Theorem rdg0n 8402

Description: If 𝐴 is a proper class, then the recursive function generator at ∅ is the empty set. (Contributed by Scott Fenton, 31-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
rdg0n	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = ∅)

Proof of Theorem rdg0n

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 6387	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ On
2		df-rdg 8378	. . . . 5 ⊢ rec(𝐹, 𝐴) = recs((𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔))))))
3	2	tfr2 8366	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ On → (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = ((𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔)))))‘(rec(𝐹, 𝐴) ↾ ∅)))
4	1, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = ((𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔)))))‘(rec(𝐹, 𝐴) ↾ ∅))
5		res0 5954	. . . 4 ⊢ (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ∅) = ∅
6	5	fveq2i 6861	. . 3 ⊢ ((𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔)))))‘(rec(𝐹, 𝐴) ↾ ∅)) = ((𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔)))))‘∅)
7	4, 6	eqtri 2752	. 2 ⊢ (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = ((𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔)))))‘∅)
8		iftrue 4494	. . 3 ⊢ (𝑔 = ∅ → if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔)))) = 𝐴)
9		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔))))) = (𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔)))))
10	8, 9	fvmptn 6993	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ((𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔)))))‘∅) = ∅)
11	7, 10	eqtrid 2776	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447  ∅c0 4296  ifcif 4488  ∪ cuni 4871   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5638  ran crn 5639   ↾ cres 5640  Oncon0 6332  Lim wlim 6333  ‘cfv 6511  reccrdg 8377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378

This theorem is referenced by:  ttrclselem1  9678