MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fallfacval4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fallfacval4 15983
Description: Represent the falling factorial via factorials when the first argument is a natural. (Contributed by Scott Fenton, 20-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
fallfacval4 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (๐ด FallFac ๐‘) = ((!โ€˜๐ด) / (!โ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘))))

Proof of Theorem fallfacval4
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13934 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด) โˆˆ Fin)
2 elfzelz 13497 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
32zcnd 12663 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
43adantl 482 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
51, 4fprodcl 15892 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด)๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
6 fzfid 13934 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘)) โˆˆ Fin)
7 elfznn 13526 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
87adantl 482 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
98nncnd 12224 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
106, 9fprodcl 15892 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
118nnne0d 12258 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))) โ†’ ๐‘˜ โ‰  0)
126, 9, 11fprodn0 15919 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))๐‘˜ โ‰  0)
135, 10, 12divcan3d 11991 . . 3 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ((โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))๐‘˜ ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด)๐‘˜) / โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))๐‘˜) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด)๐‘˜)
14 fznn0sub 13529 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„•0)
1514nn0red 12529 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„)
1615ltp1d 12140 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘) < ((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1))
17 fzdisj 13524 . . . . . 6 ((๐ด โˆ’ ๐‘) < ((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1) โ†’ ((1...(๐ด โˆ’ ๐‘)) โˆฉ (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด)) = โˆ…)
1816, 17syl 17 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ((1...(๐ด โˆ’ ๐‘)) โˆฉ (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด)) = โˆ…)
19 nn0p1nn 12507 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1) โˆˆ โ„•)
2014, 19syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1) โˆˆ โ„•)
21 nnuz 12861 . . . . . . 7 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
2220, 21eleqtrdi 2843 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
2314nn0zd 12580 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„ค)
24 elfzel2 13495 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
25 elfzle1 13500 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
2624zred 12662 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
27 elfzelz 13497 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2827zred 12662 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
2926, 28subge02d 11802 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (0 โ‰ค ๐‘ โ†” (๐ด โˆ’ ๐‘) โ‰ค ๐ด))
3025, 29mpbid 231 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘) โ‰ค ๐ด)
31 eluz2 12824 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘)) โ†” ((๐ด โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘) โ‰ค ๐ด))
3223, 24, 30, 31syl3anbrc 1343 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘)))
33 fzsplit2 13522 . . . . . 6 ((((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘))) โ†’ (1...๐ด) = ((1...(๐ด โˆ’ ๐‘)) โˆช (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด)))
3422, 32, 33syl2anc 584 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (1...๐ด) = ((1...(๐ด โˆ’ ๐‘)) โˆช (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด)))
35 fzfid 13934 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (1...๐ด) โˆˆ Fin)
36 elfznn 13526 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐ด) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
3736nncnd 12224 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐ด) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
3837adantl 482 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
3918, 34, 35, 38fprodsplit 15906 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ด)๐‘˜ = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))๐‘˜ ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด)๐‘˜))
4039oveq1d 7420 . . 3 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ด)๐‘˜ / โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))๐‘˜) = ((โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))๐‘˜ ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด)๐‘˜) / โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))๐‘˜))
4124zcnd 12663 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4227zcnd 12663 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
43 1cnd 11205 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
4441, 42, 43subsubd 11595 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) = ((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1))
4544oveq1d 7420 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1))...๐ด) = (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด))
4645prodeq1d 15861 . . 3 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1))...๐ด)๐‘˜ = โˆ๐‘˜ โˆˆ (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด)๐‘˜)
4713, 40, 463eqtr4rd 2783 . 2 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1))...๐ด)๐‘˜ = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ด)๐‘˜ / โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))๐‘˜))
48 fallfacval3 15952 . 2 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (๐ด FallFac ๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1))...๐ด)๐‘˜)
49 elfz3nn0 13591 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
50 fprodfac 15913 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ด)๐‘˜)
5149, 50syl 17 . . 3 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (!โ€˜๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ด)๐‘˜)
52 fprodfac 15913 . . . 4 ((๐ด โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘)) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))๐‘˜)
5314, 52syl 17 . . 3 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (!โ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘)) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))๐‘˜)
5451, 53oveq12d 7423 . 2 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ((!โ€˜๐ด) / (!โ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘))) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ด)๐‘˜ / โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))๐‘˜))
5547, 48, 543eqtr4d 2782 1 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (๐ด FallFac ๐‘) = ((!โ€˜๐ด) / (!โ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โˆช cun 3945   โˆฉ cin 3946  โˆ…c0 4321   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111   < clt 11244   โ‰ค cle 11245   โˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  โ„•cn 12208  โ„•0cn0 12468  โ„คcz 12554  โ„คโ‰ฅcuz 12818  ...cfz 13480  !cfa 14229  โˆcprod 15845   FallFac cfallfac 15944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-prod 15846  df-fallfac 15947
This theorem is referenced by:  bcfallfac  15984  fallfacfac  15985
  Copyright terms: Public domain W3C validator