Theorem aks4d1p1 41027

Description: Show inequality for existence of a non-divisor. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks4d1p1.2	⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
aks4d1p1.3	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (2↑𝐵))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem aks4d1p1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn 12293	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 < 𝑁) → 3 ∈ ℕ)
3		aks4d1p1.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
4	3	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 < 𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
5		eluznn 12904	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑁 ∈ ℕ)
6	2, 4, 5	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
7		aks4d1p1.2	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
8		aks4d1p1.3	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
9		3p1e4 12359	. . . . 5 ⊢ (3 + 1) = 4
10		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 < 𝑁) → 3 < 𝑁)
11		3z 12597	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℤ
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 < 𝑁) → 3 ∈ ℤ)
13		eluzelz 12834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
14	3, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
15	14	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
16	12, 15	zltp1led 40931	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 < 𝑁) → (3 < 𝑁 ↔ (3 + 1) ≤ 𝑁))
17	10, 16	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 < 𝑁) → (3 + 1) ≤ 𝑁)
18	9, 17	eqbrtrrid 5184	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 < 𝑁) → 4 ≤ 𝑁)
19		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) = (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
20		eqid 2732	. . . 4 ⊢ ((2 logb 𝑁)↑2) = ((2 logb 𝑁)↑2)
21		eqid 2732	. . . 4 ⊢ ((2 logb 𝑁)↑4) = ((2 logb 𝑁)↑4)
22	6, 7, 8, 18, 19, 20, 21	aks4d1p1p5 41026	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 < 𝑁) → 𝐴 < (2↑𝐵))
23	22	ex 413	. 2 ⊢ (𝜑 → (3 < 𝑁 → 𝐴 < (2↑𝐵)))
24		simp2 1137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 3)↑2)))) → 3 = 𝑁)
25	24	eqcomd 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 3)↑2)))) → 𝑁 = 3)
26	25	oveq1d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 3)↑2)))) → (𝑁↑𝑘) = (3↑𝑘))
27	26	oveq1d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 3)↑2)))) → ((𝑁↑𝑘) − 1) = ((3↑𝑘) − 1))
28	27	3expa 1118	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 3)↑2)))) → ((𝑁↑𝑘) − 1) = ((3↑𝑘) − 1))
29	28	prodeq2dv 15869	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 3)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1) = ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 3)↑2)))((3↑𝑘) − 1))
30	29	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → ((3↑(⌊‘(2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 3)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) = ((3↑(⌊‘(2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 3)↑2)))((3↑𝑘) − 1)))
31		2rp 12981	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ+
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
33		1red 11217	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
34		1lt2 12385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 < 2
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
36	33, 35	ltned 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
37	36	necomd 2996	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
38	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℤ)
39	32, 37, 38	relogbexpd 40925	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 logb (2↑3)) = 3)
40	39	eqcomd 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 3 = (2 logb (2↑3)))
41		cu2 14166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2↑3) = 8
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2↑3) = 8)
43	42	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 logb (2↑3)) = (2 logb 8))
44	40, 43	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 3 = (2 logb 8))
45		2z 12596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℤ
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
47	46	zred 12668	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
48	47	leidd 11782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 2)
49		8re 12310	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 8 ∈ ℝ
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 8 ∈ ℝ)
51		8pos 12326	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 8
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 8)
53	32	rpgt0d 13021	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
54		3re 12294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 3 ∈ ℝ
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
56	1	nngt0i 12253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 < 3
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
58	47, 53, 55, 57, 37	relogbcld 40924	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 logb 3) ∈ ℝ)
59		5nn0 12494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 5 ∈ ℕ0
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
61	58, 60	reexpcld 14130	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 3)↑5) ∈ ℝ)
62		ceilcl 13809	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 logb 3)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 logb 3)↑5)) ∈ ℤ)
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 3)↑5)) ∈ ℤ)
64	63	zred 12668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 3)↑5)) ∈ ℝ)
65		0red 11219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
66		9re 12313	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 9 ∈ ℝ
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
68	50	lep1d 12147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 8 ≤ (8 + 1))
69		8p1e9 12364	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (8 + 1) = 9
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (8 + 1) = 9)
71	68, 70	breqtrd 5174	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 8 ≤ 9)
72		2re 12288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℝ
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
74		2pos 12317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 < 2
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
76		3pos 12319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 < 3
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
78	73, 75, 55, 77, 37	relogbcld 40924	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (2 logb 3) ∈ ℝ)
79	78, 60	reexpcld 14130	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 3)↑5) ∈ ℝ)
80	79, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 3)↑5)) ∈ ℤ)
81	80	zred 12668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 3)↑5)) ∈ ℝ)
82	55	leidd 11782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 3)
83	55, 82	3lexlogpow5ineq4 41007	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 9 < ((2 logb 3)↑5))
84	67, 79, 83	ltled 11364	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ ((2 logb 3)↑5))
85		ceilge 13812	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2 logb 3)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 3)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 3)↑5)))
86	79, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 3)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 3)↑5)))
87	67, 79, 81, 84, 86	letrd 11373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ (⌈‘((2 logb 3)↑5)))
88	50, 67, 64, 71, 87	letrd 11373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 8 ≤ (⌈‘((2 logb 3)↑5)))
89	65, 50, 64, 52, 88	ltletrd 11376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < (⌈‘((2 logb 3)↑5)))
90	46, 48, 50, 52, 64, 89, 88	logblebd 40927	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 logb 8) ≤ (2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))))
91	44, 90	eqbrtrd 5170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ (2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))))
92	79, 33	readdcld 11245	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 3)↑5) + 1) ∈ ℝ)
93		1nn0 12490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℕ0
94		6nn 12303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 6 ∈ ℕ
95	93, 94	decnncl 12699	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ;16 ∈ ℕ
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ;16 ∈ ℕ)
97	96	nnred 12229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ;16 ∈ ℝ)
98		ceilm1lt 13815	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2 logb 3)↑5) ∈ ℝ → ((⌈‘((2 logb 3)↑5)) − 1) < ((2 logb 3)↑5))
99	79, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((⌈‘((2 logb 3)↑5)) − 1) < ((2 logb 3)↑5))
100	81, 33, 79	ltsubaddd 11812	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (((⌈‘((2 logb 3)↑5)) − 1) < ((2 logb 3)↑5) ↔ (⌈‘((2 logb 3)↑5)) < (((2 logb 3)↑5) + 1)))
101	99, 100	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 3)↑5)) < (((2 logb 3)↑5) + 1))
102		3lexlogpow5ineq5 41011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 logb 3)↑5) ≤ ;15
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 3)↑5) ≤ ;15)
104		5p1e6 12361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (5 + 1) = 6
105		eqid 2732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ;15 = ;15
106	93, 59, 104, 105	decsuc 12710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (;15 + 1) = ;16
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (;15 + 1) = ;16)
108	97	recnd 11244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ;16 ∈ ℂ)
109		1cnd 11211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
110		5nn 12300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 5 ∈ ℕ
111	93, 110	decnncl 12699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ;15 ∈ ℕ
112	111	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ;15 ∈ ℕ)
113	112	nncnd 12230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ;15 ∈ ℂ)
114	108, 109, 113	subadd2d 11592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((;16 − 1) = ;15 ↔ (;15 + 1) = ;16))
115	107, 114	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (;16 − 1) = ;15)
116	115	eqcomd 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ;15 = (;16 − 1))
117	103, 116	breqtrd 5174	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 3)↑5) ≤ (;16 − 1))
118		leaddsub 11692	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((2 logb 3)↑5) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ;16 ∈ ℝ) → ((((2 logb 3)↑5) + 1) ≤ ;16 ↔ ((2 logb 3)↑5) ≤ (;16 − 1)))
119	79, 33, 97, 118	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((((2 logb 3)↑5) + 1) ≤ ;16 ↔ ((2 logb 3)↑5) ≤ (;16 − 1)))
120	117, 119	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((2 logb 3)↑5) + 1) ≤ ;16)
121	81, 92, 97, 101, 120	ltletrd 11376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 3)↑5)) < ;16)
122		eqid 2732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ;16 = ;16
123		2exp4 17020	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2↑4) = ;16
124	122, 123	eqtr4i 2763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ;16 = (2↑4)
125	124	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ;16 = (2↑4))
126	121, 125	breqtrd 5174	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 3)↑5)) < (2↑4))
127	46	uzidd 12840	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
128	64, 89	elrpd 13015	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 3)↑5)) ∈ ℝ+)
129		4z 12598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 4 ∈ ℤ
130	129	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℤ)
131	32, 130	rpexpcld 14212	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2↑4) ∈ ℝ+)
132		logblt 26296	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (⌈‘((2 logb 3)↑5)) ∈ ℝ+ ∧ (2↑4) ∈ ℝ+) → ((⌈‘((2 logb 3)↑5)) < (2↑4) ↔ (2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))) < (2 logb (2↑4))))
133	127, 128, 131, 132	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((⌈‘((2 logb 3)↑5)) < (2↑4) ↔ (2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))) < (2 logb (2↑4))))
134	126, 133	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))) < (2 logb (2↑4)))
135	32, 37, 130	relogbexpd 40925	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 logb (2↑4)) = 4)
136	9	eqcomi 2741	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 = (3 + 1)
137	136	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 4 = (3 + 1))
138	135, 137	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 logb (2↑4)) = (3 + 1))
139	134, 138	breqtrd 5174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))) < (3 + 1))
140	91, 139	jca 512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (3 ≤ (2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))) ∧ (2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))) < (3 + 1)))
141	73, 75, 55, 57, 37	relogbcld 40924	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 logb 3) ∈ ℝ)
142	141, 60	reexpcld 14130	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 3)↑5) ∈ ℝ)
143	142, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 3)↑5)) ∈ ℤ)
144	143	zred 12668	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 3)↑5)) ∈ ℝ)
145		9pos 12327	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 9
146	145	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 9)
147	65, 67, 144, 146, 87	ltletrd 11376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < (⌈‘((2 logb 3)↑5)))
148	73, 75, 144, 147, 37	relogbcld 40924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))) ∈ ℝ)
149		flbi 13783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℤ) → ((⌊‘(2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5)))) = 3 ↔ (3 ≤ (2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))) ∧ (2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))) < (3 + 1))))
150	148, 38, 149	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5)))) = 3 ↔ (3 ≤ (2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))) ∧ (2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))) < (3 + 1))))
151	140, 150	mpbird 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5)))) = 3)
152	151	oveq2d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (3↑(⌊‘(2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))))) = (3↑3))
153	78	resqcld 14092	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 3)↑2) ∈ ℝ)
154		3lexlogpow2ineq2 41010	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3)
155	154	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3))
156	155	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 2 < ((2 logb 3)↑2))
157	73, 153, 156	ltled 11364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ ((2 logb 3)↑2))
158	155	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 3)↑2) < 3)
159		df-3 12278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 = (2 + 1)
160	159	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 3 = (2 + 1))
161	158, 160	breqtrd 5174	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 3)↑2) < (2 + 1))
162	157, 161	jca 512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 ≤ ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < (2 + 1)))
163	141	resqcld 14092	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 3)↑2) ∈ ℝ)
164		flbi 13783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((2 logb 3)↑2) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((⌊‘((2 logb 3)↑2)) = 2 ↔ (2 ≤ ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < (2 + 1))))
165	163, 46, 164	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((2 logb 3)↑2)) = 2 ↔ (2 ≤ ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < (2 + 1))))
166	162, 165	mpbird 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((2 logb 3)↑2)) = 2)
167	166	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 3)↑2))) = (1...2))
168	167	prodeq1d 15867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 3)↑2)))((3↑𝑘) − 1) = ∏𝑘 ∈ (1...2)((3↑𝑘) − 1))
169		1zzd 12595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
170	169, 46	jca 512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
171		1le2 12423	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ≤ 2
172	171	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 1 ≤ 2)
173		eluz 12838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 ∈ (ℤ≥‘1) ↔ 1 ≤ 2))
174	172, 173	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∈ (ℤ≥‘1))
175	170, 174	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ (ℤ≥‘1))
176		3cn 12295	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ∈ ℂ
177	176	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...2)) → 3 ∈ ℂ)
178		elfznn 13532	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (1...2) → 𝑘 ∈ ℕ)
179	178	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...2)) → 𝑘 ∈ ℕ)
180	179	nnnn0d 12534	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...2)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
181	177, 180	expcld 14113	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...2)) → (3↑𝑘) ∈ ℂ)
182		1cnd 11211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...2)) → 1 ∈ ℂ)
183	181, 182	subcld 11573	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...2)) → ((3↑𝑘) − 1) ∈ ℂ)
184		oveq2 7419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 2 → (3↑𝑘) = (3↑2))
185	184	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 2 → ((3↑𝑘) − 1) = ((3↑2) − 1))
186	175, 183, 185	fprodm1 15913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...2)((3↑𝑘) − 1) = (∏𝑘 ∈ (1...(2 − 1))((3↑𝑘) − 1) · ((3↑2) − 1)))
187		2m1e1 12340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 − 1) = 1
188	187	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 − 1) = 1)
189	188	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1...(2 − 1)) = (1...1))
190	189	prodeq1d 15867	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(2 − 1))((3↑𝑘) − 1) = ∏𝑘 ∈ (1...1)((3↑𝑘) − 1))
191	55	recnd 11244	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
192	93	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
193	191, 192	expcld 14113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (3↑1) ∈ ℂ)
194	193, 109	subcld 11573	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((3↑1) − 1) ∈ ℂ)
195	169, 194	jca 512	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ ℤ ∧ ((3↑1) − 1) ∈ ℂ))
196		oveq2 7419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 1 → (3↑𝑘) = (3↑1))
197	196	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 1 → ((3↑𝑘) − 1) = ((3↑1) − 1))
198	197	fprod1 15909	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ((3↑1) − 1) ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ (1...1)((3↑𝑘) − 1) = ((3↑1) − 1))
199	195, 198	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...1)((3↑𝑘) − 1) = ((3↑1) − 1))
200	190, 199	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(2 − 1))((3↑𝑘) − 1) = ((3↑1) − 1))
201	200	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...(2 − 1))((3↑𝑘) − 1) · ((3↑2) − 1)) = (((3↑1) − 1) · ((3↑2) − 1)))
202	186, 201	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...2)((3↑𝑘) − 1) = (((3↑1) − 1) · ((3↑2) − 1)))
203	168, 202	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 3)↑2)))((3↑𝑘) − 1) = (((3↑1) − 1) · ((3↑2) − 1)))
204	152, 203	oveq12d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((3↑(⌊‘(2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 3)↑2)))((3↑𝑘) − 1)) = ((3↑3) · (((3↑1) − 1) · ((3↑2) − 1))))
205		3nn0 12492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℕ0
206	205	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ0)
207	55, 206	reexpcld 14130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (3↑3) ∈ ℝ)
208	55, 192	reexpcld 14130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (3↑1) ∈ ℝ)
209	208, 33	resubcld 11644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((3↑1) − 1) ∈ ℝ)
210	55	resqcld 14092	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (3↑2) ∈ ℝ)
211	210, 33	resubcld 11644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((3↑2) − 1) ∈ ℝ)
212	209, 211	remulcld 11246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((3↑1) − 1) · ((3↑2) − 1)) ∈ ℝ)
213	207, 212	remulcld 11246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((3↑3) · (((3↑1) − 1) · ((3↑2) − 1))) ∈ ℝ)
214		9nn0 12498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 9 ∈ ℕ0
215	214	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℕ0)
216	73, 215	reexpcld 14130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑9) ∈ ℝ)
217	216, 33	resubcld 11644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2↑9) − 1) ∈ ℝ)
218		elnnz 12570	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌈‘((2 logb 3)↑5)) ∈ ℕ ↔ ((⌈‘((2 logb 3)↑5)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌈‘((2 logb 3)↑5))))
219	143, 147, 218	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 3)↑5)) ∈ ℕ)
220	219	orcd 871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((⌈‘((2 logb 3)↑5)) ∈ ℕ ∨ (⌈‘((2 logb 3)↑5)) = 0))
221		elnn0 12476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⌈‘((2 logb 3)↑5)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌈‘((2 logb 3)↑5)) ∈ ℕ ∨ (⌈‘((2 logb 3)↑5)) = 0))
222	221	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((⌈‘((2 logb 3)↑5)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌈‘((2 logb 3)↑5)) ∈ ℕ ∨ (⌈‘((2 logb 3)↑5)) = 0)))
223	220, 222	mpbird 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 3)↑5)) ∈ ℕ0)
224	73, 223	reexpcld 14130	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2↑(⌈‘((2 logb 3)↑5))) ∈ ℝ)
225		8cn 12311	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 8 ∈ ℂ
226		2cn 12289	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℂ
227		8t2e16 12794	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (8 · 2) = ;16
228	225, 226, 227	mulcomli 11225	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · 8) = ;16
229	228	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · 8) = ;16)
230	229	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (;27 · (2 · 8)) = (;27 · ;16))
231		6nn0 12495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 6 ∈ ℕ0
232	93, 231	deccl 12694	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
233		2nn0 12491	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ0
234		7nn0 12496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 7 ∈ ℕ0
235		eqid 2732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;27 = ;27
236	93, 93	deccl 12694	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
237		0nn0 12489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℕ0
238	233	dec0h 12701	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 = ;02
239		eqid 2732	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;11 = ;11
240	232	nn0cni 12486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ;16 ∈ ℂ
241	240	mul02i 11405	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 · ;16) = 0
242		ax-1cn 11170	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℂ
243	176, 242, 9	addcomli 11408	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 + 3) = 4
244	241, 243	oveq12i 7423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 · ;16) + (1 + 3)) = (0 + 4)
245		4cn 12299	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 4 ∈ ℂ
246	245	addlidi 11404	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 + 4) = 4
247	244, 246	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 · ;16) + (1 + 3)) = 4
248	93	dec0h 12701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 = ;01
249		2t1e2 12377	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 · 1) = 2
250		0p1e1 12336	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 + 1) = 1
251	249, 250	oveq12i 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 · 1) + (0 + 1)) = (2 + 1)
252		2p1e3 12356	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 + 1) = 3
253	251, 252	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 · 1) + (0 + 1)) = 3
254		6cn 12305	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 6 ∈ ℂ
255		6t2e12 12783	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (6 · 2) = ;12
256	254, 226, 255	mulcomli 11225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 · 6) = ;12
257	93, 233, 252, 256	decsuc 12710	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 · 6) + 1) = ;13
258	93, 231, 237, 93, 122, 248, 233, 205, 93, 253, 257	decma2c 12732	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 · ;16) + 1) = ;33
259	237, 233, 93, 93, 238, 239, 232, 205, 205, 247, 258	decmac 12731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · ;16) + ;11) = ;43
260		4nn0 12493	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 ∈ ℕ0
261		7cn 12308	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 7 ∈ ℂ
262	261	mulridi 11220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (7 · 1) = 7
263	262	oveq1i 7421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((7 · 1) + 4) = (7 + 4)
264		7p4e11 12755	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (7 + 4) = ;11
265	263, 264	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((7 · 1) + 4) = ;11
266		7t6e42 12792	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (7 · 6) = ;42
267	234, 93, 231, 122, 233, 260, 265, 266	decmul2c 12745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 · ;16) = ;;112
268	232, 233, 234, 235, 233, 236, 259, 267	decmul1c 12744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;27 · ;16) = ;;432
269	268	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (;27 · ;16) = ;;432)
270	230, 269	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (;27 · (2 · 8)) = ;;432)
271	260, 205	deccl 12694	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;43 ∈ ℕ0
272	59, 93	deccl 12694	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;51 ∈ ℕ0
273		2lt10 12817	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 < ;10
274		3lt10 12816	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 < ;10
275		4lt5 12391	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 < 5
276	260, 59, 205, 93, 274, 275	decltc 12708	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;43 < ;51
277	271, 272, 233, 93, 273, 276	decltc 12708	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;432 < ;;511
278	277	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ;;432 < ;;511)
279	270, 278	eqbrtrd 5170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (;27 · (2 · 8)) < ;;511)
280		3exp3 17027	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3↑3) = ;27
281	280	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (3↑3) = ;27)
282	281	eqcomd 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ;27 = (3↑3))
283	191	exp1d 14108	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (3↑1) = 3)
284	283	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((3↑1) − 1) = (3 − 1))
285		3m1e2 12342	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 − 1) = 2
286	285	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (3 − 1) = 2)
287	284, 286	eqtr2d 2773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 = ((3↑1) − 1))
288		sq3 14164	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3↑2) = 9
289	288	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (3↑2) = 9)
290	289	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((3↑2) − 1) = (9 − 1))
291		9m1e8 12348	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (9 − 1) = 8
292	291	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (9 − 1) = 8)
293	290, 292	eqtr2d 2773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 8 = ((3↑2) − 1))
294	287, 293	oveq12d 7429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 8) = (((3↑1) − 1) · ((3↑2) − 1)))
295	282, 294	oveq12d 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (;27 · (2 · 8)) = ((3↑3) · (((3↑1) − 1) · ((3↑2) − 1))))
296		df-9 12284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 9 = (8 + 1)
297	296	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 9 = (8 + 1))
298	297	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2↑9) = (2↑(8 + 1)))
299	287, 194	eqeltrd 2833	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
300		8nn0 12497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 8 ∈ ℕ0
301	300	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 8 ∈ ℕ0)
302	299, 192, 301	expaddd 14115	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2↑(8 + 1)) = ((2↑8) · (2↑1)))
303	298, 302	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2↑9) = ((2↑8) · (2↑1)))
304		2exp8 17024	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2↑8) = ;;256
305	304	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2↑8) = ;;256)
306	305	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((2↑8) · (2↑1)) = (;;256 · (2↑1)))
307	299	exp1d 14108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2↑1) = 2)
308	307	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (;;256 · (2↑1)) = (;;256 · 2))
309	306, 308	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((2↑8) · (2↑1)) = (;;256 · 2))
310	233, 59	deccl 12694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
311		eqid 2732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ;;256 = ;;256
312		eqid 2732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ;25 = ;25
313		2t2e4 12378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 · 2) = 4
314	313, 250	oveq12i 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 1)) = (4 + 1)
315		4p1e5 12360	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (4 + 1) = 5
316	314, 315	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 1)) = 5
317		5t2e10 12779	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (5 · 2) = ;10
318	93, 237, 250, 317	decsuc 12710	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((5 · 2) + 1) = ;11
319	233, 59, 237, 93, 312, 248, 233, 93, 93, 316, 318	decmac 12731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((;25 · 2) + 1) = ;51
320	233, 310, 231, 311, 233, 93, 319, 255	decmul1c 12744	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (;;256 · 2) = ;;512
321	320	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (;;256 · 2) = ;;512)
322	309, 321	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2↑8) · (2↑1)) = ;;512)
323	303, 322	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2↑9) = ;;512)
324	323	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2↑9) − 1) = (;;512 − 1))
325		1p1e2 12339	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 + 1) = 2
326		eqid 2732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;;511 = ;;511
327	272, 93, 325, 326	decsuc 12710	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;;511 + 1) = ;;512
328	272, 233	deccl 12694	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;;512 ∈ ℕ0
329	328	nn0cni 12486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;;512 ∈ ℂ
330	272, 93	deccl 12694	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;;511 ∈ ℕ0
331	330	nn0cni 12486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;;511 ∈ ℂ
332	329, 242, 331	subadd2i 11550	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((;;512 − 1) = ;;511 ↔ (;;511 + 1) = ;;512)
333	327, 332	mpbir 230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;;512 − 1) = ;;511
334	333	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (;;512 − 1) = ;;511)
335	324, 334	eqtr2d 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ;;511 = ((2↑9) − 1))
336	279, 295, 335	3brtr3d 5179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((3↑3) · (((3↑1) − 1) · ((3↑2) − 1))) < ((2↑9) − 1))
337	216	ltm1d 12148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2↑9) − 1) < (2↑9))
338	215	nn0zd 12586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℤ)
339	73, 338, 143, 35	leexp2d 14217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (9 ≤ (⌈‘((2 logb 3)↑5)) ↔ (2↑9) ≤ (2↑(⌈‘((2 logb 3)↑5)))))
340	87, 339	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑9) ≤ (2↑(⌈‘((2 logb 3)↑5))))
341	217, 216, 224, 337, 340	ltletrd 11376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2↑9) − 1) < (2↑(⌈‘((2 logb 3)↑5))))
342	213, 217, 224, 336, 341	lttrd 11377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((3↑3) · (((3↑1) − 1) · ((3↑2) − 1))) < (2↑(⌈‘((2 logb 3)↑5))))
343	204, 342	eqbrtrd 5170	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((3↑(⌊‘(2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 3)↑2)))((3↑𝑘) − 1)) < (2↑(⌈‘((2 logb 3)↑5))))
344	343	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → ((3↑(⌊‘(2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 3)↑2)))((3↑𝑘) − 1)) < (2↑(⌈‘((2 logb 3)↑5))))
345	30, 344	eqbrtrd 5170	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → ((3↑(⌊‘(2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 3)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) < (2↑(⌈‘((2 logb 3)↑5))))
346		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → 3 = 𝑁)
347		oveq2 7419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 = 𝑁 → (2 logb 3) = (2 logb 𝑁))
348	347	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (2 logb 3) = (2 logb 𝑁))
349	348	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → ((2 logb 3)↑5) = ((2 logb 𝑁)↑5))
350	349	fveq2d 6895	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (⌈‘((2 logb 3)↑5)) = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
351	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
352	351	eqcomd 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) = 𝐵)
353	350, 352	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (⌈‘((2 logb 3)↑5)) = 𝐵)
354	353	oveq2d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))) = (2 logb 𝐵))
355	354	fveq2d 6895	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (⌊‘(2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5)))) = (⌊‘(2 logb 𝐵)))
356	346, 355	oveq12d 7429	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (3↑(⌊‘(2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))))) = (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))
357	346	oveq2d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (2 logb 3) = (2 logb 𝑁))
358	357	oveq1d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → ((2 logb 3)↑2) = ((2 logb 𝑁)↑2))
359	358	fveq2d 6895	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (⌊‘((2 logb 3)↑2)) = (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))
360	359	oveq2d 7427	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (1...(⌊‘((2 logb 3)↑2))) = (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
361	360	prodeq1d 15867	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 3)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1) = ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
362	356, 361	oveq12d 7429	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → ((3↑(⌊‘(2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 3)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
363	350	oveq2d 7427	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (2↑(⌈‘((2 logb 3)↑5))) = (2↑(⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))))
364	345, 362, 363	3brtr3d 5179	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) < (2↑(⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))))
365	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
366	365	eqcomd 2738	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) = 𝐴)
367	8	oveq2i 7422	. . . . . 6 ⊢ (2↑𝐵) = (2↑(⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
368	367	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (2↑𝐵) = (2↑(⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))))
369	368	eqcomd 2738	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (2↑(⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))) = (2↑𝐵))
370	364, 366, 369	3brtr3d 5179	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → 𝐴 < (2↑𝐵))
371	370	ex 413	. 2 ⊢ (𝜑 → (3 = 𝑁 → 𝐴 < (2↑𝐵)))
372		eluzle 12837	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
373	3, 372	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
374	14	zred 12668	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
375	55, 374	leloed 11359	. . 3 ⊢ (𝜑 → (3 ≤ 𝑁 ↔ (3 < 𝑁 ∨ 3 = 𝑁)))
376	373, 375	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → (3 < 𝑁 ∨ 3 = 𝑁))
377	23, 371, 376	mpjaod 858	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (2↑𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117   < clt 11250   ≤ cle 11251   − cmin 11446  ℕcn 12214  2c2 12269  3c3 12270  4c4 12271  5c5 12272  6c6 12273  7c7 12274  8c8 12275  9c9 12276  ℕ₀cn0 12474  ℤcz 12560  ;cdc 12679  ℤ_≥cuz 12824  ℝ⁺crp 12976  ...cfz 13486  ⌊cfl 13757  ⌈cceil 13758  ↑cexp 14029  ∏cprod 15851   log_b clogb 26276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-ceil 13760  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-prod 15852  df-ef 16013  df-e 16014  df-sin 16015  df-cos 16016  df-pi 16018  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-cmp 22898  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391  df-log 26072  df-cxp 26073  df-logb 26277

This theorem is referenced by:  aks4d1p3  41029