Theorem res0 5822

Description: A restriction to the empty set is empty. (Contributed by NM, 12-Nov-1994.)

Assertion

Ref	Expression
res0	⊢ (𝐴 ↾ ∅) = ∅

Proof of Theorem res0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-res 5531	. 2 ⊢ (𝐴 ↾ ∅) = (𝐴 ∩ (∅ × V))
2		0xp 5613	. . 3 ⊢ (∅ × V) = ∅
3	2	ineq2i 4136	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ (∅ × V)) = (𝐴 ∩ ∅)
4		in0 4299	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ ∅) = ∅
5	1, 3, 4	3eqtri 2825	1 ⊢ (𝐴 ↾ ∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1538  Vcvv 3441   ∩ cin 3880  ∅c0 4243   × cxp 5517   ↾ cres 5521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-rab 3115  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-opab 5093  df-xp 5525  df-res 5531

This theorem is referenced by:  ima0  5912  resdisj  5993  smo0  7978  tfrlem16  8012  tz7.44-1  8025  mapunen  8670  fnfi  8780  ackbij2lem3  9652  hashf1lem1  13809  setsid  16530  meet0  17739  join0  17740  frmdplusg  18011  psgn0fv0  18631  gsum2dlem2  19084  ablfac1eulem  19187  ablfac1eu  19188  psrplusg  20619  ply1plusgfvi  20871  ptuncnv  22412  ptcmpfi  22418  ust0  22825  xrge0gsumle  23438  xrge0tsms  23439  jensen  25574  egrsubgr  27067  0grsubgr  27068  pthdlem1  27555  0pth  27910  1pthdlem1  27920  eupth2lemb  28022  fressupp  30448  resf1o  30492  xrge0tsmsd  30742  gsumle  30775  zarcmplem  31234  esumsnf  31433  satfv1lem  32722  dfpo2  33104  eldm3  33110  rdgprc0  33151  zrdivrng  35391  eldioph4b  39752  diophren  39754  ismeannd  43106  psmeasure  43110  isomennd  43170  hoidmvlelem3  43236  aacllem  45329