Theorem ssrankr1 9753

Description: A relationship between an ordinal number less than or equal to a rank, and the cumulative hierarchy of sets 𝑅₁. Proposition 9.15(3) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 8-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rankid.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ssrankr1	⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐵 ⊆ (rank‘𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵)))

Proof of Theorem ssrankr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankid.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		unir1 9731	. . . 4 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
3	1, 2	eleqtrri 2836	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)
4		r1fnon 9685	. . . . . 6 ⊢ 𝑅1 Fn On
5		fndm 6596	. . . . . 6 ⊢ (𝑅1 Fn On → dom 𝑅1 = On)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ dom 𝑅1 = On
7	6	eleq2i 2829	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅1 ↔ 𝐵 ∈ On)
8	7	biimpri 228	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → 𝐵 ∈ dom 𝑅1)
9		rankr1clem 9738	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝐵 ⊆ (rank‘𝐴)))
10	3, 8, 9	sylancr 588	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ On → (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝐵 ⊆ (rank‘𝐴)))
11	10	bicomd 223	1 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐵 ⊆ (rank‘𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ∪ cuni 4851  dom cdm 5625   “ cima 5628  Oncon0 6318   Fn wfn 6488  ‘cfv 6493  𝑅₁cr1 9680  rankcrnk 9681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-reg 9501  ax-inf2 9556

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-r1 9682  df-rank 9683

This theorem is referenced by:  rankr1a  9754  onvf1odlem4  35307