Theorem res0 6013

Description: A restriction to the empty set is empty. (Contributed by NM, 12-Nov-1994.)

Assertion

Ref	Expression
res0	⊢ (𝐴 ↾ ∅) = ∅

Proof of Theorem res0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-res 5712	. 2 ⊢ (𝐴 ↾ ∅) = (𝐴 ∩ (∅ × V))
2		0xp 5798	. . 3 ⊢ (∅ × V) = ∅
3	2	ineq2i 4238	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ (∅ × V)) = (𝐴 ∩ ∅)
4		in0 4418	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ ∅) = ∅
5	1, 3, 4	3eqtri 2772	1 ⊢ (𝐴 ↾ ∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1537  Vcvv 3488   ∩ cin 3975  ∅c0 4352   × cxp 5698   ↾ cres 5702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-opab 5229  df-xp 5706  df-res 5712

This theorem is referenced by:  ima0  6106  resdisj  6200  dfpo2  6327  smo0  8414  tfrlem16  8449  tz7.44-1  8462  rdg0n  8490  mapunen  9212  fnfi  9244  ackbij2lem3  10309  hashf1lem1  14504  setsid  17255  join0  18475  meet0  18476  frmdplusg  18889  psgn0fv0  19553  gsum2dlem2  20013  ablfac1eulem  20116  ablfac1eu  20117  psrplusg  21979  ply1plusgfvi  22264  ptuncnv  23836  ptcmpfi  23842  ust0  24249  xrge0gsumle  24874  xrge0tsms  24875  jensen  27050  egrsubgr  29312  0grsubgr  29313  pthdlem1  29802  0pth  30157  1pthdlem1  30167  eupth2lemb  30269  fressupp  32700  resf1o  32744  xrge0tsmsd  33041  gsumle  33074  rprmdvdsprod  33527  zarcmplem  33827  esumsnf  34028  satfv1lem  35330  eldm3  35723  rdgprc0  35757  bj-rdg0gALT  37037  zrdivrng  37913  disjresin  38195  eldioph4b  42767  diophren  42769  ismeannd  46388  psmeasure  46392  isomennd  46452  hoidmvlelem3  46518  aacllem  48895