Theorem ssrankr1 9807

Description: A relationship between an ordinal number less than or equal to a rank, and the cumulative hierarchy of sets 𝑅₁. Proposition 9.15(3) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 8-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rankid.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ssrankr1	⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐵 ⊆ (rank‘𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵)))

Proof of Theorem ssrankr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankid.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		unir1 9785	. . . 4 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
3	1, 2	eleqtrri 2868	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)
4		r1fnon 9739	. . . . . 6 ⊢ 𝑅1 Fn On
5		fndm 6639	. . . . . 6 ⊢ (𝑅1 Fn On → dom 𝑅1 = On)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ dom 𝑅1 = On
7	6	eleq2i 2861	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅1 ↔ 𝐵 ∈ On)
8	7	biimpri 231	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → 𝐵 ∈ dom 𝑅1)
9		rankr1clem 9792	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝐵 ⊆ (rank‘𝐴)))
10	3, 8, 9	sylancr 598	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ On → (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝐵 ⊆ (rank‘𝐴)))
11	10	bicomd 226	1 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐵 ⊆ (rank‘𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913  ∪ cuni 4876  dom cdm 5662   “ cima 5665  Oncon0 6361   Fn wfn 6532  ‘cfv 6537  𝑅₁cr1 9734  rankcrnk 9735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-reg 9554  ax-inf2 9610

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-r1 9736  df-rank 9737

This theorem is referenced by:  rankr1a  9808  onvf1odlem4  35489