Theorem fallfacval4 16122

Description: Represent the falling factorial via factorials when the first argument is a natural. (Contributed by Scott Fenton, 20-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fallfacval4	⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ((!‘𝐴) / (!‘(𝐴 − 𝑁))))

Proof of Theorem fallfacval4

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 14029	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴) ∈ Fin)
2		elfzelz 13570	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
3	2	zcnd 12719	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴) → 𝑘 ∈ ℂ)
4	3	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴)) → 𝑘 ∈ ℂ)
5	1, 4	fprodcl 16032	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴)𝑘 ∈ ℂ)
6		fzfid 14029	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (1...(𝐴 − 𝑁)) ∈ Fin)
7		elfznn 13600	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
8	7	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))) → 𝑘 ∈ ℕ)
9	8	nncnd 12267	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))) → 𝑘 ∈ ℂ)
10	6, 9	fprodcl 16032	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))𝑘 ∈ ℂ)
11	8	nnne0d 12304	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))) → 𝑘 ≠ 0)
12	6, 9, 11	fprodn0 16059	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))𝑘 ≠ 0)
13	5, 10, 12	divcan3d 12014	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((∏𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))𝑘 · ∏𝑘 ∈ (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴)𝑘) / ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))𝑘) = ∏𝑘 ∈ (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴)𝑘)
14		fznn0sub 13603	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 − 𝑁) ∈ ℕ0)
15	14	nn0red 12584	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 − 𝑁) ∈ ℝ)
16	15	ltp1d 12163	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 − 𝑁) < ((𝐴 − 𝑁) + 1))
17		fzdisj 13598	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 − 𝑁) < ((𝐴 − 𝑁) + 1) → ((1...(𝐴 − 𝑁)) ∩ (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴)) = ∅)
18	16, 17	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((1...(𝐴 − 𝑁)) ∩ (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴)) = ∅)
19		nn0p1nn 12561	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 − 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝐴 − 𝑁) + 1) ∈ ℕ)
20	14, 19	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((𝐴 − 𝑁) + 1) ∈ ℕ)
21		nnuz 12919	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
22	20, 21	eleqtrdi 2876	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((𝐴 − 𝑁) + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
23	14	nn0zd 12634	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 − 𝑁) ∈ ℤ)
24		elfzel2 13568	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
25		elfzle1 13573	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 0 ≤ 𝑁)
26	24	zred 12718	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
27		elfzelz 13570	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
28	27	zred 12718	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝑁 ∈ ℝ)
29	26, 28	subge02d 11824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (𝐴 − 𝑁) ≤ 𝐴))
30	25, 29	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 − 𝑁) ≤ 𝐴)
31		eluz2 12886	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 − 𝑁)) ↔ ((𝐴 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝑁) ≤ 𝐴))
32	23, 24, 30, 31	syl3anbrc 1362	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 − 𝑁)))
33		fzsplit2 13596	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 − 𝑁) + 1) ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 − 𝑁))) → (1...𝐴) = ((1...(𝐴 − 𝑁)) ∪ (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴)))
34	22, 32, 33	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (1...𝐴) = ((1...(𝐴 − 𝑁)) ∪ (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴)))
35		fzfid 14029	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (1...𝐴) ∈ Fin)
36		elfznn 13600	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐴) → 𝑘 ∈ ℕ)
37	36	nncnd 12267	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐴) → 𝑘 ∈ ℂ)
38	37	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → 𝑘 ∈ ℂ)
39	18, 34, 35, 38	fprodsplit 16046	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 = (∏𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))𝑘 · ∏𝑘 ∈ (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴)𝑘))
40	39	oveq1d 7438	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 / ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))𝑘) = ((∏𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))𝑘 · ∏𝑘 ∈ (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴)𝑘) / ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))𝑘))
41	24	zcnd 12719	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
42	27	zcnd 12719	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝑁 ∈ ℂ)
43		1cnd 11220	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 1 ∈ ℂ)
44	41, 42, 43	subsubd 11615	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 − (𝑁 − 1)) = ((𝐴 − 𝑁) + 1))
45	44	oveq1d 7438	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴) = (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴))
46	45	prodeq1d 16000	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴)𝑘 = ∏𝑘 ∈ (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴)𝑘)
47	13, 40, 46	3eqtr4rd 2812	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴)𝑘 = (∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 / ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))𝑘))
48		fallfacval3 16092	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴)𝑘)
49		elfz3nn0 13668	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℕ0)
50		fprodfac 16053	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
51	49, 50	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
52		fprodfac 16053	. . . 4 ⊢ ((𝐴 − 𝑁) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐴 − 𝑁)) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))𝑘)
53	14, 52	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (!‘(𝐴 − 𝑁)) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))𝑘)
54	51, 53	oveq12d 7441	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((!‘𝐴) / (!‘(𝐴 − 𝑁))) = (∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 / ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))𝑘))
55	47, 48, 54	3eqtr4d 2811	1 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ((!‘𝐴) / (!‘(𝐴 − 𝑁))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∪ cun 3906   ∩ cin 3907  ∅c0 4289   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123   < clt 11261   ≤ cle 11262   − cmin 11459   / cdiv 11889  ℕcn 12251  ℕ₀cn0 12522  ℤcz 12609  ℤ_≥cuz 12880  ...cfz 13553  !cfa 14329  ∏cprod 15983   FallFac cfallfac 16084

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-prod 15984  df-fallfac 16087

This theorem is used by:  bcfallfac  16123  fallfacfac  16124  bcled  42986  bcle2d  42987