12d 7025	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘0)‘(𝑛‘0)) · (((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)) · ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2)))) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
101	50, 100	eqtrd 2829	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
102	101	sumeq2dv 14881	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^3)((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
103		nfv 1890	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1))
104		nfcv 2947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎(((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)
105		fzofi 13180	. . . . . . 7 ⊢ (1..^3) ∈ Fin
106	105	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (1..^3) ∈ Fin)
107	56	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 0 ∈ V)
108		eqid 2793	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = 0
109	108	orci 860	. . . . . . . 8 ⊢ (0 = 0 ∨ 0 = 3)
110		0elfz 12843	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...3))
111		elfznelfzob 12981	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ (0...3) → (¬ 0 ∈ (1..^3) ↔ (0 = 0 ∨ 0 = 3)))
112	44, 110, 111	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 0 ∈ (1..^3) ↔ (0 = 0 ∨ 0 = 3))
113	109, 112	mpbir 232	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 0 ∈ (1..^3)
114	113	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ¬ 0 ∈ (1..^3))
115	1	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
116		ioossre 12637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℝ
117		ax-resscn 10429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
118	116, 117	sstri 3893	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℂ
119	118	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0(,)1) ⊆ ℂ)
120	119	sselda 3884	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
121	120	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → 𝑥 ∈ ℂ)
122	26	ad2antrr 722	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → ⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩:(0..^3)⟶(ℂ ↑𝑚 ℕ))
123		fzo0ss1 12905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1..^3) ⊆ (0..^3)
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (1..^3) ⊆ (0..^3))
125	124	sselda 3884	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → 𝑎 ∈ (0..^3))
126	122, 125	ffvelrnd 6708	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎) ∈ (ℂ ↑𝑚 ℕ))
127	126, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎):ℕ⟶ℂ)
128	115, 121, 127	vtscl 31482	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ)
129	51, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘0) = (Λ ∘𝑓 · 𝐻)
130	28, 129	syl6eq 2845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 0 → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘𝑓 · 𝐻))
131	130	oveq1d 7022	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁) = ((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁))
132	131	fveq1d 6532	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥))
133	1	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
134	17	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (Λ ∘𝑓 · 𝐻):ℕ⟶ℂ)
135	133, 120, 134	vtscl 31482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ)
136	103, 104, 106, 107, 114, 128, 132, 135	fprodsplitsn 15164	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ ((1..^3) ∪ {0})(((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (∏𝑎 ∈ (1..^3)(((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)))
137		uncom 4045	. . . . . . . 8 ⊢ ((1..^3) ∪ {0}) = ({0} ∪ (1..^3))
138		fzo0sn0fzo1 12964	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℕ → (0..^3) = ({0} ∪ (1..^3)))
139	2, 138	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^3) = ({0} ∪ (1..^3))
140	137, 139	eqtr4i 2820	. . . . . . 7 ⊢ ((1..^3) ∪ {0}) = (0..^3)
141	140	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((1..^3) ∪ {0}) = (0..^3))
142	141	prodeq1d 15096	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ ((1..^3) ∪ {0})(((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ∏𝑎 ∈ (0..^3)(((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥))
143		fzo13pr 12959	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1..^3) = {1, 2}
144	143	eleq2i 2872	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ (1..^3) ↔ 𝑎 ∈ {1, 2})
145		vex 3435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑎 ∈ V
146	145	elpr 4489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ {1, 2} ↔ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 = 2))
147	144, 146	bitri 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (1..^3) ↔ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 = 2))
148	31	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 1) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘1))
149	71, 72	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 1) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘1) = (Λ ∘𝑓 · 𝐾))
150	148, 149	eqtrd 2829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 1) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘𝑓 · 𝐾))
151	34	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 2) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘2))
152	71, 86	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 2) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘2) = (Λ ∘𝑓 · 𝐾))
153	151, 152	eqtrd 2829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 2) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘𝑓 · 𝐾))
154	150, 153	jaodan 950	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 = 2)) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘𝑓 · 𝐾))
155	147, 154	sylan2b 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘𝑓 · 𝐾))
156	155	adantlr 711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘𝑓 · 𝐾))
157	156	oveq1d 7022	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → ((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁) = ((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁))
158	157	fveq1d 6532	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥))
159	158	prodeq2dv 15098	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥))
160	22	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (Λ ∘𝑓 · 𝐾):ℕ⟶ℂ)
161	133, 120, 160	vtscl 31482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ)
162		fprodconst 15153	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1..^3) ∈ Fin ∧ (((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ) → ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥) = ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(1..^3))))
163	106, 161, 162	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥) = ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(1..^3))))
164		nnuz 12119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
165	2, 164	eleqtri 2879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘1)
166		hashfzo 13626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘1) → (♯‘(1..^3)) = (3 − 1))
167	165, 166	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯‘(1..^3)) = (3 − 1)
168		3m1e2 11602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 − 1) = 2
169	167, 168	eqtri 2817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘(1..^3)) = 2
170	169	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (♯‘(1..^3)) = 2)
171	170	oveq2d 7023	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(1..^3))) = ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2))
172	159, 163, 171	3eqtrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2))
173	172	oveq1d 7022	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈ (1..^3)(((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)) = (((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2) · (((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)))
174	161	sqcld 13346	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
175	135, 174	mulcomd 10497	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) = (((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2) · (((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)))
176	173, 175	eqtr4d 2832	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈ (1..^3)(((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)) = ((((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)))
177	136, 142, 176	3eqtr3d 2837	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)(((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ((((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)))
178	177	oveq1d 7022	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈ (0..^3)(((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) = (((((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))))
179	178	itgeq2dv 24053	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^3)(((⟨“(Λ ∘𝑓 · 𝐻)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)(Λ ∘𝑓 · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥 = ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
180	27, 102, 179	3eqtr3d 2837	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = ∫(0(,)1)(((((Λ ∘𝑓 · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘𝑓 · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 842   = wceq 1520   ∈ wcel 2079  Vcvv 3432   ∪ cun 3852   ⊆ wss 3854  {csn 4466  {cpr 4468  {ctp 4470   Fn wfn 6212  ⟶wf 6213  ‘cfv 6217  (class class class)co 7007   ∘_𝑓 cof 7256   ↑_𝑚 cmap 8247  Fincfn 8347  ℂcc 10370  ℝcr 10371  0cc0 10372  1c1 10373  ici 10374   · cmul 10377   − cmin 10706  -cneg 10707  ℕcn 11475  2c2 11529  3c3 11530  ℕ₀cn0 11734  ℤcz 11818  ℤ_≥cuz 12082  (,)cioo 12577  ...cfz 12731  ..^cfzo 12872  ↑cexp 13267  ♯chash 13528  ⟨“cs3 14028  Σcsu 14864  ∏cprod 15080  expce 15236  πcpi 15241  ∫citg 23890  Λcvma 25339  reprcrepr 31452  vtscvts 31479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-inf2 8939  ax-cc 9692  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-pre-sup 10450  ax-addf 10451  ax-mulf 10452

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-fal 1533  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-symdif 4134  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-iin 4822  df-disj 4925  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-se 5395  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-isom 6226  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-of 7258  df-ofr 7259  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-supp 7673  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-2o 7945  df-oadd 7948  df-omul 7949  df-er 8130  df-map 8249  df-pm 8250  df-ixp 8301  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-fsupp 8670  df-fi 8711  df-sup 8742  df-inf 8743  df-oi 8810  df-dju 9165  df-card 9203  df-acn 9206  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-4 11539  df-5 11540  df-6 11541  df-7 11542  df-8 11543  df-9 11544  df-n0 11735  df-z 11819  df-dec 11937  df-uz 12083  df-q 12187  df-rp 12229  df-xneg 12346  df-xadd 12347  df-xmul 12348  df-ioo 12581  df-ioc 12582  df-ico 12583  df-icc 12584  df-fz 12732  df-fzo 12873  df-fl 13000  df-mod 13076  df-seq 13208  df-exp 13268  df-fac 13472  df-bc 13501  df-hash 13529  df-word 13696  df-concat 13757  df-s1 13782  df-s2 14034  df-s3 14035  df-shft 14248  df-cj 14280  df-re 14281  df-im 14282  df-sqrt 14416  df-abs 14417  df-limsup 14650  df-clim 14667  df-rlim 14668  df-sum 14865  df-prod 15081  df-ef 15242  df-sin 15244  df-cos 15245  df-pi 15247  df-dvds 15429  df-gcd 15665  df-prm 15833  df-pc 15991  df-struct 16302  df-ndx 16303  df-slot 16304  df-base 16306  df-sets 16307  df-ress 16308  df-plusg 16395  df-mulr 16396  df-starv 16397  df-sca 16398  df-vsca 16399  df-ip 16400  df-tset 16401  df-ple 16402  df-ds 16404  df-unif 16405  df-hom 16406  df-cco 16407  df-rest 16513  df-topn 16514  df-0g 16532  df-gsum 16533  df-topgen 16534  df-pt 16535  df-prds 16538  df-xrs 16592  df-qtop 16597  df-imas 16598  df-xps 16600  df-mre 16674  df-mrc 16675  df-acs 16677  df-mgm 17669  df-sgrp 17711  df-mnd 17722  df-submnd 17763  df-mulg 17970  df-cntz 18176  df-cmn 18623  df-psmet 20207  df-xmet 20208  df-met 20209  df-bl 20210  df-mopn 20211  df-fbas 20212  df-fg 20213  df-cnfld 20216  df-top 21174  df-topon 21191  df-topsp 21213  df-bases 21226  df-cld 21299  df-ntr 21300  df-cls 21301  df-nei 21378  df-lp 21416  df-perf 21417  df-cn 21507  df-cnp 21508  df-haus 21595  df-cmp 21667  df-tx 21842  df-hmeo 22035  df-fil 22126  df-fm 22218  df-flim 22219  df-flf 22220  df-xms 22601  df-ms 22602  df-tms 22603  df-cncf 23157  df-ovol 23736  df-vol 23737  df-mbf 23891  df-itg1 23892  df-itg2 23893  df-ibl 23894  df-itg 23895  df-0p 23942  df-limc 24135  df-dv 24136  df-log 24809  df-vma 25345  df-repr 31453  df-vts 31480

This theorem is referenced by:  tgoldbachgtde  31504