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Theorem aks4d1p1 40533
Description: Show inequality for existence of a non-divisor. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p1.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
aks4d1p1.2 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1))
aks4d1p1.3 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
Assertion
Ref Expression
aks4d1p1 (𝜑𝐴 < (2↑𝐵))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem aks4d1p1
StepHypRef Expression
1 3nn 12232 . . . . . 6 3 ∈ ℕ
21a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 3 < 𝑁) → 3 ∈ ℕ)
3 aks4d1p1.1 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
43adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 3 < 𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘3))
5 eluznn 12843 . . . . 5 ((3 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑁 ∈ ℕ)
62, 4, 5syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑 ∧ 3 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
7 aks4d1p1.2 . . . 4 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1))
8 aks4d1p1.3 . . . 4 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
9 3p1e4 12298 . . . . 5 (3 + 1) = 4
10 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 3 < 𝑁) → 3 < 𝑁)
11 3z 12536 . . . . . . . 8 3 ∈ ℤ
1211a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 3 < 𝑁) → 3 ∈ ℤ)
13 eluzelz 12773 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
143, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1514adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 3 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
1612, 15zltp1led 40437 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 3 < 𝑁) → (3 < 𝑁 ↔ (3 + 1) ≤ 𝑁))
1710, 16mpbid 231 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 3 < 𝑁) → (3 + 1) ≤ 𝑁)
189, 17eqbrtrrid 5141 . . . 4 ((𝜑 ∧ 3 < 𝑁) → 4 ≤ 𝑁)
19 eqid 2736 . . . 4 (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1)) = (2 logb (((2 logb 𝑁)↑5) + 1))
20 eqid 2736 . . . 4 ((2 logb 𝑁)↑2) = ((2 logb 𝑁)↑2)
21 eqid 2736 . . . 4 ((2 logb 𝑁)↑4) = ((2 logb 𝑁)↑4)
226, 7, 8, 18, 19, 20, 21aks4d1p1p5 40532 . . 3 ((𝜑 ∧ 3 < 𝑁) → 𝐴 < (2↑𝐵))
2322ex 413 . 2 (𝜑 → (3 < 𝑁𝐴 < (2↑𝐵)))
24 simp2 1137 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 3)↑2)))) → 3 = 𝑁)
2524eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 3)↑2)))) → 𝑁 = 3)
2625oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 3)↑2)))) → (𝑁𝑘) = (3↑𝑘))
2726oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 3)↑2)))) → ((𝑁𝑘) − 1) = ((3↑𝑘) − 1))
28273expa 1118 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 3)↑2)))) → ((𝑁𝑘) − 1) = ((3↑𝑘) − 1))
2928prodeq2dv 15806 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 3)↑2)))((𝑁𝑘) − 1) = ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 3)↑2)))((3↑𝑘) − 1))
3029oveq2d 7373 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → ((3↑(⌊‘(2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 3)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)) = ((3↑(⌊‘(2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 3)↑2)))((3↑𝑘) − 1)))
31 2rp 12920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ+
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
33 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
34 1lt2 12324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < 2
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 < 2)
3633, 35ltned 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ≠ 2)
3736necomd 2999 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 2 ≠ 1)
3811a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 3 ∈ ℤ)
3932, 37, 38relogbexpd 40431 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 logb (2↑3)) = 3)
4039eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 3 = (2 logb (2↑3)))
41 cu2 14104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2↑3) = 8
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2↑3) = 8)
4342oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 logb (2↑3)) = (2 logb 8))
4440, 43eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 3 = (2 logb 8))
45 2z 12535 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
4746zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
4847leidd 11721 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ≤ 2)
49 8re 12249 . . . . . . . . . . . . . . 15 8 ∈ ℝ
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 8 ∈ ℝ)
51 8pos 12265 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 8
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 8)
5332rpgt0d 12960 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 < 2)
54 3re 12233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 ∈ ℝ
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
561nngt0i 12192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 < 3
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 < 3)
5847, 53, 55, 57, 37relogbcld 40430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 logb 3) ∈ ℝ)
59 5nn0 12433 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5 ∈ ℕ0
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
6158, 60reexpcld 14068 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2 logb 3)↑5) ∈ ℝ)
62 ceilcl 13747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 logb 3)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 logb 3)↑5)) ∈ ℤ)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 3)↑5)) ∈ ℤ)
6463zred 12607 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 3)↑5)) ∈ ℝ)
65 0red 11158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
66 9re 12252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 9 ∈ ℝ
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
6850lep1d 12086 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 8 ≤ (8 + 1))
69 8p1e9 12303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (8 + 1) = 9
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (8 + 1) = 9)
7168, 70breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 8 ≤ 9)
72 2re 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
74 2pos 12256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < 2
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 < 2)
76 3pos 12258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < 3
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 < 3)
7873, 75, 55, 77, 37relogbcld 40430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2 logb 3) ∈ ℝ)
7978, 60reexpcld 14068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((2 logb 3)↑5) ∈ ℝ)
8079, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 3)↑5)) ∈ ℤ)
8180zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 3)↑5)) ∈ ℝ)
8255leidd 11721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 3 ≤ 3)
8355, 823lexlogpow5ineq4 40513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 9 < ((2 logb 3)↑5))
8467, 79, 83ltled 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 9 ≤ ((2 logb 3)↑5))
85 ceilge 13750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 logb 3)↑5) ∈ ℝ → ((2 logb 3)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 3)↑5)))
8679, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((2 logb 3)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 3)↑5)))
8767, 79, 81, 84, 86letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 9 ≤ (⌈‘((2 logb 3)↑5)))
8850, 67, 64, 71, 87letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 8 ≤ (⌈‘((2 logb 3)↑5)))
8965, 50, 64, 52, 88ltletrd 11315 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < (⌈‘((2 logb 3)↑5)))
9046, 48, 50, 52, 64, 89, 88logblebd 40433 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 logb 8) ≤ (2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))))
9144, 90eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 3 ≤ (2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))))
9279, 33readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((2 logb 3)↑5) + 1) ∈ ℝ)
93 1nn0 12429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℕ0
94 6nn 12242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6 ∈ ℕ
9593, 94decnncl 12638 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 16 ∈ ℕ
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑16 ∈ ℕ)
9796nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑16 ∈ ℝ)
98 ceilm1lt 13753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 logb 3)↑5) ∈ ℝ → ((⌈‘((2 logb 3)↑5)) − 1) < ((2 logb 3)↑5))
9979, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((⌈‘((2 logb 3)↑5)) − 1) < ((2 logb 3)↑5))
10081, 33, 79ltsubaddd 11751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((⌈‘((2 logb 3)↑5)) − 1) < ((2 logb 3)↑5) ↔ (⌈‘((2 logb 3)↑5)) < (((2 logb 3)↑5) + 1)))
10199, 100mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 3)↑5)) < (((2 logb 3)↑5) + 1))
102 3lexlogpow5ineq5 40517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 logb 3)↑5) ≤ 15
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((2 logb 3)↑5) ≤ 15)
104 5p1e6 12300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (5 + 1) = 6
105 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 15 = 15
10693, 59, 104, 105decsuc 12649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (15 + 1) = 16
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (15 + 1) = 16)
10897recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑16 ∈ ℂ)
109 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
110 5nn 12239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5 ∈ ℕ
11193, 110decnncl 12638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 15 ∈ ℕ
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑15 ∈ ℕ)
113112nncnd 12169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑15 ∈ ℂ)
114108, 109, 113subadd2d 11531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((16 − 1) = 15 ↔ (15 + 1) = 16))
115107, 114mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (16 − 1) = 15)
116115eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑15 = (16 − 1))
117103, 116breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((2 logb 3)↑5) ≤ (16 − 1))
118 leaddsub 11631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((2 logb 3)↑5) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 16 ∈ ℝ) → ((((2 logb 3)↑5) + 1) ≤ 16 ↔ ((2 logb 3)↑5) ≤ (16 − 1)))
11979, 33, 97, 118syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((((2 logb 3)↑5) + 1) ≤ 16 ↔ ((2 logb 3)↑5) ≤ (16 − 1)))
120117, 119mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((2 logb 3)↑5) + 1) ≤ 16)
12181, 92, 97, 101, 120ltletrd 11315 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 3)↑5)) < 16)
122 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 16 = 16
123 2exp4 16957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2↑4) = 16
124122, 123eqtr4i 2767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 16 = (2↑4)
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑16 = (2↑4))
126121, 125breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 3)↑5)) < (2↑4))
12746uzidd 12779 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 2 ∈ (ℤ‘2))
12864, 89elrpd 12954 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 3)↑5)) ∈ ℝ+)
129 4z 12537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 ∈ ℤ
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 4 ∈ ℤ)
13132, 130rpexpcld 14150 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2↑4) ∈ ℝ+)
132 logblt 26134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ (⌈‘((2 logb 3)↑5)) ∈ ℝ+ ∧ (2↑4) ∈ ℝ+) → ((⌈‘((2 logb 3)↑5)) < (2↑4) ↔ (2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))) < (2 logb (2↑4))))
133127, 128, 131, 132syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((⌈‘((2 logb 3)↑5)) < (2↑4) ↔ (2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))) < (2 logb (2↑4))))
134126, 133mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))) < (2 logb (2↑4)))
13532, 37, 130relogbexpd 40431 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 logb (2↑4)) = 4)
1369eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . . . . 15 4 = (3 + 1)
137136a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 4 = (3 + 1))
138135, 137eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 logb (2↑4)) = (3 + 1))
139134, 138breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))) < (3 + 1))
14091, 139jca 512 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (3 ≤ (2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))) ∧ (2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))) < (3 + 1)))
14173, 75, 55, 57, 37relogbcld 40430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 logb 3) ∈ ℝ)
142141, 60reexpcld 14068 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((2 logb 3)↑5) ∈ ℝ)
143142, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 3)↑5)) ∈ ℤ)
144143zred 12607 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 3)↑5)) ∈ ℝ)
145 9pos 12266 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 9
146145a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 9)
14765, 67, 144, 146, 87ltletrd 11315 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < (⌈‘((2 logb 3)↑5)))
14873, 75, 144, 147, 37relogbcld 40430 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))) ∈ ℝ)
149 flbi 13721 . . . . . . . . . . . 12 (((2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℤ) → ((⌊‘(2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5)))) = 3 ↔ (3 ≤ (2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))) ∧ (2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))) < (3 + 1))))
150148, 38, 149syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((⌊‘(2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5)))) = 3 ↔ (3 ≤ (2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))) ∧ (2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))) < (3 + 1))))
151140, 150mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌊‘(2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5)))) = 3)
152151oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (3↑(⌊‘(2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))))) = (3↑3))
15378resqcld 14030 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((2 logb 3)↑2) ∈ ℝ)
154 3lexlogpow2ineq2 40516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3)
155154a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 < ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < 3))
156155simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 2 < ((2 logb 3)↑2))
15773, 153, 156ltled 11303 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ≤ ((2 logb 3)↑2))
158155simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((2 logb 3)↑2) < 3)
159 df-3 12217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 = (2 + 1)
160159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 3 = (2 + 1))
161158, 160breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 logb 3)↑2) < (2 + 1))
162157, 161jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 ≤ ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < (2 + 1)))
163141resqcld 14030 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 logb 3)↑2) ∈ ℝ)
164 flbi 13721 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((2 logb 3)↑2) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((⌊‘((2 logb 3)↑2)) = 2 ↔ (2 ≤ ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < (2 + 1))))
165163, 46, 164syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((⌊‘((2 logb 3)↑2)) = 2 ↔ (2 ≤ ((2 logb 3)↑2) ∧ ((2 logb 3)↑2) < (2 + 1))))
166162, 165mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⌊‘((2 logb 3)↑2)) = 2)
167166oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 3)↑2))) = (1...2))
168167prodeq1d 15804 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 3)↑2)))((3↑𝑘) − 1) = ∏𝑘 ∈ (1...2)((3↑𝑘) − 1))
169 1zzd 12534 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
170169, 46jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
171 1le2 12362 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ≤ 2
172171a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 1 ≤ 2)
173 eluz 12777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 ∈ (ℤ‘1) ↔ 1 ≤ 2))
174172, 173mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∈ (ℤ‘1))
175170, 174syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ (ℤ‘1))
176 3cn 12234 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ∈ ℂ
177176a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (1...2)) → 3 ∈ ℂ)
178 elfznn 13470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (1...2) → 𝑘 ∈ ℕ)
179178adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (1...2)) → 𝑘 ∈ ℕ)
180179nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (1...2)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
181177, 180expcld 14051 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (1...2)) → (3↑𝑘) ∈ ℂ)
182 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (1...2)) → 1 ∈ ℂ)
183181, 182subcld 11512 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (1...2)) → ((3↑𝑘) − 1) ∈ ℂ)
184 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 2 → (3↑𝑘) = (3↑2))
185184oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 2 → ((3↑𝑘) − 1) = ((3↑2) − 1))
186175, 183, 185fprodm1 15850 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...2)((3↑𝑘) − 1) = (∏𝑘 ∈ (1...(2 − 1))((3↑𝑘) − 1) · ((3↑2) − 1)))
187 2m1e1 12279 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 − 1) = 1
188187a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 − 1) = 1)
189188oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1...(2 − 1)) = (1...1))
190189prodeq1d 15804 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(2 − 1))((3↑𝑘) − 1) = ∏𝑘 ∈ (1...1)((3↑𝑘) − 1))
19155recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
19293a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
193191, 192expcld 14051 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (3↑1) ∈ ℂ)
194193, 109subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((3↑1) − 1) ∈ ℂ)
195169, 194jca 512 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 ∈ ℤ ∧ ((3↑1) − 1) ∈ ℂ))
196 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 1 → (3↑𝑘) = (3↑1))
197196oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 1 → ((3↑𝑘) − 1) = ((3↑1) − 1))
198197fprod1 15846 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℤ ∧ ((3↑1) − 1) ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ (1...1)((3↑𝑘) − 1) = ((3↑1) − 1))
199195, 198syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...1)((3↑𝑘) − 1) = ((3↑1) − 1))
200190, 199eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(2 − 1))((3↑𝑘) − 1) = ((3↑1) − 1))
201200oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...(2 − 1))((3↑𝑘) − 1) · ((3↑2) − 1)) = (((3↑1) − 1) · ((3↑2) − 1)))
202186, 201eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...2)((3↑𝑘) − 1) = (((3↑1) − 1) · ((3↑2) − 1)))
203168, 202eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 3)↑2)))((3↑𝑘) − 1) = (((3↑1) − 1) · ((3↑2) − 1)))
204152, 203oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((3↑(⌊‘(2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 3)↑2)))((3↑𝑘) − 1)) = ((3↑3) · (((3↑1) − 1) · ((3↑2) − 1))))
205 3nn0 12431 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℕ0
206205a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 3 ∈ ℕ0)
20755, 206reexpcld 14068 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (3↑3) ∈ ℝ)
20855, 192reexpcld 14068 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (3↑1) ∈ ℝ)
209208, 33resubcld 11583 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((3↑1) − 1) ∈ ℝ)
21055resqcld 14030 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (3↑2) ∈ ℝ)
211210, 33resubcld 11583 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((3↑2) − 1) ∈ ℝ)
212209, 211remulcld 11185 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((3↑1) − 1) · ((3↑2) − 1)) ∈ ℝ)
213207, 212remulcld 11185 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((3↑3) · (((3↑1) − 1) · ((3↑2) − 1))) ∈ ℝ)
214 9nn0 12437 . . . . . . . . . . . 12 9 ∈ ℕ0
215214a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 9 ∈ ℕ0)
21673, 215reexpcld 14068 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑9) ∈ ℝ)
217216, 33resubcld 11583 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2↑9) − 1) ∈ ℝ)
218 elnnz 12509 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌈‘((2 logb 3)↑5)) ∈ ℕ ↔ ((⌈‘((2 logb 3)↑5)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌈‘((2 logb 3)↑5))))
219143, 147, 218sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 3)↑5)) ∈ ℕ)
220219orcd 871 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((⌈‘((2 logb 3)↑5)) ∈ ℕ ∨ (⌈‘((2 logb 3)↑5)) = 0))
221 elnn0 12415 . . . . . . . . . . . 12 ((⌈‘((2 logb 3)↑5)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌈‘((2 logb 3)↑5)) ∈ ℕ ∨ (⌈‘((2 logb 3)↑5)) = 0))
222221a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((⌈‘((2 logb 3)↑5)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌈‘((2 logb 3)↑5)) ∈ ℕ ∨ (⌈‘((2 logb 3)↑5)) = 0)))
223220, 222mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌈‘((2 logb 3)↑5)) ∈ ℕ0)
22473, 223reexpcld 14068 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2↑(⌈‘((2 logb 3)↑5))) ∈ ℝ)
225 8cn 12250 . . . . . . . . . . . . . . 15 8 ∈ ℂ
226 2cn 12228 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℂ
227 8t2e16 12733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (8 · 2) = 16
228225, 226, 227mulcomli 11164 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · 8) = 16
229228a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · 8) = 16)
230229oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (27 · (2 · 8)) = (27 · 16))
231 6nn0 12434 . . . . . . . . . . . . . . 15 6 ∈ ℕ0
23293, 231deccl 12633 . . . . . . . . . . . . . 14 16 ∈ ℕ0
233 2nn0 12430 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ0
234 7nn0 12435 . . . . . . . . . . . . . 14 7 ∈ ℕ0
235 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 27 = 27
23693, 93deccl 12633 . . . . . . . . . . . . . 14 11 ∈ ℕ0
237 0nn0 12428 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℕ0
238233dec0h 12640 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 = 02
239 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 11 = 11
240232nn0cni 12425 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 16 ∈ ℂ
241240mul02i 11344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 · 16) = 0
242 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℂ
243176, 242, 9addcomli 11347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 + 3) = 4
244241, 243oveq12i 7369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 · 16) + (1 + 3)) = (0 + 4)
245 4cn 12238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 ∈ ℂ
246245addid2i 11343 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 + 4) = 4
247244, 246eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 · 16) + (1 + 3)) = 4
24893dec0h 12640 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 = 01
249 2t1e2 12316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 · 1) = 2
250 0p1e1 12275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 + 1) = 1
251249, 250oveq12i 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 · 1) + (0 + 1)) = (2 + 1)
252 2p1e3 12295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 + 1) = 3
253251, 252eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 · 1) + (0 + 1)) = 3
254 6cn 12244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 6 ∈ ℂ
255 6t2e12 12722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (6 · 2) = 12
256254, 226, 255mulcomli 11164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · 6) = 12
25793, 233, 252, 256decsuc 12649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 · 6) + 1) = 13
25893, 231, 237, 93, 122, 248, 233, 205, 93, 253, 257decma2c 12671 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 · 16) + 1) = 33
259237, 233, 93, 93, 238, 239, 232, 205, 205, 247, 258decmac 12670 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 16) + 11) = 43
260 4nn0 12432 . . . . . . . . . . . . . . 15 4 ∈ ℕ0
261 7cn 12247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 7 ∈ ℂ
262261mulid1i 11159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (7 · 1) = 7
263262oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((7 · 1) + 4) = (7 + 4)
264 7p4e11 12694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (7 + 4) = 11
265263, 264eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((7 · 1) + 4) = 11
266 7t6e42 12731 . . . . . . . . . . . . . . 15 (7 · 6) = 42
267234, 93, 231, 122, 233, 260, 265, 266decmul2c 12684 . . . . . . . . . . . . . 14 (7 · 16) = 112
268232, 233, 234, 235, 233, 236, 259, 267decmul1c 12683 . . . . . . . . . . . . 13 (27 · 16) = 432
269268a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (27 · 16) = 432)
270230, 269eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (27 · (2 · 8)) = 432)
271260, 205deccl 12633 . . . . . . . . . . . . 13 43 ∈ ℕ0
27259, 93deccl 12633 . . . . . . . . . . . . 13 51 ∈ ℕ0
273 2lt10 12756 . . . . . . . . . . . . 13 2 < 10
274 3lt10 12755 . . . . . . . . . . . . . 14 3 < 10
275 4lt5 12330 . . . . . . . . . . . . . 14 4 < 5
276260, 59, 205, 93, 274, 275decltc 12647 . . . . . . . . . . . . 13 43 < 51
277271, 272, 233, 93, 273, 276decltc 12647 . . . . . . . . . . . 12 432 < 511
278277a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑432 < 511)
279270, 278eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (27 · (2 · 8)) < 511)
280 3exp3 16964 . . . . . . . . . . . . 13 (3↑3) = 27
281280a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (3↑3) = 27)
282281eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 (𝜑27 = (3↑3))
283191exp1d 14046 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (3↑1) = 3)
284283oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((3↑1) − 1) = (3 − 1))
285 3m1e2 12281 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 − 1) = 2
286285a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (3 − 1) = 2)
287284, 286eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 = ((3↑1) − 1))
288 sq3 14102 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3↑2) = 9
289288a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (3↑2) = 9)
290289oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((3↑2) − 1) = (9 − 1))
291 9m1e8 12287 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 − 1) = 8
292291a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (9 − 1) = 8)
293290, 292eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 8 = ((3↑2) − 1))
294287, 293oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 8) = (((3↑1) − 1) · ((3↑2) − 1)))
295282, 294oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (27 · (2 · 8)) = ((3↑3) · (((3↑1) − 1) · ((3↑2) − 1))))
296 df-9 12223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 9 = (8 + 1)
297296a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 9 = (8 + 1))
298297oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2↑9) = (2↑(8 + 1)))
299287, 194eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
300 8nn0 12436 . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 ∈ ℕ0
301300a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 8 ∈ ℕ0)
302299, 192, 301expaddd 14053 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2↑(8 + 1)) = ((2↑8) · (2↑1)))
303298, 302eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2↑9) = ((2↑8) · (2↑1)))
304 2exp8 16961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2↑8) = 256
305304a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2↑8) = 256)
306305oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((2↑8) · (2↑1)) = (256 · (2↑1)))
307299exp1d 14046 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2↑1) = 2)
308307oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (256 · (2↑1)) = (256 · 2))
309306, 308eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2↑8) · (2↑1)) = (256 · 2))
310233, 59deccl 12633 . . . . . . . . . . . . . . . 16 25 ∈ ℕ0
311 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 256 = 256
312 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 25 = 25
313 2t2e4 12317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 · 2) = 4
314313, 250oveq12i 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 · 2) + (0 + 1)) = (4 + 1)
315 4p1e5 12299 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (4 + 1) = 5
316314, 315eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 · 2) + (0 + 1)) = 5
317 5t2e10 12718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (5 · 2) = 10
31893, 237, 250, 317decsuc 12649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((5 · 2) + 1) = 11
319233, 59, 237, 93, 312, 248, 233, 93, 93, 316, 318decmac 12670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((25 · 2) + 1) = 51
320233, 310, 231, 311, 233, 93, 319, 255decmul1c 12683 . . . . . . . . . . . . . . 15 (256 · 2) = 512
321320a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (256 · 2) = 512)
322309, 321eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2↑8) · (2↑1)) = 512)
323303, 322eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2↑9) = 512)
324323oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2↑9) − 1) = (512 − 1))
325 1p1e2 12278 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 + 1) = 2
326 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 511 = 511
327272, 93, 325, 326decsuc 12649 . . . . . . . . . . . . 13 (511 + 1) = 512
328272, 233deccl 12633 . . . . . . . . . . . . . . 15 512 ∈ ℕ0
329328nn0cni 12425 . . . . . . . . . . . . . 14 512 ∈ ℂ
330272, 93deccl 12633 . . . . . . . . . . . . . . 15 511 ∈ ℕ0
331330nn0cni 12425 . . . . . . . . . . . . . 14 511 ∈ ℂ
332329, 242, 331subadd2i 11489 . . . . . . . . . . . . 13 ((512 − 1) = 511 ↔ (511 + 1) = 512)
333327, 332mpbir 230 . . . . . . . . . . . 12 (512 − 1) = 511
334333a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (512 − 1) = 511)
335324, 334eqtr2d 2777 . . . . . . . . . 10 (𝜑511 = ((2↑9) − 1))
336279, 295, 3353brtr3d 5136 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((3↑3) · (((3↑1) − 1) · ((3↑2) − 1))) < ((2↑9) − 1))
337216ltm1d 12087 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2↑9) − 1) < (2↑9))
338215nn0zd 12525 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 9 ∈ ℤ)
33973, 338, 143, 35leexp2d 14155 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (9 ≤ (⌈‘((2 logb 3)↑5)) ↔ (2↑9) ≤ (2↑(⌈‘((2 logb 3)↑5)))))
34087, 339mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑9) ≤ (2↑(⌈‘((2 logb 3)↑5))))
341217, 216, 224, 337, 340ltletrd 11315 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2↑9) − 1) < (2↑(⌈‘((2 logb 3)↑5))))
342213, 217, 224, 336, 341lttrd 11316 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((3↑3) · (((3↑1) − 1) · ((3↑2) − 1))) < (2↑(⌈‘((2 logb 3)↑5))))
343204, 342eqbrtrd 5127 . . . . . . 7 (𝜑 → ((3↑(⌊‘(2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 3)↑2)))((3↑𝑘) − 1)) < (2↑(⌈‘((2 logb 3)↑5))))
344343adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → ((3↑(⌊‘(2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 3)↑2)))((3↑𝑘) − 1)) < (2↑(⌈‘((2 logb 3)↑5))))
34530, 344eqbrtrd 5127 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → ((3↑(⌊‘(2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 3)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)) < (2↑(⌈‘((2 logb 3)↑5))))
346 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → 3 = 𝑁)
347 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . 13 (3 = 𝑁 → (2 logb 3) = (2 logb 𝑁))
348347adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (2 logb 3) = (2 logb 𝑁))
349348oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → ((2 logb 3)↑5) = ((2 logb 𝑁)↑5))
350349fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (⌈‘((2 logb 3)↑5)) = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
3518a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
352351eqcomd 2742 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) = 𝐵)
353350, 352eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (⌈‘((2 logb 3)↑5)) = 𝐵)
354353oveq2d 7373 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))) = (2 logb 𝐵))
355354fveq2d 6846 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (⌊‘(2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5)))) = (⌊‘(2 logb 𝐵)))
356346, 355oveq12d 7375 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (3↑(⌊‘(2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))))) = (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))
357346oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (2 logb 3) = (2 logb 𝑁))
358357oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → ((2 logb 3)↑2) = ((2 logb 𝑁)↑2))
359358fveq2d 6846 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (⌊‘((2 logb 3)↑2)) = (⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))
360359oveq2d 7373 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (1...(⌊‘((2 logb 3)↑2))) = (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))))
361360prodeq1d 15804 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 3)↑2)))((𝑁𝑘) − 1) = ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1))
362356, 361oveq12d 7375 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → ((3↑(⌊‘(2 logb (⌈‘((2 logb 3)↑5))))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 3)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)) = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)))
363350oveq2d 7373 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (2↑(⌈‘((2 logb 3)↑5))) = (2↑(⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))))
364345, 362, 3633brtr3d 5136 . . . 4 ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)) < (2↑(⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))))
3657a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)))
366365eqcomd 2742 . . . 4 ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1)) = 𝐴)
3678oveq2i 7368 . . . . . 6 (2↑𝐵) = (2↑(⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
368367a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (2↑𝐵) = (2↑(⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))))
369368eqcomd 2742 . . . 4 ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (2↑(⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))) = (2↑𝐵))
370364, 366, 3693brtr3d 5136 . . 3 ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → 𝐴 < (2↑𝐵))
371370ex 413 . 2 (𝜑 → (3 = 𝑁𝐴 < (2↑𝐵)))
372 eluzle 12776 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑁)
3733, 372syl 17 . . 3 (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
37414zred 12607 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
37555, 374leloed 11298 . . 3 (𝜑 → (3 ≤ 𝑁 ↔ (3 < 𝑁 ∨ 3 = 𝑁)))
376373, 375mpbid 231 . 2 (𝜑 → (3 < 𝑁 ∨ 3 = 𝑁))
37723, 371, 376mpjaod 858 1 (𝜑𝐴 < (2↑𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  cn 12153  2c2 12208  3c3 12209  4c4 12210  5c5 12211  6c6 12212  7c7 12213  8c8 12214  9c9 12215  0cn0 12413  cz 12499  cdc 12618  cuz 12763  +crp 12915  ...cfz 13424  cfl 13695  cceil 13696  cexp 13967  cprod 15788   logb clogb 26114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-ceil 13698  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-prod 15789  df-ef 15950  df-e 15951  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-cxp 25913  df-logb 26115
This theorem is referenced by:  aks4d1p3  40535
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