MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fallfacval4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fallfacval4 15991
Description: Represent the falling factorial via factorials when the first argument is a natural. (Contributed by Scott Fenton, 20-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
fallfacval4 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (๐ด FallFac ๐‘) = ((!โ€˜๐ด) / (!โ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘))))

Proof of Theorem fallfacval4
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13942 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด) โˆˆ Fin)
2 elfzelz 13505 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
32zcnd 12671 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
43adantl 480 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
51, 4fprodcl 15900 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด)๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
6 fzfid 13942 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘)) โˆˆ Fin)
7 elfznn 13534 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
87adantl 480 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
98nncnd 12232 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
106, 9fprodcl 15900 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
118nnne0d 12266 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))) โ†’ ๐‘˜ โ‰  0)
126, 9, 11fprodn0 15927 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))๐‘˜ โ‰  0)
135, 10, 12divcan3d 11999 . . 3 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ((โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))๐‘˜ ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด)๐‘˜) / โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))๐‘˜) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด)๐‘˜)
14 fznn0sub 13537 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„•0)
1514nn0red 12537 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„)
1615ltp1d 12148 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘) < ((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1))
17 fzdisj 13532 . . . . . 6 ((๐ด โˆ’ ๐‘) < ((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1) โ†’ ((1...(๐ด โˆ’ ๐‘)) โˆฉ (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด)) = โˆ…)
1816, 17syl 17 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ((1...(๐ด โˆ’ ๐‘)) โˆฉ (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด)) = โˆ…)
19 nn0p1nn 12515 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1) โˆˆ โ„•)
2014, 19syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1) โˆˆ โ„•)
21 nnuz 12869 . . . . . . 7 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
2220, 21eleqtrdi 2841 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
2314nn0zd 12588 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„ค)
24 elfzel2 13503 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
25 elfzle1 13508 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
2624zred 12670 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
27 elfzelz 13505 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2827zred 12670 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
2926, 28subge02d 11810 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (0 โ‰ค ๐‘ โ†” (๐ด โˆ’ ๐‘) โ‰ค ๐ด))
3025, 29mpbid 231 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘) โ‰ค ๐ด)
31 eluz2 12832 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘)) โ†” ((๐ด โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘) โ‰ค ๐ด))
3223, 24, 30, 31syl3anbrc 1341 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘)))
33 fzsplit2 13530 . . . . . 6 ((((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘))) โ†’ (1...๐ด) = ((1...(๐ด โˆ’ ๐‘)) โˆช (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด)))
3422, 32, 33syl2anc 582 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (1...๐ด) = ((1...(๐ด โˆ’ ๐‘)) โˆช (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด)))
35 fzfid 13942 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (1...๐ด) โˆˆ Fin)
36 elfznn 13534 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐ด) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
3736nncnd 12232 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐ด) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
3837adantl 480 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
3918, 34, 35, 38fprodsplit 15914 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ด)๐‘˜ = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))๐‘˜ ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด)๐‘˜))
4039oveq1d 7426 . . 3 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ด)๐‘˜ / โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))๐‘˜) = ((โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))๐‘˜ ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด)๐‘˜) / โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))๐‘˜))
4124zcnd 12671 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4227zcnd 12671 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
43 1cnd 11213 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
4441, 42, 43subsubd 11603 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) = ((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1))
4544oveq1d 7426 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1))...๐ด) = (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด))
4645prodeq1d 15869 . . 3 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1))...๐ด)๐‘˜ = โˆ๐‘˜ โˆˆ (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด)๐‘˜)
4713, 40, 463eqtr4rd 2781 . 2 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1))...๐ด)๐‘˜ = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ด)๐‘˜ / โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))๐‘˜))
48 fallfacval3 15960 . 2 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (๐ด FallFac ๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1))...๐ด)๐‘˜)
49 elfz3nn0 13599 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
50 fprodfac 15921 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ด)๐‘˜)
5149, 50syl 17 . . 3 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (!โ€˜๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ด)๐‘˜)
52 fprodfac 15921 . . . 4 ((๐ด โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘)) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))๐‘˜)
5314, 52syl 17 . . 3 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (!โ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘)) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))๐‘˜)
5451, 53oveq12d 7429 . 2 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ((!โ€˜๐ด) / (!โ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘))) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ด)๐‘˜ / โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))๐‘˜))
5547, 48, 543eqtr4d 2780 1 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (๐ด FallFac ๐‘) = ((!โ€˜๐ด) / (!โ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โˆช cun 3945   โˆฉ cin 3946  โˆ…c0 4321   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  ...cfz 13488  !cfa 14237  โˆcprod 15853   FallFac cfallfac 15952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-prod 15854  df-fallfac 15955
This theorem is referenced by:  bcfallfac  15992  fallfacfac  15993
  Copyright terms: Public domain W3C validator