MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fallfacval4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fallfacval4 15931
Description: Represent the falling factorial via factorials when the first argument is a natural. (Contributed by Scott Fenton, 20-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
fallfacval4 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (๐ด FallFac ๐‘) = ((!โ€˜๐ด) / (!โ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘))))

Proof of Theorem fallfacval4
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13884 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด) โˆˆ Fin)
2 elfzelz 13447 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
32zcnd 12613 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
43adantl 483 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
51, 4fprodcl 15840 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด)๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
6 fzfid 13884 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘)) โˆˆ Fin)
7 elfznn 13476 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
87adantl 483 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
98nncnd 12174 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
106, 9fprodcl 15840 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
118nnne0d 12208 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))) โ†’ ๐‘˜ โ‰  0)
126, 9, 11fprodn0 15867 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))๐‘˜ โ‰  0)
135, 10, 12divcan3d 11941 . . 3 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ((โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))๐‘˜ ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด)๐‘˜) / โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))๐‘˜) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด)๐‘˜)
14 fznn0sub 13479 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„•0)
1514nn0red 12479 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„)
1615ltp1d 12090 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘) < ((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1))
17 fzdisj 13474 . . . . . 6 ((๐ด โˆ’ ๐‘) < ((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1) โ†’ ((1...(๐ด โˆ’ ๐‘)) โˆฉ (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด)) = โˆ…)
1816, 17syl 17 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ((1...(๐ด โˆ’ ๐‘)) โˆฉ (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด)) = โˆ…)
19 nn0p1nn 12457 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1) โˆˆ โ„•)
2014, 19syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1) โˆˆ โ„•)
21 nnuz 12811 . . . . . . 7 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
2220, 21eleqtrdi 2844 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
2314nn0zd 12530 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„ค)
24 elfzel2 13445 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
25 elfzle1 13450 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘)
2624zred 12612 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
27 elfzelz 13447 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2827zred 12612 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
2926, 28subge02d 11752 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (0 โ‰ค ๐‘ โ†” (๐ด โˆ’ ๐‘) โ‰ค ๐ด))
3025, 29mpbid 231 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐‘) โ‰ค ๐ด)
31 eluz2 12774 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘)) โ†” ((๐ด โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด โˆ’ ๐‘) โ‰ค ๐ด))
3223, 24, 30, 31syl3anbrc 1344 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘)))
33 fzsplit2 13472 . . . . . 6 ((((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง ๐ด โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘))) โ†’ (1...๐ด) = ((1...(๐ด โˆ’ ๐‘)) โˆช (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด)))
3422, 32, 33syl2anc 585 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (1...๐ด) = ((1...(๐ด โˆ’ ๐‘)) โˆช (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด)))
35 fzfid 13884 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (1...๐ด) โˆˆ Fin)
36 elfznn 13476 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐ด) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
3736nncnd 12174 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐ด) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
3837adantl 483 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ด)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
3918, 34, 35, 38fprodsplit 15854 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ด)๐‘˜ = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))๐‘˜ ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด)๐‘˜))
4039oveq1d 7373 . . 3 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ด)๐‘˜ / โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))๐‘˜) = ((โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))๐‘˜ ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด)๐‘˜) / โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))๐‘˜))
4124zcnd 12613 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4227zcnd 12613 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
43 1cnd 11155 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
4441, 42, 43subsubd 11545 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1)) = ((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1))
4544oveq1d 7373 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1))...๐ด) = (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด))
4645prodeq1d 15809 . . 3 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1))...๐ด)๐‘˜ = โˆ๐‘˜ โˆˆ (((๐ด โˆ’ ๐‘) + 1)...๐ด)๐‘˜)
4713, 40, 463eqtr4rd 2784 . 2 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1))...๐ด)๐‘˜ = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ด)๐‘˜ / โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))๐‘˜))
48 fallfacval3 15900 . 2 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (๐ด FallFac ๐‘) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ((๐ด โˆ’ (๐‘ โˆ’ 1))...๐ด)๐‘˜)
49 elfz3nn0 13541 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
50 fprodfac 15861 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ด)๐‘˜)
5149, 50syl 17 . . 3 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (!โ€˜๐ด) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ด)๐‘˜)
52 fprodfac 15861 . . . 4 ((๐ด โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘)) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))๐‘˜)
5314, 52syl 17 . . 3 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (!โ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘)) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))๐‘˜)
5451, 53oveq12d 7376 . 2 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ ((!โ€˜๐ด) / (!โ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘))) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...๐ด)๐‘˜ / โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(๐ด โˆ’ ๐‘))๐‘˜))
5547, 48, 543eqtr4d 2783 1 (๐‘ โˆˆ (0...๐ด) โ†’ (๐ด FallFac ๐‘) = ((!โ€˜๐ด) / (!โ€˜(๐ด โˆ’ ๐‘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โˆช cun 3909   โˆฉ cin 3910  โˆ…c0 4283   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   โˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504  โ„คโ‰ฅcuz 12768  ...cfz 13430  !cfa 14179  โˆcprod 15793   FallFac cfallfac 15892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-prod 15794  df-fallfac 15895
This theorem is referenced by:  bcfallfac  15932  fallfacfac  15933
  Copyright terms: Public domain W3C validator