MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fallfacval4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fallfacval4 14979
Description: Represent the falling factorial via factorials when the first argument is a natural. (Contributed by Scott Fenton, 20-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
fallfacval4 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ((!‘𝐴) / (!‘(𝐴𝑁))))

Proof of Theorem fallfacval4
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 12979 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴) ∈ Fin)
2 elfzelz 12548 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
32zcnd 11684 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴) → 𝑘 ∈ ℂ)
43adantl 467 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)) → 𝑘 ∈ ℂ)
51, 4fprodcl 14888 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)𝑘 ∈ ℂ)
6 fzfid 12979 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (1...(𝐴𝑁)) ∈ Fin)
7 elfznn 12576 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
87adantl 467 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))) → 𝑘 ∈ ℕ)
98nncnd 11237 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))) → 𝑘 ∈ ℂ)
106, 9fprodcl 14888 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘 ∈ ℂ)
118nnne0d 11266 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))) → 𝑘 ≠ 0)
126, 9, 11fprodn0 14915 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘 ≠ 0)
135, 10, 12divcan3d 11007 . . 3 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘 · ∏𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)𝑘) / ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘) = ∏𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)𝑘)
14 fznn0sub 12579 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴𝑁) ∈ ℕ0)
1514nn0red 11553 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴𝑁) ∈ ℝ)
1615ltp1d 11155 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴𝑁) < ((𝐴𝑁) + 1))
17 fzdisj 12574 . . . . . 6 ((𝐴𝑁) < ((𝐴𝑁) + 1) → ((1...(𝐴𝑁)) ∩ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)) = ∅)
1816, 17syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((1...(𝐴𝑁)) ∩ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)) = ∅)
19 nn0p1nn 11533 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝐴𝑁) + 1) ∈ ℕ)
2014, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((𝐴𝑁) + 1) ∈ ℕ)
21 nnuz 11924 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
2220, 21syl6eleq 2860 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((𝐴𝑁) + 1) ∈ (ℤ‘1))
2314nn0zd 11681 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴𝑁) ∈ ℤ)
24 elfzel2 12546 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
25 elfzle1 12550 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 0 ≤ 𝑁)
2624zred 11683 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
27 elfzelz 12548 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
2827zred 11683 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝑁 ∈ ℝ)
2926, 28subge02d 10820 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (𝐴𝑁) ≤ 𝐴))
3025, 29mpbid 222 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴𝑁) ≤ 𝐴)
31 eluz2 11893 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘(𝐴𝑁)) ↔ ((𝐴𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴𝑁) ≤ 𝐴))
3223, 24, 30, 31syl3anbrc 1428 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ (ℤ‘(𝐴𝑁)))
33 fzsplit2 12572 . . . . . 6 ((((𝐴𝑁) + 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘(𝐴𝑁))) → (1...𝐴) = ((1...(𝐴𝑁)) ∪ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)))
3422, 32, 33syl2anc 565 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (1...𝐴) = ((1...(𝐴𝑁)) ∪ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)))
35 fzfid 12979 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (1...𝐴) ∈ Fin)
36 elfznn 12576 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...𝐴) → 𝑘 ∈ ℕ)
3736nncnd 11237 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1...𝐴) → 𝑘 ∈ ℂ)
3837adantl 467 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → 𝑘 ∈ ℂ)
3918, 34, 35, 38fprodsplit 14902 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 = (∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘 · ∏𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)𝑘))
4039oveq1d 6807 . . 3 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 / ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘) = ((∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘 · ∏𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)𝑘) / ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘))
4124zcnd 11684 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
4227zcnd 11684 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝑁 ∈ ℂ)
43 1cnd 10257 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 1 ∈ ℂ)
4441, 42, 43subsubd 10621 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 − (𝑁 − 1)) = ((𝐴𝑁) + 1))
4544oveq1d 6807 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴) = (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴))
4645prodeq1d 14857 . . 3 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴)𝑘 = ∏𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)𝑘)
4713, 40, 463eqtr4rd 2816 . 2 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴)𝑘 = (∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 / ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘))
48 fallfacval3 14948 . 2 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴)𝑘)
49 elfz3nn0 12640 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℕ0)
50 fprodfac 14909 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
5149, 50syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
52 fprodfac 14909 . . . 4 ((𝐴𝑁) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐴𝑁)) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘)
5314, 52syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (!‘(𝐴𝑁)) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘)
5451, 53oveq12d 6810 . 2 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((!‘𝐴) / (!‘(𝐴𝑁))) = (∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 / ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘))
5547, 48, 543eqtr4d 2815 1 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ((!‘𝐴) / (!‘(𝐴𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  cun 3721  cin 3722  c0 4063   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6792  cc 10135  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140   · cmul 10142   < clt 10275  cle 10276  cmin 10467   / cdiv 10885  cn 11221  0cn0 11493  cz 11578  cuz 11887  ...cfz 12532  !cfa 13263  cprod 14841   FallFac cfallfac 14940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-oi 8570  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-exp 13067  df-fac 13264  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-prod 14842  df-fallfac 14943
This theorem is referenced by:  bcfallfac  14980  fallfacfac  14981
  Copyright terms: Public domain W3C validator