Theorem relt0neg2 43084

Description: Comparison of a real and its negative to zero. Compare lt0neg2 11705. (Contributed by SN, 13-Feb-2024.)

Assertion

Ref	Expression
relt0neg2	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ (0 −ℝ 𝐴) < 0))

Proof of Theorem relt0neg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elre0re 42875	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
3		reltsub1 43000	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ (0 −ℝ 𝐴) < (𝐴 −ℝ 𝐴)))
4	1, 2, 2, 3	syl3anc 1392	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ (0 −ℝ 𝐴) < (𝐴 −ℝ 𝐴)))
5		resubid 43023	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 −ℝ 𝐴) = 0)
6	5	breq2d 5113	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) < (𝐴 −ℝ 𝐴) ↔ (0 −ℝ 𝐴) < 0))
7	4, 6	bitrd 281	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ (0 −ℝ 𝐴) < 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5101  (class class class)co 7396  ℝcr 11083  0cc0 11084   < clt 11227   −_ℝ cresub 42979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-po 5556  df-so 5557  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-ltxr 11232  df-2 12290  df-3 12291  df-resub 42980

This theorem is referenced by:  mulgt0b1d  43099  reneg1lt0  43107  mullt0b1d  43110