Theorem ssrankr1 9820

Description: A relationship between an ordinal number less than or equal to a rank, and the cumulative hierarchy of sets 𝑅₁. Proposition 9.15(3) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 8-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rankid.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ssrankr1	⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐵 ⊆ (rank‘𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵)))

Proof of Theorem ssrankr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankid.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		unir1 9798	. . . 4 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
3	1, 2	eleqtrri 2859	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On)
4		r1fnon 9752	. . . . . 6 ⊢ 𝑅1 Fn On
5		fndm 6636	. . . . . 6 ⊢ (𝑅1 Fn On → dom 𝑅1 = On)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ dom 𝑅1 = On
7	6	eleq2i 2852	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅1 ↔ 𝐵 ∈ On)
8	7	biimpri 231	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ On → 𝐵 ∈ dom 𝑅1)
9		rankr1clem 9805	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝐵 ⊆ (rank‘𝐴)))
10	3, 8, 9	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ On → (¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝐵 ⊆ (rank‘𝐴)))
11	10	bicomd 226	1 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝐵 ⊆ (rank‘𝐴) ↔ ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899  ∪ cuni 4867  dom cdm 5655   “ cima 5658  Oncon0 6357   Fn wfn 6528  ‘cfv 6533  𝑅₁cr1 9747  rankcrnk 9748

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-reg 9567  ax-inf2 9623

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-r1 9749  df-rank 9750

This theorem is used by:  rankr1a  9821  dfscott3  35629  onvf1odlem4  35706