Theorem fallfacval4 16059

Description: Represent the falling factorial via factorials when the first argument is a natural. (Contributed by Scott Fenton, 20-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fallfacval4	⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ((!‘𝐴) / (!‘(𝐴 − 𝑁))))

Proof of Theorem fallfacval4

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13991	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴) ∈ Fin)
2		elfzelz 13541	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
3	2	zcnd 12698	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴) → 𝑘 ∈ ℂ)
4	3	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴)) → 𝑘 ∈ ℂ)
5	1, 4	fprodcl 15968	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴)𝑘 ∈ ℂ)
6		fzfid 13991	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (1...(𝐴 − 𝑁)) ∈ Fin)
7		elfznn 13570	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
8	7	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))) → 𝑘 ∈ ℕ)
9	8	nncnd 12256	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))) → 𝑘 ∈ ℂ)
10	6, 9	fprodcl 15968	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))𝑘 ∈ ℂ)
11	8	nnne0d 12290	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))) → 𝑘 ≠ 0)
12	6, 9, 11	fprodn0 15995	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))𝑘 ≠ 0)
13	5, 10, 12	divcan3d 12022	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((∏𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))𝑘 · ∏𝑘 ∈ (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴)𝑘) / ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))𝑘) = ∏𝑘 ∈ (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴)𝑘)
14		fznn0sub 13573	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 − 𝑁) ∈ ℕ0)
15	14	nn0red 12563	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 − 𝑁) ∈ ℝ)
16	15	ltp1d 12172	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 − 𝑁) < ((𝐴 − 𝑁) + 1))
17		fzdisj 13568	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 − 𝑁) < ((𝐴 − 𝑁) + 1) → ((1...(𝐴 − 𝑁)) ∩ (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴)) = ∅)
18	16, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((1...(𝐴 − 𝑁)) ∩ (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴)) = ∅)
19		nn0p1nn 12540	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 − 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝐴 − 𝑁) + 1) ∈ ℕ)
20	14, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((𝐴 − 𝑁) + 1) ∈ ℕ)
21		nnuz 12895	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
22	20, 21	eleqtrdi 2844	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((𝐴 − 𝑁) + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
23	14	nn0zd 12614	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 − 𝑁) ∈ ℤ)
24		elfzel2 13539	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
25		elfzle1 13544	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 0 ≤ 𝑁)
26	24	zred 12697	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
27		elfzelz 13541	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
28	27	zred 12697	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝑁 ∈ ℝ)
29	26, 28	subge02d 11829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (𝐴 − 𝑁) ≤ 𝐴))
30	25, 29	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 − 𝑁) ≤ 𝐴)
31		eluz2 12858	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 − 𝑁)) ↔ ((𝐴 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝑁) ≤ 𝐴))
32	23, 24, 30, 31	syl3anbrc 1344	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 − 𝑁)))
33		fzsplit2 13566	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 − 𝑁) + 1) ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 − 𝑁))) → (1...𝐴) = ((1...(𝐴 − 𝑁)) ∪ (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴)))
34	22, 32, 33	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (1...𝐴) = ((1...(𝐴 − 𝑁)) ∪ (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴)))
35		fzfid 13991	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (1...𝐴) ∈ Fin)
36		elfznn 13570	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐴) → 𝑘 ∈ ℕ)
37	36	nncnd 12256	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐴) → 𝑘 ∈ ℂ)
38	37	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → 𝑘 ∈ ℂ)
39	18, 34, 35, 38	fprodsplit 15982	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 = (∏𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))𝑘 · ∏𝑘 ∈ (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴)𝑘))
40	39	oveq1d 7420	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 / ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))𝑘) = ((∏𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))𝑘 · ∏𝑘 ∈ (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴)𝑘) / ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))𝑘))
41	24	zcnd 12698	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
42	27	zcnd 12698	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝑁 ∈ ℂ)
43		1cnd 11230	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 1 ∈ ℂ)
44	41, 42, 43	subsubd 11622	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 − (𝑁 − 1)) = ((𝐴 − 𝑁) + 1))
45	44	oveq1d 7420	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴) = (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴))
46	45	prodeq1d 15936	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴)𝑘 = ∏𝑘 ∈ (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴)𝑘)
47	13, 40, 46	3eqtr4rd 2781	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴)𝑘 = (∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 / ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))𝑘))
48		fallfacval3 16028	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴)𝑘)
49		elfz3nn0 13638	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℕ0)
50		fprodfac 15989	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
51	49, 50	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
52		fprodfac 15989	. . . 4 ⊢ ((𝐴 − 𝑁) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐴 − 𝑁)) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))𝑘)
53	14, 52	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (!‘(𝐴 − 𝑁)) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))𝑘)
54	51, 53	oveq12d 7423	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((!‘𝐴) / (!‘(𝐴 − 𝑁))) = (∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 / ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))𝑘))
55	47, 48, 54	3eqtr4d 2780	1 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ((!‘𝐴) / (!‘(𝐴 − 𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3924   ∩ cin 3925  ∅c0 4308   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   · cmul 11134   < clt 11269   ≤ cle 11270   − cmin 11466   / cdiv 11894  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  ...cfz 13524  !cfa 14291  ∏cprod 15919   FallFac cfallfac 16020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-exp 14080  df-fac 14292  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504  df-prod 15920  df-fallfac 16023

This theorem is referenced by:  bcfallfac  16060  fallfacfac  16061  bcled  42191  bcle2d  42192