MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fallfacval4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fallfacval4 15392
Description: Represent the falling factorial via factorials when the first argument is a natural. (Contributed by Scott Fenton, 20-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
fallfacval4 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ((!‘𝐴) / (!‘(𝐴𝑁))))

Proof of Theorem fallfacval4
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13336 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴) ∈ Fin)
2 elfzelz 12903 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
32zcnd 12082 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴) → 𝑘 ∈ ℂ)
43adantl 482 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)) → 𝑘 ∈ ℂ)
51, 4fprodcl 15301 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)𝑘 ∈ ℂ)
6 fzfid 13336 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (1...(𝐴𝑁)) ∈ Fin)
7 elfznn 12931 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
87adantl 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))) → 𝑘 ∈ ℕ)
98nncnd 11648 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))) → 𝑘 ∈ ℂ)
106, 9fprodcl 15301 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘 ∈ ℂ)
118nnne0d 11681 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))) → 𝑘 ≠ 0)
126, 9, 11fprodn0 15328 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘 ≠ 0)
135, 10, 12divcan3d 11415 . . 3 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘 · ∏𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)𝑘) / ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘) = ∏𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)𝑘)
14 fznn0sub 12934 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴𝑁) ∈ ℕ0)
1514nn0red 11950 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴𝑁) ∈ ℝ)
1615ltp1d 11564 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴𝑁) < ((𝐴𝑁) + 1))
17 fzdisj 12929 . . . . . 6 ((𝐴𝑁) < ((𝐴𝑁) + 1) → ((1...(𝐴𝑁)) ∩ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)) = ∅)
1816, 17syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((1...(𝐴𝑁)) ∩ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)) = ∅)
19 nn0p1nn 11930 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝐴𝑁) + 1) ∈ ℕ)
2014, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((𝐴𝑁) + 1) ∈ ℕ)
21 nnuz 12275 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
2220, 21syl6eleq 2928 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((𝐴𝑁) + 1) ∈ (ℤ‘1))
2314nn0zd 12079 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴𝑁) ∈ ℤ)
24 elfzel2 12901 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
25 elfzle1 12905 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 0 ≤ 𝑁)
2624zred 12081 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
27 elfzelz 12903 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
2827zred 12081 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝑁 ∈ ℝ)
2926, 28subge02d 11226 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (𝐴𝑁) ≤ 𝐴))
3025, 29mpbid 233 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴𝑁) ≤ 𝐴)
31 eluz2 12243 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘(𝐴𝑁)) ↔ ((𝐴𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴𝑁) ≤ 𝐴))
3223, 24, 30, 31syl3anbrc 1337 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ (ℤ‘(𝐴𝑁)))
33 fzsplit2 12927 . . . . . 6 ((((𝐴𝑁) + 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘(𝐴𝑁))) → (1...𝐴) = ((1...(𝐴𝑁)) ∪ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)))
3422, 32, 33syl2anc 584 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (1...𝐴) = ((1...(𝐴𝑁)) ∪ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)))
35 fzfid 13336 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (1...𝐴) ∈ Fin)
36 elfznn 12931 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...𝐴) → 𝑘 ∈ ℕ)
3736nncnd 11648 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1...𝐴) → 𝑘 ∈ ℂ)
3837adantl 482 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → 𝑘 ∈ ℂ)
3918, 34, 35, 38fprodsplit 15315 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 = (∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘 · ∏𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)𝑘))
4039oveq1d 7165 . . 3 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 / ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘) = ((∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘 · ∏𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)𝑘) / ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘))
4124zcnd 12082 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
4227zcnd 12082 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝑁 ∈ ℂ)
43 1cnd 10630 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 1 ∈ ℂ)
4441, 42, 43subsubd 11019 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 − (𝑁 − 1)) = ((𝐴𝑁) + 1))
4544oveq1d 7165 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴) = (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴))
4645prodeq1d 15270 . . 3 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴)𝑘 = ∏𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)𝑘)
4713, 40, 463eqtr4rd 2872 . 2 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴)𝑘 = (∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 / ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘))
48 fallfacval3 15361 . 2 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴)𝑘)
49 elfz3nn0 12996 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℕ0)
50 fprodfac 15322 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
5149, 50syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
52 fprodfac 15322 . . . 4 ((𝐴𝑁) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐴𝑁)) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘)
5314, 52syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (!‘(𝐴𝑁)) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘)
5451, 53oveq12d 7168 . 2 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((!‘𝐴) / (!‘(𝐴𝑁))) = (∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 / ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘))
5547, 48, 543eqtr4d 2871 1 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ((!‘𝐴) / (!‘(𝐴𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  cun 3938  cin 3939  c0 4295   class class class wbr 5063  cfv 6354  (class class class)co 7150  cc 10529  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536   < clt 10669  cle 10670  cmin 10864   / cdiv 11291  cn 11632  0cn0 11891  cz 11975  cuz 12237  ...cfz 12887  !cfa 13628  cprod 15254   FallFac cfallfac 15353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12385  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13425  df-fac 13629  df-hash 13686  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-prod 15255  df-fallfac 15356
This theorem is referenced by:  bcfallfac  15393  fallfacfac  15394
  Copyright terms: Public domain W3C validator