Theorem frfnom 8421

Description: The function generated by finite recursive definition generation is a function on omega. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
frfnom	⊢ (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω) Fn ω

Proof of Theorem frfnom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgfun 8402	. . 3 ⊢ Fun rec(𝐹, 𝐴)
2		funres 6578	. . 3 ⊢ (Fun rec(𝐹, 𝐴) → Fun (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ Fun (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)
4		dmres 6011	. . 3 ⊢ dom (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω) = (ω ∩ dom rec(𝐹, 𝐴))
5		rdgdmlim 8403	. . . . 5 ⊢ Lim dom rec(𝐹, 𝐴)
6		limomss 7866	. . . . 5 ⊢ (Lim dom rec(𝐹, 𝐴) → ω ⊆ dom rec(𝐹, 𝐴))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ω ⊆ dom rec(𝐹, 𝐴)
8		dfss2 3922	. . . 4 ⊢ (ω ⊆ dom rec(𝐹, 𝐴) ↔ (ω ∩ dom rec(𝐹, 𝐴)) = ω)
9	7, 8	mpbi 233	. . 3 ⊢ (ω ∩ dom rec(𝐹, 𝐴)) = ω
10	4, 9	eqtri 2784	. 2 ⊢ dom (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω) = ω
11		df-fn 6539	. 2 ⊢ ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω) Fn ω ↔ (Fun (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω) ∧ dom (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω) = ω))
12	3, 10, 11	mpbir2an 723	1 ⊢ (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω) Fn ω

Syntax hints:   = wceq 1568   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  dom cdm 5661   ↾ cres 5663  Lim wlim 6361  Fun wfun 6530   Fn wfn 6531  ωcom 7861  reccrdg 8395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396

This theorem is referenced by:  frsucmptn  8425  seqomlem2  8437  seqomlem3  8438  seqomlem4  8439  unblem4  9254  dffi3  9390  inf0  9589  inf3lem6  9601  alephfplem4  10090  alephfp  10091  infpssrlem3  10288  itunifn  10400  hsmexlem5  10413  axdclem2  10503  wunex2  10722  wuncval2  10731  peano5nni  12235  1nn  12243  peano2nn  12244  om2uzrani  13987  om2uzf1oi  13988  uzrdglem  13992  uzrdgfni  13993  uzrdg0i  13994  hashkf  14367  hashgval2  14413  noseq0  28459  noseqp1  28460  noseqind  28461  om2noseqfo  28467  noseqrdglem  28474  noseqrdgfn  28475  noseqrdg0  28476  dfnns2  28541  neibastop2lem  36815  mh-inf3f1  36996  orbitinit  45613  orbitcl  45614