Theorem fprodp1 16049

Description: Multiply in the last term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 24-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodp1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
fprodp1.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
fprodp1.3	⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fprodp1	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fprodp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodp1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		peano2uz 12943	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		fprodp1.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		fprodp1.3	. . 3 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐵)
6	3, 4, 5	fprodm1 16047	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...((𝑁 + 1) − 1))𝐴 · 𝐵))
7		eluzelz 12890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
8	1, 7	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
9	8	zcnd 12719	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
10		1cnd 11220	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
11	9, 10	pncand 11588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
12	11	oveq2d 7439	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀...((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑀...𝑁))
13	12	prodeq1d 16000	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...((𝑁 + 1) − 1))𝐴 = ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴)
14	13	oveq1d 7438	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (𝑀...((𝑁 + 1) − 1))𝐴 · 𝐵) = (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · 𝐵))
15	6, 14	eqtrd 2801	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123   − cmin 11459  ℤcz 12609  ℤ_≥cuz 12880  ...cfz 13553  ∏cprod 15983

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-prod 15984

This theorem is used by:  fprodp1s  16051  fprodefsum  16174  fmtnorec2lem  48335