Theorem circlemethhgt 34834

Description: The circle method, where the Vinogradov sums are weighted using the Von Mangoldt function and smoothed using functions 𝐻 and 𝐾. Statement 7.49 of [Helfgott] p. 69. At this point there is no further constraint on the smoothing functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
circlemethhgt.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶ℝ)
circlemethhgt.k	⊢ (𝜑 → 𝐾:ℕ⟶ℝ)
circlemethhgt.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
circlemethhgt	⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐻,𝑥   𝑛,𝐾,𝑥   𝑛,𝑁,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥

Proof of Theorem circlemethhgt

Dummy variables 𝑎 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		circlemethhgt.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		3nn 12258	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ)
4		s3len 14854	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩) = 3
5	4	eqcomi 2749	. . . . 5 ⊢ 3 = (♯‘⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩)
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 3 = (♯‘⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩))
7		simprl 776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
8		simprr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
9	7, 8	remulcld 11173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11171	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
11		vmaf 27107	. . . . . . . 8 ⊢ Λ:ℕ⟶ℝ
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Λ:ℕ⟶ℝ)
13		circlemethhgt.h	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶ℝ)
14		nnex 12178	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℕ ∈ V)
16		inidm 4162	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ∩ ℕ) = ℕ
17	10, 12, 13, 15, 15, 16	off 7645	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Λ ∘f · 𝐻):ℕ⟶ℂ)
18		cnex 11117	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
19	18, 14	elmap 8816	. . . . . 6 ⊢ ((Λ ∘f · 𝐻) ∈ (ℂ ↑m ℕ) ↔ (Λ ∘f · 𝐻):ℕ⟶ℂ)
20	17, 19	sylibr 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Λ ∘f · 𝐻) ∈ (ℂ ↑m ℕ))
21		circlemethhgt.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾:ℕ⟶ℝ)
22	10, 12, 21, 15, 15, 16	off 7645	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Λ ∘f · 𝐾):ℕ⟶ℂ)
23	18, 14	elmap 8816	. . . . . 6 ⊢ ((Λ ∘f · 𝐾) ∈ (ℂ ↑m ℕ) ↔ (Λ ∘f · 𝐾):ℕ⟶ℂ)
24	22, 23	sylibr 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Λ ∘f · 𝐾) ∈ (ℂ ↑m ℕ))
25	20, 24, 24	s3cld 14832	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩ ∈ Word (ℂ ↑m ℕ))
26	6, 25	wrdfd 14479	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩:(0..^3)⟶(ℂ ↑m ℕ))
27	1, 3, 26	circlemeth 34831	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^3)((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
28		fveq2 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0))
29		fveq2 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑛‘𝑎) = (𝑛‘0))
30	28, 29	fveq12d 6841	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0)‘(𝑛‘0)))
31		fveq2 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1))
32		fveq2 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 1 → (𝑛‘𝑎) = (𝑛‘1))
33	31, 32	fveq12d 6841	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 1 → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)))
34		fveq2 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 2 → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2))
35		fveq2 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 2 → (𝑛‘𝑎) = (𝑛‘2))
36	34, 35	fveq12d 6841	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 2 → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2)))
37	26	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩:(0..^3)⟶(ℂ ↑m ℕ))
38	37	ffvelcdmda 7032	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) ∈ (ℂ ↑m ℕ))
39		elmapi 8793	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) ∈ (ℂ ↑m ℕ) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎):ℕ⟶ℂ)
40	38, 39	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎):ℕ⟶ℂ)
41		ssidd 3945	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ℕ ⊆ ℕ)
42	1	nn0zd 12547	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
43	42	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
44		3nn0 12453	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
45	44	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 3 ∈ ℕ0)
46		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁))
47	41, 43, 45, 46	reprf 34803	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝑛:(0..^3)⟶ℕ)
48	47	ffvelcdmda 7032	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → (𝑛‘𝑎) ∈ ℕ)
49	40, 48	ffvelcdmd 7033	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) ∧ 𝑎 ∈ (0..^3)) → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) ∈ ℂ)
50	30, 33, 36, 49	prodfzo03 34794	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = (((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0)‘(𝑛‘0)) · (((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)) · ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2)))))
51		ovex 7396	. . . . . . . 8 ⊢ (Λ ∘f · 𝐻) ∈ V
52		s3fv0 14851	. . . . . . . 8 ⊢ ((Λ ∘f · 𝐻) ∈ V → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0) = (Λ ∘f · 𝐻))
53	51, 52	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0) = (Λ ∘f · 𝐻))
54	53	fveq1d 6836	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0)‘(𝑛‘0)) = ((Λ ∘f · 𝐻)‘(𝑛‘0)))
55		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 𝜑)
56		c0ex 11136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
57	56	tpid1 4707	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
58		fzo0to3tp 13705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
59	57, 58	eleqtrri 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ (0..^3)
60	59	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 0 ∈ (0..^3))
61	47, 60	ffvelcdmd 7033	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝑛‘0) ∈ ℕ)
62		ffn 6662	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Λ:ℕ⟶ℝ → Λ Fn ℕ)
63	11, 62	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ Λ Fn ℕ
64	63	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Λ Fn ℕ)
65	13	ffnd 6663	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn ℕ)
66		eqidd 2741	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘0) ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑛‘0)) = (Λ‘(𝑛‘0)))
67		eqidd 2741	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘0) ∈ ℕ) → (𝐻‘(𝑛‘0)) = (𝐻‘(𝑛‘0)))
68	64, 65, 15, 15, 16, 66, 67	ofval 7638	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘0) ∈ ℕ) → ((Λ ∘f · 𝐻)‘(𝑛‘0)) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))))
69	55, 61, 68	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((Λ ∘f · 𝐻)‘(𝑛‘0)) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))))
70	54, 69	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0)‘(𝑛‘0)) = ((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))))
71		ovex 7396	. . . . . . . . 9 ⊢ (Λ ∘f · 𝐾) ∈ V
72		s3fv1 14852	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Λ ∘f · 𝐾) ∈ V → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1) = (Λ ∘f · 𝐾))
73	71, 72	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1) = (Λ ∘f · 𝐾))
74	73	fveq1d 6836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)) = ((Λ ∘f · 𝐾)‘(𝑛‘1)))
75		1ex 11138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ V
76	75	tpid2 4709	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
77	76, 58	eleqtrri 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ (0..^3)
78	77	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 1 ∈ (0..^3))
79	47, 78	ffvelcdmd 7033	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝑛‘1) ∈ ℕ)
80	21	ffnd 6663	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 Fn ℕ)
81		eqidd 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘1) ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑛‘1)) = (Λ‘(𝑛‘1)))
82		eqidd 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘1) ∈ ℕ) → (𝐾‘(𝑛‘1)) = (𝐾‘(𝑛‘1)))
83	64, 80, 15, 15, 16, 81, 82	ofval 7638	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘1) ∈ ℕ) → ((Λ ∘f · 𝐾)‘(𝑛‘1)) = ((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))))
84	55, 79, 83	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((Λ ∘f · 𝐾)‘(𝑛‘1)) = ((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))))
85	74, 84	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)) = ((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))))
86		s3fv2 14853	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Λ ∘f · 𝐾) ∈ V → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2) = (Λ ∘f · 𝐾))
87	71, 86	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2) = (Λ ∘f · 𝐾))
88	87	fveq1d 6836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2)) = ((Λ ∘f · 𝐾)‘(𝑛‘2)))
89		2ex 12256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ V
90	89	tpid3 4712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
91	90, 58	eleqtrri 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ (0..^3)
92	91	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → 2 ∈ (0..^3))
93	47, 92	ffvelcdmd 7033	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (𝑛‘2) ∈ ℕ)
94		eqidd 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘2) ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑛‘2)) = (Λ‘(𝑛‘2)))
95		eqidd 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘2) ∈ ℕ) → (𝐾‘(𝑛‘2)) = (𝐾‘(𝑛‘2)))
96	64, 80, 15, 15, 16, 94, 95	ofval 7638	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛‘2) ∈ ℕ) → ((Λ ∘f · 𝐾)‘(𝑛‘2)) = ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))
97	55, 93, 96	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((Λ ∘f · 𝐾)‘(𝑛‘2)) = ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))
98	88, 97	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2)) = ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))
99	85, 98	oveq12d 7381	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)) · ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2))) = (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2)))))
100	70, 99	oveq12d 7381	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → (((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0)‘(𝑛‘0)) · (((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1)‘(𝑛‘1)) · ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2)‘(𝑛‘2)))) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
101	50, 100	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = (((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
102	101	sumeq2dv 15662	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)∏𝑎 ∈ (0..^3)((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)‘(𝑛‘𝑎)) = Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))))
103		nfv 1921	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1))
104		nfcv 2902	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎(((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)
105		fzofi 13934	. . . . . . 7 ⊢ (1..^3) ∈ Fin
106	105	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (1..^3) ∈ Fin)
107	56	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 0 ∈ V)
108		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = 0
109	108	orci 871	. . . . . . . 8 ⊢ (0 = 0 ∨ 0 = 3)
110		0elfz 13576	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...3))
111		elfznelfzob 13727	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ (0...3) → (¬ 0 ∈ (1..^3) ↔ (0 = 0 ∨ 0 = 3)))
112	44, 110, 111	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 0 ∈ (1..^3) ↔ (0 = 0 ∨ 0 = 3))
113	109, 112	mpbir 232	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 0 ∈ (1..^3)
114	113	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ¬ 0 ∈ (1..^3))
115	1	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
116		ioossre 13358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℝ
117		ax-resscn 11093	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
118	116, 117	sstri 3931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℂ
119	118	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0(,)1) ⊆ ℂ)
120	119	sselda 3922	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
121	120	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → 𝑥 ∈ ℂ)
122	26	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → ⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩:(0..^3)⟶(ℂ ↑m ℕ))
123		fzo0ss1 13642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1..^3) ⊆ (0..^3)
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (1..^3) ⊆ (0..^3))
125	124	sselda 3922	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → 𝑎 ∈ (0..^3))
126	122, 125	ffvelcdmd 7033	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) ∈ (ℂ ↑m ℕ))
127	126, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎):ℕ⟶ℂ)
128	115, 121, 127	vtscl 34829	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ)
129	51, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘0) = (Λ ∘f · 𝐻)
130	28, 129	eqtrdi 2791	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 0 → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘f · 𝐻))
131	130	oveq1d 7378	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 0 → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁) = ((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁))
132	131	fveq1d 6836	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥))
133	1	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
134	17	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (Λ ∘f · 𝐻):ℕ⟶ℂ)
135	133, 120, 134	vtscl 34829	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ)
136	103, 104, 106, 107, 114, 128, 132, 135	fprodsplitsn 15952	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ ((1..^3) ∪ {0})(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (∏𝑎 ∈ (1..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)))
137		uncom 4095	. . . . . . . 8 ⊢ ((1..^3) ∪ {0}) = ({0} ∪ (1..^3))
138		fzo0sn0fzo1 13708	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℕ → (0..^3) = ({0} ∪ (1..^3)))
139	2, 138	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^3) = ({0} ∪ (1..^3))
140	137, 139	eqtr4i 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((1..^3) ∪ {0}) = (0..^3)
141	140	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((1..^3) ∪ {0}) = (0..^3))
142	141	prodeq1d 15883	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ ((1..^3) ∪ {0})(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ∏𝑎 ∈ (0..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥))
143		fzo13pr 13702	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1..^3) = {1, 2}
144	143	eleq2i 2832	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ (1..^3) ↔ 𝑎 ∈ {1, 2})
145		vex 3436	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑎 ∈ V
146	145	elpr 4587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ {1, 2} ↔ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 = 2))
147	144, 146	bitri 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (1..^3) ↔ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 = 2))
148	31	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 1) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1))
149	71, 72	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 1) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘1) = (Λ ∘f · 𝐾))
150	148, 149	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 1) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘f · 𝐾))
151	34	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 2) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2))
152	71, 86	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 2) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘2) = (Λ ∘f · 𝐾))
153	151, 152	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 = 2) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘f · 𝐾))
154	150, 153	jaodan 965	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 = 2)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘f · 𝐾))
155	147, 154	sylan2b 600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘f · 𝐾))
156	155	adantlr 721	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎) = (Λ ∘f · 𝐾))
157	156	oveq1d 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → ((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁) = ((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁))
158	157	fveq1d 6836	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑎 ∈ (1..^3)) → (((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = (((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥))
159	158	prodeq2dv 15885	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥))
160	22	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (Λ ∘f · 𝐾):ℕ⟶ℂ)
161	133, 120, 160	vtscl 34829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ)
162		fprodconst 15941	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1..^3) ∈ Fin ∧ (((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥) ∈ ℂ) → ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥) = ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(1..^3))))
163	106, 161, 162	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥) = ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(1..^3))))
164		nnuz 12825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
165	2, 164	eleqtri 2838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘1)
166		hashfzo 14389	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘1) → (♯‘(1..^3)) = (3 − 1))
167	165, 166	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯‘(1..^3)) = (3 − 1)
168		3m1e2 12302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 − 1) = 2
169	167, 168	eqtri 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘(1..^3)) = 2
170	169	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (♯‘(1..^3)) = 2)
171	170	oveq2d 7379	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑(♯‘(1..^3))) = ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2))
172	159, 163, 171	3eqtrd 2779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (1..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2))
173	172	oveq1d 7378	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈ (1..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)) = (((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2) · (((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)))
174	161	sqcld 14104	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
175	135, 174	mulcomd 11164	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ((((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) = (((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2) · (((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)))
176	173, 175	eqtr4d 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈ (1..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥)) = ((((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)))
177	136, 142, 176	3eqtr3d 2783	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → ∏𝑎 ∈ (0..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) = ((((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)))
178	177	oveq1d 7378	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0(,)1)) → (∏𝑎 ∈ (0..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) = (((((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))))
179	178	itgeq2dv 25774	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)(∏𝑎 ∈ (0..^3)(((⟨“(Λ ∘f · 𝐻)(Λ ∘f · 𝐾)(Λ ∘f · 𝐾)”⟩‘𝑎)vts𝑁)‘𝑥) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥 = ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)
180	27, 102, 179	3eqtr3d 2783	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (ℕ(repr‘3)𝑁)(((Λ‘(𝑛‘0)) · (𝐻‘(𝑛‘0))) · (((Λ‘(𝑛‘1)) · (𝐾‘(𝑛‘1))) · ((Λ‘(𝑛‘2)) · (𝐾‘(𝑛‘2))))) = ∫(0(,)1)(((((Λ ∘f · 𝐻)vts𝑁)‘𝑥) · ((((Λ ∘f · 𝐾)vts𝑁)‘𝑥)↑2)) · (exp‘((i · (2 · π)) · (-𝑁 · 𝑥)))) d𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  {csn 4562  {cpr 4564  {ctp 4566   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ∘_f cof 7625   ↑_m cmap 8770  Fincfn 8890  ℂcc 11034  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037  ici 11038   · cmul 11041   − cmin 11375  -cneg 11376  ℕcn 12172  2c2 12234  3c3 12235  ℕ₀cn0 12435  ℤcz 12522  ℤ_≥cuz 12786  (,)cioo 13296  ...cfz 13459  ..^cfzo 13606  ↑cexp 14021  ♯chash 14290  ⟨“cs3 14802  Σcsu 15646  ∏cprod 15866  expce 16024  πcpi 16029  ∫citg 25610  Λcvma 27080  reprcrepr 34799  vtscvts 34826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cc 10355  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-addf 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-symdif 4188  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-disj 5047  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-ofr 7628  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-oadd 8406  df-omul 8407  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-fi 9321  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-dju 9823  df-card 9861  df-acn 9864  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-xneg 13061  df-xadd 13062  df-xmul 13063  df-ioo 13300  df-ioc 13301  df-ico 13302  df-icc 13303  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-mod 13827  df-seq 13962  df-exp 14022  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-word 14474  df-concat 14531  df-s1 14557  df-s2 14808  df-s3 14809  df-shft 15027  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-limsup 15431  df-clim 15448  df-rlim 15449  df-sum 15647  df-prod 15867  df-ef 16030  df-sin 16032  df-cos 16033  df-pi 16035  df-dvds 16220  df-gcd 16462  df-prm 16639  df-pc 16806  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17383  df-topn 17384  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-topgen 17404  df-pt 17405  df-prds 17408  df-xrs 17464  df-qtop 17469  df-imas 17470  df-xps 17472  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-mulg 19042  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-psmet 21346  df-xmet 21347  df-met 21348  df-bl 21349  df-mopn 21350  df-fbas 21351  df-fg 21352  df-cnfld 21355  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22936  df-cld 23009  df-ntr 23010  df-cls 23011  df-nei 23088  df-lp 23126  df-perf 23127  df-cn 23217  df-cnp 23218  df-haus 23305  df-cmp 23377  df-tx 23552  df-hmeo 23745  df-fil 23836  df-fm 23928  df-flim 23929  df-flf 23930  df-xms 24310  df-ms 24311  df-tms 24312  df-cncf 24870  df-ovol 25456  df-vol 25457  df-mbf 25611  df-itg1 25612  df-itg2 25613  df-ibl 25614  df-itg 25615  df-0p 25662  df-limc 25858  df-dv 25859  df-log 26545  df-vma 27086  df-repr 34800  df-vts 34827

This theorem is referenced by:  tgoldbachgtde  34851