MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rdglim2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rdglim2a 8434
Description: The value of the recursive definition generator at a limit ordinal, in terms of indexed union of all smaller values. (Contributed by NM, 28-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
rdglim2a ((𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) = 𝑥𝐵 (rec(𝐹, 𝐴)‘𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem rdglim2a
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rdglim2 8433 . 2 ((𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐵 𝑦 = (rec(𝐹, 𝐴)‘𝑥)})
2 fvex 6898 . . 3 (rec(𝐹, 𝐴)‘𝑥) ∈ V
32dfiun2 5029 . 2 𝑥𝐵 (rec(𝐹, 𝐴)‘𝑥) = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐵 𝑦 = (rec(𝐹, 𝐴)‘𝑥)}
41, 3eqtr4di 2784 1 ((𝐵𝐶 ∧ Lim 𝐵) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵) = 𝑥𝐵 (rec(𝐹, 𝐴)‘𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  {cab 2703  wrex 3064   cuni 4902   ciun 4990  Lim wlim 6359  cfv 6537  reccrdg 8410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411
This theorem is referenced by:  oalim  8533  omlim  8534  oelim  8535  alephlim  10064  satom  34875  fmla  34900  rdgellim  36764  rdgssun  36766  exrecfnlem  36767
  Copyright terms: Public domain W3C validator