Theorem renegadd 42475

Description: Relationship between real negation and addition. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
renegadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐵) = 0))

Proof of Theorem renegadd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elre0re 42357	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2		resubval 42470	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0))
3	1, 2	mpancom 688	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0))
4	3	eqeq1d 2733	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) = 𝐵 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0) = 𝐵))
5	4	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 𝐴) = 𝐵 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0) = 𝐵))
6		renegeu 42473	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
7		oveq2 7354	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 + 𝑥) = (𝐴 + 𝐵))
8	7	eqeq1d 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 + 𝑥) = 0 ↔ (𝐴 + 𝐵) = 0))
9	8	riota2 7328	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0) → ((𝐴 + 𝐵) = 0 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0) = 𝐵))
10	6, 9	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) = 0 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0) = 𝐵))
11	10	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) = 0 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0) = 𝐵))
12	5, 11	bitr4d 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐵) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃!wreu 3344  ℩crio 7302  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  0cc0 11006   + caddc 11009   −_ℝ cresub 42468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-addrcl 11067  ax-rnegex 11077  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-resub 42469

This theorem is referenced by:  renegid  42476  resubeulem1  42478