MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frfnom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frfnom 8382
Description: The function generated by finite recursive definition generation is a function on omega. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
frfnom (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω) Fn ω

Proof of Theorem frfnom
StepHypRef Expression
1 rdgfun 8363 . . 3 Fun rec(𝐹, 𝐴)
2 funres 6544 . . 3 (Fun rec(𝐹, 𝐴) → Fun (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω))
31, 2ax-mp 5 . 2 Fun (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)
4 dmres 5960 . . 3 dom (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω) = (ω ∩ dom rec(𝐹, 𝐴))
5 rdgdmlim 8364 . . . . 5 Lim dom rec(𝐹, 𝐴)
6 limomss 7808 . . . . 5 (Lim dom rec(𝐹, 𝐴) → ω ⊆ dom rec(𝐹, 𝐴))
75, 6ax-mp 5 . . . 4 ω ⊆ dom rec(𝐹, 𝐴)
8 df-ss 3928 . . . 4 (ω ⊆ dom rec(𝐹, 𝐴) ↔ (ω ∩ dom rec(𝐹, 𝐴)) = ω)
97, 8mpbi 229 . . 3 (ω ∩ dom rec(𝐹, 𝐴)) = ω
104, 9eqtri 2765 . 2 dom (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω) = ω
11 df-fn 6500 . 2 ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω) Fn ω ↔ (Fun (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω) ∧ dom (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω) = ω))
123, 10, 11mpbir2an 710 1 (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω) Fn ω
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  cin 3910  wss 3911  dom cdm 5634  cres 5636  Lim wlim 6319  Fun wfun 6491   Fn wfn 6492  ωcom 7803  reccrdg 8356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357
This theorem is referenced by:  frsucmptn  8386  seqomlem2  8398  seqomlem3  8399  seqomlem4  8400  unblem4  9243  dffi3  9368  inf0  9558  inf3lem6  9570  alephfplem4  10044  alephfp  10045  infpssrlem3  10242  itunifn  10354  hsmexlem5  10367  axdclem2  10457  wunex2  10675  wuncval2  10684  peano5nni  12157  1nn  12165  peano2nn  12166  om2uzrani  13858  om2uzf1oi  13859  uzrdglem  13863  uzrdgfni  13864  uzrdg0i  13865  hashkf  14233  hashgval2  14279  neibastop2lem  34835
  Copyright terms: Public domain W3C validator