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Theorem fprodefsum 16035
Description: Move the exponential function from inside a finite product to outside a finite sum. (Contributed by Scott Fenton, 26-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodefsum.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
fprodefsum.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
fprodefsum.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
fprodefsum (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)(expβ€˜π΄) = (expβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)𝐴))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑁   π‘˜,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐴(π‘˜)

Proof of Theorem fprodefsum
Dummy variables π‘Ž π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodefsum.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
2 fprodefsum.1 . . . 4 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
31, 2eleqtrdi 2835 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
4 oveq2 7409 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑀 β†’ (𝑀...π‘Ž) = (𝑀...𝑀))
54prodeq1d 15862 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑀 β†’ βˆπ‘š ∈ (𝑀...π‘Ž)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = βˆπ‘š ∈ (𝑀...𝑀)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š))
64sumeq1d 15644 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑀 β†’ Ξ£π‘š ∈ (𝑀...π‘Ž)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑀)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š))
76fveq2d 6885 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑀 β†’ (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...π‘Ž)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š)) = (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑀)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š)))
85, 7eqeq12d 2740 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑀 β†’ (βˆπ‘š ∈ (𝑀...π‘Ž)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...π‘Ž)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š)) ↔ βˆπ‘š ∈ (𝑀...𝑀)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑀)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š))))
98imbi2d 340 . . . 4 (π‘Ž = 𝑀 β†’ ((πœ‘ β†’ βˆπ‘š ∈ (𝑀...π‘Ž)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...π‘Ž)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š))) ↔ (πœ‘ β†’ βˆπ‘š ∈ (𝑀...𝑀)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑀)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š)))))
10 oveq2 7409 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑛 β†’ (𝑀...π‘Ž) = (𝑀...𝑛))
1110prodeq1d 15862 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑛 β†’ βˆπ‘š ∈ (𝑀...π‘Ž)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = βˆπ‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š))
1210sumeq1d 15644 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑛 β†’ Ξ£π‘š ∈ (𝑀...π‘Ž)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š))
1312fveq2d 6885 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑛 β†’ (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...π‘Ž)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š)) = (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š)))
1411, 13eqeq12d 2740 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑛 β†’ (βˆπ‘š ∈ (𝑀...π‘Ž)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...π‘Ž)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š)) ↔ βˆπ‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š))))
1514imbi2d 340 . . . 4 (π‘Ž = 𝑛 β†’ ((πœ‘ β†’ βˆπ‘š ∈ (𝑀...π‘Ž)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...π‘Ž)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š))) ↔ (πœ‘ β†’ βˆπ‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š)))))
16 oveq2 7409 . . . . . . 7 (π‘Ž = (𝑛 + 1) β†’ (𝑀...π‘Ž) = (𝑀...(𝑛 + 1)))
1716prodeq1d 15862 . . . . . 6 (π‘Ž = (𝑛 + 1) β†’ βˆπ‘š ∈ (𝑀...π‘Ž)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = βˆπ‘š ∈ (𝑀...(𝑛 + 1))((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š))
1816sumeq1d 15644 . . . . . . 7 (π‘Ž = (𝑛 + 1) β†’ Ξ£π‘š ∈ (𝑀...π‘Ž)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = Ξ£π‘š ∈ (𝑀...(𝑛 + 1))((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š))
1918fveq2d 6885 . . . . . 6 (π‘Ž = (𝑛 + 1) β†’ (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...π‘Ž)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š)) = (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...(𝑛 + 1))((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š)))
2017, 19eqeq12d 2740 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑛 + 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ (𝑀...π‘Ž)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...π‘Ž)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š)) ↔ βˆπ‘š ∈ (𝑀...(𝑛 + 1))((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...(𝑛 + 1))((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š))))
2120imbi2d 340 . . . 4 (π‘Ž = (𝑛 + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ βˆπ‘š ∈ (𝑀...π‘Ž)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...π‘Ž)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š))) ↔ (πœ‘ β†’ βˆπ‘š ∈ (𝑀...(𝑛 + 1))((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...(𝑛 + 1))((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š)))))
22 oveq2 7409 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (𝑀...π‘Ž) = (𝑀...𝑁))
2322prodeq1d 15862 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑁 β†’ βˆπ‘š ∈ (𝑀...π‘Ž)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = βˆπ‘š ∈ (𝑀...𝑁)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š))
2422sumeq1d 15644 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑁 β†’ Ξ£π‘š ∈ (𝑀...π‘Ž)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑁)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š))
2524fveq2d 6885 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...π‘Ž)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š)) = (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑁)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š)))
2623, 25eqeq12d 2740 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (βˆπ‘š ∈ (𝑀...π‘Ž)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...π‘Ž)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š)) ↔ βˆπ‘š ∈ (𝑀...𝑁)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑁)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š))))
2726imbi2d 340 . . . 4 (π‘Ž = 𝑁 β†’ ((πœ‘ β†’ βˆπ‘š ∈ (𝑀...π‘Ž)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...π‘Ž)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š))) ↔ (πœ‘ β†’ βˆπ‘š ∈ (𝑀...𝑁)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑁)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š)))))
28 fzsn 13540 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (𝑀...𝑀) = {𝑀})
2928adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝑀...𝑀) = {𝑀})
3029prodeq1d 15862 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ βˆπ‘š ∈ (𝑀...𝑀)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = βˆπ‘š ∈ {𝑀} ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š))
31 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
32 uzid 12834 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
3332, 2eleqtrrdi 2836 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑀 ∈ 𝑍)
34 fprodefsum.3 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
35 efcl 16023 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜π΄) ∈ β„‚)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (expβ€˜π΄) ∈ β„‚)
3736fmpttd 7106 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄)):π‘βŸΆβ„‚)
3837ffvelcdmda 7076 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘€) ∈ β„‚)
3933, 38sylan2 592 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘€) ∈ β„‚)
40 fveq2 6881 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑀 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘€))
4140prodsn 15903 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘€) ∈ β„‚) β†’ βˆπ‘š ∈ {𝑀} ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘€))
4231, 39, 41syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ βˆπ‘š ∈ {𝑀} ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘€))
4333adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑀 ∈ 𝑍)
44 fvex 6894 . . . . . . . 8 (expβ€˜β¦‹π‘€ / π‘˜β¦Œπ΄) ∈ V
45 nfcv 2895 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜π‘€
46 nfcv 2895 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜exp
47 nfcsb1v 3910 . . . . . . . . . 10 β„²π‘˜β¦‹π‘€ / π‘˜β¦Œπ΄
4846, 47nffv 6891 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜(expβ€˜β¦‹π‘€ / π‘˜β¦Œπ΄)
49 csbeq1a 3899 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑀 β†’ 𝐴 = ⦋𝑀 / π‘˜β¦Œπ΄)
5049fveq2d 6885 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑀 β†’ (expβ€˜π΄) = (expβ€˜β¦‹π‘€ / π‘˜β¦Œπ΄))
51 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄)) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))
5245, 48, 50, 51fvmptf 7009 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ 𝑍 ∧ (expβ€˜β¦‹π‘€ / π‘˜β¦Œπ΄) ∈ V) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘€) = (expβ€˜β¦‹π‘€ / π‘˜β¦Œπ΄))
5343, 44, 52sylancl 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘€) = (expβ€˜β¦‹π‘€ / π‘˜β¦Œπ΄))
5430, 42, 533eqtrd 2768 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ βˆπ‘š ∈ (𝑀...𝑀)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = (expβ€˜β¦‹π‘€ / π‘˜β¦Œπ΄))
5529sumeq1d 15644 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑀)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = Ξ£π‘š ∈ {𝑀} ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š))
5634fmpttd 7106 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴):π‘βŸΆβ„‚)
5756ffvelcdmda 7076 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘€) ∈ β„‚)
5833, 57sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘€) ∈ β„‚)
59 fveq2 6881 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑀 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘€))
6059sumsn 15689 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘€) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘š ∈ {𝑀} ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘€))
6131, 58, 60syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ Ξ£π‘š ∈ {𝑀} ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘€))
6234ralrimiva 3138 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴 ∈ β„‚)
6347nfel1 2911 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜β¦‹π‘€ / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ β„‚
6449eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑀 β†’ (𝐴 ∈ β„‚ ↔ ⦋𝑀 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ β„‚))
6563, 64rspc 3592 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ 𝑍 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴 ∈ β„‚ β†’ ⦋𝑀 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ β„‚))
6665impcom 407 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ 𝑍) β†’ ⦋𝑀 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ β„‚)
6762, 33, 66syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ ⦋𝑀 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ β„‚)
68 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)
6968fvmpts 6991 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ 𝑍 ∧ ⦋𝑀 / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘€) = ⦋𝑀 / π‘˜β¦Œπ΄)
7043, 67, 69syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘€) = ⦋𝑀 / π‘˜β¦Œπ΄)
7155, 61, 703eqtrd 2768 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑀)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = ⦋𝑀 / π‘˜β¦Œπ΄)
7271fveq2d 6885 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑀)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š)) = (expβ€˜β¦‹π‘€ / π‘˜β¦Œπ΄))
7354, 72eqtr4d 2767 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ βˆπ‘š ∈ (𝑀...𝑀)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑀)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š)))
7473expcom 413 . . . 4 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (πœ‘ β†’ βˆπ‘š ∈ (𝑀...𝑀)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑀)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š))))
75 simp3 1135 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ βˆπ‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š))) β†’ βˆπ‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š)))
762peano2uzs 12883 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ (𝑛 + 1) ∈ 𝑍)
77 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑛 + 1) ∈ 𝑍) β†’ (𝑛 + 1) ∈ 𝑍)
78 nfcsb1v 3910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘˜β¦‹(𝑛 + 1) / π‘˜β¦Œπ΄
7978nfel1 2911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘˜β¦‹(𝑛 + 1) / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ β„‚
80 csbeq1a 3899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = (𝑛 + 1) β†’ 𝐴 = ⦋(𝑛 + 1) / π‘˜β¦Œπ΄)
8180eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = (𝑛 + 1) β†’ (𝐴 ∈ β„‚ ↔ ⦋(𝑛 + 1) / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ β„‚))
8279, 81rspc 3592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 + 1) ∈ 𝑍 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑍 𝐴 ∈ β„‚ β†’ ⦋(𝑛 + 1) / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ β„‚))
8362, 82mpan9 506 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑛 + 1) ∈ 𝑍) β†’ ⦋(𝑛 + 1) / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ β„‚)
84 efcl 16023 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⦋(𝑛 + 1) / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜β¦‹(𝑛 + 1) / π‘˜β¦Œπ΄) ∈ β„‚)
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑛 + 1) ∈ 𝑍) β†’ (expβ€˜β¦‹(𝑛 + 1) / π‘˜β¦Œπ΄) ∈ β„‚)
86 nfcv 2895 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘˜(𝑛 + 1)
8746, 78nffv 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘˜(expβ€˜β¦‹(𝑛 + 1) / π‘˜β¦Œπ΄)
8880fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = (𝑛 + 1) β†’ (expβ€˜π΄) = (expβ€˜β¦‹(𝑛 + 1) / π‘˜β¦Œπ΄))
8986, 87, 88, 51fvmptf 7009 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑛 + 1) ∈ 𝑍 ∧ (expβ€˜β¦‹(𝑛 + 1) / π‘˜β¦Œπ΄) ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜(𝑛 + 1)) = (expβ€˜β¦‹(𝑛 + 1) / π‘˜β¦Œπ΄))
9077, 85, 89syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑛 + 1) ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜(𝑛 + 1)) = (expβ€˜β¦‹(𝑛 + 1) / π‘˜β¦Œπ΄))
9168fvmpts 6991 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑛 + 1) ∈ 𝑍 ∧ ⦋(𝑛 + 1) / π‘˜β¦Œπ΄ ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜(𝑛 + 1)) = ⦋(𝑛 + 1) / π‘˜β¦Œπ΄)
9277, 83, 91syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑛 + 1) ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜(𝑛 + 1)) = ⦋(𝑛 + 1) / π‘˜β¦Œπ΄)
9392fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑛 + 1) ∈ 𝑍) β†’ (expβ€˜((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜(𝑛 + 1))) = (expβ€˜β¦‹(𝑛 + 1) / π‘˜β¦Œπ΄))
9490, 93eqtr4d 2767 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑛 + 1) ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜(𝑛 + 1)) = (expβ€˜((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜(𝑛 + 1))))
9576, 94sylan2 592 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜(𝑛 + 1)) = (expβ€˜((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜(𝑛 + 1))))
96953adant3 1129 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ βˆπ‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š))) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜(𝑛 + 1)) = (expβ€˜((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜(𝑛 + 1))))
9775, 96oveq12d 7419 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ βˆπ‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š))) β†’ (βˆπ‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) Β· ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜(𝑛 + 1))) = ((expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š)) Β· (expβ€˜((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜(𝑛 + 1)))))
98 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
9998, 2eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
100 elfzuz 13494 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ (𝑀...(𝑛 + 1)) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
101100, 2eleqtrrdi 2836 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ (𝑀...(𝑛 + 1)) β†’ π‘š ∈ 𝑍)
10237ffvelcdmda 7076 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) ∈ β„‚)
103101, 102sylan2 592 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (𝑀...(𝑛 + 1))) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) ∈ β„‚)
104103adantlr 712 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘š ∈ (𝑀...(𝑛 + 1))) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) ∈ β„‚)
105 fveq2 6881 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜(𝑛 + 1)))
10699, 104, 105fprodp1 15910 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ βˆπ‘š ∈ (𝑀...(𝑛 + 1))((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = (βˆπ‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) Β· ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜(𝑛 + 1))))
1071063adant3 1129 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ βˆπ‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š))) β†’ βˆπ‘š ∈ (𝑀...(𝑛 + 1))((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = (βˆπ‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) Β· ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜(𝑛 + 1))))
10856ffvelcdmda 7076 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
109101, 108sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (𝑀...(𝑛 + 1))) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
110109adantlr 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘š ∈ (𝑀...(𝑛 + 1))) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
111 fveq2 6881 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜(𝑛 + 1)))
11299, 110, 111fsump1 15699 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ Ξ£π‘š ∈ (𝑀...(𝑛 + 1))((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = (Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) + ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜(𝑛 + 1))))
113112fveq2d 6885 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...(𝑛 + 1))((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š)) = (expβ€˜(Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) + ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜(𝑛 + 1)))))
114 fzfid 13935 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (𝑀...𝑛) ∈ Fin)
115 elfzuz 13494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘š ∈ (𝑀...𝑛) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
116115, 2eleqtrrdi 2836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š ∈ (𝑀...𝑛) β†’ π‘š ∈ 𝑍)
117116, 108sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (𝑀...𝑛)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
118117adantlr 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘š ∈ (𝑀...𝑛)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
119114, 118fsumcl 15676 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
12056ffvelcdmda 7076 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑛 + 1) ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜(𝑛 + 1)) ∈ β„‚)
12176, 120sylan2 592 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜(𝑛 + 1)) ∈ β„‚)
122 efadd 16034 . . . . . . . . . . . 12 ((Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) ∈ β„‚ ∧ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜(𝑛 + 1)) ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜(Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) + ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜(𝑛 + 1)))) = ((expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š)) Β· (expβ€˜((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜(𝑛 + 1)))))
123119, 121, 122syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (expβ€˜(Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) + ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜(𝑛 + 1)))) = ((expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š)) Β· (expβ€˜((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜(𝑛 + 1)))))
124113, 123eqtrd 2764 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...(𝑛 + 1))((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š)) = ((expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š)) Β· (expβ€˜((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜(𝑛 + 1)))))
1251243adant3 1129 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ βˆπ‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š))) β†’ (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...(𝑛 + 1))((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š)) = ((expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š)) Β· (expβ€˜((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜(𝑛 + 1)))))
12697, 107, 1253eqtr4d 2774 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍 ∧ βˆπ‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š))) β†’ βˆπ‘š ∈ (𝑀...(𝑛 + 1))((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...(𝑛 + 1))((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š)))
1271263exp 1116 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ (βˆπ‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š)) β†’ βˆπ‘š ∈ (𝑀...(𝑛 + 1))((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...(𝑛 + 1))((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š)))))
128127com12 32 . . . . . 6 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ (πœ‘ β†’ (βˆπ‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š)) β†’ βˆπ‘š ∈ (𝑀...(𝑛 + 1))((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...(𝑛 + 1))((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š)))))
129128a2d 29 . . . . 5 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ ((πœ‘ β†’ βˆπ‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š))) β†’ (πœ‘ β†’ βˆπ‘š ∈ (𝑀...(𝑛 + 1))((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...(𝑛 + 1))((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š)))))
1302eqcomi 2733 . . . . 5 (β„€β‰₯β€˜π‘€) = 𝑍
131129, 130eleq2s 2843 . . . 4 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ ((πœ‘ β†’ βˆπ‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑛)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š))) β†’ (πœ‘ β†’ βˆπ‘š ∈ (𝑀...(𝑛 + 1))((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...(𝑛 + 1))((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š)))))
1329, 15, 21, 27, 74, 131uzind4 12887 . . 3 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (πœ‘ β†’ βˆπ‘š ∈ (𝑀...𝑁)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑁)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š))))
1333, 132mpcom 38 . 2 (πœ‘ β†’ βˆπ‘š ∈ (𝑀...𝑁)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑁)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š)))
134 fvres 6900 . . . . 5 (π‘š ∈ (𝑀...𝑁) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄)) β†Ύ (𝑀...𝑁))β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š))
135 fzssuz 13539 . . . . . . . 8 (𝑀...𝑁) βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€)
136135, 2sseqtrri 4011 . . . . . . 7 (𝑀...𝑁) βŠ† 𝑍
137 resmpt 6027 . . . . . . 7 ((𝑀...𝑁) βŠ† 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄)) β†Ύ (𝑀...𝑁)) = (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (expβ€˜π΄)))
138136, 137ax-mp 5 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄)) β†Ύ (𝑀...𝑁)) = (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (expβ€˜π΄))
139138fveq1i 6882 . . . . 5 (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄)) β†Ύ (𝑀...𝑁))β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š)
140134, 139eqtr3di 2779 . . . 4 (π‘š ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š))
141140prodeq2i 15860 . . 3 βˆπ‘š ∈ (𝑀...𝑁)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = βˆπ‘š ∈ (𝑀...𝑁)((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š)
142 prodfc 15886 . . 3 βˆπ‘š ∈ (𝑀...𝑁)((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = βˆπ‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)(expβ€˜π΄)
143141, 142eqtri 2752 . 2 βˆπ‘š ∈ (𝑀...𝑁)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ (expβ€˜π΄))β€˜π‘š) = βˆπ‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)(expβ€˜π΄)
144 fvres 6900 . . . . . 6 (π‘š ∈ (𝑀...𝑁) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑀...𝑁))β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š))
145 resmpt 6027 . . . . . . . 8 ((𝑀...𝑁) βŠ† 𝑍 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑀...𝑁)) = (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴))
146136, 145ax-mp 5 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑀...𝑁)) = (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)
147146fveq1i 6882 . . . . . 6 (((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴) β†Ύ (𝑀...𝑁))β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)β€˜π‘š)
148144, 147eqtr3di 2779 . . . . 5 (π‘š ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)β€˜π‘š))
149148sumeq2i 15642 . . . 4 Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑁)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑁)((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)β€˜π‘š)
150 sumfc 15652 . . . 4 Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑁)((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)𝐴
151149, 150eqtri 2752 . . 3 Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑁)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)𝐴
152151fveq2i 6884 . 2 (expβ€˜Ξ£π‘š ∈ (𝑀...𝑁)((π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ 𝐴)β€˜π‘š)) = (expβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)𝐴)
153133, 143, 1523eqtr3g 2787 1 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)(expβ€˜π΄) = (expβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  Vcvv 3466  β¦‹csb 3885   βŠ† wss 3940  {csn 4620   ↦ cmpt 5221   β†Ύ cres 5668  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  β„‚cc 11104  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111  β„€cz 12555  β„€β‰₯cuz 12819  ...cfz 13481  Ξ£csu 15629  βˆcprod 15846  expce 16002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-ico 13327  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-prod 15847  df-ef 16008
This theorem is referenced by:  aks4d1p1p1  41421
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