Theorem renegadd 38173

Description: Relationship between real negation and addition. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
renegadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐵) = 0))

Proof of Theorem renegadd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elre0re 38134	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2		resubval 38168	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0))
3	1, 2	mpancom 678	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0))
4	3	eqeq1d 2779	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) = 𝐵 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0) = 𝐵))
5	4	adantr 474	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 𝐴) = 𝐵 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0) = 𝐵))
6		renegeu 38171	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
7		oveq2 6930	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 + 𝑥) = (𝐴 + 𝐵))
8	7	eqeq1d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 + 𝑥) = 0 ↔ (𝐴 + 𝐵) = 0))
9	8	riota2 6905	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0) → ((𝐴 + 𝐵) = 0 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0) = 𝐵))
10	6, 9	sylan2 586	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) = 0 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0) = 𝐵))
11	10	ancoms 452	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) = 0 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0) = 𝐵))
12	5, 11	bitr4d 274	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐵) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  ∃!wreu 3091  ℩crio 6882  (class class class)co 6922  ℝcr 10271  0cc0 10272   + caddc 10275   −_ℝ cresub 38166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-addrcl 10333  ax-rnegex 10343  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-ltxr 10416  df-resub 38167

This theorem is referenced by:  renegid  38174  resubeulem1  38177