Theorem ssrankr1 9788

Description: A relationship between an ordinal number less than or equal to a rank, and the cumulative hierarchy of sets 𝑅₁. Proposition 9.15(3) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 8-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rankid.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ssrankr1	⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐵 ⊆ (rank‘𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵)))

Proof of Theorem ssrankr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankid.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		unir1 9766	. . . 4 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
3	1, 2	eleqtrri 2827	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)
4		r1fnon 9720	. . . . . 6 ⊢ 𝑅1 Fn On
5		fndm 6621	. . . . . 6 ⊢ (𝑅1 Fn On → dom 𝑅1 = On)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ dom 𝑅1 = On
7	6	eleq2i 2820	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅1 ↔ 𝐵 ∈ On)
8	7	biimpri 228	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → 𝐵 ∈ dom 𝑅1)
9		rankr1clem 9773	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝐵 ⊆ (rank‘𝐴)))
10	3, 8, 9	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ On → (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝐵 ⊆ (rank‘𝐴)))
11	10	bicomd 223	1 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐵 ⊆ (rank‘𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  ∪ cuni 4871  dom cdm 5638   “ cima 5641  Oncon0 6332   Fn wfn 6506  ‘cfv 6511  𝑅₁cr1 9715  rankcrnk 9716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-reg 9545  ax-inf2 9594

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-r1 9717  df-rank 9718

This theorem is referenced by:  rankr1a  9789  onvf1odlem4  35093