aks4d1p1 - Mathbox for metakunt

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Theorem aks4d1p1 40012

Description: Show inequality for existence of a non-divisor. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
aks4d1p1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))
aks4d1p1.2	⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 log_b 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
aks4d1p1.3	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 log_b 𝑁)↑5))

**Assertion**
Ref	Expression
aks4d1p1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (2↑𝐵))

Distinct variable groups: 𝑘,𝑁 𝜑,𝑘 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑘) 𝐵(𝑘)

**Proof of Theorem aks4d1p1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn 11982	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 < 𝑁) → 3 ∈ ℕ)
3		aks4d1p1.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 < 𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))
5		eluznn 12587	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑁 ∈ ℕ)
6	2, 4, 5	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
7		aks4d1p1.2	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 log_b 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
8		aks4d1p1.3	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 log_b 𝑁)↑5))
9		3p1e4 12048	. . . . 5 ⊢ (3 + 1) = 4
10		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 < 𝑁) → 3 < 𝑁)
11		3z 12283	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℤ
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 < 𝑁) → 3 ∈ ℤ)
13		eluzelz 12521	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
14	3, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
15	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
16	12, 15	zltp1led 39916	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 < 𝑁) → (3 < 𝑁 ↔ (3 + 1) ≤ 𝑁))
17	10, 16	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 < 𝑁) → (3 + 1) ≤ 𝑁)
18	9, 17	eqbrtrrid 5106	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 < 𝑁) → 4 ≤ 𝑁)
19		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (2 log_b (((2 log_b 𝑁)↑5) + 1)) = (2 log_b (((2 log_b 𝑁)↑5) + 1))
20		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ((2 log_b 𝑁)↑2) = ((2 log_b 𝑁)↑2)
21		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ((2 log_b 𝑁)↑4) = ((2 log_b 𝑁)↑4)
22	6, 7, 8, 18, 19, 20, 21	aks4d1p1p5 40011	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 < 𝑁) → 𝐴 < (2↑𝐵))
23	22	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (3 < 𝑁 → 𝐴 < (2↑𝐵)))
24		simp2 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 3)↑2)))) → 3 = 𝑁)
25	24	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 3)↑2)))) → 𝑁 = 3)
26	25	oveq1d 7270	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 3)↑2)))) → (𝑁↑𝑘) = (3↑𝑘))
27	26	oveq1d 7270	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 3)↑2)))) → ((𝑁↑𝑘) − 1) = ((3↑𝑘) − 1))
28	27	3expa 1116	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 3)↑2)))) → ((𝑁↑𝑘) − 1) = ((3↑𝑘) − 1))
29	28	prodeq2dv 15561	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 3)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1) = ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 3)↑2)))((3↑𝑘) − 1))
30	29	oveq2d 7271	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → ((3↑(⌊‘(2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 3)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) = ((3↑(⌊‘(2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 3)↑2)))((3↑𝑘) − 1)))
31		2rp 12664	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ⁺)
33		1red 10907	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
34		1lt2 12074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 < 2
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
36	33, 35	ltned 11041	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
37	36	necomd 2998	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
38	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℤ)
39	32, 37, 38	relogbexpd 39909	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 log_b (2↑3)) = 3)
40	39	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 3 = (2 log_b (2↑3)))
41		cu2 13845	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2↑3) = 8
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2↑3) = 8)
43	42	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 log_b (2↑3)) = (2 log_b 8))
44	40, 43	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 3 = (2 log_b 8))
45		2z 12282	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℤ
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
47	46	zred 12355	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
48	47	leidd 11471	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 2)
49		8re 11999	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 8 ∈ ℝ
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 8 ∈ ℝ)
51		8pos 12015	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 8
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 8)
53	32	rpgt0d 12704	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
54		3re 11983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 3 ∈ ℝ
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
56	1	nngt0i 11942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 < 3
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
58	47, 53, 55, 57, 37	relogbcld 39908	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 log_b 3) ∈ ℝ)
59		5nn0 12183	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 5 ∈ ℕ₀
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ₀)
61	58, 60	reexpcld 13809	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((2 log_b 3)↑5) ∈ ℝ)
62		ceilcl 13490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 log_b 3)↑5) ∈ ℝ → (⌈‘((2 log_b 3)↑5)) ∈ ℤ)
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 log_b 3)↑5)) ∈ ℤ)
64	63	zred 12355	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 log_b 3)↑5)) ∈ ℝ)
65		0red 10909	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
66		9re 12002	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 9 ∈ ℝ
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
68	50	lep1d 11836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 8 ≤ (8 + 1))
69		8p1e9 12053	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (8 + 1) = 9
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (8 + 1) = 9)
71	68, 70	breqtrd 5096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 8 ≤ 9)
72		2re 11977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℝ
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
74		2pos 12006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 < 2
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
76		3pos 12008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 < 3
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
78	73, 75, 55, 77, 37	relogbcld 39908	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (2 log_b 3) ∈ ℝ)
79	78, 60	reexpcld 13809	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((2 log_b 3)↑5) ∈ ℝ)
80	79, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 log_b 3)↑5)) ∈ ℤ)
81	80	zred 12355	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 log_b 3)↑5)) ∈ ℝ)
82	55	leidd 11471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 3)
83	55, 82	3lexlogpow5ineq4 39992	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 9 < ((2 log_b 3)↑5))
84	67, 79, 83	ltled 11053	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ ((2 log_b 3)↑5))
85		ceilge 13493	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2 log_b 3)↑5) ∈ ℝ → ((2 log_b 3)↑5) ≤ (⌈‘((2 log_b 3)↑5)))
86	79, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((2 log_b 3)↑5) ≤ (⌈‘((2 log_b 3)↑5)))
87	67, 79, 81, 84, 86	letrd 11062	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ (⌈‘((2 log_b 3)↑5)))
88	50, 67, 64, 71, 87	letrd 11062	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 8 ≤ (⌈‘((2 log_b 3)↑5)))
89	65, 50, 64, 52, 88	ltletrd 11065	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < (⌈‘((2 log_b 3)↑5)))
90	46, 48, 50, 52, 64, 89, 88	logblebd 39911	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 log_b 8) ≤ (2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))))
91	44, 90	eqbrtrd 5092	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ (2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))))
92	79, 33	readdcld 10935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((2 log_b 3)↑5) + 1) ∈ ℝ)
93		1nn0 12179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
94		6nn 11992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 6 ∈ ℕ
95	93, 94	decnncl 12386	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ;16 ∈ ℕ
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ;16 ∈ ℕ)
97	96	nnred 11918	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ;16 ∈ ℝ)
98		ceilm1lt 13496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2 log_b 3)↑5) ∈ ℝ → ((⌈‘((2 log_b 3)↑5)) − 1) < ((2 log_b 3)↑5))
99	79, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((⌈‘((2 log_b 3)↑5)) − 1) < ((2 log_b 3)↑5))
100	81, 33, 79	ltsubaddd 11501	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (((⌈‘((2 log_b 3)↑5)) − 1) < ((2 log_b 3)↑5) ↔ (⌈‘((2 log_b 3)↑5)) < (((2 log_b 3)↑5) + 1)))
101	99, 100	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 log_b 3)↑5)) < (((2 log_b 3)↑5) + 1))
102		3lexlogpow5ineq5 39996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 log_b 3)↑5) ≤ ;15
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((2 log_b 3)↑5) ≤ ;15)
104		5p1e6 12050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (5 + 1) = 6
105		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ;15 = ;15
106	93, 59, 104, 105	decsuc 12397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (;15 + 1) = ;16
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (;15 + 1) = ;16)
108	97	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ;16 ∈ ℂ)
109		1cnd 10901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
110		5nn 11989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 5 ∈ ℕ
111	93, 110	decnncl 12386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ;15 ∈ ℕ
112	111	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ;15 ∈ ℕ)
113	112	nncnd 11919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ;15 ∈ ℂ)
114	108, 109, 113	subadd2d 11281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((;16 − 1) = ;15 ↔ (;15 + 1) = ;16))
115	107, 114	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (;16 − 1) = ;15)
116	115	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ;15 = (;16 − 1))
117	103, 116	breqtrd 5096	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((2 log_b 3)↑5) ≤ (;16 − 1))
118		leaddsub 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((2 log_b 3)↑5) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ;16 ∈ ℝ) → ((((2 log_b 3)↑5) + 1) ≤ ;16 ↔ ((2 log_b 3)↑5) ≤ (;16 − 1)))
119	79, 33, 97, 118	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((((2 log_b 3)↑5) + 1) ≤ ;16 ↔ ((2 log_b 3)↑5) ≤ (;16 − 1)))
120	117, 119	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((2 log_b 3)↑5) + 1) ≤ ;16)
121	81, 92, 97, 101, 120	ltletrd 11065	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 log_b 3)↑5)) < ;16)
122		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ;16 = ;16
123		2exp4 16714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2↑4) = ;16
124	122, 123	eqtr4i 2769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ;16 = (2↑4)
125	124	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ;16 = (2↑4))
126	121, 125	breqtrd 5096	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 log_b 3)↑5)) < (2↑4))
127	46	uzidd 12527	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ (ℤ_≥‘2))
128	64, 89	elrpd 12698	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 log_b 3)↑5)) ∈ ℝ⁺)
129		4z 12284	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 4 ∈ ℤ
130	129	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℤ)
131	32, 130	rpexpcld 13890	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2↑4) ∈ ℝ⁺)
132		logblt 25839	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (⌈‘((2 log_b 3)↑5)) ∈ ℝ⁺ ∧ (2↑4) ∈ ℝ⁺) → ((⌈‘((2 log_b 3)↑5)) < (2↑4) ↔ (2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))) < (2 log_b (2↑4))))
133	127, 128, 131, 132	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((⌈‘((2 log_b 3)↑5)) < (2↑4) ↔ (2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))) < (2 log_b (2↑4))))
134	126, 133	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))) < (2 log_b (2↑4)))
135	32, 37, 130	relogbexpd 39909	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 log_b (2↑4)) = 4)
136	9	eqcomi 2747	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 = (3 + 1)
137	136	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 4 = (3 + 1))
138	135, 137	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 log_b (2↑4)) = (3 + 1))
139	134, 138	breqtrd 5096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))) < (3 + 1))
140	91, 139	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (3 ≤ (2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))) ∧ (2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))) < (3 + 1)))
141	73, 75, 55, 57, 37	relogbcld 39908	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 log_b 3) ∈ ℝ)
142	141, 60	reexpcld 13809	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((2 log_b 3)↑5) ∈ ℝ)
143	142, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 log_b 3)↑5)) ∈ ℤ)
144	143	zred 12355	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 log_b 3)↑5)) ∈ ℝ)
145		9pos 12016	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 9
146	145	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 9)
147	65, 67, 144, 146, 87	ltletrd 11065	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < (⌈‘((2 log_b 3)↑5)))
148	73, 75, 144, 147, 37	relogbcld 39908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))) ∈ ℝ)
149		flbi 13464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℤ) → ((⌊‘(2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5)))) = 3 ↔ (3 ≤ (2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))) ∧ (2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))) < (3 + 1))))
150	148, 38, 149	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5)))) = 3 ↔ (3 ≤ (2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))) ∧ (2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))) < (3 + 1))))
151	140, 150	mpbird 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5)))) = 3)
152	151	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (3↑(⌊‘(2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))))) = (3↑3))
153	78	resqcld 13893	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((2 log_b 3)↑2) ∈ ℝ)
154		3lexlogpow2ineq2 39995	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 < ((2 log_b 3)↑2) ∧ ((2 log_b 3)↑2) < 3)
155	154	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 < ((2 log_b 3)↑2) ∧ ((2 log_b 3)↑2) < 3))
156	155	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 2 < ((2 log_b 3)↑2))
157	73, 153, 156	ltled 11053	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ ((2 log_b 3)↑2))
158	155	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((2 log_b 3)↑2) < 3)
159		df-3 11967	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 = (2 + 1)
160	159	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 3 = (2 + 1))
161	158, 160	breqtrd 5096	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((2 log_b 3)↑2) < (2 + 1))
162	157, 161	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 ≤ ((2 log_b 3)↑2) ∧ ((2 log_b 3)↑2) < (2 + 1)))
163	141	resqcld 13893	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((2 log_b 3)↑2) ∈ ℝ)
164		flbi 13464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((2 log_b 3)↑2) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((⌊‘((2 log_b 3)↑2)) = 2 ↔ (2 ≤ ((2 log_b 3)↑2) ∧ ((2 log_b 3)↑2) < (2 + 1))))
165	163, 46, 164	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((2 log_b 3)↑2)) = 2 ↔ (2 ≤ ((2 log_b 3)↑2) ∧ ((2 log_b 3)↑2) < (2 + 1))))
166	162, 165	mpbird 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((2 log_b 3)↑2)) = 2)
167	166	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘((2 log_b 3)↑2))) = (1...2))
168	167	prodeq1d 15559	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 3)↑2)))((3↑𝑘) − 1) = ∏𝑘 ∈ (1...2)((3↑𝑘) − 1))
169		1zzd 12281	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
170	169, 46	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ))
171		1le2 12112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ≤ 2
172	171	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 1 ≤ 2)
173		eluz 12525	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 ∈ (ℤ_≥‘1) ↔ 1 ≤ 2))
174	172, 173	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∈ (ℤ_≥‘1))
175	170, 174	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ (ℤ_≥‘1))
176		3cn 11984	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ∈ ℂ
177	176	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...2)) → 3 ∈ ℂ)
178		elfznn 13214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (1...2) → 𝑘 ∈ ℕ)
179	178	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...2)) → 𝑘 ∈ ℕ)
180	179	nnnn0d 12223	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...2)) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
181	177, 180	expcld 13792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...2)) → (3↑𝑘) ∈ ℂ)
182		1cnd 10901	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...2)) → 1 ∈ ℂ)
183	181, 182	subcld 11262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...2)) → ((3↑𝑘) − 1) ∈ ℂ)
184		oveq2 7263	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 2 → (3↑𝑘) = (3↑2))
185	184	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 2 → ((3↑𝑘) − 1) = ((3↑2) − 1))
186	175, 183, 185	fprodm1 15605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...2)((3↑𝑘) − 1) = (∏𝑘 ∈ (1...(2 − 1))((3↑𝑘) − 1) · ((3↑2) − 1)))
187		2m1e1 12029	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 − 1) = 1
188	187	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 − 1) = 1)
189	188	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1...(2 − 1)) = (1...1))
190	189	prodeq1d 15559	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(2 − 1))((3↑𝑘) − 1) = ∏𝑘 ∈ (1...1)((3↑𝑘) − 1))
191	55	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
192	93	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ₀)
193	191, 192	expcld 13792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (3↑1) ∈ ℂ)
194	193, 109	subcld 11262	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((3↑1) − 1) ∈ ℂ)
195	169, 194	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ ℤ ∧ ((3↑1) − 1) ∈ ℂ))
196		oveq2 7263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 1 → (3↑𝑘) = (3↑1))
197	196	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 1 → ((3↑𝑘) − 1) = ((3↑1) − 1))
198	197	fprod1 15601	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ((3↑1) − 1) ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ (1...1)((3↑𝑘) − 1) = ((3↑1) − 1))
199	195, 198	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...1)((3↑𝑘) − 1) = ((3↑1) − 1))
200	190, 199	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(2 − 1))((3↑𝑘) − 1) = ((3↑1) − 1))
201	200	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (1...(2 − 1))((3↑𝑘) − 1) · ((3↑2) − 1)) = (((3↑1) − 1) · ((3↑2) − 1)))
202	186, 201	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...2)((3↑𝑘) − 1) = (((3↑1) − 1) · ((3↑2) − 1)))
203	168, 202	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 3)↑2)))((3↑𝑘) − 1) = (((3↑1) − 1) · ((3↑2) − 1)))
204	152, 203	oveq12d 7273	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((3↑(⌊‘(2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 3)↑2)))((3↑𝑘) − 1)) = ((3↑3) · (((3↑1) − 1) · ((3↑2) − 1))))
205		3nn0 12181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
206	205	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℕ₀)
207	55, 206	reexpcld 13809	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (3↑3) ∈ ℝ)
208	55, 192	reexpcld 13809	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (3↑1) ∈ ℝ)
209	208, 33	resubcld 11333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((3↑1) − 1) ∈ ℝ)
210	55	resqcld 13893	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (3↑2) ∈ ℝ)
211	210, 33	resubcld 11333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((3↑2) − 1) ∈ ℝ)
212	209, 211	remulcld 10936	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((3↑1) − 1) · ((3↑2) − 1)) ∈ ℝ)
213	207, 212	remulcld 10936	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((3↑3) · (((3↑1) − 1) · ((3↑2) − 1))) ∈ ℝ)
214		9nn0 12187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 9 ∈ ℕ₀
215	214	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℕ₀)
216	73, 215	reexpcld 13809	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑9) ∈ ℝ)
217	216, 33	resubcld 11333	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2↑9) − 1) ∈ ℝ)
218		elnnz 12259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌈‘((2 log_b 3)↑5)) ∈ ℕ ↔ ((⌈‘((2 log_b 3)↑5)) ∈ ℤ ∧ 0 < (⌈‘((2 log_b 3)↑5))))
219	143, 147, 218	sylanbrc 582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 log_b 3)↑5)) ∈ ℕ)
220	219	orcd 869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((⌈‘((2 log_b 3)↑5)) ∈ ℕ ∨ (⌈‘((2 log_b 3)↑5)) = 0))
221		elnn0 12165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⌈‘((2 log_b 3)↑5)) ∈ ℕ₀ ↔ ((⌈‘((2 log_b 3)↑5)) ∈ ℕ ∨ (⌈‘((2 log_b 3)↑5)) = 0))
222	221	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((⌈‘((2 log_b 3)↑5)) ∈ ℕ₀ ↔ ((⌈‘((2 log_b 3)↑5)) ∈ ℕ ∨ (⌈‘((2 log_b 3)↑5)) = 0)))
223	220, 222	mpbird 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 log_b 3)↑5)) ∈ ℕ₀)
224	73, 223	reexpcld 13809	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2↑(⌈‘((2 log_b 3)↑5))) ∈ ℝ)
225		8cn 12000	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 8 ∈ ℂ
226		2cn 11978	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℂ
227		8t2e16 12481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (8 · 2) = ;16
228	225, 226, 227	mulcomli 10915	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · 8) = ;16
229	228	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · 8) = ;16)
230	229	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (;27 · (2 · 8)) = (;27 · ;16))
231		6nn0 12184	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 6 ∈ ℕ₀
232	93, 231	deccl 12381	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;16 ∈ ℕ₀
233		2nn0 12180	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
234		7nn0 12185	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 7 ∈ ℕ₀
235		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;27 = ;27
236	93, 93	deccl 12381	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;11 ∈ ℕ₀
237		0nn0 12178	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℕ₀
238	233	dec0h 12388	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 = ;02
239		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;11 = ;11
240	232	nn0cni 12175	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ;16 ∈ ℂ
241	240	mul02i 11094	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 · ;16) = 0
242		ax-1cn 10860	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℂ
243	176, 242, 9	addcomli 11097	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 + 3) = 4
244	241, 243	oveq12i 7267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 · ;16) + (1 + 3)) = (0 + 4)
245		4cn 11988	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 4 ∈ ℂ
246	245	addid2i 11093	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 + 4) = 4
247	244, 246	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 · ;16) + (1 + 3)) = 4
248	93	dec0h 12388	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 = ;01
249		2t1e2 12066	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 · 1) = 2
250		0p1e1 12025	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 + 1) = 1
251	249, 250	oveq12i 7267	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 · 1) + (0 + 1)) = (2 + 1)
252		2p1e3 12045	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 + 1) = 3
253	251, 252	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 · 1) + (0 + 1)) = 3
254		6cn 11994	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 6 ∈ ℂ
255		6t2e12 12470	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (6 · 2) = ;12
256	254, 226, 255	mulcomli 10915	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 · 6) = ;12
257	93, 233, 252, 256	decsuc 12397	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 · 6) + 1) = ;13
258	93, 231, 237, 93, 122, 248, 233, 205, 93, 253, 257	decma2c 12419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 · ;16) + 1) = ;33
259	237, 233, 93, 93, 238, 239, 232, 205, 205, 247, 258	decmac 12418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · ;16) + ;11) = ;43
260		4nn0 12182	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 ∈ ℕ₀
261		7cn 11997	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 7 ∈ ℂ
262	261	mulid1i 10910	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (7 · 1) = 7
263	262	oveq1i 7265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((7 · 1) + 4) = (7 + 4)
264		7p4e11 12442	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (7 + 4) = ;11
265	263, 264	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((7 · 1) + 4) = ;11
266		7t6e42 12479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (7 · 6) = ;42
267	234, 93, 231, 122, 233, 260, 265, 266	decmul2c 12432	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 · ;16) = ;;112
268	232, 233, 234, 235, 233, 236, 259, 267	decmul1c 12431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;27 · ;16) = ;;432
269	268	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (;27 · ;16) = ;;432)
270	230, 269	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (;27 · (2 · 8)) = ;;432)
271	260, 205	deccl 12381	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;43 ∈ ℕ₀
272	59, 93	deccl 12381	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;51 ∈ ℕ₀
273		2lt10 12504	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 < ;10
274		3lt10 12503	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 < ;10
275		4lt5 12080	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 < 5
276	260, 59, 205, 93, 274, 275	decltc 12395	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;43 < ;51
277	271, 272, 233, 93, 273, 276	decltc 12395	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;432 < ;;511
278	277	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ;;432 < ;;511)
279	270, 278	eqbrtrd 5092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (;27 · (2 · 8)) < ;;511)
280		3exp3 16721	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3↑3) = ;27
281	280	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (3↑3) = ;27)
282	281	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ;27 = (3↑3))
283	191	exp1d 13787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (3↑1) = 3)
284	283	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((3↑1) − 1) = (3 − 1))
285		3m1e2 12031	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 − 1) = 2
286	285	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (3 − 1) = 2)
287	284, 286	eqtr2d 2779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 = ((3↑1) − 1))
288		sq3 13843	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3↑2) = 9
289	288	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (3↑2) = 9)
290	289	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((3↑2) − 1) = (9 − 1))
291		9m1e8 12037	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (9 − 1) = 8
292	291	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (9 − 1) = 8)
293	290, 292	eqtr2d 2779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 8 = ((3↑2) − 1))
294	287, 293	oveq12d 7273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 8) = (((3↑1) − 1) · ((3↑2) − 1)))
295	282, 294	oveq12d 7273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (;27 · (2 · 8)) = ((3↑3) · (((3↑1) − 1) · ((3↑2) − 1))))
296		df-9 11973	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 9 = (8 + 1)
297	296	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 9 = (8 + 1))
298	297	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2↑9) = (2↑(8 + 1)))
299	287, 194	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
300		8nn0 12186	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 8 ∈ ℕ₀
301	300	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 8 ∈ ℕ₀)
302	299, 192, 301	expaddd 13794	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2↑(8 + 1)) = ((2↑8) · (2↑1)))
303	298, 302	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2↑9) = ((2↑8) · (2↑1)))
304		2exp8 16718	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2↑8) = ;;256
305	304	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2↑8) = ;;256)
306	305	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((2↑8) · (2↑1)) = (;;256 · (2↑1)))
307	299	exp1d 13787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2↑1) = 2)
308	307	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (;;256 · (2↑1)) = (;;256 · 2))
309	306, 308	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((2↑8) · (2↑1)) = (;;256 · 2))
310	233, 59	deccl 12381	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ;25 ∈ ℕ₀
311		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ;;256 = ;;256
312		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ;25 = ;25
313		2t2e4 12067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 · 2) = 4
314	313, 250	oveq12i 7267	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 1)) = (4 + 1)
315		4p1e5 12049	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (4 + 1) = 5
316	314, 315	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 1)) = 5
317		5t2e10 12466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (5 · 2) = ;10
318	93, 237, 250, 317	decsuc 12397	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((5 · 2) + 1) = ;11
319	233, 59, 237, 93, 312, 248, 233, 93, 93, 316, 318	decmac 12418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((;25 · 2) + 1) = ;51
320	233, 310, 231, 311, 233, 93, 319, 255	decmul1c 12431	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (;;256 · 2) = ;;512
321	320	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (;;256 · 2) = ;;512)
322	309, 321	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((2↑8) · (2↑1)) = ;;512)
323	303, 322	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2↑9) = ;;512)
324	323	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2↑9) − 1) = (;;512 − 1))
325		1p1e2 12028	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 + 1) = 2
326		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;;511 = ;;511
327	272, 93, 325, 326	decsuc 12397	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;;511 + 1) = ;;512
328	272, 233	deccl 12381	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;;512 ∈ ℕ₀
329	328	nn0cni 12175	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;;512 ∈ ℂ
330	272, 93	deccl 12381	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;;511 ∈ ℕ₀
331	330	nn0cni 12175	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;;511 ∈ ℂ
332	329, 242, 331	subadd2i 11239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((;;512 − 1) = ;;511 ↔ (;;511 + 1) = ;;512)
333	327, 332	mpbir 230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;;512 − 1) = ;;511
334	333	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (;;512 − 1) = ;;511)
335	324, 334	eqtr2d 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ;;511 = ((2↑9) − 1))
336	279, 295, 335	3brtr3d 5101	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((3↑3) · (((3↑1) − 1) · ((3↑2) − 1))) < ((2↑9) − 1))
337	216	ltm1d 11837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2↑9) − 1) < (2↑9))
338	215	nn0zd 12353	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℤ)
339	73, 338, 143, 35	leexp2d 13897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (9 ≤ (⌈‘((2 log_b 3)↑5)) ↔ (2↑9) ≤ (2↑(⌈‘((2 log_b 3)↑5)))))
340	87, 339	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑9) ≤ (2↑(⌈‘((2 log_b 3)↑5))))
341	217, 216, 224, 337, 340	ltletrd 11065	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2↑9) − 1) < (2↑(⌈‘((2 log_b 3)↑5))))
342	213, 217, 224, 336, 341	lttrd 11066	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((3↑3) · (((3↑1) − 1) · ((3↑2) − 1))) < (2↑(⌈‘((2 log_b 3)↑5))))
343	204, 342	eqbrtrd 5092	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((3↑(⌊‘(2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 3)↑2)))((3↑𝑘) − 1)) < (2↑(⌈‘((2 log_b 3)↑5))))
344	343	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → ((3↑(⌊‘(2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 3)↑2)))((3↑𝑘) − 1)) < (2↑(⌈‘((2 log_b 3)↑5))))
345	30, 344	eqbrtrd 5092	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → ((3↑(⌊‘(2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 3)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) < (2↑(⌈‘((2 log_b 3)↑5))))
346		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → 3 = 𝑁)
347		oveq2 7263	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 = 𝑁 → (2 log_b 3) = (2 log_b 𝑁))
348	347	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (2 log_b 3) = (2 log_b 𝑁))
349	348	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → ((2 log_b 3)↑5) = ((2 log_b 𝑁)↑5))
350	349	fveq2d 6760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (⌈‘((2 log_b 3)↑5)) = (⌈‘((2 log_b 𝑁)↑5)))
351	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → 𝐵 = (⌈‘((2 log_b 𝑁)↑5)))
352	351	eqcomd 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (⌈‘((2 log_b 𝑁)↑5)) = 𝐵)
353	350, 352	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (⌈‘((2 log_b 3)↑5)) = 𝐵)
354	353	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))) = (2 log_b 𝐵))
355	354	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (⌊‘(2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5)))) = (⌊‘(2 log_b 𝐵)))
356	346, 355	oveq12d 7273	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (3↑(⌊‘(2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))))) = (𝑁↑(⌊‘(2 log_b 𝐵))))
357	346	oveq2d 7271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (2 log_b 3) = (2 log_b 𝑁))
358	357	oveq1d 7270	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → ((2 log_b 3)↑2) = ((2 log_b 𝑁)↑2))
359	358	fveq2d 6760	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (⌊‘((2 log_b 3)↑2)) = (⌊‘((2 log_b 𝑁)↑2)))
360	359	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (1...(⌊‘((2 log_b 3)↑2))) = (1...(⌊‘((2 log_b 𝑁)↑2))))
361	360	prodeq1d 15559	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 3)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1) = ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
362	356, 361	oveq12d 7273	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → ((3↑(⌊‘(2 log_b (⌈‘((2 log_b 3)↑5))))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 3)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) = ((𝑁↑(⌊‘(2 log_b 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
363	350	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (2↑(⌈‘((2 log_b 3)↑5))) = (2↑(⌈‘((2 log_b 𝑁)↑5))))
364	345, 362, 363	3brtr3d 5101	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → ((𝑁↑(⌊‘(2 log_b 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) < (2↑(⌈‘((2 log_b 𝑁)↑5))))
365	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 log_b 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
366	365	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → ((𝑁↑(⌊‘(2 log_b 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 log_b 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)) = 𝐴)
367	8	oveq2i 7266	. . . . . 6 ⊢ (2↑𝐵) = (2↑(⌈‘((2 log_b 𝑁)↑5)))
368	367	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (2↑𝐵) = (2↑(⌈‘((2 log_b 𝑁)↑5))))
369	368	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → (2↑(⌈‘((2 log_b 𝑁)↑5))) = (2↑𝐵))
370	364, 366, 369	3brtr3d 5101	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 3 = 𝑁) → 𝐴 < (2↑𝐵))
371	370	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (3 = 𝑁 → 𝐴 < (2↑𝐵)))
372		eluzle 12524	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
373	3, 372	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
374	14	zred 12355	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
375	55, 374	leloed 11048	. . 3 ⊢ (𝜑 → (3 ≤ 𝑁 ↔ (3 < 𝑁 ∨ 3 = 𝑁)))
376	373, 375	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → (3 < 𝑁 ∨ 3 = 𝑁))
377	23, 371, 376	mpjaod 856	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (2↑𝐵))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 ∨ wo 843 ∧ w3a 1085 = wceq 1539 ∈ wcel 2108 class class class wbr 5070 ‘cfv 6418 (class class class)co 7255 ℂcc 10800 ℝcr 10801 0cc0 10802 1c1 10803 + caddc 10805 · cmul 10807 < clt 10940 ≤ cle 10941 − cmin 11135 ℕcn 11903 2c2 11958 3c3 11959 4c4 11960 5c5 11961 6c6 11962 7c7 11963 8c8 11964 9c9 11965 ℕ₀cn0 12163 ℤcz 12249 cdc 12366 ℤ_≥cuz 12511 ℝ⁺crp 12659 ...cfz 13168 ⌊cfl 13438 ⌈cceil 13439 ↑cexp 13710 ∏cprod 15543 log_b clogb 25819

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1799 ax-4 1813 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2139 ax-11 2156 ax-12 2173 ax-ext 2709 ax-rep 5205 ax-sep 5218 ax-nul 5225 ax-pow 5283 ax-pr 5347 ax-un 7566 ax-inf2 9329 ax-cnex 10858 ax-resscn 10859 ax-1cn 10860 ax-icn 10861 ax-addcl 10862 ax-addrcl 10863 ax-mulcl 10864 ax-mulrcl 10865 ax-mulcom 10866 ax-addass 10867 ax-mulass 10868 ax-distr 10869 ax-i2m1 10870 ax-1ne0 10871 ax-1rid 10872 ax-rnegex 10873 ax-rrecex 10874 ax-cnre 10875 ax-pre-lttri 10876 ax-pre-lttrn 10877 ax-pre-ltadd 10878 ax-pre-mulgt0 10879 ax-pre-sup 10880 ax-addf 10881 ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1784 df-nf 1788 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2817 df-nfc 2888 df-ne 2943 df-nel 3049 df-ral 3068 df-rex 3069 df-reu 3070 df-rmo 3071 df-rab 3072 df-v 3424 df-sbc 3712 df-csb 3829 df-dif 3886 df-un 3888 df-in 3890 df-ss 3900 df-pss 3902 df-nul 4254 df-if 4457 df-pw 4532 df-sn 4559 df-pr 4561 df-tp 4563 df-op 4565 df-uni 4837 df-int 4877 df-iun 4923 df-iin 4924 df-br 5071 df-opab 5133 df-mpt 5154 df-tr 5188 df-id 5480 df-eprel 5486 df-po 5494 df-so 5495 df-fr 5535 df-se 5536 df-we 5537 df-xp 5586 df-rel 5587 df-cnv 5588 df-co 5589 df-dm 5590 df-rn 5591 df-res 5592 df-ima 5593 df-pred 6191 df-ord 6254 df-on 6255 df-lim 6256 df-suc 6257 df-iota 6376 df-fun 6420 df-fn 6421 df-f 6422 df-f1 6423 df-fo 6424 df-f1o 6425 df-fv 6426 df-isom 6427 df-riota 7212 df-ov 7258 df-oprab 7259 df-mpo 7260 df-of 7511 df-om 7688 df-1st 7804 df-2nd 7805 df-supp 7949 df-frecs 8068 df-wrecs 8099 df-recs 8173 df-rdg 8212 df-1o 8267 df-2o 8268 df-er 8456 df-map 8575 df-pm 8576 df-ixp 8644 df-en 8692 df-dom 8693 df-sdom 8694 df-fin 8695 df-fsupp 9059 df-fi 9100 df-sup 9131 df-inf 9132 df-oi 9199 df-card 9628 df-pnf 10942 df-mnf 10943 df-xr 10944 df-ltxr 10945 df-le 10946 df-sub 11137 df-neg 11138 df-div 11563 df-nn 11904 df-2 11966 df-3 11967 df-4 11968 df-5 11969 df-6 11970 df-7 11971 df-8 11972 df-9 11973 df-n0 12164 df-z 12250 df-dec 12367 df-uz 12512 df-q 12618 df-rp 12660 df-xneg 12777 df-xadd 12778 df-xmul 12779 df-ioo 13012 df-ioc 13013 df-ico 13014 df-icc 13015 df-fz 13169 df-fzo 13312 df-fl 13440 df-ceil 13441 df-mod 13518 df-seq 13650 df-exp 13711 df-fac 13916 df-bc 13945 df-hash 13973 df-shft 14706 df-cj 14738 df-re 14739 df-im 14740 df-sqrt 14874 df-abs 14875 df-limsup 15108 df-clim 15125 df-rlim 15126 df-sum 15326 df-prod 15544 df-ef 15705 df-e 15706 df-sin 15707 df-cos 15708 df-pi 15710 df-struct 16776 df-sets 16793 df-slot 16811 df-ndx 16823 df-base 16841 df-ress 16868 df-plusg 16901 df-mulr 16902 df-starv 16903 df-sca 16904 df-vsca 16905 df-ip 16906 df-tset 16907 df-ple 16908 df-ds 16910 df-unif 16911 df-hom 16912 df-cco 16913 df-rest 17050 df-topn 17051 df-0g 17069 df-gsum 17070 df-topgen 17071 df-pt 17072 df-prds 17075 df-xrs 17130 df-qtop 17135 df-imas 17136 df-xps 17138 df-mre 17212 df-mrc 17213 df-acs 17215 df-mgm 18241 df-sgrp 18290 df-mnd 18301 df-submnd 18346 df-mulg 18616 df-cntz 18838 df-cmn 19303 df-psmet 20502 df-xmet 20503 df-met 20504 df-bl 20505 df-mopn 20506 df-fbas 20507 df-fg 20508 df-cnfld 20511 df-top 21951 df-topon 21968 df-topsp 21990 df-bases 22004 df-cld 22078 df-ntr 22079 df-cls 22080 df-nei 22157 df-lp 22195 df-perf 22196 df-cn 22286 df-cnp 22287 df-haus 22374 df-cmp 22446 df-tx 22621 df-hmeo 22814 df-fil 22905 df-fm 22997 df-flim 22998 df-flf 22999 df-xms 23381 df-ms 23382 df-tms 23383 df-cncf 23947 df-limc 24935 df-dv 24936 df-log 25617 df-cxp 25618 df-logb 25820

This theorem is referenced by: aks4d1p3 40014

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