MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  res0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem res0 5851
Description: A restriction to the empty set is empty. (Contributed by NM, 12-Nov-1994.)
Assertion
Ref Expression
res0 (𝐴 ↾ ∅) = ∅

Proof of Theorem res0
StepHypRef Expression
1 df-res 5561 . 2 (𝐴 ↾ ∅) = (𝐴 ∩ (∅ × V))
2 0xp 5643 . . 3 (∅ × V) = ∅
32ineq2i 4185 . 2 (𝐴 ∩ (∅ × V)) = (𝐴 ∩ ∅)
4 in0 4344 . 2 (𝐴 ∩ ∅) = ∅
51, 3, 43eqtri 2848 1 (𝐴 ↾ ∅) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  Vcvv 3494  cin 3934  c0 4290   × cxp 5547  cres 5551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pr 5321
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-opab 5121  df-xp 5555  df-res 5561
This theorem is referenced by:  ima0  5939  resdisj  6020  smo0  7989  tfrlem16  8023  tz7.44-1  8036  mapunen  8680  fnfi  8790  ackbij2lem3  9657  hashf1lem1  13807  setsid  16532  meet0  17741  join0  17742  frmdplusg  18013  psgn0fv0  18633  gsum2dlem2  19085  ablfac1eulem  19188  ablfac1eu  19189  psrplusg  20155  ply1plusgfvi  20404  ptuncnv  22409  ptcmpfi  22415  ust0  22822  xrge0gsumle  23435  xrge0tsms  23436  jensen  25560  egrsubgr  27053  0grsubgr  27054  pthdlem1  27541  0pth  27898  1pthdlem1  27908  eupth2lemb  28010  resf1o  30460  xrge0tsmsd  30687  gsumle  30720  esumsnf  31318  satfv1lem  32604  dfpo2  32986  eldm3  32992  rdgprc0  33033  zrdivrng  35225  eldioph4b  39401  diophren  39403  ismeannd  42743  psmeasure  42747  isomennd  42807  hoidmvlelem3  42873  aacllem  44896
  Copyright terms: Public domain W3C validator