Theorem rdg0n 8404

Description: If 𝐴 is a proper class, then the recursive function generator at ∅ is the empty set. (Contributed by Scott Fenton, 31-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
rdg0n	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = ∅)

Proof of Theorem rdg0n

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 6389	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ On
2		df-rdg 8380	. . . . 5 ⊢ rec(𝐹, 𝐴) = recs((𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔))))))
3	2	tfr2 8368	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ On → (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = ((𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔)))))‘(rec(𝐹, 𝐴) ↾ ∅)))
4	1, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = ((𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔)))))‘(rec(𝐹, 𝐴) ↾ ∅))
5		res0 5956	. . . 4 ⊢ (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ∅) = ∅
6	5	fveq2i 6863	. . 3 ⊢ ((𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔)))))‘(rec(𝐹, 𝐴) ↾ ∅)) = ((𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔)))))‘∅)
7	4, 6	eqtri 2753	. 2 ⊢ (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = ((𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔)))))‘∅)
8		iftrue 4496	. . 3 ⊢ (𝑔 = ∅ → if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔)))) = 𝐴)
9		eqid 2730	. . 3 ⊢ (𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔))))) = (𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔)))))
10	8, 9	fvmptn 6995	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ((𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔)))))‘∅) = ∅)
11	7, 10	eqtrid 2777	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  ∅c0 4298  ifcif 4490  ∪ cuni 4873   ↦ cmpt 5190  dom cdm 5640  ran crn 5641   ↾ cres 5642  Oncon0 6334  Lim wlim 6335  ‘cfv 6513  reccrdg 8379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pr 5389  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-ov 7392  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380

This theorem is referenced by:  ttrclselem1  9684