MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qtopeu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qtopeu 23083
Description: Universal property of the quotient topology. If 𝐺 is a function from 𝐽 to 𝐾 which is equal on all equivalent elements under 𝐹, then there is a unique continuous map 𝑓:(𝐽 / 𝐹)⟢𝐾 such that 𝐺 = 𝑓 ∘ 𝐹, and we say that 𝐺 "passes to the quotient". (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qtopeu.1 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
qtopeu.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ)
qtopeu.4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
qtopeu.5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘¦))
Assertion
Ref Expression
qtopeu (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑓 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾)𝐺 = (𝑓 ∘ 𝐹))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑓,𝑦,𝐹   𝑓,𝐽,π‘₯   𝑓,𝐾,π‘₯   π‘₯,𝑋,𝑦   𝑓,𝐺,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑓,π‘₯,𝑦   𝑓,π‘Œ,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐽(𝑦)   𝐾(𝑦)   𝑋(𝑓)   π‘Œ(𝑦)

Proof of Theorem qtopeu
Dummy variables 𝑔 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtopeu.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ)
2 fofn 6759 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
31, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
43adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
5 fniniseg 7011 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 Fn 𝑋 β†’ (𝑦 ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)}) ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘₯))))
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)}) ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘₯))))
7 eqcom 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦) ↔ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘₯))
873anbi3i 1160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘₯)))
9 3anass 1096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘₯))))
108, 9bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘₯))))
11 qtopeu.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘¦))
1210, 11sylan2br 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘₯)))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘¦))
1312eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘₯)))) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘₯))
1413expr 458 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘₯)))
156, 14sylbid 239 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)}) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘₯)))
1615ralrimiv 3139 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)})(πΊβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘₯))
17 qtopeu.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
18 qtopeu.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
19 cntop2 22608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ Top)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
21 toptopon2 22283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
2220, 21sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
23 cnf2 22616 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾) ∧ 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆβˆͺ 𝐾)
2417, 22, 18, 23syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆβˆͺ 𝐾)
2524ffnd 6670 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝑋)
2625adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐺 Fn 𝑋)
27 cnvimass 6034 . . . . . . . . . . . . 13 (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)}) βŠ† dom 𝐹
28 fof 6757 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
291, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
3029fdmd 6680 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝑋)
3130adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ dom 𝐹 = 𝑋)
3227, 31sseqtrid 3997 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)}) βŠ† 𝑋)
33 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = (πΊβ€˜π‘¦) β†’ (𝑀 = (πΊβ€˜π‘₯) ↔ (πΊβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘₯)))
3433ralima 7189 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 Fn 𝑋 ∧ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)}) βŠ† 𝑋) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)}))𝑀 = (πΊβ€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)})(πΊβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘₯)))
3526, 32, 34syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)}))𝑀 = (πΊβ€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)})(πΊβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘₯)))
3616, 35mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘€ ∈ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)}))𝑀 = (πΊβ€˜π‘₯))
3724fdmd 6680 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ dom 𝐺 = 𝑋)
3837eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ dom 𝐺 ↔ π‘₯ ∈ 𝑋))
3938biimpar 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐺)
40 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
41 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
42 fniniseg 7011 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 Fn 𝑋 β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)}) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))))
434, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)}) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))))
4440, 41, 43mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)}))
45 inelcm 4425 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ dom 𝐺 ∧ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)})) β†’ (dom 𝐺 ∩ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)})) β‰  βˆ…)
4639, 44, 45syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (dom 𝐺 ∩ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)})) β‰  βˆ…)
47 imadisj 6033 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)})) = βˆ… ↔ (dom 𝐺 ∩ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)})) = βˆ…)
4847necon3bii 2993 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)})) β‰  βˆ… ↔ (dom 𝐺 ∩ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)})) β‰  βˆ…)
4946, 48sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)})) β‰  βˆ…)
50 eqsn 4790 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)})) β‰  βˆ… β†’ ((𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)})) = {(πΊβ€˜π‘₯)} ↔ βˆ€π‘€ ∈ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)}))𝑀 = (πΊβ€˜π‘₯)))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)})) = {(πΊβ€˜π‘₯)} ↔ βˆ€π‘€ ∈ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)}))𝑀 = (πΊβ€˜π‘₯)))
5236, 51mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)})) = {(πΊβ€˜π‘₯)})
5352unieqd 4880 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆͺ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)})) = βˆͺ {(πΊβ€˜π‘₯)})
54 fvex 6856 . . . . . . . . 9 (πΊβ€˜π‘₯) ∈ V
5554unisn 4888 . . . . . . . 8 βˆͺ {(πΊβ€˜π‘₯)} = (πΊβ€˜π‘₯)
5653, 55eqtr2di 2790 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = βˆͺ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)})))
5756mpteq2dva 5206 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆͺ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)}))))
5824feqmptd 6911 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
5929ffvelcdmda 7036 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ π‘Œ)
6029feqmptd 6911 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
61 eqidd 2734 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ π‘Œ ↦ βˆͺ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {𝑀}))) = (𝑀 ∈ π‘Œ ↦ βˆͺ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {𝑀}))))
62 sneq 4597 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (πΉβ€˜π‘₯) β†’ {𝑀} = {(πΉβ€˜π‘₯)})
6362imaeq2d 6014 . . . . . . . . 9 (𝑀 = (πΉβ€˜π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑀}) = (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)}))
6463imaeq2d 6014 . . . . . . . 8 (𝑀 = (πΉβ€˜π‘₯) β†’ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {𝑀})) = (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)})))
6564unieqd 4880 . . . . . . 7 (𝑀 = (πΉβ€˜π‘₯) β†’ βˆͺ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {𝑀})) = βˆͺ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)})))
6659, 60, 61, 65fmptco 7076 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑀 ∈ π‘Œ ↦ βˆͺ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {𝑀}))) ∘ 𝐹) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ βˆͺ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)}))))
6757, 58, 663eqtr4d 2783 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 = ((𝑀 ∈ π‘Œ ↦ βˆͺ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {𝑀}))) ∘ 𝐹))
6867, 18eqeltrrd 2835 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑀 ∈ π‘Œ ↦ βˆͺ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {𝑀}))) ∘ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6924ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ βˆͺ 𝐾)
7056, 69eqeltrrd 2835 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆͺ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)})) ∈ βˆͺ 𝐾)
7170ralrimiva 3140 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆͺ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)})) ∈ βˆͺ 𝐾)
7265eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = (πΉβ€˜π‘₯) β†’ βˆͺ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)})) = βˆͺ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {𝑀})))
7372eqcoms 2741 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π‘₯) = 𝑀 β†’ βˆͺ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)})) = βˆͺ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {𝑀})))
7473eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 ((πΉβ€˜π‘₯) = 𝑀 β†’ (βˆͺ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)})) ∈ βˆͺ 𝐾 ↔ βˆͺ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {𝑀})) ∈ βˆͺ 𝐾))
7574cbvfo 7236 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆͺ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)})) ∈ βˆͺ 𝐾 ↔ βˆ€π‘€ ∈ π‘Œ βˆͺ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {𝑀})) ∈ βˆͺ 𝐾))
761, 75syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆͺ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {(πΉβ€˜π‘₯)})) ∈ βˆͺ 𝐾 ↔ βˆ€π‘€ ∈ π‘Œ βˆͺ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {𝑀})) ∈ βˆͺ 𝐾))
7771, 76mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ π‘Œ βˆͺ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {𝑀})) ∈ βˆͺ 𝐾)
78 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ π‘Œ ↦ βˆͺ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {𝑀}))) = (𝑀 ∈ π‘Œ ↦ βˆͺ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {𝑀})))
7978fmpt 7059 . . . . . 6 (βˆ€π‘€ ∈ π‘Œ βˆͺ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {𝑀})) ∈ βˆͺ 𝐾 ↔ (𝑀 ∈ π‘Œ ↦ βˆͺ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {𝑀}))):π‘ŒβŸΆβˆͺ 𝐾)
8077, 79sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ π‘Œ ↦ βˆͺ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {𝑀}))):π‘ŒβŸΆβˆͺ 𝐾)
81 qtopcn 23081 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾)) ∧ (𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ ∧ (𝑀 ∈ π‘Œ ↦ βˆͺ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {𝑀}))):π‘ŒβŸΆβˆͺ 𝐾)) β†’ ((𝑀 ∈ π‘Œ ↦ βˆͺ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {𝑀}))) ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾) ↔ ((𝑀 ∈ π‘Œ ↦ βˆͺ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {𝑀}))) ∘ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
8217, 22, 1, 80, 81syl22anc 838 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑀 ∈ π‘Œ ↦ βˆͺ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {𝑀}))) ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾) ↔ ((𝑀 ∈ π‘Œ ↦ βˆͺ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {𝑀}))) ∘ 𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
8368, 82mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ π‘Œ ↦ βˆͺ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {𝑀}))) ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾))
84 coeq1 5814 . . . 4 (𝑓 = (𝑀 ∈ π‘Œ ↦ βˆͺ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {𝑀}))) β†’ (𝑓 ∘ 𝐹) = ((𝑀 ∈ π‘Œ ↦ βˆͺ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {𝑀}))) ∘ 𝐹))
8584rspceeqv 3596 . . 3 (((𝑀 ∈ π‘Œ ↦ βˆͺ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {𝑀}))) ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾) ∧ 𝐺 = ((𝑀 ∈ π‘Œ ↦ βˆͺ (𝐺 β€œ (◑𝐹 β€œ {𝑀}))) ∘ 𝐹)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾)𝐺 = (𝑓 ∘ 𝐹))
8683, 67, 85syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾)𝐺 = (𝑓 ∘ 𝐹))
87 eqtr2 2757 . . . 4 ((𝐺 = (𝑓 ∘ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑔 ∘ 𝐹)) β†’ (𝑓 ∘ 𝐹) = (𝑔 ∘ 𝐹))
881adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾) ∧ 𝑔 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾))) β†’ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ)
89 qtoptopon 23071 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ) β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
9017, 1, 89syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
9190adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾) ∧ 𝑔 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾))) β†’ (𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
9222adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾) ∧ 𝑔 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾))) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
93 simprl 770 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾) ∧ 𝑔 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾))) β†’ 𝑓 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾))
94 cnf2 22616 . . . . . . 7 (((𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾) ∧ 𝑓 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾)) β†’ 𝑓:π‘ŒβŸΆβˆͺ 𝐾)
9591, 92, 93, 94syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾) ∧ 𝑔 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾))) β†’ 𝑓:π‘ŒβŸΆβˆͺ 𝐾)
9695ffnd 6670 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾) ∧ 𝑔 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾))) β†’ 𝑓 Fn π‘Œ)
97 simprr 772 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾) ∧ 𝑔 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾))) β†’ 𝑔 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾))
98 cnf2 22616 . . . . . . 7 (((𝐽 qTop 𝐹) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾) ∧ 𝑔 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾)) β†’ 𝑔:π‘ŒβŸΆβˆͺ 𝐾)
9991, 92, 97, 98syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾) ∧ 𝑔 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾))) β†’ 𝑔:π‘ŒβŸΆβˆͺ 𝐾)
10099ffnd 6670 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾) ∧ 𝑔 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾))) β†’ 𝑔 Fn π‘Œ)
101 cocan2 7239 . . . . 5 ((𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ ∧ 𝑓 Fn π‘Œ ∧ 𝑔 Fn π‘Œ) β†’ ((𝑓 ∘ 𝐹) = (𝑔 ∘ 𝐹) ↔ 𝑓 = 𝑔))
10288, 96, 100, 101syl3anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾) ∧ 𝑔 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾))) β†’ ((𝑓 ∘ 𝐹) = (𝑔 ∘ 𝐹) ↔ 𝑓 = 𝑔))
10387, 102imbitrid 243 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾) ∧ 𝑔 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾))) β†’ ((𝐺 = (𝑓 ∘ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑔 ∘ 𝐹)) β†’ 𝑓 = 𝑔))
104103ralrimivva 3194 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾)βˆ€π‘” ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾)((𝐺 = (𝑓 ∘ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑔 ∘ 𝐹)) β†’ 𝑓 = 𝑔))
105 coeq1 5814 . . . 4 (𝑓 = 𝑔 β†’ (𝑓 ∘ 𝐹) = (𝑔 ∘ 𝐹))
106105eqeq2d 2744 . . 3 (𝑓 = 𝑔 β†’ (𝐺 = (𝑓 ∘ 𝐹) ↔ 𝐺 = (𝑔 ∘ 𝐹)))
107106reu4 3690 . 2 (βˆƒ!𝑓 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾)𝐺 = (𝑓 ∘ 𝐹) ↔ (βˆƒπ‘“ ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾)𝐺 = (𝑓 ∘ 𝐹) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾)βˆ€π‘” ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾)((𝐺 = (𝑓 ∘ 𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑔 ∘ 𝐹)) β†’ 𝑓 = 𝑔)))
10886, 104, 107sylanbrc 584 1 (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑓 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) Cn 𝐾)𝐺 = (𝑓 ∘ 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  βˆƒ!wreu 3350   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  {csn 4587  βˆͺ cuni 4866   ↦ cmpt 5189  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634   β€œ cima 5637   ∘ ccom 5638   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€“ontoβ†’wfo 6495  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   qTop cqtop 17390  Topctop 22258  TopOnctopon 22275   Cn ccn 22591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-map 8770  df-qtop 17394  df-top 22259  df-topon 22276  df-cn 22594
This theorem is referenced by:  qtophmeo  23184
  Copyright terms: Public domain W3C validator