MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fallfacval4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fallfacval4 15983
Description: Represent the falling factorial via factorials when the first argument is a natural. (Contributed by Scott Fenton, 20-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
fallfacval4 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ((!‘𝐴) / (!‘(𝐴𝑁))))

Proof of Theorem fallfacval4
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13934 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴) ∈ Fin)
2 elfzelz 13497 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
32zcnd 12663 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴) → 𝑘 ∈ ℂ)
43adantl 482 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)) → 𝑘 ∈ ℂ)
51, 4fprodcl 15892 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)𝑘 ∈ ℂ)
6 fzfid 13934 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (1...(𝐴𝑁)) ∈ Fin)
7 elfznn 13526 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
87adantl 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))) → 𝑘 ∈ ℕ)
98nncnd 12224 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))) → 𝑘 ∈ ℂ)
106, 9fprodcl 15892 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘 ∈ ℂ)
118nnne0d 12258 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))) → 𝑘 ≠ 0)
126, 9, 11fprodn0 15919 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘 ≠ 0)
135, 10, 12divcan3d 11991 . . 3 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘 · ∏𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)𝑘) / ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘) = ∏𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)𝑘)
14 fznn0sub 13529 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴𝑁) ∈ ℕ0)
1514nn0red 12529 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴𝑁) ∈ ℝ)
1615ltp1d 12140 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴𝑁) < ((𝐴𝑁) + 1))
17 fzdisj 13524 . . . . . 6 ((𝐴𝑁) < ((𝐴𝑁) + 1) → ((1...(𝐴𝑁)) ∩ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)) = ∅)
1816, 17syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((1...(𝐴𝑁)) ∩ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)) = ∅)
19 nn0p1nn 12507 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝐴𝑁) + 1) ∈ ℕ)
2014, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((𝐴𝑁) + 1) ∈ ℕ)
21 nnuz 12861 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
2220, 21eleqtrdi 2843 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((𝐴𝑁) + 1) ∈ (ℤ‘1))
2314nn0zd 12580 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴𝑁) ∈ ℤ)
24 elfzel2 13495 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
25 elfzle1 13500 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 0 ≤ 𝑁)
2624zred 12662 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
27 elfzelz 13497 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
2827zred 12662 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝑁 ∈ ℝ)
2926, 28subge02d 11802 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (𝐴𝑁) ≤ 𝐴))
3025, 29mpbid 231 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴𝑁) ≤ 𝐴)
31 eluz2 12824 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘(𝐴𝑁)) ↔ ((𝐴𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴𝑁) ≤ 𝐴))
3223, 24, 30, 31syl3anbrc 1343 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ (ℤ‘(𝐴𝑁)))
33 fzsplit2 13522 . . . . . 6 ((((𝐴𝑁) + 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘(𝐴𝑁))) → (1...𝐴) = ((1...(𝐴𝑁)) ∪ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)))
3422, 32, 33syl2anc 584 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (1...𝐴) = ((1...(𝐴𝑁)) ∪ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)))
35 fzfid 13934 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (1...𝐴) ∈ Fin)
36 elfznn 13526 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...𝐴) → 𝑘 ∈ ℕ)
3736nncnd 12224 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1...𝐴) → 𝑘 ∈ ℂ)
3837adantl 482 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → 𝑘 ∈ ℂ)
3918, 34, 35, 38fprodsplit 15906 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 = (∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘 · ∏𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)𝑘))
4039oveq1d 7420 . . 3 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 / ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘) = ((∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘 · ∏𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)𝑘) / ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘))
4124zcnd 12663 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
4227zcnd 12663 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝑁 ∈ ℂ)
43 1cnd 11205 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 1 ∈ ℂ)
4441, 42, 43subsubd 11595 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 − (𝑁 − 1)) = ((𝐴𝑁) + 1))
4544oveq1d 7420 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴) = (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴))
4645prodeq1d 15861 . . 3 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴)𝑘 = ∏𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)𝑘)
4713, 40, 463eqtr4rd 2783 . 2 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴)𝑘 = (∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 / ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘))
48 fallfacval3 15952 . 2 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴)𝑘)
49 elfz3nn0 13591 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℕ0)
50 fprodfac 15913 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
5149, 50syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
52 fprodfac 15913 . . . 4 ((𝐴𝑁) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐴𝑁)) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘)
5314, 52syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (!‘(𝐴𝑁)) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘)
5451, 53oveq12d 7423 . 2 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((!‘𝐴) / (!‘(𝐴𝑁))) = (∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 / ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘))
5547, 48, 543eqtr4d 2782 1 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ((!‘𝐴) / (!‘(𝐴𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cun 3945  cin 3946  c0 4321   class class class wbr 5147  cfv 6540  (class class class)co 7405  cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   < clt 11244  cle 11245  cmin 11440   / cdiv 11867  cn 12208  0cn0 12468  cz 12554  cuz 12818  ...cfz 13480  !cfa 14229  cprod 15845   FallFac cfallfac 15944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-prod 15846  df-fallfac 15947
This theorem is referenced by:  bcfallfac  15984  fallfacfac  15985
  Copyright terms: Public domain W3C validator