Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  circlemethhgt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem circlemethhgt 34211
Description: The circle method, where the Vinogradov sums are weighted using the Von Mangoldt function and smoothed using functions 𝐻 and 𝐾. Statement 7.49 of [Helfgott] p. 69. At this point there is no further constraint on the smoothing functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
circlemethhgt.h (πœ‘ β†’ 𝐻:β„•βŸΆβ„)
circlemethhgt.k (πœ‘ β†’ 𝐾:β„•βŸΆβ„)
circlemethhgt.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
circlemethhgt (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) = ∫(0(,)1)(((((Ξ› ∘f Β· 𝐻)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· ((((Ξ› ∘f Β· 𝐾)vts𝑁)β€˜π‘₯)↑2)) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐻,π‘₯   𝑛,𝐾,π‘₯   𝑛,𝑁,π‘₯   πœ‘,𝑛,π‘₯

Proof of Theorem circlemethhgt
Dummy variables π‘Ž 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 circlemethhgt.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 3nn 12313 . . . 4 3 ∈ β„•
32a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 3 ∈ β„•)
4 s3len 14869 . . . . . 6 (β™―β€˜βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©) = 3
54eqcomi 2736 . . . . 5 3 = (β™―β€˜βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©)
65a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 3 = (β™―β€˜βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©))
7 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
8 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
97, 8remulcld 11266 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ ℝ)
109recnd 11264 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
11 vmaf 27038 . . . . . . . 8 Ξ›:β„•βŸΆβ„
1211a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Ξ›:β„•βŸΆβ„)
13 circlemethhgt.h . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐻:β„•βŸΆβ„)
14 nnex 12240 . . . . . . . 8 β„• ∈ V
1514a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ β„• ∈ V)
16 inidm 4214 . . . . . . 7 (β„• ∩ β„•) = β„•
1710, 12, 13, 15, 15, 16off 7697 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Ξ› ∘f Β· 𝐻):β„•βŸΆβ„‚)
18 cnex 11211 . . . . . . 7 β„‚ ∈ V
1918, 14elmap 8881 . . . . . 6 ((Ξ› ∘f Β· 𝐻) ∈ (β„‚ ↑m β„•) ↔ (Ξ› ∘f Β· 𝐻):β„•βŸΆβ„‚)
2017, 19sylibr 233 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Ξ› ∘f Β· 𝐻) ∈ (β„‚ ↑m β„•))
21 circlemethhgt.k . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾:β„•βŸΆβ„)
2210, 12, 21, 15, 15, 16off 7697 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Ξ› ∘f Β· 𝐾):β„•βŸΆβ„‚)
2318, 14elmap 8881 . . . . . 6 ((Ξ› ∘f Β· 𝐾) ∈ (β„‚ ↑m β„•) ↔ (Ξ› ∘f Β· 𝐾):β„•βŸΆβ„‚)
2422, 23sylibr 233 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Ξ› ∘f Β· 𝐾) ∈ (β„‚ ↑m β„•))
2520, 24, 24s3cld 14847 . . . 4 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ© ∈ Word (β„‚ ↑m β„•))
266, 25wrdfd 32641 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©:(0..^3)⟢(β„‚ ↑m β„•))
271, 3, 26circlemeth 34208 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)βˆπ‘Ž ∈ (0..^3)((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜π‘Ž)β€˜(π‘›β€˜π‘Ž)) = ∫(0(,)1)(βˆπ‘Ž ∈ (0..^3)(((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯)
28 fveq2 6891 . . . . . 6 (π‘Ž = 0 β†’ (βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜π‘Ž) = (βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜0))
29 fveq2 6891 . . . . . 6 (π‘Ž = 0 β†’ (π‘›β€˜π‘Ž) = (π‘›β€˜0))
3028, 29fveq12d 6898 . . . . 5 (π‘Ž = 0 β†’ ((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜π‘Ž)β€˜(π‘›β€˜π‘Ž)) = ((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜0)β€˜(π‘›β€˜0)))
31 fveq2 6891 . . . . . 6 (π‘Ž = 1 β†’ (βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜π‘Ž) = (βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜1))
32 fveq2 6891 . . . . . 6 (π‘Ž = 1 β†’ (π‘›β€˜π‘Ž) = (π‘›β€˜1))
3331, 32fveq12d 6898 . . . . 5 (π‘Ž = 1 β†’ ((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜π‘Ž)β€˜(π‘›β€˜π‘Ž)) = ((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜1)β€˜(π‘›β€˜1)))
34 fveq2 6891 . . . . . 6 (π‘Ž = 2 β†’ (βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜π‘Ž) = (βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜2))
35 fveq2 6891 . . . . . 6 (π‘Ž = 2 β†’ (π‘›β€˜π‘Ž) = (π‘›β€˜2))
3634, 35fveq12d 6898 . . . . 5 (π‘Ž = 2 β†’ ((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜π‘Ž)β€˜(π‘›β€˜π‘Ž)) = ((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜2)β€˜(π‘›β€˜2)))
3726adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©:(0..^3)⟢(β„‚ ↑m β„•))
3837ffvelcdmda 7088 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) β†’ (βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜π‘Ž) ∈ (β„‚ ↑m β„•))
39 elmapi 8859 . . . . . . 7 ((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜π‘Ž) ∈ (β„‚ ↑m β„•) β†’ (βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜π‘Ž):β„•βŸΆβ„‚)
4038, 39syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) β†’ (βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜π‘Ž):β„•βŸΆβ„‚)
41 ssidd 4001 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ β„• βŠ† β„•)
421nn0zd 12606 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
4342adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
44 3nn0 12512 . . . . . . . . 9 3 ∈ β„•0
4544a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ 3 ∈ β„•0)
46 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁))
4741, 43, 45, 46reprf 34180 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ 𝑛:(0..^3)βŸΆβ„•)
4847ffvelcdmda 7088 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) β†’ (π‘›β€˜π‘Ž) ∈ β„•)
4940, 48ffvelcdmd 7089 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) ∧ π‘Ž ∈ (0..^3)) β†’ ((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜π‘Ž)β€˜(π‘›β€˜π‘Ž)) ∈ β„‚)
5030, 33, 36, 49prodfzo03 34171 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ βˆπ‘Ž ∈ (0..^3)((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜π‘Ž)β€˜(π‘›β€˜π‘Ž)) = (((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜0)β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜1)β€˜(π‘›β€˜1)) Β· ((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜2)β€˜(π‘›β€˜2)))))
51 ovex 7447 . . . . . . . 8 (Ξ› ∘f Β· 𝐻) ∈ V
52 s3fv0 14866 . . . . . . . 8 ((Ξ› ∘f Β· 𝐻) ∈ V β†’ (βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜0) = (Ξ› ∘f Β· 𝐻))
5351, 52mp1i 13 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ (βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜0) = (Ξ› ∘f Β· 𝐻))
5453fveq1d 6893 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ ((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜0)β€˜(π‘›β€˜0)) = ((Ξ› ∘f Β· 𝐻)β€˜(π‘›β€˜0)))
55 simpl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ πœ‘)
56 c0ex 11230 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
5756tpid1 4768 . . . . . . . . . 10 0 ∈ {0, 1, 2}
58 fzo0to3tp 13742 . . . . . . . . . 10 (0..^3) = {0, 1, 2}
5957, 58eleqtrri 2827 . . . . . . . . 9 0 ∈ (0..^3)
6059a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ 0 ∈ (0..^3))
6147, 60ffvelcdmd 7089 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ (π‘›β€˜0) ∈ β„•)
62 ffn 6716 . . . . . . . . . 10 (Ξ›:β„•βŸΆβ„ β†’ Ξ› Fn β„•)
6311, 62ax-mp 5 . . . . . . . . 9 Ξ› Fn β„•
6463a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Ξ› Fn β„•)
6513ffnd 6717 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn β„•)
66 eqidd 2728 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘›β€˜0) ∈ β„•) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) = (Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)))
67 eqidd 2728 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘›β€˜0) ∈ β„•) β†’ (π»β€˜(π‘›β€˜0)) = (π»β€˜(π‘›β€˜0)))
6864, 65, 15, 15, 16, 66, 67ofval 7690 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘›β€˜0) ∈ β„•) β†’ ((Ξ› ∘f Β· 𝐻)β€˜(π‘›β€˜0)) = ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))))
6955, 61, 68syl2anc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ ((Ξ› ∘f Β· 𝐻)β€˜(π‘›β€˜0)) = ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))))
7054, 69eqtrd 2767 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ ((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜0)β€˜(π‘›β€˜0)) = ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))))
71 ovex 7447 . . . . . . . . 9 (Ξ› ∘f Β· 𝐾) ∈ V
72 s3fv1 14867 . . . . . . . . 9 ((Ξ› ∘f Β· 𝐾) ∈ V β†’ (βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜1) = (Ξ› ∘f Β· 𝐾))
7371, 72mp1i 13 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ (βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜1) = (Ξ› ∘f Β· 𝐾))
7473fveq1d 6893 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ ((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜1)β€˜(π‘›β€˜1)) = ((Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€˜(π‘›β€˜1)))
75 1ex 11232 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ V
7675tpid2 4770 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ {0, 1, 2}
7776, 58eleqtrri 2827 . . . . . . . . . 10 1 ∈ (0..^3)
7877a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ 1 ∈ (0..^3))
7947, 78ffvelcdmd 7089 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ (π‘›β€˜1) ∈ β„•)
8021ffnd 6717 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 Fn β„•)
81 eqidd 2728 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘›β€˜1) ∈ β„•) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) = (Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)))
82 eqidd 2728 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘›β€˜1) ∈ β„•) β†’ (πΎβ€˜(π‘›β€˜1)) = (πΎβ€˜(π‘›β€˜1)))
8364, 80, 15, 15, 16, 81, 82ofval 7690 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘›β€˜1) ∈ β„•) β†’ ((Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€˜(π‘›β€˜1)) = ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))))
8455, 79, 83syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ ((Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€˜(π‘›β€˜1)) = ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))))
8574, 84eqtrd 2767 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ ((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜1)β€˜(π‘›β€˜1)) = ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))))
86 s3fv2 14868 . . . . . . . . 9 ((Ξ› ∘f Β· 𝐾) ∈ V β†’ (βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜2) = (Ξ› ∘f Β· 𝐾))
8771, 86mp1i 13 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ (βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜2) = (Ξ› ∘f Β· 𝐾))
8887fveq1d 6893 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ ((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜2)β€˜(π‘›β€˜2)) = ((Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€˜(π‘›β€˜2)))
89 2ex 12311 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ V
9089tpid3 4773 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ {0, 1, 2}
9190, 58eleqtrri 2827 . . . . . . . . . 10 2 ∈ (0..^3)
9291a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ 2 ∈ (0..^3))
9347, 92ffvelcdmd 7089 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ (π‘›β€˜2) ∈ β„•)
94 eqidd 2728 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘›β€˜2) ∈ β„•) β†’ (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) = (Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)))
95 eqidd 2728 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘›β€˜2) ∈ β„•) β†’ (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)) = (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))
9664, 80, 15, 15, 16, 94, 95ofval 7690 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘›β€˜2) ∈ β„•) β†’ ((Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€˜(π‘›β€˜2)) = ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))
9755, 93, 96syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ ((Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€˜(π‘›β€˜2)) = ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))
9888, 97eqtrd 2767 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ ((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜2)β€˜(π‘›β€˜2)) = ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))
9985, 98oveq12d 7432 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ (((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜1)β€˜(π‘›β€˜1)) Β· ((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜2)β€˜(π‘›β€˜2))) = (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2)))))
10070, 99oveq12d 7432 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ (((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜0)β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜1)β€˜(π‘›β€˜1)) Β· ((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜2)β€˜(π‘›β€˜2)))) = (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))))
10150, 100eqtrd 2767 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)) β†’ βˆπ‘Ž ∈ (0..^3)((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜π‘Ž)β€˜(π‘›β€˜π‘Ž)) = (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))))
102101sumeq2dv 15673 . 2 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)βˆπ‘Ž ∈ (0..^3)((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜π‘Ž)β€˜(π‘›β€˜π‘Ž)) = Σ𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))))
103 nfv 1910 . . . . . 6 β„²π‘Ž(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1))
104 nfcv 2898 . . . . . 6 β„²π‘Ž(((Ξ› ∘f Β· 𝐻)vts𝑁)β€˜π‘₯)
105 fzofi 13963 . . . . . . 7 (1..^3) ∈ Fin
106105a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ (1..^3) ∈ Fin)
10756a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ 0 ∈ V)
108 eqid 2727 . . . . . . . . 9 0 = 0
109108orci 864 . . . . . . . 8 (0 = 0 ∨ 0 = 3)
110 0elfz 13622 . . . . . . . . 9 (3 ∈ β„•0 β†’ 0 ∈ (0...3))
111 elfznelfzob 13762 . . . . . . . . 9 (0 ∈ (0...3) β†’ (Β¬ 0 ∈ (1..^3) ↔ (0 = 0 ∨ 0 = 3)))
11244, 110, 111mp2b 10 . . . . . . . 8 (Β¬ 0 ∈ (1..^3) ↔ (0 = 0 ∨ 0 = 3))
113109, 112mpbir 230 . . . . . . 7 Β¬ 0 ∈ (1..^3)
114113a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ Β¬ 0 ∈ (1..^3))
1151ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) ∧ π‘Ž ∈ (1..^3)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
116 ioossre 13409 . . . . . . . . . . 11 (0(,)1) βŠ† ℝ
117 ax-resscn 11187 . . . . . . . . . . 11 ℝ βŠ† β„‚
118116, 117sstri 3987 . . . . . . . . . 10 (0(,)1) βŠ† β„‚
119118a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0(,)1) βŠ† β„‚)
120119sselda 3978 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
121120adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) ∧ π‘Ž ∈ (1..^3)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
12226ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) ∧ π‘Ž ∈ (1..^3)) β†’ βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©:(0..^3)⟢(β„‚ ↑m β„•))
123 fzo0ss1 13686 . . . . . . . . . . 11 (1..^3) βŠ† (0..^3)
124123a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ (1..^3) βŠ† (0..^3))
125124sselda 3978 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) ∧ π‘Ž ∈ (1..^3)) β†’ π‘Ž ∈ (0..^3))
126122, 125ffvelcdmd 7089 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) ∧ π‘Ž ∈ (1..^3)) β†’ (βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜π‘Ž) ∈ (β„‚ ↑m β„•))
127126, 39syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) ∧ π‘Ž ∈ (1..^3)) β†’ (βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜π‘Ž):β„•βŸΆβ„‚)
128115, 121, 127vtscl 34206 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) ∧ π‘Ž ∈ (1..^3)) β†’ (((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
12951, 52ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜0) = (Ξ› ∘f Β· 𝐻)
13028, 129eqtrdi 2783 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 0 β†’ (βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜π‘Ž) = (Ξ› ∘f Β· 𝐻))
131130oveq1d 7429 . . . . . . 7 (π‘Ž = 0 β†’ ((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜π‘Ž)vts𝑁) = ((Ξ› ∘f Β· 𝐻)vts𝑁))
132131fveq1d 6893 . . . . . 6 (π‘Ž = 0 β†’ (((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) = (((Ξ› ∘f Β· 𝐻)vts𝑁)β€˜π‘₯))
1331adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
13417adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ (Ξ› ∘f Β· 𝐻):β„•βŸΆβ„‚)
135133, 120, 134vtscl 34206 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ (((Ξ› ∘f Β· 𝐻)vts𝑁)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
136103, 104, 106, 107, 114, 128, 132, 135fprodsplitsn 15957 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ βˆπ‘Ž ∈ ((1..^3) βˆͺ {0})(((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) = (βˆπ‘Ž ∈ (1..^3)(((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· (((Ξ› ∘f Β· 𝐻)vts𝑁)β€˜π‘₯)))
137 uncom 4149 . . . . . . . 8 ((1..^3) βˆͺ {0}) = ({0} βˆͺ (1..^3))
138 fzo0sn0fzo1 13745 . . . . . . . . 9 (3 ∈ β„• β†’ (0..^3) = ({0} βˆͺ (1..^3)))
1392, 138ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0..^3) = ({0} βˆͺ (1..^3))
140137, 139eqtr4i 2758 . . . . . . 7 ((1..^3) βˆͺ {0}) = (0..^3)
141140a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ ((1..^3) βˆͺ {0}) = (0..^3))
142141prodeq1d 15889 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ βˆπ‘Ž ∈ ((1..^3) βˆͺ {0})(((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) = βˆπ‘Ž ∈ (0..^3)(((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯))
143 fzo13pr 13740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1..^3) = {1, 2}
144143eleq2i 2820 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž ∈ (1..^3) ↔ π‘Ž ∈ {1, 2})
145 vex 3473 . . . . . . . . . . . . . . 15 π‘Ž ∈ V
146145elpr 4647 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž ∈ {1, 2} ↔ (π‘Ž = 1 ∨ π‘Ž = 2))
147144, 146bitri 275 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž ∈ (1..^3) ↔ (π‘Ž = 1 ∨ π‘Ž = 2))
14831adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Ž = 1) β†’ (βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜π‘Ž) = (βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜1))
14971, 72mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Ž = 1) β†’ (βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜1) = (Ξ› ∘f Β· 𝐾))
150148, 149eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Ž = 1) β†’ (βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜π‘Ž) = (Ξ› ∘f Β· 𝐾))
15134adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Ž = 2) β†’ (βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜π‘Ž) = (βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜2))
15271, 86mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Ž = 2) β†’ (βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜2) = (Ξ› ∘f Β· 𝐾))
153151, 152eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘Ž = 2) β†’ (βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜π‘Ž) = (Ξ› ∘f Β· 𝐾))
154150, 153jaodan 956 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž = 1 ∨ π‘Ž = 2)) β†’ (βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜π‘Ž) = (Ξ› ∘f Β· 𝐾))
155147, 154sylan2b 593 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (1..^3)) β†’ (βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜π‘Ž) = (Ξ› ∘f Β· 𝐾))
156155adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) ∧ π‘Ž ∈ (1..^3)) β†’ (βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜π‘Ž) = (Ξ› ∘f Β· 𝐾))
157156oveq1d 7429 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) ∧ π‘Ž ∈ (1..^3)) β†’ ((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜π‘Ž)vts𝑁) = ((Ξ› ∘f Β· 𝐾)vts𝑁))
158157fveq1d 6893 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) ∧ π‘Ž ∈ (1..^3)) β†’ (((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) = (((Ξ› ∘f Β· 𝐾)vts𝑁)β€˜π‘₯))
159158prodeq2dv 15891 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ βˆπ‘Ž ∈ (1..^3)(((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) = βˆπ‘Ž ∈ (1..^3)(((Ξ› ∘f Β· 𝐾)vts𝑁)β€˜π‘₯))
16022adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ (Ξ› ∘f Β· 𝐾):β„•βŸΆβ„‚)
161133, 120, 160vtscl 34206 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ (((Ξ› ∘f Β· 𝐾)vts𝑁)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
162 fprodconst 15946 . . . . . . . . 9 (((1..^3) ∈ Fin ∧ (((Ξ› ∘f Β· 𝐾)vts𝑁)β€˜π‘₯) ∈ β„‚) β†’ βˆπ‘Ž ∈ (1..^3)(((Ξ› ∘f Β· 𝐾)vts𝑁)β€˜π‘₯) = ((((Ξ› ∘f Β· 𝐾)vts𝑁)β€˜π‘₯)↑(β™―β€˜(1..^3))))
163106, 161, 162syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ βˆπ‘Ž ∈ (1..^3)(((Ξ› ∘f Β· 𝐾)vts𝑁)β€˜π‘₯) = ((((Ξ› ∘f Β· 𝐾)vts𝑁)β€˜π‘₯)↑(β™―β€˜(1..^3))))
164 nnuz 12887 . . . . . . . . . . . . 13 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
1652, 164eleqtri 2826 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)
166 hashfzo 14412 . . . . . . . . . . . 12 (3 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (β™―β€˜(1..^3)) = (3 βˆ’ 1))
167165, 166ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (β™―β€˜(1..^3)) = (3 βˆ’ 1)
168 3m1e2 12362 . . . . . . . . . . 11 (3 βˆ’ 1) = 2
169167, 168eqtri 2755 . . . . . . . . . 10 (β™―β€˜(1..^3)) = 2
170169a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ (β™―β€˜(1..^3)) = 2)
171170oveq2d 7430 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ ((((Ξ› ∘f Β· 𝐾)vts𝑁)β€˜π‘₯)↑(β™―β€˜(1..^3))) = ((((Ξ› ∘f Β· 𝐾)vts𝑁)β€˜π‘₯)↑2))
172159, 163, 1713eqtrd 2771 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ βˆπ‘Ž ∈ (1..^3)(((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) = ((((Ξ› ∘f Β· 𝐾)vts𝑁)β€˜π‘₯)↑2))
173172oveq1d 7429 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ (βˆπ‘Ž ∈ (1..^3)(((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· (((Ξ› ∘f Β· 𝐻)vts𝑁)β€˜π‘₯)) = (((((Ξ› ∘f Β· 𝐾)vts𝑁)β€˜π‘₯)↑2) Β· (((Ξ› ∘f Β· 𝐻)vts𝑁)β€˜π‘₯)))
174161sqcld 14132 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ ((((Ξ› ∘f Β· 𝐾)vts𝑁)β€˜π‘₯)↑2) ∈ β„‚)
175135, 174mulcomd 11257 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ ((((Ξ› ∘f Β· 𝐻)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· ((((Ξ› ∘f Β· 𝐾)vts𝑁)β€˜π‘₯)↑2)) = (((((Ξ› ∘f Β· 𝐾)vts𝑁)β€˜π‘₯)↑2) Β· (((Ξ› ∘f Β· 𝐻)vts𝑁)β€˜π‘₯)))
176173, 175eqtr4d 2770 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ (βˆπ‘Ž ∈ (1..^3)(((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· (((Ξ› ∘f Β· 𝐻)vts𝑁)β€˜π‘₯)) = ((((Ξ› ∘f Β· 𝐻)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· ((((Ξ› ∘f Β· 𝐾)vts𝑁)β€˜π‘₯)↑2)))
177136, 142, 1763eqtr3d 2775 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ βˆπ‘Ž ∈ (0..^3)(((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) = ((((Ξ› ∘f Β· 𝐻)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· ((((Ξ› ∘f Β· 𝐾)vts𝑁)β€˜π‘₯)↑2)))
178177oveq1d 7429 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (0(,)1)) β†’ (βˆπ‘Ž ∈ (0..^3)(((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) = (((((Ξ› ∘f Β· 𝐻)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· ((((Ξ› ∘f Β· 𝐾)vts𝑁)β€˜π‘₯)↑2)) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))))
179178itgeq2dv 25698 . 2 (πœ‘ β†’ ∫(0(,)1)(βˆπ‘Ž ∈ (0..^3)(((βŸ¨β€œ(Ξ› ∘f Β· 𝐻)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)(Ξ› ∘f Β· 𝐾)β€βŸ©β€˜π‘Ž)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯ = ∫(0(,)1)(((((Ξ› ∘f Β· 𝐻)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· ((((Ξ› ∘f Β· 𝐾)vts𝑁)β€˜π‘₯)↑2)) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯)
18027, 102, 1793eqtr3d 2775 1 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ (β„•(reprβ€˜3)𝑁)(((Ξ›β€˜(π‘›β€˜0)) Β· (π»β€˜(π‘›β€˜0))) Β· (((Ξ›β€˜(π‘›β€˜1)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜1))) Β· ((Ξ›β€˜(π‘›β€˜2)) Β· (πΎβ€˜(π‘›β€˜2))))) = ∫(0(,)1)(((((Ξ› ∘f Β· 𝐻)vts𝑁)β€˜π‘₯) Β· ((((Ξ› ∘f Β· 𝐾)vts𝑁)β€˜π‘₯)↑2)) Β· (expβ€˜((i Β· (2 Β· Ο€)) Β· (-𝑁 Β· π‘₯)))) dπ‘₯)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469   βˆͺ cun 3942   βŠ† wss 3944  {csn 4624  {cpr 4626  {ctp 4628   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ∘f cof 7677   ↑m cmap 8836  Fincfn 8955  β„‚cc 11128  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131  ici 11132   Β· cmul 11135   βˆ’ cmin 11466  -cneg 11467  β„•cn 12234  2c2 12289  3c3 12290  β„•0cn0 12494  β„€cz 12580  β„€β‰₯cuz 12844  (,)cioo 13348  ...cfz 13508  ..^cfzo 13651  β†‘cexp 14050  β™―chash 14313  βŸ¨β€œcs3 14817  Ξ£csu 15656  βˆcprod 15873  expce 16029  Ο€cpi 16034  βˆ«citg 25534  Ξ›cvma 27011  reprcrepr 34176  vtscvts 34203
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cc 10450  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-symdif 4238  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-dju 9916  df-card 9954  df-acn 9957  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-bc 14286  df-hash 14314  df-word 14489  df-concat 14545  df-s1 14570  df-s2 14823  df-s3 14824  df-shft 15038  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-prod 15874  df-ef 16035  df-sin 16037  df-cos 16038  df-pi 16040  df-dvds 16223  df-gcd 16461  df-prm 16634  df-pc 16797  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-perf 23028  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-haus 23206  df-cmp 23278  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-ovol 25380  df-vol 25381  df-mbf 25535  df-itg1 25536  df-itg2 25537  df-ibl 25538  df-itg 25539  df-0p 25586  df-limc 25782  df-dv 25783  df-log 26477  df-vma 27017  df-repr 34177  df-vts 34204
This theorem is referenced by:  tgoldbachgtde  34228
  Copyright terms: Public domain W3C validator