Theorem res0 5957

Description: A restriction to the empty set is empty. (Contributed by NM, 12-Nov-1994.)

Assertion

Ref	Expression
res0	⊢ (𝐴 ↾ ∅) = ∅

Proof of Theorem res0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-res 5653	. 2 ⊢ (𝐴 ↾ ∅) = (𝐴 ∩ (∅ × V))
2		0xp 5740	. . 3 ⊢ (∅ × V) = ∅
3	2	ineq2i 4183	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ (∅ × V)) = (𝐴 ∩ ∅)
4		in0 4361	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ ∅) = ∅
5	1, 3, 4	3eqtri 2757	1 ⊢ (𝐴 ↾ ∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1540  Vcvv 3450   ∩ cin 3916  ∅c0 4299   × cxp 5639   ↾ cres 5643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-opab 5173  df-xp 5647  df-res 5653

This theorem is referenced by:  ima0  6051  resdisj  6145  dfpo2  6272  smo0  8330  tfrlem16  8364  tz7.44-1  8377  rdg0n  8405  mapunen  9116  fnfi  9148  ackbij2lem3  10200  hashf1lem1  14427  setsid  17184  join0  18371  meet0  18372  frmdplusg  18788  psgn0fv0  19448  gsum2dlem2  19908  ablfac1eulem  20011  ablfac1eu  20012  psrplusg  21852  ply1plusgfvi  22133  ptuncnv  23701  ptcmpfi  23707  ust0  24114  xrge0gsumle  24729  xrge0tsms  24730  jensen  26906  egrsubgr  29211  0grsubgr  29212  pthdlem1  29703  0pth  30061  1pthdlem1  30071  eupth2lemb  30173  fressupp  32618  resf1o  32660  xrge0tsmsd  33009  gsumle  33045  rprmdvdsprod  33512  zarcmplem  33878  esumsnf  34061  satfv1lem  35356  eldm3  35755  rdgprc0  35788  bj-rdg0gALT  37066  zrdivrng  37954  disjresin  38235  eldioph4b  42806  diophren  42808  ismeannd  46472  psmeasure  46476  isomennd  46536  hoidmvlelem3  46602  stgr0  47963  tposres3  48873  setc1oid  49488  aacllem  49794