Theorem res0 5986

Description: A restriction to the empty set is empty. (Contributed by NM, 12-Nov-1994.)

Assertion

Ref	Expression
res0	⊢ (𝐴 ↾ ∅) = ∅

Proof of Theorem res0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-res 5689	. 2 ⊢ (𝐴 ↾ ∅) = (𝐴 ∩ (∅ × V))
2		0xp 5775	. . 3 ⊢ (∅ × V) = ∅
3	2	ineq2i 4210	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ (∅ × V)) = (𝐴 ∩ ∅)
4		in0 4392	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ ∅) = ∅
5	1, 3, 4	3eqtri 2765	1 ⊢ (𝐴 ↾ ∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1542  Vcvv 3475   ∩ cin 3948  ∅c0 4323   × cxp 5675   ↾ cres 5679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-opab 5212  df-xp 5683  df-res 5689

This theorem is referenced by:  ima0  6077  resdisj  6169  dfpo2  6296  smo0  8358  tfrlem16  8393  tz7.44-1  8406  rdg0n  8434  mapunen  9146  fnfi  9181  ackbij2lem3  10236  hashf1lem1  14415  hashf1lem1OLD  14416  setsid  17141  join0  18358  meet0  18359  frmdplusg  18735  psgn0fv0  19379  gsum2dlem2  19839  ablfac1eulem  19942  ablfac1eu  19943  psrplusg  21500  ply1plusgfvi  21764  ptuncnv  23311  ptcmpfi  23317  ust0  23724  xrge0gsumle  24349  xrge0tsms  24350  jensen  26493  egrsubgr  28534  0grsubgr  28535  pthdlem1  29023  0pth  29378  1pthdlem1  29388  eupth2lemb  29490  fressupp  31910  resf1o  31955  xrge0tsmsd  32209  gsumle  32242  zarcmplem  32861  esumsnf  33062  satfv1lem  34353  eldm3  34731  rdgprc0  34765  bj-rdg0gALT  35952  zrdivrng  36821  disjresin  37106  eldioph4b  41549  diophren  41551  ismeannd  45183  psmeasure  45187  isomennd  45247  hoidmvlelem3  45313  aacllem  47848