Theorem rdglim2a 8422

Description: The value of the recursive definition generator at a limit ordinal, in terms of indexed union of all smaller values. (Contributed by NM, 28-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
rdglim2a	⊢ ((𝐵 ∈ 𝐶 ∧ Lim 𝐵) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 (rec(𝐹, 𝐴)‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem rdglim2a

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdglim2 8421	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐶 ∧ Lim 𝐵) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) = ∪ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑦 = (rec(𝐹, 𝐴)‘𝑥)})
2		fvex 6898	. . 3 ⊢ (rec(𝐹, 𝐴)‘𝑥) ∈ V
3	2	dfiun2 4998	. 2 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 (rec(𝐹, 𝐴)‘𝑥) = ∪ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝑦 = (rec(𝐹, 𝐴)‘𝑥)}
4	1, 3	eqtr4di 2818	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐶 ∧ Lim 𝐵) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐵 (rec(𝐹, 𝐴)‘𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {cab 2743  ∃wrex 3091  ∪ cuni 4874  ∪ ciun 4958  Lim wlim 6365  ‘cfv 6540  reccrdg 8398

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399

This theorem is used by:  oalim  8519  omlim  8520  oelim  8521  alephlim  10063  constrlim  34152  satom  35861  fmla  35886  rdgellim  38055  rdgssun  38057  exrecfnlem  38058