MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rankr1 9338
Description: A relationship between the rank function and the cumulative hierarchy of sets function 𝑅1. Proposition 9.15(2) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 6-Oct-2003.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rankid.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
rankr1 (𝐵 = (rank‘𝐴) ↔ (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))

Proof of Theorem rankr1
StepHypRef Expression
1 rankid.1 . 2 𝐴 ∈ V
2 rankr1g 9336 . 2 (𝐴 ∈ V → (𝐵 = (rank‘𝐴) ↔ (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))))
31, 2ax-mp 5 1 (𝐵 = (rank‘𝐴) ↔ (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  Vcvv 3398  suc csuc 6174  cfv 6339  𝑅1cr1 9266  rankcrnk 9267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-reg 9131  ax-inf2 9179
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-om 7602  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-r1 9268  df-rank 9269
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator