aks4d1p1 - Mathbox for metakunt

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Theorem aks4d1p1 42927

Description: Show inequality for existence of a non-divisor. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
aks4d1p1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))
aks4d1p1.2	⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 log_b 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
aks4d1p1.3	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 log_b 𝑁)↑5))

**Assertion**
Ref	Expression
aks4d1p1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (2↑𝐵))

Distinct variable groups: 𝑘,𝑁 𝜑,𝑘 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑘) 𝐵(𝑘)

**Proof of Theorem aks4d1p1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn 12345	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 < 𝑁) → 3 ∈ ℕ)
3		aks4d1p1.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))
4	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 < 𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))
5		eluznn 12968	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑁 ∈ ℕ)
6	2, 4, 5	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
7		aks4d1p1.2	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 log_b 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
8		aks4d1p1.3	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 log_b 𝑁)↑5))
9		3p1e4 12410	. . . . 5 ⊢ (3 + 1) = 4
10		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 < 𝑁) → 3 < 𝑁)
11		3z 12652	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℤ
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 < 𝑁) → 3 ∈ ℤ)
13		eluzelz 12898	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
14	3, 13	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
15	14	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
16	12, 15	zltp1led 12674	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 < 𝑁) → (3 < 𝑁 ↔ (3 + 1) ≤ 𝑁))
17	10, 16	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 < 𝑁) → (3 + 1) ≤ 𝑁)
18	9, 17	eqbrtrrid 5145	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 < 𝑁) → 4 ≤ 𝑁)
19		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (2 log_b (((2 log_b 𝑁)↑5) + 1)) = (2 log_b (((2 log_b 𝑁)↑5) + 1))
20		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ((2 log_b 𝑁)↑2) = ((2 log_b 𝑁)↑2)
21		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ((2 log_b 𝑁)↑4) = ((2 log_b 𝑁)↑4)
22	6, 7, 8, 18, 19, 20, 21	aks4d1p1p5 42926	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 < 𝑁) → 𝐴 < (2↑𝐵))
23	22	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → (3 < 𝑁 → 𝐴 < (2↑𝐵)))
24		simp2 1155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 3)↑2)))) → 3 = 𝑁)
25	24	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 3)↑2)))) → 𝑁 = 3)
26	25	oveq1d 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 3)↑2)))) → (𝑁↑𝑘) = (3↑𝑘))
27	26	oveq1d 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 3)↑2)))) → ((𝑁↑𝑘) − 1) = ((3↑𝑘) − 1))
28	27	3expa 1136	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 3)↑2)))) → ((𝑁↑𝑘) − 1) = ((3↑𝑘) − 1))
29	28	prodeq2dv 16011	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 3)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1) = ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 3)↑2)))((3↑𝑘) − 1))
30	29	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → ((3↑(⌊‘(2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 3)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) = ((3↑(⌊‘(2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 3)↑2)))((3↑𝑘) − 1)))
31		2rp 13047	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ⁺)
33		1red 11234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
34		1lt2 12438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 < 2
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
36	33, 35	ltned 11371	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
37	36	necomd 3012	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
38	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℤ)
39	32, 37, 38	relogbexpd 42826	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 log_b (2↑3)) = 3)
40	39	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 3 = (2 log_b (2↑3)))
41		cu2 14264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2↑3) = 8
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2↑3) = 8)
43	42	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 log_b (2↑3)) = (2 log_b 8))
44	40, 43	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 3 = (2 log_b 8))
45		2z 12651	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℤ
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
47	46	zred 12726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
48	47	leidd 11805	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 2)
49		8re 12362	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 8 ∈ ℝ
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 8 ∈ ℝ)
51		8pos 12381	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 8
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 8)
53	32	rpgt0d 13089	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
54		3re 12346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 3 ∈ ℝ
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
56	1	nngt0i 12300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 < 3
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
58	47, 53, 55, 57, 37	relogbcld 42825	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 log_b 3) ∈ ℝ)
59		5nn0 12549	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 5 ∈ ℕ₀
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ₀)
61	58, 60	reexpcld 14227	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((2 log_b 3)↑5) ∈ ℝ)
62		ceilcl 13903	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 log_b 3)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 log_b 3)↑5)) ∈ ℤ)
63	61, 62	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 log_b 3)↑5)) ∈ ℤ)
64	63	zred 12726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 log_b 3)↑5)) ∈ ℝ)
65		0red 11236	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
66		9re 12365	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 9 ∈ ℝ
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
68	50	lep1d 12171	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 8 ≤ (8 + 1))
69		8p1e9 12415	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (8 + 1) = 9
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (8 + 1) = 9)
71	68, 70	breqtrd 5135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 8 ≤ 9)
72		2re 12340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℝ
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
74		2pos 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 < 2
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
76		3pos 12374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 < 3
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
78	73, 75, 55, 77, 37	relogbcld 42825	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (2 log_b 3) ∈ ℝ)
79	78, 60	reexpcld 14227	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((2 log_b 3)↑5) ∈ ℝ)
80	79, 62	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 log_b 3)↑5)) ∈ ℤ)
81	80	zred 12726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 log_b 3)↑5)) ∈ ℝ)
82	55	leidd 11805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 3)
83	55, 82	3lexlogpow5ineq4 42907	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 9 < ((2 log_b 3)↑5))
84	67, 79, 83	ltled 11383	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ ((2 log_b 3)↑5))
85		ceilge 13906	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2 log_b 3)↑5) ∈ ℝ → ((2 log_b 3)↑5) ≤ (⌈‘((2 log_b 3)↑5)))
86	79, 85	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((2 log_b 3)↑5) ≤ (⌈‘((2 log_b 3)↑5)))
87	67, 79, 81, 84, 86	letrd 11392	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ (⌈‘((2 log_b 3)↑5)))
88	50, 67, 64, 71, 87	letrd 11392	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 8 ≤ (⌈‘((2 log_b 3)↑5)))
89	65, 50, 64, 52, 88	ltletrd 11395	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < (⌈‘((2 log_b 3)↑5)))
90	46, 48, 50, 52, 64, 89, 88	logblebd 42828	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 log_b 8) ≤ (2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))))
91	44, 90	eqbrtrd 5131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ (2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))))
92	79, 33	readdcld 11263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((2 log_b 3)↑5) + 1) ∈ ℝ)
93		1nn0 12545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
94		6nn 12355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 6 ∈ ℕ
95	93, 94	decnncl 12761	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ;16 ∈ ℕ
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ;16 ∈ ℕ)
97	96	nnred 12273	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ;16 ∈ ℝ)
98		ceilm1lt 13909	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2 log_b 3)↑5) ∈ ℝ → ((⌈‘((2 log_b 3)↑5)) − 1) < ((2 log_b 3)↑5))
99	79, 98	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((⌈‘((2 log_b 3)↑5)) − 1) < ((2 log_b 3)↑5))
100	81, 33, 79	ltsubaddd 11835	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (((⌈‘((2 log_b 3)↑5)) − 1) < ((2 log_b 3)↑5) ↔ (⌈‘((2 log_b 3)↑5)) < (((2 log_b 3)↑5) + 1)))
101	99, 100	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 log_b 3)↑5)) < (((2 log_b 3)↑5) + 1))
102		3lexlogpow5ineq5 42911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 log_b 3)↑5) ≤ ;15
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((2 log_b 3)↑5) ≤ ;15)
104		5p1e6 12412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (5 + 1) = 6
105		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ;15 = ;15
106	93, 59, 104, 105	decsuc 12773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (;15 + 1) = ;16
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (;15 + 1) = ;16)
108	97	recnd 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ;16 ∈ ℂ)
109		1cnd 11227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
110		5nn 12352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 5 ∈ ℕ
111	93, 110	decnncl 12761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ;15 ∈ ℕ
112	111	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ;15 ∈ ℕ)
113	112	nncnd 12274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ;15 ∈ ℂ)
114	108, 109, 113	subadd2d 11613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((;16 − 1) = ;15 ↔ (;15 + 1) = ;16))
115	107, 114	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (;16 − 1) = ;15)
116	115	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ;15 = (;16 − 1))
117	103, 116	breqtrd 5135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((2 log_b 3)↑5) ≤ (;16 − 1))
118		leaddsub 11715	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((2 log_b 3)↑5) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ;16 ∈ ℝ) → ((((2 log_b 3)↑5) + 1) ≤ ;16 ↔ ((2 log_b 3)↑5) ≤ (;16 − 1)))
119	79, 33, 97, 118	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((((2 log_b 3)↑5) + 1) ≤ ;16 ↔ ((2 log_b 3)↑5) ≤ (;16 − 1)))
120	117, 119	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((2 log_b 3)↑5) + 1) ≤ ;16)
121	81, 92, 97, 101, 120	ltletrd 11395	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 log_b 3)↑5)) < ;16)
122		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ;16 = ;16
123		2exp4 17178	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2↑4) = ;16
124	122, 123	eqtr4i 2788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ;16 = (2↑4)
125	124	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ;16 = (2↑4))
126	121, 125	breqtrd 5135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 log_b 3)↑5)) < (2↑4))
127	46	uzidd 12904	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ (ℤ_≥‘2))
128	64, 89	elrpd 13083	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 log_b 3)↑5)) ∈ ℝ⁺)
129		4z 12653	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 4 ∈ ℤ
130	129	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℤ)
131	32, 130	rpexpcld 14311	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2↑4) ∈ ℝ⁺)
132		logblt 27017	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (⌈‘((2 log_b 3)↑5)) ∈ ℝ⁺ ∧ (2↑4) ∈ ℝ⁺) → ((⌈‘((2 log_b 3)↑5)) < (2↑4) ↔ (2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))) < (2 log_b (2↑4))))
133	127, 128, 131, 132	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((⌈‘((2 log_b 3)↑5)) < (2↑4) ↔ (2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))) < (2 log_b (2↑4))))
134	126, 133	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))) < (2 log_b (2↑4)))
135	32, 37, 130	relogbexpd 42826	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 log_b (2↑4)) = 4)
136	9	eqcomi 2771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 = (3 + 1)
137	136	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 4 = (3 + 1))
138	135, 137	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 log_b (2↑4)) = (3 + 1))
139	134, 138	breqtrd 5135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))) < (3 + 1))
140	91, 139	jca 521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (3 ≤ (2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))) ∧ (2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))) < (3 + 1)))
141	73, 75, 55, 57, 37	relogbcld 42825	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 log_b 3) ∈ ℝ)
142	141, 60	reexpcld 14227	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((2 log_b 3)↑5) ∈ ℝ)
143	142, 62	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 log_b 3)↑5)) ∈ ℤ)
144	143	zred 12726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 log_b 3)↑5)) ∈ ℝ)
145		9pos 12382	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 9
146	145	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 9)
147	65, 67, 144, 146, 87	ltletrd 11395	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < (⌈‘((2 log_b 3)↑5)))
148	73, 75, 144, 147, 37	relogbcld 42825	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))) ∈ ℝ)
149		flbi 13877	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℤ) → ((⌊‘(2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5)))) = 3 ↔ (3 ≤ (2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))) ∧ (2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))) < (3 + 1))))
150	148, 38, 149	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5)))) = 3 ↔ (3 ≤ (2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))) ∧ (2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))) < (3 + 1))))
151	140, 150	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5)))) = 3)
152	151	oveq2d 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (3↑(⌊‘(2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))))) = (3↑3))
153	78	resqcld 14189	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((2 log_b 3)↑2) ∈ ℝ)
154		3lexlogpow2ineq2 42910	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 < ((2 log_b 3)↑2) ∧ ((2 log_b 3)↑2) < 3)
155	154	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 < ((2 log_b 3)↑2) ∧ ((2 log_b 3)↑2) < 3))
156	155	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 2 < ((2 log_b 3)↑2))
157	73, 153, 156	ltled 11383	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ ((2 log_b 3)↑2))
158	155	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((2 log_b 3)↑2) < 3)
159		df-3 12329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 = (2 + 1)
160	159	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 3 = (2 + 1))
161	158, 160	breqtrd 5135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((2 log_b 3)↑2) < (2 + 1))
162	157, 161	jca 521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 ≤ ((2 log_b 3)↑2) ∧ ((2 log_b 3)↑2) < (2 + 1)))
163	141	resqcld 14189	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((2 log_b 3)↑2) ∈ ℝ)
164		flbi 13877	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((2 log_b 3)↑2) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((⌊‘((2 log_b 3)↑2)) = 2 ↔ (2 ≤ ((2 log_b 3)↑2) ∧ ((2 log_b 3)↑2) < (2 + 1))))
165	163, 46, 164	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((2 log_b 3)↑2)) = 2 ↔ (2 ≤ ((2 log_b 3)↑2) ∧ ((2 log_b 3)↑2) < (2 + 1))))
166	162, 165	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((2 log_b 3)↑2)) = 2)
167	166	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘((2 log_b 3)↑2))) = (1...2))
168	167	prodeq1d 16009	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 3)↑2)))((3↑𝑘) − 1) = ∏𝑘 ∈ (1...2)((3↑𝑘) − 1))
169		1zzd 12650	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
170	169, 46	jca 521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
171		1le2 12477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ≤ 2
172	171	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 1 ≤ 2)
173		eluz 12902	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 ∈ (ℤ_≥‘1) ↔ 1 ≤ 2))
174	172, 173	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∈ (ℤ_≥‘1))
175	170, 174	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ (ℤ_≥‘1))
176		3cn 12347	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ∈ ℂ
177	176	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...2)) → 3 ∈ ℂ)
178		elfznn 13608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (1...2) → 𝑘 ∈ ℕ)
179	178	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...2)) → 𝑘 ∈ ℕ)
180	179	nnnn0d 12590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...2)) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
181	177, 180	expcld 14210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...2)) → (3↑𝑘) ∈ ℂ)
182		1cnd 11227	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...2)) → 1 ∈ ℂ)
183	181, 182	subcld 11594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...2)) → ((3↑𝑘) − 1) ∈ ℂ)
184		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 2 → (3↑𝑘) = (3↑2))
185	184	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 2 → ((3↑𝑘) − 1) = ((3↑2) − 1))
186	175, 183, 185	fprodm1 16056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...2)((3↑𝑘) − 1) = (∏𝑘 ∈ (1...(2 − 1))((3↑𝑘) − 1) · ((3↑2) − 1)))
187		2m1e1 12390	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 − 1) = 1
188	187	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 − 1) = 1)
189	188	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1...(2 − 1)) = (1...1))
190	189	prodeq1d 16009	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(2 − 1))((3↑𝑘) − 1) = ∏𝑘 ∈ (1...1)((3↑𝑘) − 1))
191	55	recnd 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
192	93	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ₀)
193	191, 192	expcld 14210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (3↑1) ∈ ℂ)
194	193, 109	subcld 11594	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((3↑1) − 1) ∈ ℂ)
195	169, 194	jca 521	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ ℤ ∧ ((3↑1) − 1) ∈ ℂ))
196		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 1 → (3↑𝑘) = (3↑1))
197	196	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 1 → ((3↑𝑘) − 1) = ((3↑1) − 1))
198	197	fprod1 16052	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ((3↑1) − 1) ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ (1...1)((3↑𝑘) − 1) = ((3↑1) − 1))
199	195, 198	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...1)((3↑𝑘) − 1) = ((3↑1) − 1))
200	190, 199	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(2 − 1))((3↑𝑘) − 1) = ((3↑1) − 1))
201	200	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...(2 − 1))((3↑𝑘) − 1) · ((3↑2) − 1)) = (((3↑1) − 1) · ((3↑2) − 1)))
202	186, 201	eqtrd 2797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...2)((3↑𝑘) − 1) = (((3↑1) − 1) · ((3↑2) − 1)))
203	168, 202	eqtrd 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 3)↑2)))((3↑𝑘) − 1) = (((3↑1) − 1) · ((3↑2) − 1)))
204	152, 203	oveq12d 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((3↑(⌊‘(2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 3)↑2)))((3↑𝑘) − 1)) = ((3↑3) · (((3↑1) − 1) · ((3↑2) − 1))))
205		3nn0 12547	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
206	205	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ₀)
207	55, 206	reexpcld 14227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (3↑3) ∈ ℝ)
208	55, 192	reexpcld 14227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (3↑1) ∈ ℝ)
209	208, 33	resubcld 11667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((3↑1) − 1) ∈ ℝ)
210	55	resqcld 14189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (3↑2) ∈ ℝ)
211	210, 33	resubcld 11667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((3↑2) − 1) ∈ ℝ)
212	209, 211	remulcld 11264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((3↑1) − 1) · ((3↑2) − 1)) ∈ ℝ)
213	207, 212	remulcld 11264	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((3↑3) · (((3↑1) − 1) · ((3↑2) − 1))) ∈ ℝ)
214		9nn0 12553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 9 ∈ ℕ₀
215	214	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℕ₀)
216	73, 215	reexpcld 14227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑9) ∈ ℝ)
217	216, 33	resubcld 11667	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2↑9) − 1) ∈ ℝ)
218		elnnz 12626	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌈‘((2 log_b 3)↑5)) ∈ ℕ ↔ ((⌈‘((2 log_b 3)↑5)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌈‘((2 log_b 3)↑5))))
219	143, 147, 218	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 log_b 3)↑5)) ∈ ℕ)
220	219	orcd 887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((⌈‘((2 log_b 3)↑5)) ∈ ℕ ∨ (⌈‘((2 log_b 3)↑5)) = 0))
221		elnn0 12531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⌈‘((2 log_b 3)↑5)) ∈ ℕ₀ ↔ ((⌈‘((2 log_b 3)↑5)) ∈ ℕ ∨ (⌈‘((2 log_b 3)↑5)) = 0))
222	221	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((⌈‘((2 log_b 3)↑5)) ∈ ℕ₀ ↔ ((⌈‘((2 log_b 3)↑5)) ∈ ℕ ∨ (⌈‘((2 log_b 3)↑5)) = 0)))
223	220, 222	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 log_b 3)↑5)) ∈ ℕ₀)
224	73, 223	reexpcld 14227	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2↑(⌈‘((2 log_b 3)↑5))) ∈ ℝ)
225		8cn 12363	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 8 ∈ ℂ
226		2cn 12341	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℂ
227		8t2e16 12857	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (8 · 2) = ;16
228	225, 226, 227	mulcomli 11243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · 8) = ;16
229	228	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · 8) = ;16)
230	229	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (;27 · (2 · 8)) = (;27 · ;16))
231		6nn0 12550	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 6 ∈ ℕ₀
232	93, 231	deccl 12752	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;16 ∈ ℕ₀
233		2nn0 12546	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
234		7nn0 12551	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 7 ∈ ℕ₀
235		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;27 = ;27
236	93, 93	deccl 12752	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;11 ∈ ℕ₀
237		0nn0 12544	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℕ₀
238	233	dec0h 12764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 = ;02
239		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;11 = ;11
240	232	nn0cni 12541	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ;16 ∈ ℂ
241	240	mul02i 11424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 · ;16) = 0
242		ax-1cn 11183	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℂ
243	176, 242, 9	addcomli 11427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 + 3) = 4
244	241, 243	oveq12i 7428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 · ;16) + (1 + 3)) = (0 + 4)
245		4cn 12351	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 4 ∈ ℂ
246	245	addlidi 11423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 + 4) = 4
247	244, 246	eqtri 2785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 · ;16) + (1 + 3)) = 4
248	93	dec0h 12764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 = ;01
249		2t1e2 12428	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 · 1) = 2
250		0p1e1 12386	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 + 1) = 1
251	249, 250	oveq12i 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 · 1) + (0 + 1)) = (2 + 1)
252		2p1e3 12407	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 + 1) = 3
253	251, 252	eqtri 2785	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 · 1) + (0 + 1)) = 3
254		6cn 12357	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 6 ∈ ℂ
255		6t2e12 12846	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (6 · 2) = ;12
256	254, 226, 255	mulcomli 11243	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 · 6) = ;12
257	93, 233, 252, 256	decsuc 12773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 · 6) + 1) = ;13
258	93, 231, 237, 93, 122, 248, 233, 205, 93, 253, 257	decma2c 12795	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 · ;16) + 1) = ;33
259	237, 233, 93, 93, 238, 239, 232, 205, 205, 247, 258	decmac 12794	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · ;16) + ;11) = ;43
260		4nn0 12548	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 ∈ ℕ₀
261		7cn 12360	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 7 ∈ ℂ
262	261	mulridi 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (7 · 1) = 7
263	262	oveq1i 7426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((7 · 1) + 4) = (7 + 4)
264		7p4e11 12818	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (7 + 4) = ;11
265	263, 264	eqtri 2785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((7 · 1) + 4) = ;11
266		7t6e42 12855	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (7 · 6) = ;42
267	234, 93, 231, 122, 233, 260, 265, 266	decmul2c 12808	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 · ;16) = ;;112
268	232, 233, 234, 235, 233, 236, 259, 267	decmul1c 12807	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;27 · ;16) = ;;432
269	268	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (;27 · ;16) = ;;432)
270	230, 269	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (;27 · (2 · 8)) = ;;432)
271	260, 205	deccl 12752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;43 ∈ ℕ₀
272	59, 93	deccl 12752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;51 ∈ ℕ₀
273		2lt10 12881	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 < ;10
274		3lt10 12880	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 < ;10
275		4lt5 12445	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 < 5
276	260, 59, 205, 93, 274, 275	decltc 12771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;43 < ;51
277	271, 272, 233, 93, 273, 276	decltc 12771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;432 < ;;511
278	277	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ;;432 < ;;511)
279	270, 278	eqbrtrd 5131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (;27 · (2 · 8)) < ;;511)
280		3exp3 17185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3↑3) = ;27
281	280	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (3↑3) = ;27)
282	281	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ;27 = (3↑3))
283	191	exp1d 14205	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (3↑1) = 3)
284	283	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((3↑1) − 1) = (3 − 1))
285		3m1e2 12393	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 − 1) = 2
286	285	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (3 − 1) = 2)
287	284, 286	eqtr2d 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 = ((3↑1) − 1))
288		sq3 14262	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3↑2) = 9
289	288	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (3↑2) = 9)
290	289	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((3↑2) − 1) = (9 − 1))
291		9m1e8 12399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (9 − 1) = 8
292	291	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (9 − 1) = 8)
293	290, 292	eqtr2d 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 8 = ((3↑2) − 1))
294	287, 293	oveq12d 7434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 8) = (((3↑1) − 1) · ((3↑2) − 1)))
295	282, 294	oveq12d 7434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (;27 · (2 · 8)) = ((3↑3) · (((3↑1) − 1) · ((3↑2) − 1))))
296		df-9 12335	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 9 = (8 + 1)
297	296	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 9 = (8 + 1))
298	297	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2↑9) = (2↑(8 + 1)))
299	287, 194	eqeltrd 2862	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
300		8nn0 12552	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 8 ∈ ℕ₀
301	300	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 8 ∈ ℕ₀)
302	299, 192, 301	expaddd 14212	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2↑(8 + 1)) = ((2↑8) · (2↑1)))
303	298, 302	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2↑9) = ((2↑8) · (2↑1)))
304		2exp8 17182	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2↑8) = ;;256
305	304	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2↑8) = ;;256)
306	305	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((2↑8) · (2↑1)) = (;;256 · (2↑1)))
307	299	exp1d 14205	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2↑1) = 2)
308	307	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (;;256 · (2↑1)) = (;;256 · 2))
309	306, 308	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((2↑8) · (2↑1)) = (;;256 · 2))
310	233, 59	deccl 12752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ;25 ∈ ℕ₀
311		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ;;256 = ;;256
312		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ;25 = ;25
313		2t2e4 12429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 · 2) = 4
314	313, 250	oveq12i 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 1)) = (4 + 1)
315		4p1e5 12411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (4 + 1) = 5
316	314, 315	eqtri 2785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 1)) = 5
317		5t2e10 12842	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (5 · 2) = ;10
318	93, 237, 250, 317	decsuc 12773	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((5 · 2) + 1) = ;11
319	233, 59, 237, 93, 312, 248, 233, 93, 93, 316, 318	decmac 12794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((;25 · 2) + 1) = ;51
320	233, 310, 231, 311, 233, 93, 319, 255	decmul1c 12807	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (;;256 · 2) = ;;512
321	320	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (;;256 · 2) = ;;512)
322	309, 321	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2↑8) · (2↑1)) = ;;512)
323	303, 322	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2↑9) = ;;512)
324	323	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2↑9) − 1) = (;;512 − 1))
325		1p1e2 12389	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 + 1) = 2
326		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;;511 = ;;511
327	272, 93, 325, 326	decsuc 12773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;;511 + 1) = ;;512
328	272, 233	deccl 12752	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;;512 ∈ ℕ₀
329	328	nn0cni 12541	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;;512 ∈ ℂ
330	272, 93	deccl 12752	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;;511 ∈ ℕ₀
331	330	nn0cni 12541	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;;511 ∈ ℂ
332	329, 242, 331	subadd2i 11571	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((;;512 − 1) = ;;511 ↔ (;;511 + 1) = ;;512)
333	327, 332	mpbir 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;;512 − 1) = ;;511
334	333	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (;;512 − 1) = ;;511)
335	324, 334	eqtr2d 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ;;511 = ((2↑9) − 1))
336	279, 295, 335	3brtr3d 5140	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((3↑3) · (((3↑1) − 1) · ((3↑2) − 1))) < ((2↑9) − 1))
337	216	ltm1d 12172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2↑9) − 1) < (2↑9))
338	215	nn0zd 12641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℤ)
339	73, 338, 143, 35	leexp2d 14316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (9 ≤ (⌈‘((2 log_b 3)↑5)) ↔ (2↑9) ≤ (2↑(⌈‘((2 log_b 3)↑5)))))
340	87, 339	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑9) ≤ (2↑(⌈‘((2 log_b 3)↑5))))
341	217, 216, 224, 337, 340	ltletrd 11395	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2↑9) − 1) < (2↑(⌈‘((2 log_b 3)↑5))))
342	213, 217, 224, 336, 341	lttrd 11396	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((3↑3) · (((3↑1) − 1) · ((3↑2) − 1))) < (2↑(⌈‘((2 log_b 3)↑5))))
343	204, 342	eqbrtrd 5131	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((3↑(⌊‘(2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 3)↑2)))((3↑𝑘) − 1)) < (2↑(⌈‘((2 log_b 3)↑5))))
344	343	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → ((3↑(⌊‘(2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 3)↑2)))((3↑𝑘) − 1)) < (2↑(⌈‘((2 log_b 3)↑5))))
345	30, 344	eqbrtrd 5131	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → ((3↑(⌊‘(2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 3)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) < (2↑(⌈‘((2 log_b 3)↑5))))
346		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → 3 = 𝑁)
347		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 = 𝑁 → (2 log_b 3) = (2 log_b 𝑁))
348	347	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (2 log_b 3) = (2 log_b 𝑁))
349	348	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → ((2 log_b 3)↑5) = ((2 log_b 𝑁)↑5))
350	349	fveq2d 6886	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (⌈‘((2 log_b 3)↑5)) = (⌈‘((2 log_b 𝑁)↑5)))
351	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → 𝐵 = (⌈‘((2 log_b 𝑁)↑5)))
352	351	eqcomd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (⌈‘((2 log_b 𝑁)↑5)) = 𝐵)
353	350, 352	eqtrd 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (⌈‘((2 log_b 3)↑5)) = 𝐵)
354	353	oveq2d 7432	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))) = (2 log_b 𝐵))
355	354	fveq2d 6886	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (⌊‘(2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5)))) = (⌊‘(2 log_b 𝐵)))
356	346, 355	oveq12d 7434	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (3↑(⌊‘(2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))))) = (𝑁↑(⌊‘(2 log_b 𝐵))))
357	346	oveq2d 7432	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (2 log_b 3) = (2 log_b 𝑁))
358	357	oveq1d 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → ((2 log_b 3)↑2) = ((2 log_b 𝑁)↑2))
359	358	fveq2d 6886	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (⌊‘((2 log_b 3)↑2)) = (⌊‘((2 log_b 𝑁)↑2)))
360	359	oveq2d 7432	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (1...(⌊‘((2 log_b 3)↑2))) = (1...(⌊‘((2 log_b 𝑁)↑2))))
361	360	prodeq1d 16009	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 3)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1) = ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
362	356, 361	oveq12d 7434	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → ((3↑(⌊‘(2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 3)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) = ((𝑁↑(⌊‘(2 log_b 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
363	350	oveq2d 7432	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (2↑(⌈‘((2 log_b 3)↑5))) = (2↑(⌈‘((2 log_b 𝑁)↑5))))
364	345, 362, 363	3brtr3d 5140	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → ((𝑁↑(⌊‘(2 log_b 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) < (2↑(⌈‘((2 log_b 𝑁)↑5))))
365	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 log_b 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
366	365	eqcomd 2768	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → ((𝑁↑(⌊‘(2 log_b 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) = 𝐴)
367	8	oveq2i 7427	. . . . . 6 ⊢ (2↑𝐵) = (2↑(⌈‘((2 log_b 𝑁)↑5)))
368	367	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (2↑𝐵) = (2↑(⌈‘((2 log_b 𝑁)↑5))))
369	368	eqcomd 2768	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (2↑(⌈‘((2 log_b 𝑁)↑5))) = (2↑𝐵))
370	364, 366, 369	3brtr3d 5140	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → 𝐴 < (2↑𝐵))
371	370	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → (3 = 𝑁 → 𝐴 < (2↑𝐵)))
372		eluzle 12901	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
373	3, 372	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
374	14	zred 12726	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
375	55, 374	leloed 11378	. . 3 ⊢ (𝜑 → (3 ≤ 𝑁 ↔ (3 < 𝑁 ∨ 3 = 𝑁)))
376	373, 375	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (3 < 𝑁 ∨ 3 = 𝑁))
377	23, 371, 376	mpjaod 874	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (2↑𝐵))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∨ wo 861 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 class class class wbr 5107 ‘cfv 6537 (class class class)co 7416 ℂcc 11123 ℝcr 11124 0cc0 11125 1c1 11126 + caddc 11128 · cmul 11130 < clt 11268 ≤ cle 11269 − cmin 11466 ℕcn 12258 2c2 12320 3c3 12321 4c4 12322 5c5 12323 6c6 12324 7c7 12325 8c8 12326 9c9 12327 ℕ₀cn0 12529 ℤcz 12616 cdc 12737 ℤ_≥cuz 12888 ℝ⁺crp 13042 ...cfz 13561 ⌊cfl 13851 ⌈cceil 13852 ↑cexp 14125 ∏cprod 15992 log_b clogb 26997

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2215 ax-ext 2734 ax-rep 5236 ax-sep 5255 ax-nul 5267 ax-pow 5334 ax-pr 5402 ax-un 7739 ax-inf2 9623 ax-cnex 11181 ax-resscn 11182 ax-1cn 11183 ax-icn 11184 ax-addcl 11185 ax-addrcl 11186 ax-mulcl 11187 ax-mulrcl 11188 ax-mulcom 11189 ax-addass 11190 ax-mulass 11191 ax-distr 11192 ax-i2m1 11193 ax-1ne0 11194 ax-1rid 11195 ax-rnegex 11196 ax-rrecex 11197 ax-cnre 11198 ax-pre-lttri 11199 ax-pre-lttrn 11200 ax-pre-ltadd 11201 ax-pre-mulgt0 11202 ax-pre-sup 11203 ax-addf 11204

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2566 df-eu 2596 df-clab 2741 df-cleq 2754 df-clel 2837 df-nfc 2911 df-ne 2958 df-nel 3064 df-ral 3079 df-rex 3089 df-rmo 3367 df-reu 3368 df-rab 3415 df-v 3455 df-sbc 3743 df-csb 3851 df-dif 3905 df-un 3907 df-in 3909 df-ss 3919 df-pss 3922 df-nul 4283 df-if 4486 df-pw 4562 df-sn 4588 df-pr 4590 df-tp 4592 df-op 4594 df-uni 4871 df-int 4911 df-iun 4956 df-iin 4957 df-br 5108 df-opab 5172 df-mpt 5191 df-tr 5217 df-id 5554 df-eprel 5559 df-po 5567 df-so 5568 df-fr 5612 df-se 5613 df-we 5614 df-xp 5665 df-rel 5666 df-cnv 5667 df-co 5668 df-dm 5669 df-rn 5670 df-res 5671 df-ima 5672 df-pred 6303 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6493 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-isom 6546 df-riota 7373 df-ov 7419 df-oprab 7420 df-mpo 7421 df-of 7681 df-om 7866 df-1st 7989 df-2nd 7990 df-supp 8162 df-frecs 8283 df-wrecs 8314 df-recs 8363 df-rdg 8402 df-1o 8458 df-2o 8459 df-er 8699 df-map 8831 df-pm 8832 df-ixp 8908 df-en 8956 df-dom 8957 df-sdom 8958 df-fin 8959 df-fsupp 9335 df-fi 9384 df-sup 9415 df-inf 9416 df-oi 9485 df-card 9947 df-pnf 11270 df-mnf 11271 df-xr 11272 df-ltxr 11273 df-le 11274 df-sub 11468 df-neg 11469 df-div 11897 df-nn 12259 df-2 12328 df-3 12329 df-4 12330 df-5 12331 df-6 12332 df-7 12333 df-8 12334 df-9 12335 df-n0 12530 df-z 12617 df-dec 12738 df-uz 12889 df-q 12999 df-rp 13043 df-xneg 13163 df-xadd 13164 df-xmul 13165 df-ioo 13402 df-ioc 13403 df-ico 13404 df-icc 13405 df-fz 13562 df-fzo 13710 df-fl 13853 df-ceil 13854 df-mod 13931 df-seq 14066 df-exp 14126 df-fac 14338 df-bc 14367 df-hash 14395 df-shft 15140 df-cj 15186 df-re 15187 df-im 15188 df-sqrt 15322 df-abs 15323 df-limsup 15558 df-clim 15575 df-rlim 15576 df-sum 15774 df-prod 15993 df-ef 16155 df-e 16156 df-sin 16157 df-cos 16158 df-pi 16160 df-struct 17241 df-sets 17258 df-slot 17276 df-ndx 17288 df-base 17304 df-ress 17325 df-plusg 17357 df-mulr 17358 df-starv 17359 df-sca 17360 df-vsca 17361 df-ip 17362 df-tset 17363 df-ple 17364 df-ds 17366 df-unif 17367 df-hom 17368 df-cco 17369 df-rest 17509 df-topn 17510 df-0g 17528 df-gsum 17529 df-topgen 17530 df-pt 17531 df-prds 17534 df-xrs 17590 df-qtop 17595 df-imas 17596 df-xps 17598 df-mre 17672 df-mrc 17673 df-acs 17675 df-mgm 18732 df-sgrp 18821 df-mnd 18837 df-submnd 18891 df-mulg 19190 df-cntz 19443 df-cmn 19908 df-psmet 21576 df-xmet 21577 df-met 21578 df-bl 21579 df-mopn 21580 df-fbas 21581 df-fg 21582 df-cnfld 21585 df-top 23118 df-topon 23135 df-topsp 23157 df-bases 23170 df-cld 23243 df-ntr 23244 df-cls 23245 df-nei 23322 df-lp 23360 df-perf 23361 df-cn 23451 df-cnp 23452 df-haus 23539 df-cmp 23611 df-tx 23787 df-hmeo 23980 df-fil 24071 df-fm 24163 df-flim 24164 df-flf 24165 df-xms 24545 df-ms 24546 df-tms 24547 df-cncf 25105 df-limc 26093 df-dv 26094 df-log 26789 df-cxp 26790 df-logb 26998

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