Theorem res0 5938

Description: A restriction to the empty set is empty. (Contributed by NM, 12-Nov-1994.)

Assertion

Ref	Expression
res0	⊢ (𝐴 ↾ ∅) = ∅

Proof of Theorem res0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-res 5635	. 2 ⊢ (𝐴 ↾ ∅) = (𝐴 ∩ (∅ × V))
2		0xp 5722	. . 3 ⊢ (∅ × V) = ∅
3	2	ineq2i 4170	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ (∅ × V)) = (𝐴 ∩ ∅)
4		in0 4348	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ ∅) = ∅
5	1, 3, 4	3eqtri 2756	1 ⊢ (𝐴 ↾ ∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1540  Vcvv 3438   ∩ cin 3904  ∅c0 4286   × cxp 5621   ↾ cres 5625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-opab 5158  df-xp 5629  df-res 5635

This theorem is referenced by:  ima0  6032  resdisj  6122  dfpo2  6248  smo0  8288  tfrlem16  8322  tz7.44-1  8335  rdg0n  8363  mapunen  9070  fnfi  9102  ackbij2lem3  10153  hashf1lem1  14380  setsid  17136  join0  18327  meet0  18328  frmdplusg  18746  psgn0fv0  19408  gsum2dlem2  19868  ablfac1eulem  19971  ablfac1eu  19972  gsumle  20042  psrplusg  21861  ply1plusgfvi  22142  ptuncnv  23710  ptcmpfi  23716  ust0  24123  xrge0gsumle  24738  xrge0tsms  24739  jensen  26915  egrsubgr  29240  0grsubgr  29241  pthdlem1  29729  0pth  30087  1pthdlem1  30097  eupth2lemb  30199  fressupp  32644  resf1o  32686  xrge0tsmsd  33028  rprmdvdsprod  33481  zarcmplem  33847  esumsnf  34030  satfv1lem  35334  eldm3  35733  rdgprc0  35766  bj-rdg0gALT  37044  zrdivrng  37932  disjresin  38213  eldioph4b  42784  diophren  42786  ismeannd  46449  psmeasure  46453  isomennd  46513  hoidmvlelem3  46579  stgr0  47945  tposres3  48866  setc1oid  49481  aacllem  49787