Theorem relt0neg2 42452

Description: Comparison of a real and its negative to zero. Compare lt0neg2 11768. (Contributed by SN, 13-Feb-2024.)

Assertion

Ref	Expression
relt0neg2	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ (0 −ℝ 𝐴) < 0))

Proof of Theorem relt0neg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elre0re 42274	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
3		reltsub1 42393	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ (0 −ℝ 𝐴) < (𝐴 −ℝ 𝐴)))
4	1, 2, 2, 3	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ (0 −ℝ 𝐴) < (𝐴 −ℝ 𝐴)))
5		resubid 42415	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 −ℝ 𝐴) = 0)
6	5	breq2d 5160	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) < (𝐴 −ℝ 𝐴) ↔ (0 −ℝ 𝐴) < 0))
7	4, 6	bitrd 279	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ (0 −ℝ 𝐴) < 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153   < clt 11293   −_ℝ cresub 42372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-2 12327  df-3 12328  df-resub 42373

This theorem is referenced by:  mulgt0b2d  42467  reneg1lt0  42473