Theorem frfnom 8390

Description: The function generated by finite recursive definition generation is a function on omega. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
frfnom	⊢ (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω) Fn ω

Proof of Theorem frfnom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgfun 8371	. . 3 ⊢ Fun rec(𝐹, 𝐴)
2		funres 6548	. . 3 ⊢ (Fun rec(𝐹, 𝐴) → Fun (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ Fun (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)
4		dmres 5987	. . 3 ⊢ dom (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω) = (ω ∩ dom rec(𝐹, 𝐴))
5		rdgdmlim 8372	. . . . 5 ⊢ Lim dom rec(𝐹, 𝐴)
6		limomss 7836	. . . . 5 ⊢ (Lim dom rec(𝐹, 𝐴) → ω ⊆ dom rec(𝐹, 𝐴))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ω ⊆ dom rec(𝐹, 𝐴)
8		dfss2 3913	. . . 4 ⊢ (ω ⊆ dom rec(𝐹, 𝐴) ↔ (ω ∩ dom rec(𝐹, 𝐴)) = ω)
9	7, 8	mpbi 232	. . 3 ⊢ (ω ∩ dom rec(𝐹, 𝐴)) = ω
10	4, 9	eqtri 2775	. 2 ⊢ dom (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω) = ω
11		df-fn 6509	. 2 ⊢ ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω) Fn ω ↔ (Fun (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω) ∧ dom (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω) = ω))
12	3, 10, 11	mpbir2an 719	1 ⊢ (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω) Fn ω

Syntax hints:   = wceq 1550   ∩ cin 3894   ⊆ wss 3895  dom cdm 5636   ↾ cres 5638  Lim wlim 6332  Fun wfun 6500   Fn wfn 6501  ωcom 7831  reccrdg 8364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5380  ax-un 7703

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-ov 7384  df-om 7832  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365

This theorem is referenced by:  frsucmptn  8394  seqomlem2  8406  seqomlem3  8407  seqomlem4  8408  unblem4  9224  dffi3  9363  inf0  9562  inf3lem6  9574  alephfplem4  10049  alephfp  10050  infpssrlem3  10248  itunifn  10360  hsmexlem5  10373  axdclem2  10463  wunex2  10682  wuncval2  10691  peano5nni  12199  1nn  12207  peano2nn  12208  om2uzrani  13951  om2uzf1oi  13952  uzrdglem  13956  uzrdgfni  13957  uzrdg0i  13958  hashkf  14331  hashgval2  14377  noseq0  28349  noseqp1  28350  noseqind  28351  om2noseqfo  28357  noseqrdglem  28364  noseqrdgfn  28365  noseqrdg0  28366  dfnns2  28431  neibastop2lem  36658  mh-inf3f1  36839  orbitinit  45470  orbitcl  45471