Theorem res0 6004

Description: A restriction to the empty set is empty. (Contributed by NM, 12-Nov-1994.)

Assertion

Ref	Expression
res0	⊢ (𝐴 ↾ ∅) = ∅

Proof of Theorem res0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-res 5701	. 2 ⊢ (𝐴 ↾ ∅) = (𝐴 ∩ (∅ × V))
2		0xp 5787	. . 3 ⊢ (∅ × V) = ∅
3	2	ineq2i 4225	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ (∅ × V)) = (𝐴 ∩ ∅)
4		in0 4401	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ ∅) = ∅
5	1, 3, 4	3eqtri 2767	1 ⊢ (𝐴 ↾ ∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1537  Vcvv 3478   ∩ cin 3962  ∅c0 4339   × cxp 5687   ↾ cres 5691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-opab 5211  df-xp 5695  df-res 5701

This theorem is referenced by:  ima0  6097  resdisj  6191  dfpo2  6318  smo0  8397  tfrlem16  8432  tz7.44-1  8445  rdg0n  8473  mapunen  9185  fnfi  9216  ackbij2lem3  10278  hashf1lem1  14491  setsid  17242  join0  18463  meet0  18464  frmdplusg  18880  psgn0fv0  19544  gsum2dlem2  20004  ablfac1eulem  20107  ablfac1eu  20108  psrplusg  21974  ply1plusgfvi  22259  ptuncnv  23831  ptcmpfi  23837  ust0  24244  xrge0gsumle  24869  xrge0tsms  24870  jensen  27047  egrsubgr  29309  0grsubgr  29310  pthdlem1  29799  0pth  30154  1pthdlem1  30164  eupth2lemb  30266  fressupp  32703  resf1o  32748  xrge0tsmsd  33048  gsumle  33084  rprmdvdsprod  33542  zarcmplem  33842  esumsnf  34045  satfv1lem  35347  eldm3  35741  rdgprc0  35775  bj-rdg0gALT  37054  zrdivrng  37940  disjresin  38221  eldioph4b  42799  diophren  42801  ismeannd  46423  psmeasure  46427  isomennd  46487  hoidmvlelem3  46553  stgr0  47863  aacllem  49032