Theorem renegadd 42348

Description: Relationship between real negation and addition. (Contributed by Steven Nguyen, 7-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
renegadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐵) = 0))

Proof of Theorem renegadd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elre0re 42249	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2		resubval 42343	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 −ℝ 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0))
3	1, 2	mpancom 687	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 −ℝ 𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0))
4	3	eqeq1d 2742	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 𝐴) = 𝐵 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0) = 𝐵))
5	4	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 𝐴) = 𝐵 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0) = 𝐵))
6		renegeu 42346	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0)
7		oveq2 7456	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 + 𝑥) = (𝐴 + 𝐵))
8	7	eqeq1d 2742	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 + 𝑥) = 0 ↔ (𝐴 + 𝐵) = 0))
9	8	riota2 7430	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0) → ((𝐴 + 𝐵) = 0 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0) = 𝐵))
10	6, 9	sylan2 592	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) = 0 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0) = 𝐵))
11	10	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) = 0 ↔ (℩𝑥 ∈ ℝ (𝐴 + 𝑥) = 0) = 𝐵))
12	5, 11	bitr4d 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐵) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃!wreu 3386  ℩crio 7403  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184   + caddc 11187   −_ℝ cresub 42341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-addrcl 11245  ax-rnegex 11255  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-resub 42342

This theorem is referenced by:  renegid  42349  resubeulem1  42351  sn-inelr  42443