Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bcprod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcprod 35738
Description: A product identity for binomial coefficients. (Contributed by Scott Fenton, 23-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
bcprod (𝑁 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝑁 − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑁)))
Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem bcprod
Dummy variables 𝑛 𝑚 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑚 = 1 → (𝑚 − 1) = (1 − 1))
2 1m1e0 12338 . . . . . . 7 (1 − 1) = 0
31, 2eqtrdi 2793 . . . . . 6 (𝑚 = 1 → (𝑚 − 1) = 0)
43oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑚 = 1 → (1...(𝑚 − 1)) = (1...0))
5 fz10 13585 . . . . 5 (1...0) = ∅
64, 5eqtrdi 2793 . . . 4 (𝑚 = 1 → (1...(𝑚 − 1)) = ∅)
73oveq1d 7446 . . . . 5 (𝑚 = 1 → ((𝑚 − 1)C𝑘) = (0C𝑘))
87adantr 480 . . . 4 ((𝑚 = 1 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝑚 − 1)C𝑘) = (0C𝑘))
96, 8prodeq12dv 15962 . . 3 (𝑚 = 1 → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝑚 − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ ∅ (0C𝑘))
10 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑚 = 1 → ((2 · 𝑘) − 𝑚) = ((2 · 𝑘) − 1))
1110oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑚 = 1 → (𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑚)) = (𝑘↑((2 · 𝑘) − 1)))
1211adantr 480 . . . 4 ((𝑚 = 1 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑚)) = (𝑘↑((2 · 𝑘) − 1)))
136, 12prodeq12dv 15962 . . 3 (𝑚 = 1 → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑚)) = ∏𝑘 ∈ ∅ (𝑘↑((2 · 𝑘) − 1)))
149, 13eqeq12d 2753 . 2 (𝑚 = 1 → (∏𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝑚 − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑚)) ↔ ∏𝑘 ∈ ∅ (0C𝑘) = ∏𝑘 ∈ ∅ (𝑘↑((2 · 𝑘) − 1))))
15 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 − 1) = (𝑛 − 1))
1615oveq2d 7447 . . . 4 (𝑚 = 𝑛 → (1...(𝑚 − 1)) = (1...(𝑛 − 1)))
1715oveq1d 7446 . . . . 5 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 − 1)C𝑘) = ((𝑛 − 1)C𝑘))
1817adantr 480 . . . 4 ((𝑚 = 𝑛𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝑚 − 1)C𝑘) = ((𝑛 − 1)C𝑘))
1916, 18prodeq12dv 15962 . . 3 (𝑚 = 𝑛 → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝑚 − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))((𝑛 − 1)C𝑘))
20 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → ((2 · 𝑘) − 𝑚) = ((2 · 𝑘) − 𝑛))
2120oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑚 = 𝑛 → (𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑚)) = (𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)))
2221adantr 480 . . . 4 ((𝑚 = 𝑛𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑚)) = (𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)))
2316, 22prodeq12dv 15962 . . 3 (𝑚 = 𝑛 → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑚)) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)))
2419, 23eqeq12d 2753 . 2 (𝑚 = 𝑛 → (∏𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝑚 − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑚)) ↔ ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))((𝑛 − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛))))
25 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑚 − 1) = ((𝑛 + 1) − 1))
2625oveq2d 7447 . . . 4 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (1...(𝑚 − 1)) = (1...((𝑛 + 1) − 1)))
2725oveq1d 7446 . . . . 5 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑚 − 1)C𝑘) = (((𝑛 + 1) − 1)C𝑘))
2827adantr 480 . . . 4 ((𝑚 = (𝑛 + 1) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝑚 − 1)C𝑘) = (((𝑛 + 1) − 1)C𝑘))
2926, 28prodeq12dv 15962 . . 3 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝑚 − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(((𝑛 + 1) − 1)C𝑘))
30 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((2 · 𝑘) − 𝑚) = ((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1)))
3130oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑚)) = (𝑘↑((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1))))
3231adantr 480 . . . 4 ((𝑚 = (𝑛 + 1) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑚)) = (𝑘↑((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1))))
3326, 32prodeq12dv 15962 . . 3 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑚)) = ∏𝑘 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1))))
3429, 33eqeq12d 2753 . 2 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (∏𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝑚 − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑚)) ↔ ∏𝑘 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(((𝑛 + 1) − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1)))))
35 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑚 = 𝑁 → (𝑚 − 1) = (𝑁 − 1))
3635oveq2d 7447 . . . 4 (𝑚 = 𝑁 → (1...(𝑚 − 1)) = (1...(𝑁 − 1)))
3735oveq1d 7446 . . . . 5 (𝑚 = 𝑁 → ((𝑚 − 1)C𝑘) = ((𝑁 − 1)C𝑘))
3837adantr 480 . . . 4 ((𝑚 = 𝑁𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝑚 − 1)C𝑘) = ((𝑁 − 1)C𝑘))
3936, 38prodeq12dv 15962 . . 3 (𝑚 = 𝑁 → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝑚 − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝑁 − 1)C𝑘))
40 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑁 → ((2 · 𝑘) − 𝑚) = ((2 · 𝑘) − 𝑁))
4140oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑚 = 𝑁 → (𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑚)) = (𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑁)))
4241adantr 480 . . . 4 ((𝑚 = 𝑁𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑚)) = (𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑁)))
4336, 42prodeq12dv 15962 . . 3 (𝑚 = 𝑁 → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑚)) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑁)))
4439, 43eqeq12d 2753 . 2 (𝑚 = 𝑁 → (∏𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝑚 − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑚)) ↔ ∏𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝑁 − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑁))))
45 prod0 15979 . . 3 𝑘 ∈ ∅ (0C𝑘) = 1
46 prod0 15979 . . 3 𝑘 ∈ ∅ (𝑘↑((2 · 𝑘) − 1)) = 1
4745, 46eqtr4i 2768 . 2 𝑘 ∈ ∅ (0C𝑘) = ∏𝑘 ∈ ∅ (𝑘↑((2 · 𝑘) − 1))
48 simpr 484 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))((𝑛 − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛))) → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))((𝑛 − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)))
4948oveq1d 7446 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))((𝑛 − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛))) → (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))((𝑛 − 1)C𝑘) · ((𝑛↑(𝑛 − 1)) / (!‘(𝑛 − 1)))) = (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)) · ((𝑛↑(𝑛 − 1)) / (!‘(𝑛 − 1)))))
50 nncn 12274 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
51 1cnd 11256 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
5250, 51pncand 11621 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
5352oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (1...((𝑛 + 1) − 1)) = (1...𝑛))
5452oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 + 1) − 1)C𝑘) = (𝑛C𝑘))
5554adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))) → (((𝑛 + 1) − 1)C𝑘) = (𝑛C𝑘))
5653, 55prodeq12dv 15962 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(((𝑛 + 1) − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝑛C𝑘))
57 elnnuz 12922 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
5857biimpi 216 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
59 nnnn0 12533 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
60 elfzelz 13564 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 𝑘 ∈ ℤ)
61 bccl 14361 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑛C𝑘) ∈ ℕ0)
6259, 60, 61syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (𝑛C𝑘) ∈ ℕ0)
6362nn0cnd 12589 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (𝑛C𝑘) ∈ ℂ)
64 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (𝑛C𝑘) = (𝑛C𝑛))
6558, 63, 64fprodm1 16003 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝑛C𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑛C𝑘) · (𝑛C𝑛)))
66 bcnn 14351 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛C𝑛) = 1)
6759, 66syl 17 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛C𝑛) = 1)
6867oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑛C𝑘) · (𝑛C𝑛)) = (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑛C𝑘) · 1))
69 fzfid 14014 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (1...(𝑛 − 1)) ∈ Fin)
70 elfzelz 13564 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
7159, 70, 61syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (𝑛C𝑘) ∈ ℕ0)
7271nn0cnd 12589 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (𝑛C𝑘) ∈ ℂ)
7369, 72fprodcl 15988 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑛C𝑘) ∈ ℂ)
7473mulridd 11278 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑛C𝑘) · 1) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑛C𝑘))
75 fz1ssfz0 13663 . . . . . . . . . . 11 (1...(𝑛 − 1)) ⊆ (0...(𝑛 − 1))
7675sseli 3979 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑛 − 1)))
77 bcm1nt 35737 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑛 − 1))) → (𝑛C𝑘) = (((𝑛 − 1)C𝑘) · (𝑛 / (𝑛𝑘))))
7876, 77sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (𝑛C𝑘) = (((𝑛 − 1)C𝑘) · (𝑛 / (𝑛𝑘))))
7978prodeq2dv 15958 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑛C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(((𝑛 − 1)C𝑘) · (𝑛 / (𝑛𝑘))))
80 nnm1nn0 12567 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
81 bccl 14361 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 − 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑛 − 1)C𝑘) ∈ ℕ0)
8280, 70, 81syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → ((𝑛 − 1)C𝑘) ∈ ℕ0)
8382nn0cnd 12589 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → ((𝑛 − 1)C𝑘) ∈ ℂ)
8450adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → 𝑛 ∈ ℂ)
85 elfznn 13593 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
8685adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
8786nnred 12281 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
8880adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
8988nn0red 12588 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
90 nnre 12273 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
9190adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → 𝑛 ∈ ℝ)
92 elfzle2 13568 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1)) → 𝑘 ≤ (𝑛 − 1))
9392adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → 𝑘 ≤ (𝑛 − 1))
9491ltm1d 12200 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (𝑛 − 1) < 𝑛)
9587, 89, 91, 93, 94lelttrd 11419 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → 𝑘 < 𝑛)
96 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
97 nnsub 12310 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘 < 𝑛 ↔ (𝑛𝑘) ∈ ℕ))
9886, 96, 97syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (𝑘 < 𝑛 ↔ (𝑛𝑘) ∈ ℕ))
9995, 98mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (𝑛𝑘) ∈ ℕ)
10099nncnd 12282 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (𝑛𝑘) ∈ ℂ)
10199nnne0d 12316 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (𝑛𝑘) ≠ 0)
10284, 100, 101divcld 12043 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (𝑛 / (𝑛𝑘)) ∈ ℂ)
10369, 83, 102fprodmul 15996 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(((𝑛 − 1)C𝑘) · (𝑛 / (𝑛𝑘))) = (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))((𝑛 − 1)C𝑘) · ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑛 / (𝑛𝑘))))
10469, 84, 100, 101fproddiv 15997 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑛 / (𝑛𝑘)) = (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))𝑛 / ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑛𝑘)))
105 fzfi 14013 . . . . . . . . . . . . 13 (1...(𝑛 − 1)) ∈ Fin
106 fprodconst 16014 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...(𝑛 − 1)) ∈ Fin ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))𝑛 = (𝑛↑(♯‘(1...(𝑛 − 1)))))
107105, 50, 106sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))𝑛 = (𝑛↑(♯‘(1...(𝑛 − 1)))))
108 hashfz1 14385 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 − 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑛 − 1))) = (𝑛 − 1))
10980, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘(1...(𝑛 − 1))) = (𝑛 − 1))
110109oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑(♯‘(1...(𝑛 − 1)))) = (𝑛↑(𝑛 − 1)))
111107, 110eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑(𝑛 − 1)) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))𝑛)
112 fprodfac 16009 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑛 − 1)) = ∏𝑗 ∈ (1...(𝑛 − 1))𝑗)
11380, 112syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (!‘(𝑛 − 1)) = ∏𝑗 ∈ (1...(𝑛 − 1))𝑗)
114 nnz 12634 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
115 1zzd 12648 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
11680nn0zd 12639 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 − 1) ∈ ℤ)
117 elfznn 13593 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1...(𝑛 − 1)) → 𝑗 ∈ ℕ)
118117adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → 𝑗 ∈ ℕ)
119118nncnd 12282 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → 𝑗 ∈ ℂ)
120 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = (𝑛𝑘) → 𝑗 = (𝑛𝑘))
121114, 115, 116, 119, 120fprodrev 16013 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → ∏𝑗 ∈ (1...(𝑛 − 1))𝑗 = ∏𝑘 ∈ ((𝑛 − (𝑛 − 1))...(𝑛 − 1))(𝑛𝑘))
12250, 51nncand 11625 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 − (𝑛 − 1)) = 1)
123122oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 − (𝑛 − 1))...(𝑛 − 1)) = (1...(𝑛 − 1)))
124123prodeq1d 15956 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ ((𝑛 − (𝑛 − 1))...(𝑛 − 1))(𝑛𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑛𝑘))
125113, 121, 1243eqtrd 2781 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (!‘(𝑛 − 1)) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑛𝑘))
126111, 125oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛↑(𝑛 − 1)) / (!‘(𝑛 − 1))) = (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))𝑛 / ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑛𝑘)))
127104, 126eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑛 / (𝑛𝑘)) = ((𝑛↑(𝑛 − 1)) / (!‘(𝑛 − 1))))
128127oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))((𝑛 − 1)C𝑘) · ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑛 / (𝑛𝑘))) = (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))((𝑛 − 1)C𝑘) · ((𝑛↑(𝑛 − 1)) / (!‘(𝑛 − 1)))))
12979, 103, 1283eqtrd 2781 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑛C𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))((𝑛 − 1)C𝑘) · ((𝑛↑(𝑛 − 1)) / (!‘(𝑛 − 1)))))
13068, 74, 1293eqtrd 2781 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑛C𝑘) · (𝑛C𝑛)) = (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))((𝑛 − 1)C𝑘) · ((𝑛↑(𝑛 − 1)) / (!‘(𝑛 − 1)))))
13156, 65, 1303eqtrd 2781 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(((𝑛 + 1) − 1)C𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))((𝑛 − 1)C𝑘) · ((𝑛↑(𝑛 − 1)) / (!‘(𝑛 − 1)))))
132131adantr 480 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))((𝑛 − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛))) → ∏𝑘 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(((𝑛 + 1) − 1)C𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))((𝑛 − 1)C𝑘) · ((𝑛↑(𝑛 − 1)) / (!‘(𝑛 − 1)))))
13353prodeq1d 15956 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1))) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝑘↑((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1))))
134 elfznn 13593 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ)
135134adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
136135nncnd 12282 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℂ)
137135nnne0d 12316 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ≠ 0)
138 2nn 12339 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ
139138a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 2 ∈ ℕ)
140139, 135nnmulcld 12319 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
141140nnzd 12640 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (2 · 𝑘) ∈ ℤ)
142 peano2nn 12278 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
143142adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
144143nnzd 12640 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (𝑛 + 1) ∈ ℤ)
145141, 144zsubcld 12727 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → ((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1)) ∈ ℤ)
146136, 137, 145expclzd 14191 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (𝑘↑((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
147 id 22 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛𝑘 = 𝑛)
148 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑛))
149148oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1)) = ((2 · 𝑛) − (𝑛 + 1)))
150147, 149oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘↑((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1))) = (𝑛↑((2 · 𝑛) − (𝑛 + 1))))
15158, 146, 150fprodm1 16003 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝑘↑((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1))) = (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1))) · (𝑛↑((2 · 𝑛) − (𝑛 + 1)))))
15286nncnd 12282 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
15386nnne0d 12316 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → 𝑘 ≠ 0)
154138a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → 2 ∈ ℕ)
155154, 86nnmulcld 12319 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
156155nnzd 12640 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (2 · 𝑘) ∈ ℤ)
157114adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
158156, 157zsubcld 12727 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → ((2 · 𝑘) − 𝑛) ∈ ℤ)
159152, 153, 158expclzd 14191 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)) ∈ ℂ)
16069, 159, 152, 153fproddiv 15997 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))((𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)) / 𝑘) = (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)) / ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))𝑘))
161155nncnd 12282 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
162 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → 1 ∈ ℂ)
163161, 84, 162subsub4d 11651 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (((2 · 𝑘) − 𝑛) − 1) = ((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1)))
164163oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (𝑘↑(((2 · 𝑘) − 𝑛) − 1)) = (𝑘↑((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1))))
165152, 153, 158expm1d 14196 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (𝑘↑(((2 · 𝑘) − 𝑛) − 1)) = ((𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)) / 𝑘))
166164, 165eqtr3d 2779 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))) → (𝑘↑((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1))) = ((𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)) / 𝑘))
167166prodeq2dv 15958 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1))) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))((𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)) / 𝑘))
168 fprodfac 16009 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑛 − 1)) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))𝑘)
16980, 168syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (!‘(𝑛 − 1)) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))𝑘)
170169oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)) / (!‘(𝑛 − 1))) = (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)) / ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))𝑘))
171160, 167, 1703eqtr4d 2787 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1))) = (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)) / (!‘(𝑛 − 1))))
172138a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
173 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
174172, 173nnmulcld 12319 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
175174nncnd 12282 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
176175, 50, 51subsub4d 11651 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) − 𝑛) − 1) = ((2 · 𝑛) − (𝑛 + 1)))
177502timesd 12509 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) = (𝑛 + 𝑛))
17850, 50, 177mvrladdd 11676 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) − 𝑛) = 𝑛)
179178oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) − 𝑛) − 1) = (𝑛 − 1))
180176, 179eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) − (𝑛 + 1)) = (𝑛 − 1))
181180oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑((2 · 𝑛) − (𝑛 + 1))) = (𝑛↑(𝑛 − 1)))
182171, 181oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1))) · (𝑛↑((2 · 𝑛) − (𝑛 + 1)))) = ((∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)) / (!‘(𝑛 − 1))) · (𝑛↑(𝑛 − 1))))
18369, 159fprodcl 15988 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)) ∈ ℂ)
184 faccl 14322 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑛 − 1)) ∈ ℕ)
18580, 184syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (!‘(𝑛 − 1)) ∈ ℕ)
186185nncnd 12282 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (!‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
18750, 80expcld 14186 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
188185nnne0d 12316 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (!‘(𝑛 − 1)) ≠ 0)
189183, 186, 187, 188div32d 12066 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)) / (!‘(𝑛 − 1))) · (𝑛↑(𝑛 − 1))) = (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)) · ((𝑛↑(𝑛 − 1)) / (!‘(𝑛 − 1)))))
190182, 189eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1))) · (𝑛↑((2 · 𝑛) − (𝑛 + 1)))) = (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)) · ((𝑛↑(𝑛 − 1)) / (!‘(𝑛 − 1)))))
191133, 151, 1903eqtrd 2781 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1))) = (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)) · ((𝑛↑(𝑛 − 1)) / (!‘(𝑛 − 1)))))
192191adantr 480 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))((𝑛 − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛))) → ∏𝑘 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1))) = (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)) · ((𝑛↑(𝑛 − 1)) / (!‘(𝑛 − 1)))))
19349, 132, 1923eqtr4d 2787 . . 3 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))((𝑛 − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛))) → ∏𝑘 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(((𝑛 + 1) − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1))))
194193ex 412 . 2 (𝑛 ∈ ℕ → (∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))((𝑛 − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑛 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑛)) → ∏𝑘 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(((𝑛 + 1) − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...((𝑛 + 1) − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − (𝑛 + 1)))))
19514, 24, 34, 44, 47, 194nnind 12284 1 (𝑁 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))((𝑁 − 1)C𝑘) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑁 − 1))(𝑘↑((2 · 𝑘) − 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  c0 4333   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  ...cfz 13547  cexp 14102  !cfa 14312  Ccbc 14341  chash 14369  cprod 15939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-prod 15940
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator