Theorem frfnom 8427

Description: The function generated by finite recursive definition generation is a function on omega. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
frfnom	⊢ (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω) Fn ω

Proof of Theorem frfnom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgfun 8408	. . 3 ⊢ Fun rec(𝐹, 𝐴)
2		funres 6579	. . 3 ⊢ (Fun rec(𝐹, 𝐴) → Fun (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ Fun (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)
4		dmres 6009	. . 3 ⊢ dom (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω) = (ω ∩ dom rec(𝐹, 𝐴))
5		rdgdmlim 8409	. . . . 5 ⊢ Lim dom rec(𝐹, 𝐴)
6		limomss 7870	. . . . 5 ⊢ (Lim dom rec(𝐹, 𝐴) → ω ⊆ dom rec(𝐹, 𝐴))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ω ⊆ dom rec(𝐹, 𝐴)
8		dfss2 3920	. . . 4 ⊢ (ω ⊆ dom rec(𝐹, 𝐴) ↔ (ω ∩ dom rec(𝐹, 𝐴)) = ω)
9	7, 8	mpbi 233	. . 3 ⊢ (ω ∩ dom rec(𝐹, 𝐴)) = ω
10	4, 9	eqtri 2785	. 2 ⊢ dom (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω) = ω
11		df-fn 6540	. 2 ⊢ ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω) Fn ω ↔ (Fun (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω) ∧ dom (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω) = ω))
12	3, 10, 11	mpbir2an 724	1 ⊢ (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω) Fn ω

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  dom cdm 5659   ↾ cres 5661  Lim wlim 6362  Fun wfun 6531   Fn wfn 6532  ωcom 7865  reccrdg 8401

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402

This theorem is used by:  frsucmptn  8431  seqomlem2  8443  seqomlem3  8444  seqomlem4  8445  unblem4  9268  dffi3  9404  inf0  9603  inf3lem6  9615  alephfplem4  10113  alephfp  10114  infpssrlem3  10310  itunifn  10422  hsmexlem5  10435  axdclem2  10525  wunex2  10750  wuncval2  10759  peano5nni  12263  1nn  12271  peano2nn  12272  om2uzrani  14018  om2uzf1oi  14019  uzrdglem  14023  uzrdgfni  14024  uzrdg0i  14025  hashkf  14398  hashgval2  14444  noseq0  28553  noseqp1  28554  noseqind  28555  om2noseqfo  28561  noseqrdglem  28568  noseqrdgfn  28569  noseqrdg0  28570  dfnns2  28635  neibastop2lem  36966  mh-inf3f1  37147  orbitinit  45766  orbitcl  45767