Theorem relt0neg2 42924

Description: Comparison of a real and its negative to zero. Compare lt0neg2 11654. (Contributed by SN, 13-Feb-2024.)

Assertion

Ref	Expression
relt0neg2	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ (0 −ℝ 𝐴) < 0))

Proof of Theorem relt0neg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elre0re 42715	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
3		reltsub1 42840	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ (0 −ℝ 𝐴) < (𝐴 −ℝ 𝐴)))
4	1, 2, 2, 3	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ (0 −ℝ 𝐴) < (𝐴 −ℝ 𝐴)))
5		resubid 42863	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 −ℝ 𝐴) = 0)
6	5	breq2d 5098	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) < (𝐴 −ℝ 𝐴) ↔ (0 −ℝ 𝐴) < 0))
7	4, 6	bitrd 279	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ (0 −ℝ 𝐴) < 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7364  ℝcr 11034  0cc0 11035   < clt 11176   −_ℝ cresub 42819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686  ax-resscn 11092  ax-1cn 11093  ax-icn 11094  ax-addcl 11095  ax-addrcl 11096  ax-mulcl 11097  ax-mulrcl 11098  ax-addass 11100  ax-mulass 11101  ax-distr 11102  ax-i2m1 11103  ax-1ne0 11104  ax-1rid 11105  ax-rnegex 11106  ax-rrecex 11107  ax-cnre 11108  ax-pre-lttri 11109  ax-pre-lttrn 11110  ax-pre-ltadd 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5523  df-po 5536  df-so 5537  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11178  df-mnf 11179  df-ltxr 11181  df-2 12241  df-3 12242  df-resub 42820

This theorem is referenced by:  mulgt0b1d  42939  reneg1lt0  42947  mullt0b1d  42950