Theorem fallfacval4 16056

Description: Represent the falling factorial via factorials when the first argument is a natural. (Contributed by Scott Fenton, 20-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fallfacval4	⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ((!‘𝐴) / (!‘(𝐴 − 𝑁))))

Proof of Theorem fallfacval4

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13983	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴) ∈ Fin)
2		elfzelz 13526	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
3	2	zcnd 12675	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴) → 𝑘 ∈ ℂ)
4	3	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴)) → 𝑘 ∈ ℂ)
5	1, 4	fprodcl 15965	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴)𝑘 ∈ ℂ)
6		fzfid 13983	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (1...(𝐴 − 𝑁)) ∈ Fin)
7		elfznn 13555	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
8	7	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))) → 𝑘 ∈ ℕ)
9	8	nncnd 12223	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))) → 𝑘 ∈ ℂ)
10	6, 9	fprodcl 15965	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))𝑘 ∈ ℂ)
11	8	nnne0d 12260	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))) → 𝑘 ≠ 0)
12	6, 9, 11	fprodn0 15992	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))𝑘 ≠ 0)
13	5, 10, 12	divcan3d 11969	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((∏𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))𝑘 · ∏𝑘 ∈ (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴)𝑘) / ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))𝑘) = ∏𝑘 ∈ (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴)𝑘)
14		fznn0sub 13558	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 − 𝑁) ∈ ℕ0)
15	14	nn0red 12540	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 − 𝑁) ∈ ℝ)
16	15	ltp1d 12119	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 − 𝑁) < ((𝐴 − 𝑁) + 1))
17		fzdisj 13553	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 − 𝑁) < ((𝐴 − 𝑁) + 1) → ((1...(𝐴 − 𝑁)) ∩ (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴)) = ∅)
18	16, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((1...(𝐴 − 𝑁)) ∩ (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴)) = ∅)
19		nn0p1nn 12517	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 − 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝐴 − 𝑁) + 1) ∈ ℕ)
20	14, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((𝐴 − 𝑁) + 1) ∈ ℕ)
21		nnuz 12875	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
22	20, 21	eleqtrdi 2871	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((𝐴 − 𝑁) + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
23	14	nn0zd 12590	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 − 𝑁) ∈ ℤ)
24		elfzel2 13524	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
25		elfzle1 13529	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 0 ≤ 𝑁)
26	24	zred 12674	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
27		elfzelz 13526	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
28	27	zred 12674	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝑁 ∈ ℝ)
29	26, 28	subge02d 11776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (𝐴 − 𝑁) ≤ 𝐴))
30	25, 29	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 − 𝑁) ≤ 𝐴)
31		eluz2 12842	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 − 𝑁)) ↔ ((𝐴 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝑁) ≤ 𝐴))
32	23, 24, 30, 31	syl3anbrc 1356	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 − 𝑁)))
33		fzsplit2 13551	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 − 𝑁) + 1) ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘(𝐴 − 𝑁))) → (1...𝐴) = ((1...(𝐴 − 𝑁)) ∪ (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴)))
34	22, 32, 33	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (1...𝐴) = ((1...(𝐴 − 𝑁)) ∪ (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴)))
35		fzfid 13983	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (1...𝐴) ∈ Fin)
36		elfznn 13555	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐴) → 𝑘 ∈ ℕ)
37	36	nncnd 12223	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝐴) → 𝑘 ∈ ℂ)
38	37	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → 𝑘 ∈ ℂ)
39	18, 34, 35, 38	fprodsplit 15979	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 = (∏𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))𝑘 · ∏𝑘 ∈ (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴)𝑘))
40	39	oveq1d 7407	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 / ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))𝑘) = ((∏𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))𝑘 · ∏𝑘 ∈ (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴)𝑘) / ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))𝑘))
41	24	zcnd 12675	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
42	27	zcnd 12675	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝑁 ∈ ℂ)
43		1cnd 11172	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 1 ∈ ℂ)
44	41, 42, 43	subsubd 11567	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 − (𝑁 − 1)) = ((𝐴 − 𝑁) + 1))
45	44	oveq1d 7407	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴) = (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴))
46	45	prodeq1d 15933	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴)𝑘 = ∏𝑘 ∈ (((𝐴 − 𝑁) + 1)...𝐴)𝑘)
47	13, 40, 46	3eqtr4rd 2807	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴)𝑘 = (∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 / ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))𝑘))
48		fallfacval3 16025	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴)𝑘)
49		elfz3nn0 13623	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℕ0)
50		fprodfac 15986	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
51	49, 50	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
52		fprodfac 15986	. . . 4 ⊢ ((𝐴 − 𝑁) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐴 − 𝑁)) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))𝑘)
53	14, 52	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (!‘(𝐴 − 𝑁)) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))𝑘)
54	51, 53	oveq12d 7410	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((!‘𝐴) / (!‘(𝐴 − 𝑁))) = (∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 / ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴 − 𝑁))𝑘))
55	47, 48, 54	3eqtr4d 2806	1 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ((!‘𝐴) / (!‘(𝐴 − 𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ∪ cun 3902   ∩ cin 3903  ∅c0 4285   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073   · cmul 11075   < clt 11213   ≤ cle 11214   − cmin 11411   / cdiv 11841  ℕcn 12207  ℕ₀cn0 12478  ℤcz 12565  ℤ_≥cuz 12836  ...cfz 13509  !cfa 14283  ∏cprod 15916   FallFac cfallfac 16017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-sup 9385  df-oi 9455  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-seq 14012  df-exp 14072  df-fac 14284  df-hash 14341  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-clim 15498  df-prod 15917  df-fallfac 16020

This theorem is referenced by:  bcfallfac  16057  fallfacfac  16058  bcled  42759  bcle2d  42760