Theorem rdg0n 8455

Description: If 𝐴 is a proper class, then the recursive function generator at ∅ is the empty set. (Contributed by Scott Fenton, 31-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
rdg0n	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = ∅)

Proof of Theorem rdg0n

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 6417	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ On
2		df-rdg 8431	. . . . 5 ⊢ rec(𝐹, 𝐴) = recs((𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔))))))
3	2	tfr2 8419	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ On → (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = ((𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔)))))‘(rec(𝐹, 𝐴) ↾ ∅)))
4	1, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = ((𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔)))))‘(rec(𝐹, 𝐴) ↾ ∅))
5		res0 5981	. . . 4 ⊢ (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ∅) = ∅
6	5	fveq2i 6888	. . 3 ⊢ ((𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔)))))‘(rec(𝐹, 𝐴) ↾ ∅)) = ((𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔)))))‘∅)
7	4, 6	eqtri 2757	. 2 ⊢ (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = ((𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔)))))‘∅)
8		iftrue 4511	. . 3 ⊢ (𝑔 = ∅ → if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔)))) = 𝐴)
9		eqid 2734	. . 3 ⊢ (𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔))))) = (𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔)))))
10	8, 9	fvmptn 7020	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ((𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔)))))‘∅) = ∅)
11	7, 10	eqtrid 2781	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3463  ∅c0 4313  ifcif 4505  ∪ cuni 4887   ↦ cmpt 5205  dom cdm 5665  ran crn 5666   ↾ cres 5667  Oncon0 6363  Lim wlim 6364  ‘cfv 6540  reccrdg 8430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pr 5412  ax-un 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7415  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431

This theorem is referenced by:  ttrclselem1  9746