Theorem rdg0n 8473

Description: If 𝐴 is a proper class, then the recursive function generator at ∅ is the empty set. (Contributed by Scott Fenton, 31-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
rdg0n	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = ∅)

Proof of Theorem rdg0n

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 6439	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ On
2		df-rdg 8449	. . . . 5 ⊢ rec(𝐹, 𝐴) = recs((𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔))))))
3	2	tfr2 8437	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ On → (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = ((𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔)))))‘(rec(𝐹, 𝐴) ↾ ∅)))
4	1, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = ((𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔)))))‘(rec(𝐹, 𝐴) ↾ ∅))
5		res0 5986	. . . 4 ⊢ (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ∅) = ∅
6	5	fveq2i 6914	. . 3 ⊢ ((𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔)))))‘(rec(𝐹, 𝐴) ↾ ∅)) = ((𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔)))))‘∅)
7	4, 6	eqtri 2786	. 2 ⊢ (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = ((𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔)))))‘∅)
8		iftrue 4491	. . 3 ⊢ (𝑔 = ∅ → if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔)))) = 𝐴)
9		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔))))) = (𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔)))))
10	8, 9	fvmptn 7045	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ((𝑔 ∈ V ↦ if(𝑔 = ∅, 𝐴, if(Lim dom 𝑔, ∪ ran 𝑔, (𝐹‘(𝑔‘∪ dom 𝑔)))))‘∅) = ∅)
11	7, 10	eqtrid 2810	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ∅c0 4281  ifcif 4485  ∪ cuni 4870   ↦ cmpt 5190  dom cdm 5656  ran crn 5657   ↾ cres 5658  Oncon0 6383  Lim wlim 6384  ‘cfv 6561  reccrdg 8448

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7449  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449

This theorem is used by:  ttrclselem1  9756