Theorem res0 5987

Description: A restriction to the empty set is empty. (Contributed by NM, 12-Nov-1994.)

Assertion

Ref	Expression
res0	⊢ (𝐴 ↾ ∅) = ∅

Proof of Theorem res0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-res 5678	. 2 ⊢ (𝐴 ↾ ∅) = (𝐴 ∩ (∅ × V))
2		0xp 5765	. . 3 ⊢ (∅ × V) = ∅
3	2	ineq2i 4173	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ (∅ × V)) = (𝐴 ∩ ∅)
4		in0 4355	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ ∅) = ∅
5	1, 3, 4	3eqtri 2793	1 ⊢ (𝐴 ↾ ∅) = ∅

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  Vcvv 3458   ∩ cin 3907  ∅c0 4289   × cxp 5664   ↾ cres 5668

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-in 3915  df-nul 4290  df-opab 5179  df-xp 5672  df-res 5678

This theorem is used by:  ima0  6084  resdisj  6172  dfpo2  6304  smo0  8354  tfrlem16  8389  tz7.44-1  8402  rdg0n  8430  mapunen  9144  fnfi  9172  ackbij2lem3  10242  hashf1lem1  14512  setsid  17292  join0  18484  meet0  18485  frmdplusg  18944  psgn0fv0  19612  gsum2dlem2  20072  ablfac1eulem  20175  ablfac1eu  20176  gsumle  20246  psrplusg  22124  ply1plusgfvi  22438  ptuncnv  24001  ptcmpfi  24007  ust0  24414  xrge0gsumle  25028  xrge0tsms  25029  jensen  27190  egrsubgr  29664  0grsubgr  29665  pthdlem1  30152  0pth  30513  1pthdlem1  30523  eupth2lemb  30625  fressupp  33070  resf1o  33112  xrge0tsmsd  33424  rprmdvdsprod  33855  zarcmplem  34302  esumsnf  34485  satfv1lem  35875  eldm3  36274  rdgprc0  36304  bj-rdg0gALT  37748  zrdivrng  38645  disjresin  38933  eldioph4b  43579  diophren  43581  ismeannd  47222  psmeasure  47226  isomennd  47286  hoidmvlelem3  47352  stgr0  48766  tposres3  49700  setc1oid  50314  aacllem  50662